期末复习教案（1）
数列求和的教学反思 数列求和的教学反思 由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。 从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实 数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的
不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次 一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清
数列复习学案 【知识梳理】请同学们根据所学知识填写下列内容： 等差数列、等比数列常用性质对比：A:若 m+n=p+q (m.n.p.q R + ∈) ， n m n p q n m n p q a a a a a a +=+??? =??数列{a }为等差数列时有 a 数列{a }为等比数列时有 a 特例m=n 时分别变为： B: 等差中项： A, X, B 成等差数列?X= 2 A B + 等比中项： A, X, B 成等比数列?X=AB ± C: 若{}n a 为等差数列，则232,,m m m m m S S S S S --仍成等差数列。 若{}n a 为等比数列，则232,,m m m m m S S S S S --仍成等比数列。 D : 若 {}n a 为等差数列 ①11(1)()n a a n d dn a d =+-=+- 一定是n 的一次是吗？增减取决于______.。 ②211(1)()222 n n n d d d S na n a n -=+ =+- 一定是 n 的二次是吗？此式有何特点？ 复习检测： 等差数列通项公式： 等比数列通项公式： 1. 【定义】已知数列｛n a ｝中，112,1,n n a a a +=-= 则n a = 2. 【定义】已知数列｛n a ｝中，1 12, 3,n n a a a +== 则n a = 3．【累加】已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n = 4. 【累乘】已知数列｛n a ｝中，112,1 n n a n a a n -==+，其中(n ≥2)，则n a = 5. 【知和求项】 已知｛n a ｝前n 项和n s =2 3n +，则n a = 6. 【知和求项】已知｛n a ｝前n 项和n s =51n -，则n a = 等差数列 等比数列 定义（用式子表示） 通 项 通项推广 中 项 主要性质 求和公式 n n a S 、关系（适用 于任何数列）
专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n － 1. 求和公式 等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1） 2d ； 等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)． 性质
1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11 S 5＝( ) A.11 5 B.522 C.1110 D.225 解析：选D.S 11S 5＝11 2（a 1＋a 11） 52（a 1＋a 5 ）＝11a 65a 3＝22 5 .故选D. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3 2a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3) ＝－10.故选B. 3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2 ＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋ 2）1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成 立，则有?????4－q 2 ＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得?????a 1＝1，q ＝2或? ????a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20 a 10 ＝________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3 ＝± 4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20 a 10 ＝q 10＝1. 法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，
@_@ 等差数列 重点导读 一、高考考点 1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明 或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用： 求；求；解决关于或的问题. 3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求； 求；解决有关或的问题. 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题. 5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解 决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程. 二、知识要点 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差. 认知：｛｝为等差数列 － =d(n∈N ※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d 为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据. 2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d： 引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ） 认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n) （2）前n项和公式： =或 =n + 认知：｛｝为等差数列为n的二次函数 且常数项为0或 =n= +bn(n) 3.重要性质 (1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0 (2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q+ = + ; (3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列. (4)设 , ,分别表示等差数列｛｝的前n 项和,次n项和,再次n项和,…则 , ,…依次成等差数列.
典例精析 【例1】等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 【解法一】将S m ＝30，S 2m ＝100代入等差数列前n 项和公式 S n ＝na 1＋n (n －1)2 d ，得 ?????ma 1＋m (m －1)2d ＝30，2ma 1＋ 2m (2m －1)2d ＝100. 解得d ＝40m 2，a 1＝10m ＋20m 2.所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2 d ＝3m ·10(m ＋2)m 2＋3m (3m －1)2·40m 2＝210. 联想1：等差数列的前n 项和公式S n 是关于n 的二次函数，能否运用函数的思想求解？ 【解法二】由等差数列的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n ＝An 2＋Bn (A 、B 是常数).将S m ＝30，S 2m ＝100代入 得???Am 2＋Bm ＝30，A (2m )2＋B · 2m ＝100. 解得A ＝20m 2，B ＝10m .所以S 3m ＝A ·(3m )2＋B ·3m ＝210. 联想2：由等差数列的性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 构成等差数列，利用此性质，此题还可以怎样解呢？ 