第九章 重积分
以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分?
b
a dx x f )(其中)(x f 为
被积函数，（a ，b ）为积分区间。我们若把
)(x f 推广到多元函数。(a ，b)推广到区域。曲线，
曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！
第一节 二重积分的概念和性质
一、二重积分的概念
先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。（二）求平方薄片的质量。 （一） 求曲顶柱体体体积：
设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。
首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ?（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。又记i σ?为T i 的面积，λi 为i σ?的直径，对于i σ?来说，由于f(x ，y)在i σ?连续。故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ?上各点的函数值近似相等，从而可视i σ?上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ?中任放一点以
),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为
i i i f σηξ?),(。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起
来便得曲顶柱体的体积的近似值：
∑∑==??≈∨=N i N
i i i i i f V 1
1
)(σηξ
最后，当分割T 的细度
O Max T i →=λ时有：
∑=→??N
i i
i
i
V f 1
)(σ
ηξ
i i i T f V σηξ?=→),(lim 0
（2）、平面薄电的质量
设薄电占有xoy 平面上的区域D 且在点（x 、y ）的D 外的面密度为P （x ，y ）>O 求该平面薄纯的质量M 。
如果P(x ，y)为常数p 那么该薄电的均匀薄电，质量为p*S 。 当p(x ，y)不是常数时其求法同（1）相符。
首先，把该薄电划分为n 小块i σ。当i σ直径i λ很小时，由于p(x ，y)在i σ上连续，可视每小块为均匀薄片。在i σ上任意一点（i i ηξ,），则每一块的质量近似的i i i P σηξ?),(。
进一步：用∑=?n
i i i i P 1),(σηξ代替整个薄电的质量。且当0→=i Max λλ
时，有
i N
i i i M σηξρλ?=∑=→1
0),(lim 。
由（1）、（2）知求由顶柱体的体积，及平面薄片的质量总是通过：1、分割，2、近似求和，3、取极限这三个步骤得到的。这种方式我们在求由边梯形的面积时就遇到过，而现在所不同的是对象为定义在平面区域Ｄ的二元函数，这就是二重积分的实际背景。
定义：设D 是：X0y 平面上的有界闭区域，其边界由光滑的连续曲线（一般指D 的可求面积），f （x ，y ）为定义在D 上的函数，用光滑的曲线网把D 分成n 个小区域：
,,,,21n σσσ??? 以i σ?表示i σ?的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i λ表
示i σ?的直径，记T 的细度为 ‖T ‖=Max λi ，在每一个i σ?上任取一点（i i ηξ,），作和式：
∑=?N
i i i i f 1
),(σηξ
称之为函数f （x ，y ）在D 上属于分割T 的一个积分和。
如果当‖T ‖→0时，该积分和的极限存在，就称此极限值为f （x ，y ）在区域D 上的二重积分，记作：??
D
d y x f σ),(
即：∑??
=→?=N
i i i t D
i f d y x f 1
0),(lim ),(σηξσ
其中f （x ，y ）称为被积函数，σd y x f ),(称为积分表达式，σd 称为面积元素，x ，y
称为积分变量，D 称为积分区域。
【注】：1由定义知，若f （x ，y ）在D 上可积，应对于任何分割T ，及任意的点（i i ηξ,）∈i σ?上面的极限都存在，为此，我们特别地选用平行于坐标轴的直线网来分割D ，则每一个小区域i σ?的面积为i i i
y x ??=?σ，进而有dxdy d =σ，故：
????=D
D
dxdy y x f d y x f ),(),(σ
以后在讲重积分计算基本上都采用后一种形式。
2、并非任一函数f （x ，y ）在区域D 上的积分都存在，如
?
??=01),(y x f ，
为其他为有理数
y x y x ,, 在[0，1；0，1]上的重积分不存在，但当f （x ，y ）连续时，其二重积分??
D
d y x f σ),(存
在，故以面在不加说明的情况下，总认为f （x ，y ）在D 上的重积分是存在的。
3、如果f （x ，y ）≥0，??D
d y x f σ),(在几何上就表示曲顶柱体的体积，当f （x ，y ）
=1，
??D
d y x f σ),(的值就等于积分区域D 的面积。如果f （x ，y ）≤0，柱体就在X0y 平
面的下方，这时，二重积分的绝对值仍为柱体的体积但值为负的。如果f （x ，y ）在D 上的某n 个子区域上是正的，而在其它地方是负的，这时的二重积分的值是下面的性质3。 二、二重积分的性质
性质1、被积函数的常数因子可提到二重积分号的外面：
σσd xy f k d xy kf D
D
)()(??=?? （K 为常数）
性质2、函数的和（差）的二重积分等于各函数的二重积分的和（差）。
σσσd y x g d y x f d y x g y x f D
D
D
),(),()],(),([??±??=±??
性质3、若Φ==J i n D D D D D D 且,21，那么 ∑=??=??n
i D D
d y x f d y x f i 1),(),(σσ
性质4、当f （x ，y ）=1时，的面积D d d y x f D
D
=??=?
?σσ),(
??D
?
?
性质5、如果在D 上，有f （x ，y ）≤g （x ，y ）则有
σσd y x g d y x f D
D
),(),(??≤??
