§1.1.2 正弦定理
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、教学重点与难点：
重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】：习题拔高课
四、教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？
二、例题讲解
例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C
c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示，∠A ＝∠D
∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴
A a sin =
B b sin =C
c sin =2R
a b c
O B C A D
例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213
60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角，
0090,30==∴B C ∴222=+=c b a
例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2
3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 1360sin 75sin 6sin sin ,756000 0+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,1512000 0-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 五、巩固深化，反馈矫正 1试判断下列三角形解的情况： 已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（ ）解 A 一 B 两 C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（ ）解 A 一 B 两 C 无解 3.在ABC ?中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于 4.在ABC ?中， B=1350，C=150，a=5则此三角形的最大边长为 5.在ABC ?中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____ 6.在ABC ?中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数 六、小结 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===； （2）A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，A a sin =C c sin ，即可得正弦定理的变形形式： 1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； 2）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===； 3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如B A b a sin sin = ； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B b a A sin sin =。 一般地，已知角A 边a 和边 b 解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）． （外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D a=bsinA 有一解 a>bsinA 有两解 a>b 有一解 a>b 有一解 七、板书设计 略 巩固深化参考答案： 1.B ； 2.A ； 3.1：3:2； 4.52； 5.2x 2＜＜2； 6.30°或150°。 教学准备 教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角 形． 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： ，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系 数为同1 （ ；使一正数，即存在正数k，， 等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为： ；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。． 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511 2019新人教版高中生物必修一期中考试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题) 一、单选题 1．下列关于生命系统和细胞学说的叙述，错误的是( ) A．病毒是一种生物，但病毒不属于生命系统 B．细胞学说揭示了生物界和非生物界的统一性 C．构成细胞的原子、分子等都是一个系统，但不是生命系统 D．培养皿中的大肠杆菌菌落属于生命系统的种群层次 2．下列关于细胞与生命活动关系的描述不正确的是（） A．多细胞生物体的生命活动是在细胞生命活动的基础上实现的 B．草履虫、变形虫等单个细胞就能完成摄食、运动、生殖等生命活动 C．细胞是最基本的生命系统，没有细胞就没有组织、器官、系统等层次 D．病毒没有细胞结构，在生命系统的层次中属于个体水平 3．2018年在印度爆发的“尼帕病毒（NVD）”是一种新型人、畜共患病毒，能引起血管炎，感染者出现发热、严重头痛、脑膜炎等症状，尼帕病毒（NAD）的蛋白质外壳内的遗传物质 中含有核糖。下列关于NAD的叙述，错误的是( ) A．NAD能在人的成熟红细胞内繁殖 B．NAD的遗传物质中不含胸腺嘧啶 C．NAD能被人的吞噬细胞识别并吞噬 D．NAD的蛋白质外壳在宿主细胞的核糖体中合成 4．下列图为：甲图中①②表示目镜，③④表示物镜，⑤⑥表示物镜与载玻片之间的距离， 乙和丙分别表示不同物镜下观察到的图像。下列描述正确的是（） A．观察物像丙时应选用甲中①④⑥组合 B．从图中的乙转为丙，正确的调节顺序为转动转换器→调节光圈→移动装片→转动细准焦螺旋 C．若丙是乙放大10倍后的物像，则细胞的面积增大为原来的10倍 D．若丙图观察到的细胞是位于乙图右上方的细胞，从图中的乙转为丙时，应向右上方移动装片 5．禽白血病病毒(ALV)是一种逆转录病毒，可使禽类患白血病。患有白血病的家禽的细胞提取物可引起健康家禽患白血病。下列有关禽白血病和ALV的叙述，正确的是( ) A．在体外，可用含蛋白质丰富的完全营养液培养ALV B．A V增殖过程中所需的酶均由宿主细胞的DNA指导合成 C．患病家禽的细胞提取物能使健康家禽患病的原因是其中含有ALV D．ALV通过将自身核酸分子直接整合到宿主细胞的基因组中使其发生癌变 6．下列有关①②③④四个框图中所包括的生物共同特征的叙述正确的是( ) A．框图①中的生物内都含水、无机盐、蛋白质、糖类、脂质、核酸等化合物 B．框图②内的生物都不含染色体，是原核生物 C．框图③内的生物共有的细胞结构包括细胞壁、细胞膜、细胞质、核糖体等 D．框图④内的生物都有细胞结构，且都能通过细胞分裂繁殖后代 7．以下关于无机盐的说法，正确的是（） A.铁是叶绿素分子的组成元素 §1.1 正弦定理第二课时教案 主备人：刘权 备课组长：刘权 共2课时第二课时 一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数 二、重难点： 重点：正弦定理的应用；难点：已知两边及其中一边对角时三角形解的个数 三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。 四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时，常用的结论 （1）在ABC ?