微积分下册常见六种积分考试重点
二重积分、三重积分
第一型曲线积分、曲面积分
第二型曲线积分、曲面积分
二重积分 二重积分
二重积分/累次积分??D
d y x f σ),(
1）??D 在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域；
f (x,y ) 被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。
2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。
3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。
4）σd y x f D
??),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分
的现实意义才成立。
5）的面积。即为时，注意：当D D d y x f y x f D )(),(1),(σσ=≡??
6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分
{}{}?????
???=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)()
(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x b a D x y x y b a D dx y x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdy
d σσσ当当型域条件下， {}??????==≤≤≤≤=???===?=)()
(2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r D D rdr
r r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x dr
rd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ????'=≠????????=??='→???===D D dudv
J v u y v u x f d y x f v
y u y
v x u x
v u y x J D D v u y y v u x x D dudv
J d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下，
三重积分dV
z y x f ???Ω),,(
1）???Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域，
代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。
2）dV Oxyz 空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，V Ω中的微小几何体）。
3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f (x,y,z )dV 微小体质量，被积表达式。
4）???Ω
dV z y x f ),,( 几何体Ω的质量。此处应注意：f (x,y,z )>0时，三重积分积分的现实
三重积分 三重积分 意义才成立。
5）的体积。即为时，注意：当ΩΩ=≡???Ω
)(),,(1),,(V dV z y x f z y x f
6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分
{}公式应当做相应调整型域型域或者型域，若是是注：此处上的投影
在是，其中）先一后二
,),
,(]),,([),,(),(),,(),(),,(1)
,(),(),(),(212
121xz yz xy dz z y x f d d dz z y x f dV z y x f Oxy D
D y x y x z z y x z z y x y x z y x z D y x z y x z D xy xy xy
xy Ω==Ω∈≤≤=Ω?????????Ωσ
σ
{}{}
。
及公式应当做相应调整型域，型域或者型域，若是是另外，整。
型域，公式应做相应调型域，若是是注：此处）三管齐下
xy xy y x z y x z x y x y b a xy xy D xz yz xy y x D dz z y x f dy dx dV z y x f b x a x y y x y y x D D y x y x z z y x z z y x Ω=≤≤≤≤=∈≤≤=Ω??????Ω),(),()()(21212121),,
(),,(),()(),(),(),,(),(),,(2 {}公式应做相应调整
取定，或者取定，另外，若对中已将注：所得区域的平面截闭区域是，其中）先二后一
z z D b a z z D y x z D dxdy
z y x f dz dV z y x f z z D b z a D y x z y x z
??????=
Ω=≤≤∈=ΩΩ),,(),,(,),(),,(3 ),(),,(21),sin ,cos (),,(,sin cos
sin cos ,,])2,0[,0)(,,(),,()4220
000202200z y x z y x f z drdz
rd z r r f dV z y x f drdz
rd dV z z r y r x y
x x z r y x z r r r x Oxy M P z M r r z r z y x M +Ω==??
???===Ω=
==+=>
=<∈≥→??????ΩΩ?θθθθθθθ
θθθθθπθθ可化成）其部分，（轴为旋转轴的旋转体或是以）（积分的最佳条件
利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过；
方程轴为旋转轴轴的柱面，以代表半径为轴正向面上的投影，在是轴的距离，到代表点柱面坐标O P
三重积分 三重积分
)
(),,(21sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(sin sin ,cos sin sin cos sin sin cos sin cos ,,,])
2,0[],,0[,0)(,,(),,()5222220000022002
022200z y x z y x f dr d d r r r r f dV z y x f dr d d r dr d r rd dxdydz dV r z r y r x y x x z y x x z r z y x r r r x Oxy M P z r r r M z y x M ++Ω==??==?????===Ω==+===++=>=<>=<=∈∈≥→???
???ΩΩ?θ???θ?θ?θ??θ???