性质6、
σσd y x f d y x f D
D
),(),(??≤??
性质7、若在D 上有：m ≤f （x ，y ）≤M ，则有
σσσM d y x f m D
≤??≤),(（σ为D 的面积）
特别地，当M ，m 分别为f （x ，y ）在D 上的最大，小值时，上式亦成立。
性质8、（二重积分的中值定理）若f （x ，y ）在不可少闭区域D 上连续，则存在),(ηξ∈D ，使得：σηξσ),(),(f d y x f D
=?
?，（σ的D 的面积）
第二节 二重积分的计算法—利用直角坐标计算
一、二重积分的计算（X —型区域，Y —型区域）
定理1：设f （x ，y ）在矩形区域[a ，b ；c ，d]上可积，且对?x ∈[a ，b]， 积分：
?d
c dy y x f ),(存在，且累次积分：
?????b
a d
c b
a d
c dy y x f dx dx dy y x f ),(]),([也存在，且有：
??=??b
a d
c D
dy y x f dx dxdy y x f ),(),(
本定理1这里就不证了，可从几何意义来说明：（1）体积、（2）质量。 定理2：设f （x ，y ）在矩形区域[a ，b ；c ，d]上可积，且对g ∈[c ，d]，积分
?b a dx y x f ),(都存在，?????d c b
a d c
b a dx y x f dy dy dx y x f ),(]),([也存在。且有：
??=??d
c b
a D
dx y x f dy dxdy y x f ),(),(
特别地，当f （x ，y ）在[a ，b ；c ，d]上连续，则有
dy y x f dy dy y x f dx dxdy y x f b
a d c d c
b a D
????==??),(),(),(
这时，也记dxdy y x f D
),(?
?为??b a d
c dxdy y x f ),(。
[例1]：计算
??+D
dxdy y x 2
)(，其中D=[0，1；0，1]。 解：
??+D
dxdy y x 2
)(同理也可用??+12
1
0)(D dy y x dx 来计算。
??+D
dxdy y x 2
)(?=-+=1
03367
]33)1([dx x x 然而，σd y x f D
),(?
?中的区域D 一般来讲不是矩形区域，但是，对于一般的区域，
通常可分解为下两类区域来计算：
若D 可表示为D={（x ，y ）；)(1x ?≤y ≤)(2x ?，a ≤x ≤b}则称之为X 一型区域。若D 可表示为D={（x ，y ），1?（y ）≤x ≤2?（y ），c ≤y ≤d}则称之为Y 一型区域。
X 一型区域的特点是：垂直于X 轴的直线X=X 0（a ＜x ＜b ＝与D 的边界至多只有两个交点，Y 一型区域也有类似的特点。
许多常见的区域都可分解为有限个除边界外无公共内点的X 一型区域可y 型区域，如果解决了X 一型区域与Y 一型区域上的二重积分的计算法，那么一般区域上的二重积分也就可以计算了。
定理3：若
),(y x f 在X 一型区域D={（x ，y ）)(1x ?≤y ≤)(2x ?，a ≤x ≤b}上连续，
其中)(1x ?,)(2x ?在[a ，b]上连续则：??=??b a x X D
dy y x f dx dxdy y x f )
()(21),(),(??
定理4：若
),(y x f 在Y —型区域
连续其中)(1y ?，)(2y ?在[c ，d]上连续，则：
??=??d c y y D
dx y x f dy dxdy y x f )
()(21),(),(??
【注】：定理3-4可从定理1，2，也可从几何意义来说明。 [2例]计算dxdy y x
D
)(22
+??其中D 为y=x 与y=x 2所围区域
解：D 可表示为X 一型区域： D={（x ，y ），0≤x ≤1，x 2≤y ≤x}
??+=+??1022222)()(x
x D
dy y x dx dxdy y x
?-+-=1
06322)](31)([(dx x x x x x
?=--=--=1064335
32115131)3134
(dx x x x
解法2，D 可表示为Y 一型区域：
},10:),{(y x y y y x D ≤≤≤≤=
??+=??∴1022)()(y
y D
dx y x dy dxdy xy f
?-+-=10232/3)]()(3
1
[dy y y y y y
?=+?-?=+-=102/532/335
37241345231)3431
[dy y y y
[例3]求曲线y=x ，y=x 2与x 2+y 2=1在第一象限所围区域的面积。 解：y=x 与x 2+y 2=1在第一象限里的交点为)22
,22(
y=x 2与x 2+y 2=1在第一象限里的交点为)2
1
5,
252
1(
2
-- },2
20:),{(,2
121x y x x y x D D D D ≥≤≤≤==∴其在 }1,252
1
22:),{(2
22
2
2x y x x y x D -≥≤-≤
≤=
dxdy dxdy dxdy D D
D
D
??+??=??=∴的面积
???
?--+=2
2025212
2122
2
2
x
x x x dy dx dy dx
二、如何选取积分公式
（1）、当先对x 或y 积分难易程度相当时，原则：根据积分区域D 图形来选择。
【例】：??D xyd σ D ： 1、??
?
