第三章 动量和能量
一、选择题
1.质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水
平光滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 (A) m v ． (B)
m v ． (C) v ． (D) 2m v ．
［ ］
m 2. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动．第一次
实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率向右与B 碰撞，其结果
A 以 0.1 m/s 的速率弹回，
B 以0.3 m/s 的速率向右运动；
第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 1
的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向右运
动，如图．则A 和B 的质量分别为
2
3
(A) m A =2 kg , m B =1 kg
(B) m A =1 kg , m B =2 kg
(C) m A =3 kg , m B =4 kg
(D) m A =4 kg, m B =3 kg ［ ］
3. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v v 和B v v
(v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则 (A) A 的动量增量的绝对值比B 的小． (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大． (C) A 、B 的动量增量相等．
(D) A 、B 的速度增量相等． ［ ］ 4. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一
起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为 (A) 9 N·s . (B) -9 N·s ．
(C)10 N·s ． (D) -10 N·s ． ［ ］
5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于
炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒．
(B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒． (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒． (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒．
6. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．与摆球一起运动的速率为
(A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． ［ ］ 7. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． ［ ］
8. A 、B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示．若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然
后将外力撤去，则此后两木块运动动能之比E KA /E KB 为 (A)
2
1
． (B) 2/2．
(C) 2． (D) 2． ［ ］
9.用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则
(A)下面的线先断． (B)上面的线先断．
(C)两根线一起断． (D)两根线都不断． ［ ］
10.质量为m 的小球，沿水平方向以速率v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量增量为 (A) m v ． (B) 0 (C) 2m v ． (D) –2m v ．
11. 机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率为800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为 (A) 0.267 N ． (B) 16 N ． (C)240 N ． (D) 14400 N ． ［ ］
12.一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计）
(A) 比原来更远． (B) 比原来更近．
(C) 仍和原来一样远． (D) 条件不足，不能判定． ［ ］
13.如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为
22)/()2(v v R mg m π+
(C) ． (D) 0．
v /Rmg π ［ ］
14.如图所示，砂子从h ＝0.8 m 高处下落到以3 m ／s 的速率水平向
右运动的传送带上．取重力加速度g ＝10 m ／s 2．传送带给予刚落到传送带上的砂子的作用力的方向为
(A)
与水平夹角53°向下． (B) 与水平夹角53°向上．
(C)
与水平夹角37°向上．
(D) 与水平夹角37°向下． ［ ］
15. 如图所示．一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上．在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动. 此时斜面上摩擦力对物块的冲量的方向
(A) 是水平向前的． (B) 只可能沿斜面向上．
(C) 只可能沿斜面向
下．(D) 沿斜面向上或向下均有可
能． ［ ］
16. 动能为E K 的A 物体与静止的B 物体碰撞，设A 物体的质量为B 物体的二倍，m A ＝2 m B ．若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为
(A) E K (B)
K E 3
2
． (C) K E 21． (D) K E 3
1
． ［ ］
17. 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的
(A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒．
(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒．
(D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． ［ ］
18. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用L
