整式的乘法和因式分解
一、整式的运算
1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值；
2、若32=n a
，则n a 6= . 3、若12551
2=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +1?3x -1=144，求x ；
5．2005200440.25?= .
6、( 23
)2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。 7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项
8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值
二、乘法公式的变式运用
1、位置变化，(x +y )(-y +x )
2、符号变化，(-x +y )(-x -y )
3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)4
4、系数变化，(2a +b )(2a -b )
5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z )
7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)
8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2
三、乘法公式基础训练:
1、计算 （1）1032 （2）1982
2、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )2
3、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)
4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）
22007200720082006
-?． 四、乘法公式常用技巧
1、已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
变式练习：已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
3、已知a －
a 1=3，求a 2+21a 的值。
变式练习：已知a 2-5a +1=0，（1）求a +
a 1的值；（2）求a 2+21a
的值；
4、已知a (a -1)-(a 2
-b )=2，求22
2
a b ab +-的值。 变式练习：已知()()212
-=---y x x x ，则xy y x -+22
2= .
5、已知x 2+2y 2+4x -12y +22=0，求x+y 的值
变式练习：已知2x 2+6xy +9y 2-6x +9=0，求x+y 的值
6、已知：20072008+=x a ，20082008+=x b ，20092008+=x c ，
求ac bc ab c b a ---++222的值。
变式练习：△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，判断△ABC 的形状
7、已知：x 2-y 2
=6，x+y=3,求x-y 的值。
变式练习:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。
五、因式分解的变形技巧
1、符号变换:有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。
体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)
指点迷津y-x= -(x-y)
实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2
2、系数变换:有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题2 分解因式4x2-12xy+9y2
实践题2 分解因式
2 2
1
439
xy y x++
3、指数变换:有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。
体验题3 分解因式x4-y4
指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。
实践题3 分解因式a4-2a4b4+b4
4、展开变换:有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。
体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab
指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。
实践题4 x(x-1)-y(y-1)
5、拆项变换:有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。
体验题5 分解因式3a3-4a+1
指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。
实践题5 分解因式3a3+5a2-2
6、添项变换:有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。
体验题6 分解因式x 2+4x-12
指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。
实践题6 分解因式x 2-6x+8
实践题7 分解因式a 4+4
7、换元变换:有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。
体验题7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
实践题8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9
实践题答案
实践题1 原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2
实践题2 原式=(2x )2+2.2x ?3y ?+(3y )2=(2x +3
y )2 实践题3 原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2
实践题4 原式= x 2-x-y 2+y=(x 2-y 2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)
实践题5 原式=3a 3+3a 2+2a 2-2=3a 2(a+1)+2(a 2-1)
=3a 2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a 2+2a-2)
实践题6 原式=x 2-6x+9-9+8=(x-3)2-1=(x-3)2-12
=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)
实践题7 原式=a 4+4a 2+4-4a 2=(a 2+2)2-4a 2
=(a 2+2+2a)(a 2+2-2a)=(a 2+2a+2)(a 2-2a+2)
实践题8 原式=[x(x+5)][(x+2)(x+3)]+9=(x 2+5x)(x 2+5x+6)+9
令x 2+5x=m,上式可变形为m(m+6)+9=m 2+6m+9=(m+3)2=(x 2+5x+3)2
整式的乘法及因式分解 章节测试题 B. 4 或-4 8.如图，两个正方形边长分 a,b ,如果a 则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D .18 二、填空题（每小题2分，共20分） 1. 、选择题（每小题 （1） 1等于（ 2. 3. 4. 5. 6. 7. A. 计算 A. xy 考试时间 3分，共24分） B. -4 （xy ）2，结果是 B. y F 列式子计算正确的是（ 6 6^ A. a a 0 C. ( a b)2 a 2 2ab b 2 ：90分钟 满分:100分 F 列从左到右的变形，属于分解因式的是 A. (a C. a 2 2 把2x y C. C. B. D. D. D. 3)(a 3) a 2 9 a a(a 1) B. D. 8xy 8y 分解因式，正确的是（ 2 A. 2(x y 4xy 4y) C. 2y(x 2)2 F 列各式能用平方差公式计算的是 A. (2 a b)(2b a) C. (a b)(a 2 b) B. D. B. D. 若二项式4a 2 ma 1是一个含 2、3 2a ) 6a 6 b)( a b) x(x x x 2 2 2y(x 2y(x 4x 2)2 1)( 4) (2x 1)( 2x 1) a 的完全平方式，则 2 xy a 2 b 2 1) 5 1) m 等于（ ） C. 2 A. 4 D. 2 或-2