??===+0
01
22y x y x 2、???=+=2
2x y x y 解：1、??D
xyd σ
812
10
1
0==??-x ydy xdx ；
2、??D
xyd σ=8
452
2
12
=
??+-dy xy dx x x 。 （2）、当先x 积分与先对y 积分难易差别较大，尤其是对某个变量积分无法积分时，选择先积分简单的公式。
【例】：??-=D
y d e x I
σ2
2 D ：x=0,y=1以及y=x 围成。
解：本题显然先y 后x 积分无法得出结果。 所以先对x 后对y 积分。
e dy e y dx e x dy d e x I y y
y D
y 31613110302102222-====?????---σ
[最后一步采用分部积分，将一个y 提到d 后面。令2y t =]
（3）、交换积分次序 【例】：交换积分次序。??-2
123
1
sin x dy y dx
解：其实在本题中原题给出的积分是无法求得的。
所以要交换积分次序，这在以后的习题和应用中也同样会有这样的问题。 画图可知区域可由积分上下限决定：?
?
?==??
?=-==31
21x x y x y D ? ???≤≤+≤≤=2
011y y x D ，所以??-212
31sin x dy y dx =??+11
210sin y dx y dy
第三节 利用极坐标计算二重积分
当积分区域是园域或为园域的总部分，或者被积函数的形式为
)y x (22+f 在区域D 上
连续，现在以原点O 为极点，X 轴正向为极轴正向构成极坐标系，这样)y ,x (f ，在极坐标
系中为
)sin ,cos (θθr r f ，其r 为极半径，θ为极角，现在我们用r=常数的一族同心园，
和θ=常数的一族过极点的射线来分割区域D （如图）将D 分为n 小块i σ?（n i ,,2,1 =）且i σ?的面积i σ?为n 小块：i σ?（n i ,,2,1 =）,且i σ?的面积i σ?为：
i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ???+=??-?+?=?)2
1
(])([2122
除去一个更高级的无量小量不计，有i i i i r r ??=?θσ
由此，我们长话短说，面积元素，rdr d d θσ
=（其详细证明可参见课要P99或其它参
考书，当然证明的方法是多种多样的）rdr d θ称为极坐标系中的面积元素，从而：
θθθσrdrd r r f d y x f D
D
)sin cos (),(??=??
其中，D '为xoy 平面上的区域D 在极坐标变换θ
θcos sin {
r x r y ==
下的θr 平面上的区域，有时也写成dxdy y x f D
),(?
?
若不考虑θ,r 的实际意义，右端的积分也可视为横轴为r 轴，纵横为θ=β轴，
θθθrdrd rr r f D )sin cos ('
??
眼下的问题是，如何用θ,r 来表达D '，如果D '可表示为：
}),()(:),{(21βθαθ?θθ?θ≥≤≤≤='r D θ一型区域
则有：??=?
?'
βα?
?θθθθθθ21
)sin cos ()sin cos (rd r r f d rdrd rr r f D
若D '可表示为：
}),()(:),{(2121r r r r r r r D ≥≤≤≤='??θ r 一型区域
则有θθθθθθθ?θ???=?
?21
21
)
()()sin cos ()sin cos (r r D
rd r r f dr rdrd rr r f
注：对于θ一型区域，致虑两种特殊情况：（1）如果D 是曲边扇形，则有0)(1=θ? （2）如果D '包含了极点，且边界方程为
}20:),{(:)(πθθ?≤≤='=r r D r 此时则有
同前面的一样，一般的区域都可分解为若干个θ一型及r 一型区域，这些我们从例题中反映出来。
[例1]求积分
??D
xydxdy ，其中D 为圆域x 2
+y 2
=a 2
解：D 经过极坐标变换后为D '={（r θ）：0≤r ≤a ，0≤θ≤2π}
???-=ππθθθθθθ2042003]cos sin 4
1
[cos sin d a dr r d a
?==π
θθ20402sin 8
d a [例2]求球面x 2+y 2+z 2=R 2与圆柱面x 2+y 2=Rx 所围的休积
解：我们只要求出第一象限内的部分，尔后来4即得，而在第一象限内的立体是以
222y x R Z --=为曲顶的柱体，其定义域为D={（x ，y ），y ≥0，x 2+y 2=Rx}经过极坐标
变换，有????'
-=--=D
D rdrd r R dxdy y x k V
θ2222244
其中}2
,cos 0:),{(π
θ
θθ≤≤≤≤='o R r r D
???-=-=-=∴2033
320cos 022)
3
22(34)]sin 1(31[4ππ
θ
πθθθR d R dr
r R d V R 所围体积为)3
2
2(343-πR
[例3]把dxdy y x f I
D
??+=)(22化为单重积分，其中D={（x ，y ）x 2+y 2=1}
解：D 的图形如左，我们将高分为四个部分： 我们先考虑第一部分（I ） 令θθsin ,cos r y r x ==
????'=+I
I
D D rdr rd r f dxdy y x f θ)(22(
??=π
θ201
0)(dr r rf d I
[例4]求（x 2+y 2）=2（x 2-y 2），（x 2+y 2≥1）的面积。 解：在此之前，我们先求一下求面积的公式：
????'