和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A =L B ，E KA 19. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． ［ ］ 20. 一个质点同时在几个力作用下的位移为： k j i r r r r r 654+?=Δ (SI) 其中一个力为恒力k j i F r r r r 953+??= (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为 (A) ?67 J ． (B) 17 J ． (C) 67 J ． (D) 91 J ． ［ ］ 21.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力 )(0j y i x F F r r r +=作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ） 位置过程中，力对它所作的功为 F r (A) ． (B) ． 20R F 202R F (C) ． (D) ． 2 03R F 2 04R F ［ ］ 22. 如图，在光滑水平地面上放着一辆小车，车上左端放着一只箱子，今用同样的水平恒力拉箱子，使它由小车的左端达到右端，一次小车被固定在水平地面上，另一次小车没有固定．试以水平地面为参照系，判断下列结论中正确的是 r F r (A) 在两种情况下，F 做的功相等． (B) 在两种情况下，摩擦力对箱子做的功相等． (C) 在两种情况下，箱子获得的动能相等． (D) 在两种情况下，由于摩擦而产生的热相等． ［ ］ 23.如图所示，木块m 沿固定的光滑斜面下滑，当下降h 高度时，重 力作功的瞬时功率是： (A)1) 2(gh mg ． (B)2 1) 2(cos gh mg θ． (C)21)2 1(sin gh mg θ． (D)2 1) 2(sin gh mg θ． ［ ］ 24.质量为m 的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动．已知地球质量为M ，万有引力恒量为G ，则当它从距地球中心R 1处下降到R 2处时，飞船增加的动能应等于 (A) 2R GMm (B) 22 R GMm (C) 212 1R R R R GMm ? (D) 2121R R R GMm ? (E) 22 2121R R R R GMm ? [ ] 25.一个作直线运动的物体，其速度v 与时间t 的关系曲线如图所示．设时刻t 1至t 2间外力 作功为W 1 ；时刻t 2至t 3间外力作功为W 2 ；时刻t 3至t 4间外力作功为W 3 ，则 (A) W 1＞0，W 2＜0，W 3＜0． (B) W 1＞0，W 2＜0，W 3＞0． (C) W 1＝0，W 2＜0，W 3＞0． (D) W 1＝0，W 2＜0，W 3＜0 ［ ］ 26.质量为m ＝0.5 kg 的质点，在Oxy ，t 从t =2 s 到t =4 s 这段时间内，外力对质点作的功为 (A) 1.5 J ． (B) 3 J ． (C) 4.5 J ． (D) -1.5 J ． ［ ］ 27.质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为 j t B i t A r r r r ωωsin cos += 式中A 、B 、ω都是正的常量．由此可知外力在t =0到t =π/(2ω)这段时间内所作的功为 (A) )(21 222B A m +ω (B) )(222B A m +ω(C) )(21222B A m ?ω (D) )(2 1 222A B m ?ω ［ ］ 28.今有一劲度系数为k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m 的小球，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外力作功为 (A) k g m 422 (B) k g m 32 2 (C) k g m 222 (D) k g m 2 22 (E) k g m 2 24 ［ ］ 29.劲度系数为k 的轻弹簧，一端与倾角为α的斜面上的固定档板A 相接，另一端与质量为m 的物体B 相连．O 点为弹簧没有连物体、长度为原长时的端点位置，a 点为物体B 的平衡位置．现在将物体B 由a 点沿斜面向上移动到b 点（如图所示）．设a 点与O 点，a 点与b 点之间距离分别为x 1和x 2，则在此过程中，由弹簧、物体B 和地球组成的系统势能的增加为 (A) αsin 2122 2mgx kx + (B)αsin )()(21 12212x x mg x x k ?+? (C)αsin 21)(212212 12mgx kx x x k +?? (D)αcos )()(2 1 12212x x mg x x k ?+? ［ ］ 30.在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力F v 通过不可 伸长的绳子和一劲度系数k ＝200 N/m 的轻弹簧缓慢地拉地面上的 物体．物体的质量M ＝2 kg ，初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉下20 cm 的过程中，所做的功为（重力加速度g 取10 m /s 2） (A) 1 J ． (B) 2 J ． (C) 3 J ． (D) 4 J ． (E) 20 J ． ［ ］ 31.一水平放置的轻弹簧，劲度系数为k ，其一端固定，另一端系一质量为m 的滑块A ，A 旁又有一质量相同的滑块B ，如图所示．设两滑 块与桌面间无摩擦．若用外力将A 、B 一起推压使弹簧压缩量为d 而 静止，然后撤消外力，则B 离开时的速度为 (A) 0 (B) m k d 2 (C) m k d (D) m k d 2 ［ ］ 32.如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块而不穿出．以地面为参考系，下列说法中正确的说法是 (A) 子弹的动能转变为木块的动能． (B) 子弹─木块系统的机械能守恒． (C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功． (D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热． ［ ］ 33.速度为v 的子弹，打穿一块不动的木板后速度变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的．那么，当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时，子弹的速度是 (A) v 4 1 ． (B) v 3 1 ． (C) v 21 ． (D) 2 1． ［ ］ 34.如图所示，一个小球先后两次从P 点由静止开始，分别沿着 光滑的固定斜面l 1和圆弧面l 2下滑．则小球滑到两面的底端Q 时的 (A) 动量相同，动能也相同． (B) 动量相同，动能不同． (C) 动量不同，动能也不同． (D) 动量不同，动能相同． ［ ］ 二、填空 35.质量为m 的小球自高为y 0处沿水平方向以速率v 0抛出,与地面碰撞后跳起的最大高度为2 1 y 0，水平速率为21v 0 ，则碰撞过程中 y 21y (1) 地面对小球的竖直冲量的大小为 ________________________； (2) 地面对小球的水平冲量的大小为________________________． 36.质量m =10 kg 的木箱放在地面上，在水平拉力F 的 作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示．若已知木箱与地面间的摩擦系数μ=0.2,那么在t = 4 s 时，木箱的速 度大小为______________；在t = 7 s 时，木箱的 速度大小为______________．（g 取10 m/s 2） 37.一质量为m 的物体，原来以速率v 向北运动，它突然受到外力打击，变为向西运动，速率仍为v ，则外 力的冲量大小为________________________，方向为____________________． 38.有两艘停在湖上的船，它们之间用一根很轻的绳子连接．设第一艘船和人的总质量为250 kg , 第二艘船的总质量为500 kg ，水的阻力不计．现在站在第一艘船 上的人用F = 50 N 的水平力来拉绳子，则5 s 后第一艘船的速度大小为_________； 第二艘船的速度大小为______． 39.两块并排的木块Ａ和Ｂ，质量分别为m 1和m 2 ，静止地放置在光滑的水平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为Δt 1 和Δt 2 ,木块对子弹的阻力为恒力F ，则子弹穿出后， 木块A 的速度大小为_________________________________，木块B 的速度大小为 ______________________． 40.