9. ⑴计算：3a2b 2ab= _______ . (2)(-0. 25)11N-4)12= _________ . 10. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无 花果，质量只有0. 000 000 076克，用科学记数法表示是____________ 克。 11. (1)若3x 4,9y 7，则3x 2y的值为___________________ . ⑵已知2m 5n 3 0，则4m 32n的值为 ____________________ . 1 2 2 12. (1)若a b 1，则一(a b ) ab = _________ . 2 ⑵已知a b 8,ab 10，则a2 ab b211= _______ . 13. 计算(x a)(2x 1)的结果中不含关于字母x的一次项，则a= ________________ . 14. 3108与2144的大小关系是__________ . 15. 已知s t 4,则s2 t2 8t= _______________ . 16. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a b)，将余下部分拼 成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a,b的恒等式为 17. 观察下列关于x的单项式，探究其规律:X,3X2,5X3,7X4,9X5,11X6,……按照上述规 律，第2 016个单项式是___________ . 18. 若多项式4x4 1加上一个含字母x的单项式，就能变形为一个含x的多项式的平方， 则这样的单项式为___________ . 三、解答题洪56分) 19. (8分)计算. (1) (2) 3220.25 | 6 ( 3.14)0; ⑵山1 ( 2016)0 ( 1)2017; 2 0 1 2 3
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）； 2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1.n m n m a a a +=? 2.()mn n m a a = 3.()n n n b a ab = 4.n n n b a b a =??? ?? 5.n m n m a a a -=÷ 6.10=a 7.p p a a 1=-8.p p b a a b ??? ??=??? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1.m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2.（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3.（a+b ）（a-b ）＝22b a - 4.()2222a b ab a b +±=± 5.()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+±μ 7.()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（） A.()123422+-=+-x x x B.()11 2+=+÷x x x x
C.()()22y x y x y x -=+--- D.x x x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则n m 的值是（） A.2 B.0 C.－1 D.1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（）A.6B.4C.23 D.32 4.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（） A.()4432+-x x x B.()243-x x C.()()223-+x x x D.()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（） A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（） A.a （x-y ）=ax-ay B.()12122++=++x x x x C.()()34312++=++x x x x D.()()11x 3-+=-x x x x 7.因式分解：()()21622---x x x ＝. 8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝. 9.分解因式：()9332--+x x x ＝. 10.分解因式：22my mx -＝. 11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式：. 12.计算：()20172016201642125.0??-＝. 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则. 14.已知=+-=+-634 x 964322x x x ，则. 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝.
整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
整式的乘法及因式分解知识点 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积． 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ? ?? ??=? ? ? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 10、因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ；
整式的乘法与因式分解 一．选择题（共16小题） 1．下列运算正确的是（） A．||=B．x3x2=x6C．x2+x2=x4D．（3x2）2=6x4 2．下列运算正确的是（） A．a+2a=3a2B．a3a2=a5C．（a4）2=a6D．a4+a2=a4 3．若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 4．已知x+y=﹣5，xy=3，则x2+y2=（） A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19 5．若4a2﹣kab+9b2是完全平方式，则常数k的值为（） A．6 B．12 C．±12 D．±6 6．下列运算中正确的是（） A．（x4）2=x6B．x+x=x2C．x2x3=x5D．（﹣2x）2=﹣4x2 7．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定 8．（﹣a m）5a n=（） A．﹣a5+m B．a5+m C．a5m+n D．﹣a5m+n 9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 10．（x n+1）2（x2）n﹣1=（） A．x4n B．x4n+3 C．x4n+1 D．x4n﹣1 11．下列计算中，正确的是（） A．aa2=a2B．（a+1）2=a2+1 C．（ab）2=ab2D．（﹣a）3=﹣a3 12．下列各式中不能用平方差公式计算的是（） A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y） 13．计算a5（﹣a）3﹣a8的结果等于（）
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
整式的乘法和因式分解 一、整式的运算 1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值； 2、若32=n a ，则n a 6= . 3、若12551 2=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +1?3x -1=144，求x ； 5．2005200440.25?= . 6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。 7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项 8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值 二、乘法公式的变式运用 1、位置变化，(x +y )(-y +x ) 2、符号变化，(-x +y )(-x -y ) 3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)4 4、系数变化，(2a +b )(2a -b ) 5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] 6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) 7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) 8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 三、乘法公式基础训练: 1、计算 （1）1032 （2）1982 2、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )2 3、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 4、计算 （1）19992-2000×1998 （2） 22007200720082006 -?． 四、乘法公式常用技巧