==D
D rdrd dxdy θσ（σ为D 的面积）
若}),()(:),{(21βθαθ?θ
θ?θ≤≤≤≤='r D
???-==βαθ?θ?βαθθ?θ?θσ)()(212
221)]()([2
1
d rdr d
现在求[例4]的面积，令θθsin ,cos r y r x ==
θθ2cos 2,2cos 2224==r r r
该曲线如图，由x 2+y 2=1，r=1，至此使本[例4]所求面积为r 2= 2cox2θ所围的面积中r ≥1的部分，根据对称性，只要求出在第一象限的部分，然后乘以4即可。
先求r 2= 2cox2θ与r=1的交点，不难使交点为)6
,1(π
??'
=∴D rdrd θσ4其中D I ′为（图—a ）中的阴影部分
且有：}6
0,2cos 21:),{(πθθθ≤≤≤≤='r r D I
3
3]623[2]62[sin 2)12cos 2(2146060πππθθθσππ
-=-=-=-?=∴?d 所以所求面积：3
3π
-
。
[例5]求?∞-0
2
dx e x 解：??∞--=0
02
2
lim R
x x e dx e
，?-=R
x R dx e I 02
????????--------==?=?=R R D y x
R y x R
y R
x R
x x R dxdy
e dxdy dy e dx e dx e dx e I R
000
0002
2
22
22
2
2
2
其中D R ={（x ，y ）}，o ≤x ≤R ，x ≤y ≤R 2
令D S ={（x ，y ）；x 2+y 2≤R 2}，0≤x ≤y ；D S ={（x ，y ）；x 2+y 2≤2R 2}， x ≥0，y ≥0 显然 ??????+-+-+-≤≤R
S
D D y x
y x
Ds
y x dxdy e dxdy e dxdy e
)
()
()(222222
}
)1(4
:
),{((2
00200)
(2
2
2
2
22??????->
?==?=--≤
≤≤≤''
-+-π
π
θπ
θθθ
R R r R r s s D r Ds
y x
e
rdr e
d r D rdrd
e dxdy e 又
同理??-+--=Ds
R y x e dxdy e
)1(4
2
222)
(π
2
2>
??--y x s R s
e
D D D 且由
)1(4
)
1(42
222
2)
(R D y x
r e dxdy e e R
-+---≤
≤-??π
π
令：2
lim 4
lim 2π
π
=
∴=
?
+∞→∞
→∞
→IR I R R R R
即：?∞
-=
02
2π
dx e x
第四节 二重积分的应用
二重积分也相应地有元素法，我们的求以z=f(x ，y)为顶，区域为D 的曲顶柱体为例：奖D 分割成若干小块，从中任取一块，并设为σd ，(x ，y)为其中一点，那么有σd 上的部分量ΔV= f(x ，y) σd ，事实上，ΔV 与 f(x ，y)σd 的差为σd 的高阶无穷小，从而称f(x ，y) d σ为量V 的元素，且记为dV= f(x ，y)以r 的元素作为被积表达式，在区域D 上积分，得：????==
D
D
d y x f dv V σ),(
当然，二重积分的元素法也需要可加性。 一、曲面的面积
设曲面S ：Z= f(x ，y)是定义在xoy 平面上的区域D 上，并且f(x ，y)在D 上有连续的偏导数，现计算S 的面积。
现将划分为若干小块，从中任取一块σd 中任取一点P(x ，y)相应地，得到S 上的一部M （x ，y ）、f(x ，y)过M 点作S 的地平面T ，又以σd 的边界为准线作母线平行于Z 轴的柱体，截S 得S 上的一小块曲面ds ，截T 得T 上一小块面dA ，由于σd 很小，因而可用dA 来代替ds ，不知T 的法向向量为
}
1),,(),,({-=-
y x fy y x f n 设r 为 与Z 轴正向的夹角，从而
),(),(1/1cos 22y x fy y x fx v ++=
另外，不难知道，T 与d σ的夹角也为r ，因此，σd =dA r |cos |
σd y x f y x f dA x x ),(),(122++=∴ σd y x f y x f ds y x ),(),(122++=∴
这就是曲面面积的元素。
????++==D
D
y x d y x f y x f ds S σ),(),(122
注：1、类似可求定义在xoz 、yoz 平面上的区域上的曲面面积。 [例1]求圆锥22y x z +=被圆柱x 2+y 2=x 所截部分的面积
解??
≤+=++=
D
x y x y x D dxdy zy zx S }:),{(122222其中
2
22222,y
x y
Zy y x x Zx y x Z +=+=
?+= 2122==++∴ zy zx
??=?=?==∴D
D dxdy S ππ42
)21(2222的面积
二、平面薄片的重心
设一平面薄片占据xoy 平面上的区域D ，且在点（x ，y ）∈D 处的密度为P （x ，y ）在D 上连续，求该薄片的重心。
设该薄片的重心坐标为),(y x 则应有：M
M
M M x y ==,其中M x ，M y 分别为薄片
对X 轴，Y 轴的静力矩，M 为其质量由9.1知，?