两个相互作用的物体A 和B ，无摩擦地在一条水平直线上运动．物体A 的动量是时间的函数，表达式为 P A = P 0 – b t ，式中P 0 、b 分别为正值常量，t 是时间．在下列两种情况下，写出物体B 的动量作为时间函数的表达式： (1) 开始时，若B 静止，则 P B 1＝______________________； (2) 开始时，若Ｂ的动量为 – P 0，则P B 2 = _____________． 41.一质量为m 的小球A ，在距离地面某一高度处以速度v v 水平抛出，触地后反跳．在抛出t 秒后小球A 跳回原高度，速度仍沿水平方向， 速度大小也与抛出时相同，如图．则小球A 与地面碰撞过程中，地面给它的冲量的方向为 ________________，冲量的大小为 ____________________． 26. v v 42.设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ） ．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物 体上的冲量大小Ｉ＝__________________． 43.一物体质量M ＝2 kg ，在合外力i t F v )23(+= (SI )的作用下，从静止开始运 动，式中为方向一定的单位矢量, 则当ｔ＝1 s 时物体的速度i v 1v v ＝__________． 44.水流流过一个固定的涡轮叶片，如图所示．水流流过叶片曲面前后的速率都等于v ，每单位时间流向叶片的水的质量保持不变且等于Q ，则水作用于叶片的力大小为 ______________，方向为_________． 45.图示一圆锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度ω匀速转动．在小球转动一周的过程中， (1) 小球动量增量的大小等于__________________． (2) 小球所受重力的冲量的大小等于________________． (3) 小球所受绳子拉力的冲量大小等于_______________． 31. 46. 有一质量为M （含炮弹）的炮车，在一倾角为θ 的光滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为v 0时，从炮内射出一质量为m 的炮弹沿水平方向． 欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时 对地的速率v ＝__________． 47一质量为5 kg 的物体，其所受的作用力F 随时间的变化关系如图所示．设物体从静止开始沿直线 运动，则20秒末物体的速率v ＝__________． 48.一质量为m 的物体作斜抛运动，初速率为v 0，仰角为θ．如果忽略空气阻力， 物体从抛出点到最高点这一过程中所受合外力的冲量大小为________________， 冲量的方向为____________________． 49.质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度ω ＝_____________________． 50.在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度v A ＝4 m ·s ?1 垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以 后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方 向与绳垂直．则此时刻物体对Ｏ点的角动量的大 小L B ＝____________，物体速 度的大小v ＝__________________． 51.地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常量为G ， 则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L ＝_______________． 52.将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后 缓慢将绳下拉，使半径缩小为r 2，在此过程中小球的动能增量是_____________． 53.哈雷慧星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．它离太阳最近的距离是r 1＝8.75×1010 m ，此时它的速率是v 1＝5.46×104 m/s ．它离太阳最远时的速 率是v 2＝9.08×102 m/s ，这时它离太阳的距离是r 2＝______． 54. 一质量为m 的质点沿着一条曲线运动，其位置矢量在空间直角座标系中的表 达式为j t b i t a r v v v ωωsin cos +=，其中a 、b 、ω 皆为常量，则此质点对原点的角动量L =________________；此质点所受对原点的力矩M = ____________． 55. 两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝_______；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率v ＝_______． 56. 如图所示，x 轴沿水平方向，y 轴竖直向下，在t ＝0 时刻将质量为m 的质点由a 处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t ，质点所受的对原点O 的力矩 M v ＝________________；在任意时刻t ，质点对原点Ｏ 的角动量＝__________________． L v 57.我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O 为该椭圆的一个焦点．已知地球半径R ＝6378 km ，卫星与 地面的最近距离l 1＝439 km ，与地面的最远距离l 2＝2384 km ．若卫星在近地点 A 1的速度v 1＝8.1 km/s ，则卫星在远地点 A 2的 速度v 2＝______________． 参考答案： 一.选择填空 1.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.B; 7.A; 8.D; 9.D;10.D;11.C;12.A;13.C;14.B;15.D;16.B;17.C;18.C;19.C ；20.C;21.B;22.D;23.D;24.C;25.C;26.B;27.C;28.C;29.C;30.C;31.B;32.C;33.D;34.D 二填空题 35.0)21(gy m + 3分 0v m 2 1 2分； 36. 4 m /s ．2分 2.5 m /s 2分 37. 2m v 2分 指向正西南或南偏西45° 2分 38. 1 m /s 2分 0.5 m /s 2分 39. ， 各2分 211 m m t F +Δ2 1211m t F m m t F Δ++Δ40. b t 2分 – P 0 + b t 2分； 41. 垂直地面向上 2分 m g t 2分 42. 18 N ·s 3分 ；43. 2 m/s 3分； 44. 2Q v 2分 水流入方向 2分 45. 0 1分 2πmg /ω 2分 2πmg /ω 2分； 46. θ m M cos 0 v 3分； 47.32. 5 m/s 3分；48. m v 0 sin θ 2分 竖直向下 2分； 49. 12 rad/s 2分； 50. 1 N·m·s 2分 1 m/s 2分；51. GMR m 3分；52. )1(21222 12121?r r mr ω 3分； 53. 5.26×1012 m 3分；54. m ω ab 3分 0 2分；55. 2275 kgm 2·s ?1 2分 13 m·s ?1 2分； 56. mgb 2分 mgbt 2分；57. 6.3 km/s 3分； k v k v 第三章 动量守恒和能量守恒定律 §1-1质点和质点系的动量定理 一、质点的动量定理 1、动量 质点的质量m 与其速度v 的乘积称为质点的动量，记为P 。 （3-1） 说明：⑴P 是矢量，方向与v 相同 ⑵P 是瞬时量 ⑶P 是相对量 ⑷坐标和动量是描述物体状态的参量 2、冲量 牛顿第二定律原始形式 )(v m dt d F = 由此有)(v m d dt F = 积分： 1221 21p p P d dt F p p t t -==?? （3-2） 定义：?21 t t dt F 称为在21t t -时间内力F 对质点的冲量。 记为 （3-3） 说明：⑴I 是矢量 ⑵I 是过程量 ⑶I 是力对时间的积累效应 ⑷I 的分量式 ??? ????===???2 12121t t z z t t y y t t x x dt F I dt F I dt F I ∵ ??? ? ???=-=-=-???2 121 21)()()(12121 2t t z z t t y y t t x x dt F t t F dt F t t F dt F t t F （3-4） ∴分量式（3—4）可写成 ??? ??-=-=-=) ()()(121212t t F I t t F I t t F I z z y y x x （3-5） x F 、y F 、z F 是在21t t -时间内x F 、y F 、z F 平均值。 3、质点的动量定理 由上知 12p p I -= （3-6） 结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。 说明：⑴I 与12p p -同方向 ⑵分量式??? ??-=-=-=z 1z 2z y 1y 2y x 1x 2x p p I p p I p p I （3-7） ⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系 ⑸动量原理对碰撞问题很有用 二、质点系的动量定理 概念：系统：指一组质点 内力：系统内质点间作用力 外力：系统外物体对系统内质点作用力 设系统含n 个质点，第i 个质点的质量和速度分别为i m 、i v ，对于第i 个质点受合内 力为内i F ，受合外力为外i F ，由牛顿第二定律有 dt v m d F F i i i i ) ( =+内外 对上式求和，有 ∑∑∑∑======+n 1 i i i n 1i i i n 1i i n 1i i )v m (dt d dt )v m (d F F 内 外 因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故0=合内力F ， 有 P dt d F =合外力 （3-8） 结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。 式（3-8）可表示如下 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 一、填空题 1. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为____. 2.一物体质量为10 kg ，受到方向不变的力F ＝30＋40t (SI)作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于 ；若物体的初速度大小为10 m/s ， 方向与力F 的方向相同，则在2s 末物体速度的大小等于___. 3. 如左图所示，A 、B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，两者用一轻弹簧连接 后静止于光滑水平桌面上，如图所示．若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动能之比E K A /E K B 为____. 4. 质量m ＝1kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么当x ＝3m 时，其速率v ＝_____，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝_____。 5.一质点在二恒力的作用下, 位移为j i r 83+= (SI), 在此过程中,动能增量为24J, 已知其中一恒力j 3－i 12=F 1 (SI), 则另一恒力所作的功为__. 二、计算题 6. 如图4.8,质量为M =1.5kg 的物体, 用一根长为l =1.25m 的细绳悬挂在天花板上,今有一质量为m =10g 的 子弹以v 0=500m/s 的水平速度射穿 物体,刚穿出物体时子弹的速度大小v =30m/s,设穿透时间极短,求: (1)子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2)子弹在穿透过程中所受的冲量. 第三章 能量与动量 3–1 汽车在水平公路上做直线运动，它的功率保持不变，当汽车的速度为4m/s 时，加速度为0.4m/s 2，汽车所受阻力恒为车重的倍，若取g =10m/s 2 ，汽车行驶的最大速度为_______m/s 。 解：设汽车的速度为4m/s 时，汽车牵引力为F ，地面摩擦力为f ，v 为此时的速度，V 为最大速度。由题知 ma f F =- 将已知条件代入上式得 N 5.0m F = （1） 由于汽车的功率保持不变，故汽车在最大速度时的功率等于汽车速度为4m/s 时的功率。汽车达到最大速度时，其牵引力的大小等于所受阻力，即f F ='，故有 v F P = （2） fV P = （3） 由（1）式、（2）式和（3）式解得 m/s 20=V 3–2 有一质量为m =0.5kg 的质点，在xy 平面内运动，其运动方程为222t t x +=，t y 3=（SI ），则在s 0=t 至s 3=t 这段时间内，外力对质点所做的功为 ，外力的方向是 。 解：由质点的运动方程得 N 24d d 22===m t x m F x （1） 0d d 22==t y m F y （2） 由功的定义得 ? ??+==y F x F W y x d d d r F （3） 又由运动方程得 t t x d )42(d +=，t y d 3d = 将上式代入（3）式得 48J )d 42(23 0=+=?t t W 由（1）式知力的方向沿x 正方向。 3–3 已知质点的质量m =5kg ，运动方程j i r 22t t +=（SI ），则质点在0~2秒内受的冲量I 为 ，在0—2秒内所做的功为 。 解：质点所受的力为 N 102d d 22j j r F ===m t m 质点0—2秒内受的冲量I 的大小为 s N 20d 102020?===??j j F t dt I 力在0—2秒内对质点所做的功为 J 40d 20d )22(10d 2020==+?==???t t t t W j i j r F 3–4 质量为m =5.0kg 的物体，于10s 的时间内，其速度由0v =48i +36j 变为v =j i 418-（SI ），则物体所受的平均作用力之量值应为 N 。 解：10s 内物体的动量变化为 j i P 40300--=-=?v v m m N 10s 内物体所受的平均作用力为 j i j i P I F 4310 4030--=--=??=?=t t 10s 内物体所受的平均作用力大小为 N 25)4()3(||22=-+-=F 3–5 在一直在线，以t t F 26)(-=之力（t 的单位为秒，F 的单位为牛顿）施于质量m =2kg ，初速为12m/s 之物体上，则8秒末物体的速率为 。 解：解法一：由牛顿第二定律有 t t m t d d 2d d 26v v ==- 即 t t d )3(d -=v 积分 ??-=8 012 d )3(d t t v v 所以 m/s 4=v 解法二：物体从0到8s 末所受的冲量为 第三章动量守恒定律和能量守恒定律问题解答 3-1如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B，（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 解由 2 2 Mm mv G R R =可得，地球绕太阳作圆周 运动的速率为v= （1）地球从A到B，动量增量的大小为 AB AB P m v ?