【解法三】根据等差数列性质知，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝210. 联想3：本题是一道选择题，联想解决选择题常用的一种方法——特殊值法，你将会怎样解？ 【解法四】令m ＝1得S 1＝30，S 2＝100，从而a 1＝30，a 1＋a 2＝100，得到a 1＝30，a 2＝70，所以a 3＝70＋(70－30)＝110，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210. 评析 此题虽是一道小题，但我们从不同的角度去审视，得到四种不同的方法，开阔了视野，锻炼了思维. 此四种方法体现了解决数列问题常用的四种思想方法：①方程思想；②函数与方程思想；③整体思想；④特殊值思想. 【例2】(1)数列{1n (n ＋1) }的前n 项和 S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋…＋1n ×(n ＋1) ， 研究一下，能否找到求S n 的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？并解决下面的问题 (2)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. ①求数列{a n }的通项公式； ②设b n ＝1a n ·a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和B n . 【解】(1)a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1 评析 这是数列求和的裂项相消法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)，并使它们相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n 项和. 常见的裂项公式： ①1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k ) ②1n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n ) (2)①∵对任意的正整数n,2S n ＝a n ＋1①恒成立， 当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，即(a 1－1)2＝0， ∴a 1＝1. 当n ≥2时，有2S n －1＝a n －1＋1.② ①2－②2得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＞0， ∴a n ＋a n －1＞0， ∴a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ②∵a n ＋1＝2n ＋1， ∴b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1) ＝12－14n ＋2. 评析 有的数列本身不是等差数列，求其前n 项和时，可对其通项进行恰当变形，转化为已知数列或等差数列的和的问题. 上述求和法是“裂项相消法”，它是“变换通项法”的一种.对于变换通项法，再如：a n ＝n (n ＋1)，求S n 由a n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n ∴S n ＝(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n ) 转化为两个常见数列的前n 项和 【例3】(1)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d . (2)若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a n b n . (3){a n }是等差数列，a 15＋a 12＋a 9＋a 6＝20，求S 20 【解】(1)(方法一)(方程思想) 设此数列首项为a 1，公差为d ， 则? ????12a 1＋12×12×11d ＝354，6(a 1＋d )＋12×6×5×2d 6a 1＋12×6×5×2d ＝3227， 解得d ＝5. (方法二)(整体思想) ???S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227????S 偶＝192，S 奇＝162. ∵S 偶－S 奇＝6d ，∴d ＝5. (2)由等差数列性质a n ＝a 1＋a 2n －12，
《数列》复习学案 命题人申占宝 【知识回顾】 1、前n 项和 S n 与通项 a n 的关系 。 2、等差数列的通项公式 。 等差数列的求和公式 、 a,G,b 成等差数列，则 等差数列{a n }中项数m,n,p,q 满足m+n=p+q,则 3、等比数列的通项公式 。 等比数列的求和公式 、 a,G,b 成等比数列，则 等比数列{a n }中项数m,n,p,v 满足m+n=p+v,则 4、数列求和的特殊方 法 有 、 、 。 【例题分析】 例1 已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 令n n n b a =?３*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和的公式. 例2 等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==（I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。
【课堂检测】 1．已知等差数列1，3, 5， ··· ，则41是该数列的（ ） A .第18项 B .第19项 C .第20项 D .第21项 2．2和30的等差中项为（ ） A ．4 B ．14 C ． 16 D ．18 3、12+与12-这两数的等比中项是（ ） A.1 B.1- C.1± D. 2 1 4．等比数列{}n a 中，=3a 6-，7a =12-，则=5a （ ） A ．9± B ．9- C ．± D ．- 5.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 6. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若854,18S a a 则-=等于（ ） A ．72 B ．54 C ． 36 D ．18 7．设12a =，数列{1}n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（ ） A ．80 B ．81 C ．54 D ．53 8．已知{}n a 为等差数列，且有40111032=+++a a a a ，则=+76a a （ ） A ．28 B ．24 C ．20 D ．16 9、在各项均为正数的等比数列 {} n b 中，若 783 b b ?=，则 1432313log ......log log b b b +++等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D.8 10、设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值
§2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人： 王 浩 审核人： 马 琦 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程 一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶 ；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶 。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题 例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列
吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。 变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。 例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.