=D
dxdy y x P M ),(现在的问题是
求M x 和M y 。
将D 分割成为若干个小区域，从中任取一个σd 并从σd 中任取一点（x ，y ），由于σd 很小，故可认为σd 上质量集中在（x ，y ）点上，从而，对X 轴，Y 轴的静力矩的部分量为X P （x ，y ）σd 和Y P （x ，y ）σd ，它们即为M x 和M y 的元素dm x 和dm y ，即
dm x =X P （x ，y ）σd dm y =Y P （x ，y ）σ
d ?
??????===D
D
D
x d y x yp my dr y s xp dMx M σ),(,),(
薄片的重心坐标为????????=
=D
D
D
D
d y x p d y x yp y d y x p d y x xp x σ
σ
σσ),(),(,),(),( 从上公式知，当P （x ，y ）三常数时，有：
????==D
D
yd A y xd A x σσ,其中??=D
d A σ为D 的面积。
这时，重心只与D 的形态有关，而与其它无关，因此也称之为D 的形心。
[例2]求均匀密度的半椭圆122
22≤+b
y a x ， y ≥0的重心。
解：根据对称性，不难知y x 下面求0=
dy a x dx a x dx d yd y a
a
b
b
a a b
a D
D
??
??????-----=
=2
22
211σσ ππb ab
ab dx a
x b dx a x b a a
a a ?==--=??--342
321)1(212
22222 所求重心为)34,
0(π
b 三、平面薄片的转动惯量
设某平面薄片占有xoy 平面上的区域D ，且在点（x ，y ）∈D 处具有密度P （x ，y ），假定P （x ，y ）在D 上连续，求此薄片对于X 轴，Y 轴及坐标原点的转动惯量。
其方法同前面二个相似，这里不必多述，及三种惯量为：
????==D
D
x d y x p x Iy d y x p y I σσ),(,),(22
??+=D
d y x p y x I σ),()(220
[例3]：求密度均匀的园环D ：2
22221R y x R ≤+≤对于X 轴及对于垂直于园环
面中心轴的转动惯量：
解：????==
π
θθσ20
2222
1
sin ),(R R D
x rdr pr d d y x p y I )(49)(49)(41sin 414
241424142202R R R R d R R p -===-=?πθθπ
)(4
212
2R R m +=
。（m 为圆环的质量） 同理得：)(2
)(4212202122R R m I I I R R m I y x y +=+=?+=
第九章 三重积分的概念及其计算方法
一、三重积分的概念
与二重积分的定义相仿，我们来定义三重积分 背景：空间一非均匀物体的质量。
定义：设f （x ，y ，z ）是空间有界闭区域Ω上的有界函数，用一组空间曲面T 把Ω分为若干小块V 1，V 2……V n ，i v ?表示其体积，再从每个小区域V i 中任取一点（i i i ζηξ,,），作和式
i
i
i
i
n
v f ?∑=),,(1
1ζηξ，若当‖T ‖→0时，该和式的极限
存在，就称该极限值为函数f （x ，y ，z ）在区域Ω上的三重积分，记为
???Ω
dv z y x f ),,(
即
???∑Ω
=→?=n
i i
i
i
i
T v f dv z y x f 1
),,(lim ),,(ζηξ
其中dv 称为体积元素，其它的记号类似二重积分。
同理，上面的极限对于任一种划分T 都应存在且值相等。现用平行于三个坐标面的三族平面来划分Ω，此时，则有i i i i z y x v ???=?，进而dxdydz dv =
?
??????Ω
Ω
=dxdydz z y x f dv z y x f ),,(),,(
并称dxdydz 为直角坐标系中的体积元素。
当上面的极限存在时，可称f （x ，y ，z ）在Ω上可积。但并不是对任何的f （x ，y ，z ）在Ω上都可积。当f （x ，y ，z ）在Ω上连续时，f （x ，y ，z ）在Ω上可积的，以后在不再作特别说明时总认为f （x ，y ，z ）在Ω上连续或可积。
显然，当f （x ，y ，z ）=1时，???Ω
Ω=dv 的体积。
又当f （x ，y ，z ）表示某物体在（x ，y ，z ）∈Ω处的密度，Ω为其占有的空间区域，且f （x ，y ，z ）连续，则???Ω
=dv z y x f ),,(该物体的质量。
二、三重积分的性质。
类似二重积分，这里不多说了。 三、计算三重积分—直角坐标系：
定理1：若f(x ，y ，z)在长方体Ω=[a,b;c,d;e,f]上连续,则有
??????
Ω
=b a
d c
f
e
dz z y x f dy dx dv z y x f ),,(),,(
然而，对于一般的空间区域Ω，并不像上述的那样简单，有时相元复杂，这样就需要我们一步一步地将Ω分解为若干个较简单的区域。比如：
将Ω向xoy 平面上投影及xy 平面上一区域D ，以D 的边界为准线，母线平行于z 轴作一柱面，又设过D 内的点且平行于z 轴的直线与Ω边界的交线不超过两个，这时，Ω的边界被分为三个部分S 1，S 2和S 0。其中S 1，S 2分别为Ω在D 内的Ω的边界的下面部分和上面部分，S 0为Ω的边界与柱面的公共部分。
S 1：z=z(x ，y ，z)，S 2：z=z(x ，y)，此时，有 Ω={(x ，y ，z)：z 1(x ，y)≤z ≤z 2(x ，y), (x ，y)∈D} dv z y x f ),,(???Ω
?