=?== 方向与B点速度方向成45o角。 在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于动量的增量，即 AB AB I P =?= 方向与B点速度方向成45o角。 （2）同理，地球从A运动到C，动量增量大小为 22 AC AC P m v mv ?=?==，方向与C点速度方向相同。 此过程中地球所受的冲量为2 AC AC I P =?=C点速度方向相同。 （3）当地球绕行一周回到A时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。 3-2假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？ 解可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。 3-3质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另一部分质点的速率一定会变小？ A C B A C 解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。例如炸弹爆炸，产生的碎片获得的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。 3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风，帆船是前进，还是后退？为什么？ 解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船来看，风对帆和鼓风机的力属于内力，动量守恒。 3-5 在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气中上升。如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。 解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的冲力。 3-6 在水平光滑的平面上放一长为L 、质量为m '的小车，车的一端站有质量为m 的人，人和车都是静止不动的。人以速率v 相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距 离？ 解 如图所示，取人与车为系统，在水平 方向系统不受外力，满足动量守恒。设小车沿地面的速率为v '，所以有 mv m v ''= 将上式两边乘以dt ，并对时间积分 t t m vdt m v dt ''=?? （1） 设t 时刻，人刚好走到小车另一端，此时人相对于地面运动的距离为s ，小车相对于地面运动的距离为s '，所以0 t s vdt = ? ，0 t s v dt ''=?，代入（1）式有 ms m s ''= （2） 又由图示可知 s s l '+= （3） 由（2）（3）可得 人对地面移动的距离为m s l m m ' =' + 小车对地面移动的距离为m s l m m '= '+ 3-7 人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？ 解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须要达到一定的值，假设这个所需的速率为1v ，设人的质量为1m ，船的质量为2m ，并且当起跳时人相对船的速率为u ，由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为 'v 山东轻院 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 山东轻院基本要求 1.掌握动量、冲量的概念，明确它们的区别和关系。 2.熟练应用动量定理和动量守恒定律求解力学问题。 3.掌握功和动能的概念，会计算变力的功。 4.理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、 弹性力、和万有引力势能。 5.熟练运用动能定理、功能原理和机械能守恒定律求解 力学问题。 基本概念及规律 1.动量定理和动量守恒定律 动量定理合外力的冲量等于质点（或质点系）的增量。 物理辅导 山东轻院 动量定理1 2P P dt F -=质点 质点系 ∑∑-=i i i i P P dt F 12动量守恒定律当一个质点所受合外力为零时，这一质点的 总动量保持不变。 0=∑F 当 时， 外==∑∑i i i v m P 恒矢量 在直角坐标系中当 =∑x F 时0 =∑y F 时 0=∑z F 时 ==∑x ix i P v m 常量 ==∑y iy i P v m 常量 ==∑z iz i P v m 常量 物理辅导 山东轻院 2.功的定义元功? cos Fdr r d F dw =?=? ?有限运动功 r d F w B A AB ? ??=?3.动能、动能定理 动能是描述物体运动状态的单值函数， 反映物体运动时具有作功的本领。2 2 1 mv E k =动能定理：合外力对质点做的功等于质点动能的增量。 KA KB AB E E w -=4.保守力、势能、功能原理 保守力 某力所作的功与受力质点所经过的具体路径无关， 而只决定于质点的始、末位置，则这个力称为保守力。例 物理辅导 山东轻院 势能以保守力相互作用的物体系统在一定的位置状态 所具有的能量，叫势能。物体系统内部物体间相对位置变化时，保守力作功等于势能增量的负值，即： p E W ?-=保内功能原理外力和非保守内力对系统作的功等于系统机械 能的增量。 即 ()()1122P K P K E E E E W W +-+=+外非保内 机械能守恒定律一个物体系，如果只有保守力作功，而其它 非保守力及外力都不作功，则该物体系的动能与各种势能的总和保持不变。即 1122 K P K P E E E E +=+ 第3章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答 问题：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-19 3-1 如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A 运动到点B ,（2）地球从点A 运动到点C ，（3）地球从点A 出发绕行一周又返回点A ，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 答： 选太阳处为坐标原点O ，且O →C 方向为X 轴正方向，O →B 方向 为Y 轴正方向，设地球和太阳的质量分别为,m M ，两者间的距离为r ，地球沿反时针方向作匀速圆周运动的速率为v ，故根据万有引力定律，有： 2 2 v m M m G r r =，即 v = （1）地球从点A 运动到点B 的动量增量为： ()())A B B A P m v v m vi vj i j ?=-=-=- 根据质点的动量定理，地球所受的冲量为： )A B A B I P m i j =?=- （2）地球从点A 运动到点C 的动量增量和所受的冲量为： ()()2A C A C C A P I m v v m vj vj m j ?==-=--=- （3）同理，地球从点A 出发绕行一周回到A 点的动量增量和所受的冲量为： ()0A A A A A A P I m v v ?==-= 3-3 在上升气球下方悬挂一梯子，梯子站一人。问人站在梯子上不动或以加速度向上攀升，气球的加速度有无变化？ 答： （1）人不动，则气球的加速度不变。 （2）以气球及梯子（总质量为M ）与人（质量为m ）为系统，地面为参照系，且设人相对 梯子上爬的速度为v 、气球相对地面的速度为V ，人相对地面的速度为v ' ，则有 v v V '=+ 如果设气球及梯子与人初始为匀速率0v 竖直上升，则可应用动量守恒定律，得 0()m v M V m M v '+=+ 所以， 0()V v m v m M =-+ 1．