θ?θ?θθθθθ????θ?πθπ?θ?可化成）分构成，（由球面或圆锥面或其部）（积分的最佳条件
利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过轴为轴的圆锥面，方程代表原点为顶点，程球心在原点的球面，方代表半径为轴正向面上的投影，在是，轴正向，球面坐标
O P O M O M ?θ?θθθθθsin 1
00cos sin 0cos cos )),,(),,,(),,,((),,(0),,(),,(,),,(),,(),,()62r J r z y x r r J z r z y x dudvdw
J w v u z w v u y w v u x f dV z y x f w z v
z
u z w y v y u y w x v x
u x w v u z y x J w v u z z w v u y y w v u x x dudvdw
J dV -=-==≠??????????????????=??=Ω'→Ω?????===Ω=??????ΩΩ的函数，、、都是、、在球面坐标中，的函数，、、都是、、在柱面坐标中，常用范例。
求三重积分是换元法的柱面坐标、球面坐标法法。
用到求三重积分的换元注：极少数情况下，才，令对于区域换元条件下，
第一型曲线积分???????L
L ds z y x f ds y x f ),,(),( 第一型曲线积分又叫作对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分
1）?L 在线段L 上进行积分的积分符号；L 当被积函数是二元函数时，其是Oxy 平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz 空间中一条光滑曲线；f (x ,y ,z ) 被积函数，一函数值，比如可以是线L 的密度大小，也可以表示底边是L 的曲边梯形的高。
2）ds 微小弧长（d 微分；s 微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。
3）微小线质量=微小线密度×微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高×微小曲边梯 形底边长度；f (x,y,z )ds 微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。
4）ds z y x f L ?),,( 线质量，曲边梯形面积。此处应注意：f (x,y,z )>0时，第一型曲线积分的现实意义才成立。
5）的长度。即为时，注意：当L L s ds z y x f z y x f L
)(),,(1),,(=≡?
6）第一型曲线积分计算公式 dt t y t x ds y x f dt t y t x ds b a t t y y t x x L x L d x y ds y x f dx
x y ds b a x x x y y L dy dx ds Oxy L dt t z t y t x ds z y x f dt t z t y t x ds b a t t z z t y y t x x L L dx x z x y ds z y x f dx
x z x y ds b a x x x z z x y y L dz dy dx ds L b a L b a L b a L b
a L ????????'+'='+'=∈=='+='+=∈==+='+'+'='+'+'=∈==='+'+='+'+=∈===++=)()(),()()(],[),(),(2)(1),()(1],,[),(1)()()(),,()()()(],[),()()(2)()(1),,()()(1],[)()(12222222
222222222222
22，则：）如果（，公式应做对应调整采用采用线的其他方程若则：）若（平面上的一条光滑曲线
是，则若被积函数是二元函数，则，，：）如果（，公式应做对应调整
采用采用线的其他方程若，则，，：）若（的方程
应首先解出第一型曲线积分的计算
第一型曲面积分??∑
dS z y x f ),,(
第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分
1)??∑在有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ一空间有界光滑曲面；f (x ,y ,z ) 被积函数，
一函数值，比如可以是曲面Σ的密度大小，也可以表示底面是Ω的曲面体的高（有限制）。
2）dS 微小曲面面积（d 微分；S 微小曲面）。
3）微小曲面面质量=微小面密度×微小面积；微小曲面体面积=微小曲面体高×微小曲面体底面长度；f (x,y,z )ds 微小体质量或者微小曲面体体积（有限制），被积表达式。
4）??∑
dS z y x f ),,( 面质量，曲面体体积（有限制）
。此处应注意：f (x,y,z )>0时，第一型曲线积分的现实意义才成立，即使如此，其现实意义亦不明显。
5）的面积。即为，时，注意：当∑∑=≡??
∑)(),(1),,(S dS z y x f z y x f
6）第一型曲面积分计算公式
),(),(),(0),,()()()()()()()()()()(1)),(,,(),,(,),(),,(1cos 111cos ,)1,,(000222222z y x x z x y y y x z z z y x F p z z n y y m x x z
z z y y z x x y z z y y y x x x z z x y y x x t z z t y y t x x D xz yz dxdy z z y x z y x f dS z y x f Oxy D D y x y x z z dxdy z z dxdy dS z z z z z dS xy D y x xy xy y x y
x y x ====-=-=-?????===?????===?????===?????===∑++=
∑∈=∑++==++=>=<--=????∑或或也可转化为空间面方程为种的形式后四种都可以化成第一或或或或空间中线方程为意，线是面的交集。
程和面的方程。尤其注注：要弄清空间中线方及公式应做相应调整
型，其投影域型或的方程是注：若上的投影域
在是：若，则，
轴正向，设其法向量是空间面积元
第一型曲面积分中γγγn n
若计算中须带入线方程，带入的方程应按上线方程的前四种形式之一带入，若计算中须带入面方程，带入的方程应按上面方程的后三种种形式之一带入，至于带哪一种形式，须看哪一种形式利于解题。
比如，若线方程可以化为圆的形式，则常常采用圆的参数形式带入。再如，平面A 截柱面B 得的面，其方程不是二者联立解得的方程，因为其相交的部分是线而不是面，解得的方程是交线的方程；显然B 的方程不能作为截得的面的方程，因为二者公共部分是一条线，而A 包含截得的面，因而截得的面的方程可以用A 的方程表示。
注：二重积分与第一型曲面积分只是在积分区域上有差别。二重积分，积分区域在Oxy 面上，而第一型曲面积分积分区域在Oxyz 空间中。
第二型曲线积分?????+++??Γ
Γdz z y x R dy z y x Q dx z y x P dy y x Q dx y x P ),,(),,(),,(),(),( 第二型曲线积分又叫作对坐标的曲线积分，或向量值函数的曲线积分
1）?Γ在有向线段Γ上进行积分的积分符号；Γ 当被积函数是二元函数时，其是Oxy 平面上一条有向光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz 空间中一条有向光滑曲线；P(x ,y ,z )、Q(x ,y ,z ) 、R(x ,y ,z ) 被积函数，力的三个分向值。