可用求质量的道理来解释。???
D
y x z y x z dz z y x f dxdy )
,()
,(21),,(
若D={(x ，y)：a ≤x ≤b, y 1(x)≤y 1≤y 2(x)} 则进一步：
??
?
?
???=Ω
b
a
y y x y x y y x z y x z dz z y x f dy dx dx dv z y x f 2
1
2121)
()
()
,()
,(),,(),,(
而此时，Ω={(x ，y ，z)：z 1(x ，y)≤z ≤z 2(x ，y)，y 1(x) ≤y ≤y 2(x) ，a ≤x
≤b,}
与此相仿，还有其它五种化三重积分为三次积分的方法。这关键在于如何将Ω表示成与上面相仿的形式，这件事并非容易。
[例1]计算???Ω
+22y
x dv 其中Ω为由平面X=1，X=2，Z=0，Y=X ，
Z=Y 所围成的区域。
解1：现把Ω向xoy 平面上投影及投影区域D={(x ，y)：0≤y ≤x, 1≤x ≤z}而在D 上，有0≤z ≤y
?Ω={(x ，y ，z)：0≤z ≤y ， 0≤y ≤x ，1≤x ≤z }
dy y x y
dx y x dz dy dx y
x dv x x y ????????+=+=+∴Ω0222121002222
2ln 2
1
2ln 210)ln(21212
1
22====+=??
dx dx y x y y x
解2：将Ω向xoz 平面上投影，将投影区域D={(x ，z)：0≤z ≤x ，1≤x ≤z 2} 在D 上有z ≤y ≤x ?
Ω={(x ，y ，z)：z ≤y ≤x ，0≤z ≤x ，1≤x ≤z }
∴??????++Ω
2102222x x z y x dy
dz dx y x dv ????==+--=-=2
1021022]0)ln(14[)4(1x
x dx z x z z x z x x z arctg x dz x z arctg x dx ππ ??
===++-
=2122
1
222ln 2
1
2ln 21)ln 2)ln(2(144dx dx x x x x x x π
π
本例也可向yoz 平面上作投影，但计算更繁。
[例2]求???Ω
dxdydz z xy 32Ω为z=xy ，y=x ，x=1及z=0所围的区
域。
解Ω={(x ，y ，z)：0≤z ≤x y ，0≤y ≤x ，0≤x ≤1 }
???
???=Ω
10
322
x xy
dz z xy dy dx dxdydz xy
????==100651004424
141x
x dy y x dx dy y x xy dx
368
1
281131281714110121075=?===??dx x dx x x 上面所讲的积分法则，我们习惯称为“先二后一”。
第二节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M （x ，y ，z ）为空间内任一点，将M 向xoy 平面上投影，得xoy 上投影点P （x ，y ），再P 点的坐标用极坐标表示，其极坐标为（θ,r ），
22y x r +=，x
y
arctan =θ，这样，z r ,,θ三个数也就确定空间的M 点，我
们称（z r ,,θ）为M 点的柱面坐标不难及到z r ,,θ的取值范围为：0≤r ≤+∞，0≤θ≤z ，-∞＜z ＜+∞，它们x ，y ，z 之间的关系为：
z z r y r x ===,sin ,cos θθ这实际上就是一个柱面坐标变换，
由前的经历?dz drd r z r r f dxdydz z y x f θθθ??????Ω
Ω
=),sin ,cos (),,(
【注】1、当积分区域在坐标面上的投影为圆形，环型，扇型且被积函数为)(),,(22x y f z y x f +采用柱面坐标。
2、柱面坐标求体积：???Ω
=rdrdz d v θ
[例1]计算其中dxdydx y x ???Ω
+)(22Ω是2（x 2+y 2）=z 与z=4
所围的区域。
解：将Ω在xy 平面上投影，及投影区域D={（x ，y ）：x 2+y 2≤z} 令z z r y r x ===,sin ,cos θθ，此时，曲面2(x 2+y 2)= z 变为z=2r 2，
则}20,20,4:),,{(2πθθ≤≤≤≤≤≤=Ω'r z zr z r
?????????=
=-=+∴Ω'
Ω
ππθθ20
10
4
232
2
2
23
8)()(r
dz r dr d dz drd r r dxdydx y x 二、利用球面坐标计算三重积分
设M （x ，y ，z ）为空间任一点，连接OM ，令r 为OM 的长，φ为→
OM 与z 轴正向的夹角，再将M 在xy 面上的投影得到P 点，又令θ为从z 轴正向往原点方向看，X 轴正向按逆时针方向到→
OP 的转角，这样φθ,,r 也能确定一个空间上的M 点，我们称（φθ,,r ）为点M 的球面坐标。它们的变化范围为0≤r ＜+∞，
πφ≤≤0，0≤θ≤2π，它们之x ，y ， z 之间的关系为θφcos sin r x =，θφsin sin r y =,φcos r z =，这实际上就是一个球面坐标变换，由此可知： dv r r r f dv z y x f ??????Ω'
Ω=)cos ,sin sin ,cos sin (),,(φθφθφ，其中Ω'为Ω经过球面坐标变换而得到的区域。
接下来我们来讨论，如何将dz dy dx ,,转化为φθd d dr ,,。
结合课本P.125图8-37，我们可以知道dr r d d dxdydz dv 2
sin φφθ==
所以我们有此三重积分公式：
dr r d d r r r f dv z y x f 2
sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(φφθφθφθφ??????Ω'
Ω= 此公式要求大家牢记。
【注】1、体积???Ω
=dr r d d v 2sin φφθ
2、主要适应与被积函数包含有：因子222z y x ++，以及积分区域为球面，锥面和球面围成，球面和球面围成的三重积分。
【例】：求???++v
dv z y x z 222，其中1:222≤++z y x v 以及
223y x z +?≥所围成。
解：采用球面坐标公式：φφsin 3cos ,1:2
r r r v ≥≤???