一个物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下，设三面的高h 和水平距离l 都分别相等，三面与物体的摩擦因数μ也相等，则该物体分别从三个面滑到地面速度具有最大值的面为( ) (A) 斜面(B) 凸面 (C) 凹面(D) 三面相等 2．对功的概念有以下几种说法 (1)保守力作正功时、系统内相应的势能增加. (2)质点经一闭合路径运动一周, 保守力对质点作功为零. (3)作用力和反作用力大小相等、方向相反, 所以两者所作功的代数和必为零. 在上述说法中正确的是（） (A) (1) (2); (B) (2) (3); (C) (2) ; (D) (3). 3．质量相等的两个物体A和B, v0相同，在μ不同的水平面上同时开始滑动，A先停，B 后停，且B走过的路程也较长，问摩擦力对这两个物体所作的功是否相同? 。 4．一子弹水平地射穿两个前后并排放在光滑水平桌面上的木块，木块质量分别为m1和m2，测得子弹穿过两木块的时间分别为Δt1和Δt2，已知子弹在木块中受的阻力为恒力F，则子弹穿过后两木块的速度v1= m·s-1，v2=_____m·s-1 . 5．一质量为2kg的小球, 沿x方向运动, 其运动方程为x=5t2-2m, 则在时间t1=1s 到t2=3s 内, 求(1)合外力对小球作的功; (2)合外力对小球作用的冲量大小． 6．有一劲度系数为k的轻质弹簧竖直放置，其下端挂有一质量为m的物体，初始时刻弹簧处于原长，而物体置于水平地面上。然后将弹簧上端缓慢地提起，至物体距地面为h时，在此过程中外力做功为多少？ 7．人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？ v 1 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 3-1 力)SI (12i F t =作用在质量kg 2=m 的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量应为： （A ）m/s kg 54?-i （B ）m/s kg 54?i （C ）m/s kg 27?-i （D ）m/s kg 27?i [B] 解：以该物体为研究对象，由质点动量定理 ?? =? ??? ??==-=?3 0300354d 12d i i F p p p t t t 又00=p 故() -1 3s m kg 54??=i p 3-2 一个质点同时在几个力作用下的位移为： )SI (654k j i r +-=? 其中一个力为恒力)SI (953k j i F +--=，则此力在该位移过程中所作的功为 （A ）67J （B ）91J （C ）17J （D ）-67J [A] 解：()()k j i k j i r F 654953+-?+--=??=A (J) 675425-12=++= 3-3 对质点组有以下几种说法： ①质点组总动量的改变与内力无关 ②质点组总动能的改变与内力无关 ③质点组机械能的改变与保守内力无关 在上述说法中： （A ）只有①是正确的 （B ）①、③是正确的 （C ）①、②是正确的 （D ）②、③是正确的 [B] 解：由于质点组内力冲量的矢量和为零，所以质点组总动量的改变与内力无关。 由于质点组内力功的代数和不一定为零，由动能定理K E A A ?=+内外，质点组总动能的改变可能与内力相关。，由功能原理E A A ?=+非保内外，质点系机械能的改变与保守内力无关。 3-4 质点系的内力可以改变 （A ）系统的总质量（B ）系统的总动量 班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第3-1 动量定理 一．填空题： 1．物体所受到一维的冲力F ，其与时间的关系如图所示，则该曲线与横坐标t 所围成的面积表示物体在?t = t 2 - t 1时间所受的 冲量的大小。 2．质量为m 的物体以初速度v 0，倾角α 斜向抛出，不计空气阻力，抛出点与落地点在同一水平面，则整个过程中，物体所受重力的冲量大小为αsin 20?mv ，方向为竖直向下。 3．设有三个质量完全相同的物体，在某时刻t 它们的速度分别为123 , , v v v ，并且 123ννν==，1v 与2v 方向相反，3v 与1v 相垂直，设它们的质量全为m ，则该时刻三物体 组成的系统的总动量为3v m 。 4．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动方程为j t b i t a r )sin()cos(ωω+=，请问 从 0t =到t π ω =这段时间内质点所受到的冲量是2mb j ω- 。 5．高空作业时系安全带是非常必要的，假如一质量为51.0kg 的人，在操作过程中不慎从空竖直跌落下来。由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为 2.0m 。安全带弹性缓冲作用时间为0.5s ，求安全带对人的平均冲力N 31014.1?。 二．计算题： 6．一个质量m=0.14 kg 的垒球沿水平方向以v 1=50 m/s 的速率投来，经棒打出后，沿仰角α＝45?的方向向回飞出，速率变为v 2=80 m/s 。求棒给球的冲量大小和方向；如果球与棒接触时间t ?=0.02 s ，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重力的几倍？ 解 设垒球飞来之正方向为x 轴正方向，则棒对球冲量大小为： 1 1 )(616)/()(845' 2152cos sin 180: ) /(9.16cos 2212212 22112倍此力为垒球本身重的棒对球平均冲力角给出方向由==?= =+-==++=-=m g F N t I F m v m v m v avctg S N v v v v m v m v m I αα θθα 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-2 质量为m 的物体，由水平面上点O 以初速为0v 抛出，0v 与水平面成仰角α。若不计空气阻力。求：（1）物体从发射点O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。 解：（1）在垂直方向上，物体m 到达最高点时的动量的变化量是： αsin 001mv P -=? 而重力的冲击力等于物体在垂直方向的动量变化量： ααsin sin 00011mv mv P I -=-=?= （2）同理，物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲力等于物体竖直方向上的动量变化量 αααsin 2sin sin 0001222mv mv mv mv mv P I -=--=-=?= 负号表示冲量的方向向下。 3-3 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg 的人，在操作时不慎从高空跌落下来，由于安全带保护，最终使他悬挂起来。已知此时人离原处的距离为 2.0m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s 。求安全带对人的平均冲力。 y 3-9 一人从10.0m 深的井中提水，起始桶中装有10.0kg 的水，由于桶漏水，每升高1.00m 要漏去0.20kg 的水，水桶被匀速地从井中提到井口，求人所做的功。 解：以桶在井中的初始位置为坐标原点，建立竖直向上的坐标轴oy 则水桶在上升的过程中的重力P=mg-ky ；式中k=0.2g （kg/m ），因桶始终保持匀速上升，故拉力F 与重力P 是平衡力，即F=mg-ky ，方向沿oy 轴正向，拉力的功为： H H H ky mgy dy ky mg dy F W 0200]21[)(-=-=?=?? 将)/(2.0,0.10,0.10m kg g k m H kg m ===代入上式可得： J W 88= 3-10 一质量为0.20kg 的球，系在长为2.00m 的细绳子上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移至使细绳与竖直方向成30°角的位置，然后从静止放开。