整式的乘法 注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错． 1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数. 2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数. 3.整式的概念：单项式和多项式统称整式. 注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式. 4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式. 注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积； ②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式； ④单项式乘以单项式的结果仍是单项式； ⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. （2）单项式乘法中，若有乘、乘法等混合运算，应按“先乘、再乘法”的顺序进行. 例1.计算：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） （9）（10） （11）（12） （13）（14）
（15） 例2.计算： （1） （2） （3） （4）
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=- _______。12、若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、81182 4+-x x
单项式乘以单项式
一、计算： （1）() ()x xy 243 -- （2）xyz y x 16 55232? （3）4y ·(-2x y 3)； （4）)()(63103102??? （5）23223)41)(21(y x y x - （6）y x y x n n 2 12 38?+ （7）)5.0)(54)(25.0(323 y x xy xy -- （8）xyz y x xy y x ))(2 1 )(2(2222--- （9）( ) ?? ? ??--++211 2613y x y x n n n 10）])2(31[)2(23232x y ab y x a ---- （1）)83(4322yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)125.0(2.3322n m mn - （4）)5 3 (32)21(322yz y x xyz -??- （5）)2.1()25.2()31(522y x axy ax x ?-?? （6）3322)2()5.0(5 2 xy x xy y x ?---?
（7）)4 7(123)5(2 32y x y x xy -?-?- （8）23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -?--?-+-? （1）)83(4322 yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)2.1()25.2()3 1 (52 2y x axy ax x ?-?? （4）3 322)2()5.0(5 2xy x xy y x ?---? （5）)4 7(123)5(2 3 2 y x y x xy - ?-?- （6）23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -?--?-+-? 单项式乘多项式 (1)(2xy 2－3xy)·2xy ； (2)－x(2x ＋3x 2－2)；(3)－2ab(ab －3ab 2－1)； (4)(34a n ＋1－b 2)·ab. (5)-10mn ·(2m 2 n-3mn 2 ). (6)(-4ax)2 ·(5a 2 -3ax 2 ). (7)(3x 2y-2xy 2)·(-3x 3y 2)2. (8)7a(2ab 2-3b). （9）x(x 2-1)+2x 2(x+1)-3x(2x-5).
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
整式的乘法与因式分解知识点
整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习： （1）y x x 23 25? （2）)4(32 b ab -?- （3） a a b 23? （4）2 2 2z y yz ? （5）) 4()2(232 xy y x -? （6） 2 2253)(63 1 ac c b a b a -?? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例： （1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5 ÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ） 5 （5） (-b ) 5÷(-b )2
5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1 ) 32(0 =-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a － p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ? ?? ??=? ? ? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1 (n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例： （1） ) 35(222 b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1 )23 2 (2 ?- （3） ) 32()5(-22n m n n m -+? （4） xyz z xy z y x ?++)(2322 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 单项式乘以单项式
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王*
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 一、计算： （1）()()x xy2 43- -（2）xyz y x 16 5 5 2 3 2?（3） 4y·(-2x y3)； （4）) () (6 310 3 10 2? ? ?（5）2 3 2 2 3) 4 1 )( 2 1 (y x y x-（6） y x y x n n2 1 2 3 8? +
（7）)5.0)(54)(25.0(323 y x xy xy -- （8）xyz y x xy y x ))(2 1 )(2(2222--- （9）( ) ?? ? ??--++211 2613y x y x n n n 10） ])2(31 [)2(23232x y ab y x a ---- （1）)83(4322yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)125.0(2.3322n m mn - （4）)5 3 (32)21(322yz y x xyz -??- （5）)2.1()25.2()3 1 (522y x axy ax x ?-?? （6） 3322 )2()5.0(52xy x xy y x ?---? （ 7 ） )4 7(123)5(232y x y x xy - ?-?- （8） 23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -?--?-+-? （1）)83(4322 yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)2.1()25.2()3 1(52 2y x axy ax x ?-?? （4）3 322)2()5.0(5 2xy x xy y x ?---?