?????≤≤≤≤≤≤1
06020r πφπθ，
所以??????=++1
026020222cos sin dr rr r d d dv z y x z v
φφφθπ
π
=
20
π
第四章 一元函数的积分及其应用 第一节 不定积分 一、原函数与不定积分的概念 定义1.设)(x f 是定义在某区间的已知函数， 若存在函数)(x F ，使得) ()(x f x F ='或 dx x f x dF )()(=,则称)(x F 为)(x f 的一个原函数 定义2.函数 )(x f 的全体原函数C x F +)(叫做)(x f 的不定积分，，记为: ?+=C x F x x f )(d )( 其中 )(x f 叫做被积函数 x x f d )(叫做被积表达式 C 叫做积分常数 “ ?”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式 性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 ()?==' ? x x f x x f x f x x f d )(d )(d )(d )(；. 性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 ?+=+=?'C x f x f C x f x x f )()(d ,)(d )(或 性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即 ?≠=?)0(d )(d )(k x x f k x x kf . 性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即 []??±=?±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )()( 基本积分公式 (1)?+=C kx x k d (k 为常数) (2)C x x x ++= ?+1 1 1d μμμ(1-≠μ) (3)C x x x +=?ln d 1 (4)? +=C e dx e x x (5)? +=C a a x a x x ln d (6)?+=C x x x sin d cos (7)? +-=C x x x cos d sin (8)?+=C x x x tan d sec 2 (9)?+-=C x x x cot d csc 2 (10)?+=C x x x x sec d tan sec (11)?+-=C x x x x csc d cot csc (12)?++=C x x x x tan sec ln d sec (13)+-=C x x x x cot ln d csc (14)C x x +=arctan d 1
高数测试题七（重积分部分）答案 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分0 (,)(a y dy f x y dx a ? ?为常数）的次序后得（ B ） A 00 (,)y a dx f x y dy ?? B 0 (,)a a x dx f x y dy ?? C (,)a x dx f x y dy ? ? C 0 (,)a y dx f x y dy ?? 2、设2222 222()()x y z t F t f x y z dv ++≤= ++??? ，其中 f 为连续函数，(0)f '存 在，而(0)0,(0)1f f '==，则5 0() lim t F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 2 5 π 3、球面2 2 2 2 4x y z a ++=与柱面2 2 2x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ） A 2cos 2 04a d π θ θ? ? B 2cos 20 8a d π θ θ?? C 2cos 20 4 a d πθ θ? ? D 2cos 20 2 a d π θ πθ-?? 4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D xy x y d σ+??=（ A ） A 1 2 cos sin D x yd σ?? B 1 2D xyd σ?? C 1 (cos sin )D xy x y d σ+?? D 0 5、设22222222 22sin()1 arctan 0 (,)0 2 x y x y x y x y f x y x y π?++≠??++=? ?+=?? ，
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+
15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?
2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
重积分测试题 一、填空题 1. 222x y R σ+≤=?? ； 2. 1(1)x y x y d σ+≤++=?? ； 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 （两种次序都写出来） ，其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域； 4. 改变积分次序 2120(,)y y dy f x y dx -=?? ； 5. 将二重积分(,)D f x y d σ ??转化为极坐标系下的两次单积分 ，其中D 为0,y y == 6. 将三重积分(,,)f x y z d v Ω???化 为三次积分 ，其中Ω为22z x y =+， 1,0,0,0x y y x z +====所围成的封闭区域； 7. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω???化为柱面坐标系下的三次积分 ，其中Ω为22z x y =+ ， z =所围成的封闭区域. 二、计算题 1. 计算二重积分 D xydxdy ??，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域； 2. 计算二重积分D x ydxdy -??，其中D ：221,0,0x y x y +≤≥≥； 3. 计算二次积分 1 10x y dx dy ?； 4. 计算三重积分 3z dv Ω???，其中Ω ：2221,x y z z ++≤≥ 5. 计算三重积分 Ω ???，其中Ω 是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域. 三、应用题 求旋转抛物面22z x y =+ 与上半球面z = 所围成的立体体积及表面积.