年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生 授课教师： 授课时间： 数列专题复习 题型一：等差、等比数列的基本运算 例1、已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 例2、在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 变式 1、等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2、若等比数列{}n a 满足2412 a a = ，则2 135a a a = . 3、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。 题型二：求数列的通项公式 ⑴.已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法（累加法） 例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； 变式 已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，求数列{}n a 的通项公式． (2).已知关系式)(1n f a a n n ?=+，可利用迭乘法（累积法） 例2、已知数列{}n a 满足：111 (2),21 n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式； 变式 已知数列{}n a 满足n n a n a 2 1=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。
§等差数列（第二课时） 教学目标： 1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律； 2、理解等差数列的性质； 3、掌握等差数列的性质及其应用。 教学难点：等差数列的灵活应用 预习案 自主学习：等差数列的常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列： (1)d>0时，{a n }是 ；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n } （2）等差数列的通项公式：n a = 通项公式的推广：n m a a =+ ()* ,N n m ∈ 结论：若数列{n a }的通项公式为q pn a n +=的形式，p,q 为公差的等差数列。 （3）多项关系：若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈则m n a a +=
2、等差数列的性质： （1）若数列{n a }是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{c+a n }(c 为任一常数)是公差为______的等差数列； ②{c a n }(c 为任一常数) 是公差为______的等差数列； (2) 若数列{n a }、{}分别是公差为d 1和d 2的等差数列，则数列{n n pa qb + } (pq 是常数)是公差为________的等差数列。 （3）若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ; a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ; 合作探究： 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象，这个图象有什么特点 （2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系
《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，
2.2等差数列教学设计(第一课时)
2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，
真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性
第15、16课时 数列复习课(2课时) 一、 二、数列知识回顾 （一）数列的概念 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。 数列的通项公式。 求数列通项公式的一个重要方法： 对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ???≥-==-)2()1(11 n s s n s a n n n （二）等差数列和等比数列 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等 比 数列等差数列 表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数 及性质 数列知识结构
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(1 1---n n n n a a a a 为同一常数。 (2)通项公式法。 (3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(22 1都成立。 3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题： (1)当1a >0,d<0时，满足10 0m m a a +≥??≤?的项数m 使得m s 取最大值。 (2)当1a <0,d>0时，满足10 m m a a +≤??≥?的项数m 使得m s 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于? ?? ???+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理 数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。 5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n = () 12 n n + 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2 n 3）()2 3 3 3 11212n n n ??++ +=+???? 4） ()()22221 1231216 n n n n ++++=++ 5） ()11111n n n n =-++ ()()1111 222n n n n =-++ 6） ()()1111p q pq q p p q =-<- 【精典范例】 一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
高中数学 2.2等差数列（1）学案 新人教A 版必修5 学习目标 1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断 一个数列是等差数列； 2. 探索并掌握等差数列的通项公式； 3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项. 学习重难点 1.重点： 等差数列的通项公式 2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项 一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？ 二、试一试 问题一：等差数列的概念 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知： 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项， 用等式表示为A = 问题二：等差数列的通项公式 2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . ※ 学习探究 探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项； ⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
等差数列复习课 (一)三维目标 1、知识与技能：复习等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及相关性质. 2、过程与方法：师生共同回忆复习，通过相关例题与练习加深学生的理解. 3、情感与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识. (二)教学重、难点 重点：等差数列相关性质的理解。 难点：等差数列相关性质的应用。 (三)教学方法 师生共同探讨复习本课时的主要知识点，再通过例题、习题加深学生的应用意识，本节课采用多媒体辅助教学。 (四)课时安排 1课时 (五)教具准备 多媒体课件 (六)教学过程 Ⅰ知识回顾 1、等差数列定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 2、等差数列的通项公式 如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=。 注意：等差数列的通项公式整理后为)(1d a nd a n -+=，是关于n 的一次函数。 3、等差中项 如果a,A,b 成等差数列，那么A 叫着a 与b 的等差中项。即：2b a A += ，或 b a A +=2。 4、等差数列的前n 项和公式 等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则2)(1n n a a n S +==d n n na 2)1(1-+。 注意： 1)、该公式整理后为n d a n d s n )2 (212-+=，是关于n 的二次函数，且常数项为0。 2)、等差数列的前n 项和公式推导过程中利用了“倒序相加求和法”。 5、等差数列的判断方法 1)定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。 2)等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 6、等差数列的性质 1)等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=。