2）微小功=力×微小线长度(ΓF d W ?=)；P(x ,y ,z )dx +Q(x ,y ,z )dy +R(x ,y ,z )dz 微小功。
3）)
,,()),,(),,,(),,,((),,(),,(),,(dz dy dx d z y x R z y x Q z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P d W ==++=?=??ΓΓΓF ΓF ，其中 力在有向线段Γ上做的功。 4）两种曲线积分的关系
{}L ds z y x R z y x Q z y x P dz
z y x R dy z y x Q dx z y x P ds dz ds dy ds
dx ds dz ds dy ds dx dz dy dx ds d ds z y x M z y x M L 已化成无向线段的关系，此处有向线段上式即为两种曲线积分故，即显然，则令正向的夹角
，，分别是其与坐标轴、、的切单位切向量在点上一点，是曲线设Γ++=++?????===????
?????===++===ΓΓ??Γ
γβαγβαγβαγβαγβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(),,(),,(),,(cos cos cos cos cos cos )cos ,cos ,(cos ),,(2
22Γn 5）第二型曲线积分计算公式
{}{}{}{}0)())(),(()())(),((),(),(,)()(2)())(,())(,(),(),(),(1)(),,()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(,
),()()(2)(),,()())(),(,())(),(,(),,(),,(),,(,
),()(1坐标的曲线积分为垂直于某轴，则对对应当由以上计算可以看出，则：，，：）若（式应做对应调整
采用线的其他方程，公若：：）如果（曲线
平面上的一条有向光滑是，则若被积函数是二元函数则：，，：）若（式应做对应调整
采用线的其他方程，公若则：，：）若（Γ'+'=+→==ΓΓ'+=+→==ΓΓ'+'+'=++→===ΓΓ'+'+=++→===Γ????????ΓΓΓΓb a b a b a b
a dt t y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P
b a t t y y t x x dx
x y x y x Q x y x P dy y x Q dx y x P b a x x x y y Oxy dt t z z y x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P dz
z y x R dy z y x Q dx z y x P b a t t z z t y y t x x dx x z z y x R x y x z x y x Q x z x y x P dz
z y x R dy z y x Q dx z y x P b a x x x z z x y y
第二型曲面积分??∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(
第二型曲面积分又叫作对坐标的曲面积分，或向量值函数的曲面积分
1)??∑在取定了侧的有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ 取定了侧的空间有界光滑曲
面；P(x ,y ,z )、Q(x ,y ,z ) 、R(x ,y ,z ) 被积函数，场强的三个分向值。
2）微小通量=场强×微小面积(ΣE d S ?=)；P(x ,y ,z )dydz +Q(x ,y ,z )dzdx +R(x ,y ,z )dxdy 微小通量。
3）),,()),,(),,,(),,,((),,(),,(),,(dxdy dzdx dydz d z y x R z y x Q z y x P dxdy
z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P d S ==++=?=????∑∑ΣE ΣE ，其中 场在取定了侧的Σ上的通量。
4)两种曲面积分的关系
000cos 0cos 1
1
cos cos ),,(),,(22于，后侧左侧，余弦值小值大于对应的前侧，右侧余弦式应做相应调整；
的另外两个分量，关系注：对第二型曲面积分，下侧时，取定了上侧时，当已化成未取定侧的取定了侧的的关系，在公式的右端上式即为两种曲线积分，<>∑∑∑++±==????∑∑γγγγy x z z dS z y x f dxdy z y x R 5）第二型曲线积分计算公式
{}{}
应做相应调整看作是其他型的，公式对应的若将型的
看作是若）合一投影法
（加和在一起。
式应做相应调整，最后看作是其他两型的，公对应的若将下侧时，取负
取定了上侧时，取正，当面上的投影域在是，其中，：即型的
看作是若将的关系
）利用两种曲面积分间（∑?±=+-+-±=++∑∑∑±==
===∑∈=∑∑????????????????∑∑
∑xy xy
xy xy xy D y x D y x D D D xy xy dxdy z z R Q P dxdy
y x z y x R y x z y x z y x Q y x z y x z y x P dxdy
z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P xy dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R dS
y x z y x R dS z y x R dxdy z y x R dxdy dS Oxy D D y x y x z z xy )1,,(),,()],(,,[],()][,(,,[]),()][,(,,[),,(),,(),,(2)),(,,(cos 1cos )),(,,(cos )),(,,(cos ),,(),,(cos 1)
),(),((1γγγγγ
Green 公式 平面曲面积分与路径无关的条件
Green 公式
设平面闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，如果函数，则有，)(),(),()1(D C y x Q y x P ∈ 取正向，其中积分曲线L Pdy Pdx dxdy y
P x Q L D ???+=??-??)(
证明：公式左端直接展开按二重积分计算可化为右端的计算式，过程略。
应用：
在Green 公式中，令P=-y ，Q=x 得
???+==L
D ydy xdx dxdy D S )(
平面曲线积分与路径无关的条件
设G 是平面上的单连通域，如果)(),(),()1(D C y x Q y x P ∈，，则下面四个条件等价：
（1）沿D 内的任意一条光滑的闭曲线L ，有
0),(),(=+?L dy y x P dx y x P
（2）曲线积分?+L dy y x P dx y x P ),(),(在D 内与路径无关(此处L 在D 内任取，
无须闭合) （3）dy y x P dx y x P ),(),(+是D 内某个二元函数u (x,y )的全微分，即在D 内有
dy y x P dx y x P y x du ),(),(),(+=
（4）y
P x Q ??=??在D 内每点处成立 证明：采用循环证法）（）（）（）（）（14321????，过程略。
注意：设G 是平面上的单连通域，)(),(),()1(D C y x Q y x P ∈，这两个条件是极为关键的。 单连通域：平面区域内任意一条闭曲线所围成的部分都属于该区域
复连通域：平面区域内存在至少一条闭曲线所围成的部分不属于该区域
正向：沿闭曲线给定方向走，其所围区域在左手侧
负向：沿闭曲线给定方向走，其所围区域在右手侧