求（1）在绳子由30°角的位置到0°的位置的过程中，重力和张力所做的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率； （3）在最低位置时的张力。 解：（1）由于张力方向始终与运动方向垂直，所以张力FT 做功为0，即0==? ds F W T T 。 设0度角时小球的势能为0，30°角时势能为)30cos 1( -=mgl E P 由于势能的变化等于重力所做的功可知： J mgl E E W P mg 53.0)30cos 1(0=-=-=?= （2）由于势能完全转化为动能。所以小球在最低点时的动能 J E E P k 53.0=?= 此时的速率为：130.22-?==s m m E v k （3）小球在最低位置时，由于力和加速度的方向在一条直线上则 N l mv mg F l mv mg F T T 49.222 =+==- 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 （一）教材外习题 1 功与能习题 一、选择题： 1．一质点受力i x F 23 （SI ）作用，沿X 轴正方向运动。从x = 0到x = 2m 过程中，力F 作功为 （A ）8J. （B ）12J. （C ）16J. （D ）24J. （ ） 2．如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，下列说法正确的是 （A ）重力和绳子的张力对小球都不作功. （B ）重力和绳子的张力对小球都作功. （C ）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功. （D ）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功. （ ） 3．已知两个物体A 和B 的质量以及它们的速率都不相同， B 的大，则A 的动能E KA 与B 的动能E KB 之间的关系为 （A ）E KB 一定大于E KA . （B ）E KB 一定小于E KA （C ）E KB =E KA （D ）不能判定谁大谁小 （ ） 4．如图所示，一个小球先后两次从P 点由静止开始，分别沿着光滑的固定斜面l 1和圆弧面 l 2下滑，则小球滑到两面的底端Q 时的 （A ）动量相同，动能也相同 （B ）动量相同，动能不同 （C ）动量不同，动能也不同 （D ）动量不同，动能相同 （ ） 5．一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确？ （A ）质点的动量改变时，质点的动能一定改变 （B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变 （C ）外力的冲量是零，外力的功一定为零 （D ）外力的功为零，外力的冲量一定为零 （ ） 二、填空题： 1．某质点在力F =（4+5x ）i （SI ）的作用下沿x 轴作直线运动，在从x =0移动到x =10m 的过程中，力F 所作功为___________________。 Q P l 2 l 1 第三章能量与动量 第三章 能量与动量 3–1 汽车在水平公路上做直线运动，它的功率保持不变，当汽车的速度为4m/s 时，加速度为0.4m/s 2，汽车所受阻力恒为车重的0.01倍，若取g =10m/s 2，汽车行驶的最大速度为_______m/s 。 解：设汽车的速度为4m/s 时，汽车牵引力为F ，地面摩擦力为f ，v 为此时的速度，V 为最大速度。由题知 ma f F =- 将已知条件代入上式得 N 5.0m F = （1） 由于汽车的功率保持不变，故汽车在最大速度时的功率等于汽车速度为4m/s 时的功率。汽车达到最大速度时，其牵引力的大小等于所受阻力，即f F ='，故有 v F P = （2） fV P = （3） 由（1）式、（2）式和（3）式解得 m/s 20=V 3–2 有一质量为m =0.5kg 的质点，在xy 平面内运动，其运动方程为222t t x +=，t y 3=（SI ），则在s 0=t 至s 3=t 这段时间内，外力对质点所做的功为 ，外力的方向是 。 解：由质点的运动方程得 N 24d d 22===m t x m F x （1） 0d d 22==t y m F y （2） 由功的定义得 ? ??+==y F x F W y x d d d r F （3） 又由运动方程得 t t x d )42(d +=，t y d 3d = 将上式代入（3）式得 48J )d 42(23 0=+=?t t W 由（1）式知力的方向沿x 正方向。 3–3 已知质点的质量m =5kg ，运动方程j i r 22t t +=（SI ），则质点在0~2秒内受的冲量I 为 ，在0—2秒内所做的功为 。 解：质点所受的力为 N 102d d 22j j r F ===m t m 质点0—2秒内受的冲量I 的大小为 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 基本要求 1.掌握动量、冲量的概念，明确它们的区别和关系。 2.熟练应用动量定理和动量守恒定律求解力学问题。 3.掌握功和动能的概念，会计算变力的功。 4.理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力、和万有引力势能。 5.熟练运用动能定理、功能原理和机械能守恒定律求解力学问题。 基本概念及规律 一、动量定理和动量守恒定律 动量定理 合外力的冲量等于质点（或质点系）的增量。 动量定理 21Fdt P P =- ， 质点系 21i i i i Fdt P P =-∑∑ 。 动量守恒定律 当一个质点所受合外力为零时，这一质点的总动量保持不变。 0F =∑ 外时， i i i P m v ==∑∑ 恒矢量 在直角坐标系中： 0x F =∑时， i ix x m v P ==∑常量； 0y F =∑时，i iy y m v P ==∑常量； 0z F =∑时， i iz z m v P ==∑常量。 二、功的定义 元功 cos dw F dr Fdr ?=?= 有限运动的功 B AB A w F dr =?? 三、动能、动能定理 动能：是描述物体运动状态的单值函数，反映物体运动时具有作功的本领。 212 k E mv = 动能定理：合外力对质点做的功等于质点动能的增量。 AB KB KA w E E =- 四、保守力、势能、功能原理 保守力 某力所作的功与受力质点所经过的具体路径无关，而只决定于质点的始、末位置，则这个力称为保守力。例如：重力、引力、弹性力等。 势能 以保守力相互作用的物体系统在一定的位置状态所具有的能量，叫势能。物体系统内部物体间相对位置变化时，保守力作功等于势能增量的负值，即： p W E =-?保内 功能原理 外力和非保守内力对系统作的功等于系统机械能的增量。 ()()2211K P K P W W E E E E +=+-+外非保内 机械能守恒定律 一个物体系，如果只有保守力作功，而其它非保守力及外力都不作功，则该物体系的动能与各种势能 的总和保持不变。即 1122K P K P E E E E +=+ 解题指导 1.在应用动量定理和动量守恒定理解题时，要正确选择系统和坐标系，并写出相应的分量形式。当外力在某一方向的分力为零时，则该方向的动量分量守恒。定理中 是作用在质点（ 或质点系 ）上包括重力在内的所有力，但是当碰撞力远大于重力时，可以忽略重力的作用。另外，对于确定的质点系，系统中物体的动量都是相对于同一惯性参考系而言的，系统中内力的作用只能改变系统内部各物体的运动状态，而不能改变系统的总动量。 2.在求解变力作功的问题时，力F 可以是时间t 、径矢r 或速度v 的函数。当与积分变 量不一致时，可以通过数学变换的方法解决。另外，在确定的系统中，两个不同状态之间能量的增量等于在此两状态间力所作的功（注意：动量定理中上指一切力作的功；功能原理中是指除保守力以外的一切力作的功），因此，若能知道系统初、末状态的能量，利用两定理解题可以避免复杂的积分计算。在利用机械能守恒定律解题时，要特别注意守恒条件是否成立，要选好系统，分清内力与外力、保守力，并选好合适的零势能点。 