一、填空题 1．32 3R π； 2. 2 ； 3.1000(,)(,)x f x y dy f x y dy +? 及0(,)y f x y dx ； 4. 122001 0(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+???； 5. 2cos 200(cos ,sin )d f d πθ θρθρθρρ??； 6. 2211000(,,)x x y dx dy f x y z dz -+???； 7. 22100(cos ,sin ,)d d f z dz π ρθρρρθρθ?? 二、计算题 1. 110ln 32- ； 2. 21)3 ； 3. 12 ； 4. 116 π ； 5. 289a 三、应用题 V = ； 121)1)6A A A π=+=+
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
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第九章 重积分 以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分? b a dx x f )(其中)(x f 为 被积函数，（a ，b ）为积分区间。我们若把 )(x f 推广到多元函数。(a ，b)推广到区域。曲线， 曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！ 第一节 二重积分的概念和性质 一、二重积分的概念 先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。（二）求平方薄片的质量。 （一） 求曲顶柱体体体积： 设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。 首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ?（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。又记i σ?为T i 的面积，λi 为i σ?的直径，对于i σ?来说，由于f(x ，y)在i σ?连续。故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ?上各点的函数值近似相等，从而可视i σ?上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ?中任放一点以 ),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为 i i i f σηξ?),(。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起 来便得曲顶柱体的体积的近似值： ∑∑==??≈∨=N i N i i i i i f V 1 1 )(σηξ 最后，当分割T 的细度 O Max T i →=λ时有： ∑=→??N i i i i V f 1 )(σ ηξ
常 用 高 数 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? C 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1ln 2ax b C a ++
高等数学（下）知识点 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离 公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 γβα,, 4） 方 向 余 弦 ： r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
高等数学（下）知识点 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θ cos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规 则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：
高数积分总结 一、不定积分 1、不定积分的概念也性质 定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有 F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。 定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作 ?dx x f )(。 性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则 ???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。 性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则 ??=dx x f k dx x kf )()(。 2、换元积分法 (1)第一类换元法： 定理1：设f(u)具有原函数，)(x ?μ=可导，则有换元公式 ) (])([)(')]([x d f dx x x f ? μμμ??=??=。
例：求?xdx 2cos 2 解 ????=?=?=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得 ?+=C x xdx 2sin 2cos 2 (2)第二类换元法： 定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设 )(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式 ,] )(')]([[)() (1 x t dt t t f dx x f -=??=ψ ψψ 其中)(1 x -ψ是)(t x ψ=的反函数。 例：求? >+)0(2 2 a a x dx 解 ∵t t 2 2sec tan 1=+， 设 ??? ??<<-=22 tan ππ αt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+， 于是 ? ??==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 222 ∴C t t a x dx ++=+?tan sec ln 2 2 ∵a a x t 2 2sec += ，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a a x a x a x dx +++=+??? ? ? ?++ =+? ，
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
高等数学教案
第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准
线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我
们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二）二重积分的定义
微积分下册常见六种积分考试重点 二重积分、三重积分 第一型曲线积分、曲面积分 第二型曲线积分、曲面积分
二重积分 二重积分 二重积分/累次积分??D d y x f σ),( 1）??D 在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域； f (x,y ) 被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。 2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。 3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。 4）σd y x f D ??),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分 的现实意义才成立。 5）的面积。即为时，注意：当D D d y x f y x f D )(),(1),(σσ=≡?? 6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分 {}{}????? ???=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)() (21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x b a D x y x y b a D dx y x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdy d σσσ当当型域条件下， {}??????==≤≤≤≤=???===?=)() (2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r D D rdr r r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x dr rd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ????'=≠????????=??='→???===D D dudv J v u y v u x f d y x f v y u y v x u x v u y x J D D v u y y v u x x D dudv J d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下， 三重积分dV z y x f ???Ω),,( 1）???Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域， 代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。 2）dV Oxyz 空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，V Ω中的微小几何体）。 3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f (x,y,z )dV 微小体质量，被积表达式。 4）???Ω dV z y x f ),,( 几何体Ω的质量。此处应注意：f (x,y,z )>0时，三重积分积分的现实
由十个例题掌握有理分式定积解法 【摘要】 当被积函数为两多项式的商 () () P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结 【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分 两个多项式的商 () () P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式. 1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 例1.2 422 23 1 x x dx x +++? ()222 2 2131 x x x dx x ++-=+? 解 原式 2 2 2212311 x x dx dx dx x x =+-++??? ()42 2222 2 22 222223321.11 311 31 13111 31 arctan x x dx x x x x dx x x x dx dx x x dx dx x x dx dx dx x x x x C +++-=+=-+? ?=-- ?+?? =-++=--+?????????例 解 原式
3 24arctan 3 x x x C = +-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如： 2221111x dx dx x x ? ?=- ?++?? ?? 对于真分式 () () P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和： ()()P x Q x ()()()() 1 212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为 把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、() () 1k P x x a -、 () () 22 l P x x px q ++等三类函数，则多项 式的积分容易求的 2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分 2.1 类型一 ()m k ax b dx cx +? 例2.1.1 () 3 2 1x dx x -? 322 331 =x x x dx x -+-?解 原式 211 =33xdx dx dx dx x x -+-???? 211 =332x x In x C x -+++ 总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数， 然后利用常见积分公式进行运算 2.2 类型二 () k m cx dx ax b +?
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x )
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?