Gauss 公式 Stokes 公式
Gauss 公式
设平面闭区域Ω由分段光滑的曲面Σ围成，如果函，则有，)(),,(),,()1(Ω∈C z y x Q z y x P
处法向量的方向余弦在点是、、，是整个边界曲面的外侧其中或),,(cos cos cos )cos cos cos ()()(
z y x dS R Q P dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz dV z R y Q x P ∑∑++=??+??+??++=??+??+????????????∑Ω∑ΩγβαγβαStokes 公式
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分段光滑的有界曲面，Γ的正向与Σ的侧向符合右手规则，函数P (x,y,z )，Q (x,y,z )，R (x,y,z )在包含曲面Σ的空间区域内有一阶连续的偏导数，则有
???∑Γ??-??+??-??+??-??=++dxdy y
P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx )()( 特别地，若R (x,y,z )≡0，则依上式有Green 公式???+=??-??L D Pdy Pdx dxdy y
P x Q )(
注：当右手的四个手指依Γ给定的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ指定侧的法向量的指向相同时，Γ是指定侧的曲面Σ的正向边界线。
第四章 一元函数的积分及其应用 第一节 不定积分 一、原函数与不定积分的概念 定义1.设)(x f 是定义在某区间的已知函数， 若存在函数)(x F ，使得) ()(x f x F ='或 dx x f x dF )()(=,则称)(x F 为)(x f 的一个原函数 定义2.函数 )(x f 的全体原函数C x F +)(叫做)(x f 的不定积分，，记为: ?+=C x F x x f )(d )( 其中 )(x f 叫做被积函数 x x f d )(叫做被积表达式 C 叫做积分常数 “ ?”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式 性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 ()?==' ? x x f x x f x f x x f d )(d )(d )(d )(；. 性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 ?+=+=?'C x f x f C x f x x f )()(d ,)(d )(或 性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即 ?≠=?)0(d )(d )(k x x f k x x kf . 性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即 []??±=?±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )()( 基本积分公式 (1)?+=C kx x k d (k 为常数) (2)C x x x ++= ?+1 1 1d μμμ(1-≠μ) (3)C x x x +=?ln d 1 (4)? +=C e dx e x x (5)? +=C a a x a x x ln d (6)?+=C x x x sin d cos (7)? +-=C x x x cos d sin (8)?+=C x x x tan d sec 2 (9)?+-=C x x x cot d csc 2 (10)?+=C x x x x sec d tan sec (11)?+-=C x x x x csc d cot csc (12)?++=C x x x x tan sec ln d sec (13)+-=C x x x x cot ln d csc (14)C x x +=arctan d 1
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2d () x x ax b +? ＝ 21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +? ＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -
14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18 ． x ? ＝2a x -+ （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++
2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重要公式总结（基本积 分表） 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。 其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经
常 用 高 数 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? C 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1ln 2ax b C a ++
空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：空间两点的距离：ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+?=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距式方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 302),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++?? ? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A
高数积分总结 一、不定积分 1、不定积分的概念也性质 定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有 F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。 定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作 ?dx x f )(。 性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则 ???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。 性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则 ??=dx x f k dx x kf )()(。 2、换元积分法 (1)第一类换元法： 定理1：设f(u)具有原函数，)(x ?μ=可导，则有换元公式 ) (])([)(')]([x d f dx x x f ? μμμ??=??=。