（一）教学目标 1知识与技能目标： （1）掌握等差数列前n项和公式， （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 3情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。（二）教学重点、难点 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 （三）教学方法：启发、讨论、引导式。 （四）教具：采用多媒体辅助教学 （五）教学过程 一、复习引入 二、设置情景 1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法 三探究发现 变式： 问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？ 方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100
方法2：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98）+99 方法3：原式=0+1+2+3+4+‥ ‥ +98+99 方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50 方法5：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥ ‥ +99 又 S=99+98+97+‥ +2+1 故 2S=（1+99）+（2+98）+‥ ‥ +（98+2）+（99+1） 从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950 问题2：1+2+3+4+‥ ‥ +（n-1）+n=？ 在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？ 令 Sn =1+2+3+4+‥ ‥ +n ， 则 Sn =n+（n-1）+‥ ‥ +2+1 从而有 2Sn =（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示； (2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形： 设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an (I) a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+ 2 ) 1(-n n d(II) 所以 S n = 2 )1(+n n 12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321 n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ?=+1() 2 n n n a a S +?=
等差数列 【巩固练习】 1．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－ C. D. 2 2.已知等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则通项公式n a =（ ）. A. 25n - B. 23n - C. 21n - D. 21n + 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 5．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 6.已知等差数列{a n }满足：a 3a 7=-12，a 4+a 6=-4，则通项公式a n =________. 7.已知等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，且m n ≠，则m n a +=__________. 8.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是__________. 9.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++=_________. 10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________. 11．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。 12．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。 13．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。 14．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ {}n a 7a 4a 3a 1212
第9章数列章末复习学案（含答案） 章末复习课网络构建核心归纳1数列的概念及表示方法1定义按某种规则依次排列的一列数2表示方法列举法.列表法.图象法.通项公式法和递推公式法3分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列.递减数列.摆动数列和常数列2求数列的通项1数列前n项和Sn与通项an的关系an2当已知数列an中，满足an1anfn，且f1f2fn可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式 ana1a2a1a3a2anan13当已知数列an中，满足fn，且f1f2fn可求，则可用累积法求数列的通项an，常利用恒等式ana 1.4作新数列法对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项5归纳.猜想.证明法3等差数列.等比数列的判断方法1定义法an1and常数an是等差数列；qq为常数，q0an是等比数列2中项公式法2an1anan2an是等差数列；aanan2an0an是等比数列3通项公式法ananba，b是常数an是等差数列；ancqnc，q为非零常数an是等比数列4前n项和公式法Snan2bna，b为常数，nN*an是等差数列；Snaqnaa，q为常数，且a0，q0，q1，nN*an是等比数列4求数列的前n项和的基本方法1公式法利用等差数列或等比数列前n项和公式；2分组求和法把一个数列分成几个可以直接求和的数列3裂项相消法有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有
限项再求和4错位相减法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和5倒序相加法例如，等差数列前n项和公式的推导要点一方程思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式和前n项和公式共涉及五个量a1，an，n，qd，Sn，其中首项a1和公比qd为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，qd，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量例1已知an是各项均为正数的等比数列，且a2a12， a3a4a5 64.1求an的通项公式；2设bn2，求bn的前n项和Tn.解1设an的公比为q，由已知得a10，q2，a 11.an2n 1.2bn2a24n1n12Tnb1b2b3bn14424n11n12n2n4n41n2n 1.跟踪演练1记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解设数列的公差为d，依题设有即解得或因此Snn3n1或Sn2n5n要点二转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察.归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出例2已知数列an中，a15且an2an12n1n2且nN*1求a2，a3的值；2是否存在实数，使得数列为等差数列若存在，求出的值；若不存在，请说明理由3求通项an.解1a15，a22a122113，a32a2231
2、2．1等差数列（一） 【学习要求】 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 【知识方法提炼】 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示。 2.等差数列通项公式：1n a a =+ * ();d n N ∈ 3. 等差中项：由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项，A = 。 4.判断一个数列为等差数列的方法： （1）定义法：{}*1().)n n n a a d a +-=∈?常数（n N 为等差数列。 （2）等差中项法：{}122(*)n n n n a a a n N a ++=+∈?为等差数列。 （3）通项法：n a 为n 的一次函数{}n a ?为等差数列。 【随堂检测】 A 组 1、数列3，7，13，21，31，…的通项公式是 （ ） A 、41n a n =- B 、322n a n n n =-++ C 、21n a n n =++ D 、不存在 A 、0 B 、37 C 、100 D 、－37 2、等差数列8，5，2，…的第20项为___________。 3、在等差数列中已知1612,27,a a d ===则___________。 4、在等差数列中已知13 d =-，718,a a ==则____________。 5、如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第___项. 6、已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为__________. 7、若数列{a n },已知a 1=2,a n+1=a n +2(n ≥1),求数列{a n }的通项公式__________. B 组 1、等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = 23n -.