因式分解专项练习题 （一）提取公因式 一、分解因式 1、2x 2y －xy 2、6a 2b 3－9ab 2 3、 x （a －b ）＋y （b －a ） 4、9m 2n-3m 2n 2 5、4x 2-4xy+8xz 6、-7ab-14abx+56aby 7、6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 8、-4m 4n+16m 3n-28m 2n 9、x n+1-2x n-1 10、a n -a n+2+a 3n 11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b 13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab ＋b 2－ac －bc 15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y 17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)3 19、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax ＋3am －10bx －15bm 21、m （x －2）－n （2－x ）－x ＋2 22、（m －a ）2＋3x （m －a ）－（x ＋y ）（a －m ） 23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)2 25、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、 a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算 1、4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 2、9×10100-10101 3、2002×-2001× 4、1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 三、先化简再求值 （2x ＋1）2（3x －2）－（2x ＋1）（3x －2）2－x （2x ＋1）（2－3x ）（其中， 32x =） 四、在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意正整数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 课后作业： 1.分解因式：(1)ab+b 2-ac-bc (2)ax 2 -ax-bx+b (3)ax+1-a-x (4)x 4-x 3+4x-4 2.分解因式： (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3 (3)a 3-a 2b+a 2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm （5）-+-41222332m n m n mn
整式的乘法与因式分解专题练习（解析版） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案． 【详解】 解： 设2为a ，3为b ， 则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2， 4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ， 6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2， ∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ） ∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8， 故选C ． 【点睛】 此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式． 2．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 【答案】A 【解析】 【分析】 观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决． 【详解】 ∵m 2-m-1=0， ∴m 2-m=1，
一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。 二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固 要点一、幂的运算 1. 同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2. 幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3. 积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4 .同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5. 零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 要点二、整式的乘法和除法 1. 单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2. 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(都是单项式). 3. 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多 项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4. 单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 要点三、乘法公式 1. 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
整式的乘法和因式分解 一．选择题（共16小题） 1．下列运算正确的是（ ） A ．a+2a=3a 2 B ．a 3?a 2=a 5 C ．（a 4）2=a 6 D ．a 4+a 2=a 4 2．若a+b=3，a 2+b 2=7，则ab 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣2 D ．﹣1 3．计算（﹣a ﹣b ）2等于（ ） A ．a 2+b 2 B ．a 2﹣b 2 C ．a 2+2ab+b 2 D ．a 2﹣2ab+b 2 4．下列运算中正确的是（ ） A ．（x 4）2=x 6 B ．x+x=x 2 C ．x 2?x 3=x 5 D ．（﹣2x ）2=﹣4x 2 5．（﹣a m ）5?a n =（ ） A ．﹣a 5+m B ．a 5+m C ．a 5m+n D ．﹣a 5m+n 6．若（x ﹣3）（x+4）=x 2+px+q ，那么p 、q 的值是（ ） A ．p=1，q=﹣12 B ．p=﹣1，q=12 C ．p=7，q=12 D ．p=7，q=﹣12 7．（x n+1）2（x 2）n ﹣1=（ ） A ．x 4n B ．x 4n+3 C ．x 4n+1 D ．x 4n ﹣1 8．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A ．（x ﹣y ）（﹣x+y ） B ．（﹣x+y ）（﹣x ﹣y ） C ．（﹣x ﹣y ）（x ﹣y ） D ．（x+y ）（﹣x+y ） 9．已知m+n=2，mn=﹣2，则（1﹣m ）（1﹣n ）的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ． 5 ．二．填空题（共7小题） 10.已知10m =3，10n =2，则 102m －n =____，如果2423)(a a a x =?，则
因式分解拔高题专项 练习
因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五 个的方法” 在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。 一、“八个注意”事项 （一）首项有负常提负 例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。 （二）各项有公先提公 例2因式分解8a4－2a2 解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误. （三）某项提出莫漏1 例3因式分解a3-2a2+a 解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2 这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。 （四）括号里面分到“底”。 例4因式分解x4－3x2－4 解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。