中，A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式： ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===； （2）正弦定理的变形形式： 1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————． （3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 生物科学和我们 1．了解人类的健康问题。(重点) 2．掌握科学实验的程序和方法。(重、难点) 1．生物科学 (1)概念：生物科学是自然科学中的基础学科之一，是研究生命现象和生命活动规律的一门科学。 (2)生物科学对社会的影响 ①生物科学是农、林、牧、副、渔、医药卫生和环境保护，以及其他应用科学的基础。 ②生物科学对当前人类面临的诸如人口、能源、粮食、环境和健康等问题的解决具有重要作用。当前，生物科学的发展对禽流感、心血管疾病、癌症等严重地威胁着我们的健康问题的解决正发挥着重要作用。 2．癌症 (1)发病现状 ①发病率上升的癌症：主要是胃癌、肝癌、肺癌和白血病。 ②发病率下降的癌症：主要是宫颈癌、鼻咽癌、食管癌和女性乳腺癌。 ③发病率上升的原因：主要是人口老龄化、不健康的生活方式等。 (2)防治措施 ①健康的生活方式可将癌症发病率降低1/3。 ②通过早期诊断得到有效的治疗。 ③基因诊断和基因治疗技术就为防治癌症和其他疾病提供新的手段。 3．传染病 (1)发病现状 ①发病率较高的传染病：主要是病毒性肝炎、肺结核、痢疾、淋病等。 ②病死率较高的传染病：主要是狂犬病、艾滋病、白喉、新生儿破伤风等。 (2)病因：由病原体侵入人体引起的，它们主要属于病毒类、细菌类和寄生虫类。 (3)可采用基因诊断技术对许多传染病的病原体进行诊断。基因诊断可对防治疾病作出快速、灵敏的诊断。 [合作探讨] 探讨1：致癌的环境因素有哪些？ 提示：(1)生物因素：主要指病毒致癌因子。 (2)物理因素：主要是辐射致癌，包括紫外线、电离辐射等。 (3)化学因素：无机物如石棉、砷化物、铬化物等；有机物如亚硝胺、黄曲霉毒素、尼古丁等。 探讨2：生活中我们怎样预防癌症？ 提示：(1)尽量避免接触物理的、化学的及生物的致癌因素。 (2)注意增强体质，保持心态健康，养成良好的生活习惯，从多方面采取积极的预防措施。 探讨3：请从传染病发生所需要的三个重要环节谈谈如何控制传染病的大规模发生？ 提示：①控制传染病：病人隔离等；②切断传播途径：提高环境卫生标准，设立检查站等；③保护易感人群：预防接种等。 [归纳拓展] 1．癌细胞产生的机理： 2．癌症治疗方法????? ①外科手术②放射疗法 ③化学疗法 3．传染病特点 有病原体，具有传染性和流行性，感染后常有免疫性。 1．癌症是严重威胁人类健康的疾病之一，下列有关描述正确的是( ) A ．长期接触癌症患者的人细胞癌变概率增加 B ．癌症是致癌因子引发的，患病概率与年龄无关 C ．艾滋病患者与正常人患癌症的概率相同 D ．亚硝酸盐可通过改变基因的结构而致癌 正弦定理应用教案 【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点 的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量 与量 之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐 步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【例题分析】 一、基础理解 a．．3 m c． m 2 解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离． 故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中 解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理． 点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长． 解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6， 【篇二：《正弦定理》教学设计】 §1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】：习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？ 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 课时达标训练(二)细胞中的元素和无机化合物 (时间：30分钟；满分：50分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列关于组成生物体化学元素的叙述不正确的是() A．Ca、Mg属于大量元素，Fe、Zn属于微量元素 B．生物体内的任何一种元素都可以在无机自然界中找到 C．不同生物组成元素的种类差别很大，而含量基本相同 D．O是活细胞中含量最多的元素 2．(2015·延边汪清中学高一期中)当生物体新陈代谢旺盛、生长迅速时，生物体内() A．结合水与自由水的比值与此无关 B．结合水与自由水的比值会降低 C．结合水与自由水的比值会升高 D．结合水与自由水的比值不变 3．世界卫生组织已将骨质疏松症确定为是继心血管疾病之后的第二个威胁人类健康的主要疾病，其致病原因主要是钙流失和钙吸收能力下降。下列说法错误的是() A．无机盐离子对于维持生物体的生命活动有重要作用 B．生物体内的无机盐离子必须保持一定的比例 C．生物体内的钙都以碳酸钙的形式存在 D．血液中的钙含量过低会导致肌肉抽搐 4．(上海高考改编)生长在含盐量高、干旱土壤中的盐生植物，通过在细胞中贮存大量的Na＋而促进细胞吸收水分，该现象说明细胞中Na＋参与() A．调节渗透压B．组成体内化合物 C．维持正常pH D．提供能量 5．下列关于细胞中含水量的说法，正确的是() A．同一环境中不同种生物细胞中含水量一般相等 B．同一生物体中，不同组织细胞中含水量基本相同 C．萌发的种子中的含水量高于休眠种子中的含水量 D．同一生物体在不同的生长发育期含水量基本无差异 6．结合下列曲线，判断有关无机物在生物体内含量的说法，错误的是() A．曲线①可表示人一生中体内自由水与结合水的比值随年龄的变化 B．曲线②可以表示细胞呼吸速率随自由水与结合水比值的变化 C．曲线③可以表示一粒新鲜的玉米种子在烘箱中被烘干的过程中，其内无机盐的相对含量变化 D．曲线①可以表示人从幼年到成年体内水含量的变化 7．2014年3月22日是第22个“世界水日”，宣传的主题是“水与能源”。水污染、水资源短缺导致的水危机日趋严重，研究表明，80%的疾病是由水污染引起的。下列有关生物体内水的叙述，错误的是() A．水在病变细胞中以结合水和自由水的形式存在 B．生物体不同的生长发育阶段水的含量不同 C．人体衰老细胞中自由水含量减少，代谢缓慢 D．冬季，植物体内自由水含量相对增高，以增强植物的抗寒能力 8．关于无机盐在生物体中功能的叙述错误的是() A．镁是叶绿体中参与光合作用的各种色素的组成元素 B．人体缺铁会影响正常的有氧呼吸功能 第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项 课题：§2.1.1正弦定理 教学目标： 1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本：北师大必修5 教学课时：1 教学过程： 一、新课引入： 如左图，在ABC Rt ?中，有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===， 所以在ABC Rt ?中有：c C c B b A a ===sin sin sin 思考：在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢，这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图，无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中，c B b B b ==sin sin '， c1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
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