例 题 例1. 质量为50kg 的高空走钢丝演员，身上系一5m 长的弹性安全带，其弹性缓冲时间为1s 。当演员不慎跌下时，在缓冲时间内安全带给演员的平均作用力有多大？（g 取10ms -2）。 解：第一过程是自由落体运动，设演员下落5m 后的速度为 1010v ms -=== 第二过程受重力和安全带拉力作用，若取向上为正向， F 为安 全带的平均拉力，演员处动量为 -mv 0 ,末动量 mv =0，有动量定理知： ()()00F mg t mv mv mv -?=--= 0501010001 mv F mg N t ?∴=+ ==? 若缓冲时间为0.05s 时，有上式得： 0501050100.05 mv F mg t ?'=+=?+?5001000010000N =+≈ 可见当作用时间很短时，重力可以忽略。 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-1 一架以12ms 100.3-?的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.20m 、质量为0.50kg 的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。估计飞鸟对飞机的冲击力，根据本题的计算结果，你对高速运动的物体与通常情况下不足以引起危害的物体相碰后产生后果的问题有什么体会？ 解：以飞鸟为研究对象，其初速为0，末速为飞机的速度，由动量定理。 v l t mv t = ?-=? ,0F 联立两式可得： N l mv F 5 2 1025.2?== 飞鸟的平均冲力N F F 5 1025.2'?-=-= 式中的负号表示飞机受到的冲击力与飞机的运动速度方向相反。 从计算结果可知N F F 5 1025.2'?-=-=大于鸟所受重力的4.5万倍。可见，冲击力是相当大的。因此告诉运动的物体与通常情况下不足以引起危险的物体相碰，可能造成严重的后果。 3-2 质量为m 的物体，由水平面上点O 以初速为0v 抛出，0v 与水平面成仰角α。若不计空气阻力。求：（1）物体从发射点O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。 解：（1）在垂直方向上，物体m 到达最高点时的动量的变化量是： αsin 01mv P -=? 而重力的冲击力等于物体在垂直方向的动量变化量： ααsin sin 0011mv mv P I -=-=?= （2）同理，物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲力等于物体竖直方向上的动量变化量 αααsin 2sin sin 1222mv mv mv mv mv P I -=--=-=?= 负号表示冲量的方向向下。 3-3 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg 的人，在操作时不慎从高空跌落下来，由于安全带保护，最终使他悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2.0m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s 。求安全带对人的平均冲力。 解：在人下落的整个过程中，重力的冲量和安全带冲量相等，但方向相反。设人自由落体的那段时间为t g h t 2= 则012=-=+mv mv I I F mg 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 问题解答 3-1如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问： 在下述情况下，(1 )地球从点 A 运动到点B ，( 2 )地球从点 A 运动到点C ，( 3) 地球从点A 出发绕行一周又返回点 A ，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 心 丄 Mm mv 2 解由G 盲 盲可得，地球绕太阳作圆周 :.... C (1) 地球从A 到B ，动量增量的大小为 方向与B 点速度方向成45°角。 在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于 方向与B 点速度方向成45°角。 (2) 同理，地球从 A 运动到C ，动量增量大小为 此过程中地球所受的冲量为I AC P AC 2 m ，方向与C 点速度方向相同。 (3) 当地球绕行一周回到 A 时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。 3-2假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用 的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？ 解可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。 3-3质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另 部分质点的速率一定 会变小？ 运动的速率为v ，方向沿轨道切线方向。 V A P AB m V AB m . 2v 动量的增量，即 I AB P AB m 2 GM P AC m V AC 2mv 2m 冒，方向与C 点速度方向相同。 2GM 解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。例如炸弹爆炸，产生的碎 片获得的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。 3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风， 帆船是前进，还是后退？为什么? 解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船 来看，风对帆和鼓风机的力属于内力，动量守恒。 3-5在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气 中上升。如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。 解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的 冲力。 3-6在水平光滑的平面上放一长为 L 、质量为m 的小车，车的一端站有质量为 m 的人，人和车都是静止不动的。人以速率 此过程中人和小车相对地面各移动了多少距 离？ 解 如图所示，取人与车为系统，在水平 方向系统不受外力，满足动量守恒。设小车沿 地面的速率为 V ，所以有 t t m Vdt m 0Vdt ( 1 ) t 地面运动的距离为 s ，所以s vdt ，s o ms m s 又由图示可知 s s l 由（2）（ 3）可得 人对地面移动的距离为 s -^^l m m 小车对地面移动的距离为 3-7人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？ 解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须要达到 一定的值，假设这个所需的速率为 v ，设人的质量为 m ，船的质量为 m 2，并且当 起跳时人相对船的速率为 U ,由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为 v 相对地面从车的一端走向另一端，在 mv m v 将上式两边乘以dt ，并对时间积分 设t 时刻，人刚好走到小车另一端, 此时人相对于地面运动的距离为 s ，小车相对于 v dt ，代入（1）式有 (3)大学物理授课教案第三章动量守恒和能量守恒定律
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