例：求?xdx 2cos 2 解 ????=?=?=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得 ?+=C x xdx 2sin 2cos 2 (2)第二类换元法： 定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设 )(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式 ,] )(')]([[)() (1 x t dt t t f dx x f -=??=ψ ψψ 其中)(1 x -ψ是)(t x ψ=的反函数。 例：求? >+)0(2 2 a a x dx 解 ∵t t 2 2sec tan 1=+， 设 ??? ??<<-=22 tan ππ αt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+， 于是 ? ??==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 222 ∴C t t a x dx ++=+?tan sec ln 2 2 ∵a a x t 2 2sec += ，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a a x a x a x dx +++=+??? ? ? ?++ =+? ，
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++， ， ， 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
-辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮?
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
由十个例题掌握有理分式定积解法 【摘要】 当被积函数为两多项式的商 () () P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结 【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分 两个多项式的商 () () P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式. 1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 例1.2 422 23 1 x x dx x +++? ()222 2 2131 x x x dx x ++-=+? 解 原式 2 2 2212311 x x dx dx dx x x =+-++??? ()42 2222 2 22 222223321.11 311 31 13111 31 arctan x x dx x x x x dx x x x dx dx x x dx dx x x dx dx dx x x x x C +++-=+=-+? ?=-- ?+?? =-++=--+?????????例 解 原式
3 24arctan 3 x x x C = +-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如： 2221111x dx dx x x ? ?=- ?++?? ?? 对于真分式 () () P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和： ()()P x Q x ()()()() 1 212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为 把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、() () 1k P x x a -、 () () 22 l P x x px q ++等三类函数，则多项 式的积分容易求的 2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分 2.1 类型一 ()m k ax b dx cx +? 例2.1.1 () 3 2 1x dx x -? 322 331 =x x x dx x -+-?解 原式 211 =33xdx dx dx dx x x -+-???? 211 =332x x In x C x -+++ 总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数， 然后利用常见积分公式进行运算 2.2 类型二 () k m cx dx ax b +?
高等数学重要公式（必记） 一、导数公式： 二、基本积分表： 三、三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x )
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
综述：高数下册，共有如下几类积分：二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分。其中，除线积分外，个人认为，拿到题后，首先应用对称性把运算简化，线积分的对称性，不太常用，可以参照面积分的对称性，将积分曲面换成积分曲线即可，恕不赘述。另外要注意线积分和面积分的方向性，线积分以逆时针为正方向，面积分以坐标轴正向为正方向。 二重积分 对称性： 积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0： 被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：分别对x、y积分，将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换元 三重积分 对称性： 积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0； 被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：先重后单||先单后重（极坐标）||柱坐标||球坐标 第一类线积分 x,y,z型：具有关于参数t的表达试，用基本公式，转化成关于t的积分 x,y型：排除上一种条件的话，通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分 第二类线积分 方法： 1、用曲线的切线的方向角余弦，转化成第一类线积分 2、有参数t，可以转化成关于t的积分 3、将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分 4、封闭曲线，通常自己构造，可采用格林公式转化为二重积分 另：注意与路径无关的积分
第一类面积分 对称性： 积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0： 被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍 计算方法：常规的话，只有一种，转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式。 第二类面积分 对称性: 积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的偶函数，则结果为0： 被积函数是关于z的奇函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍 （注意区别于第一类） 计算方法： 1、用曲面的切线的方向角余弦，转化成第一类面积分 2、转化为二重积分，直接在前面添正负号即可 3、封闭曲面，可以用高斯公式，转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的，所以注意减掉构造面，并注意方向 4、斯托克斯公式，转化为第二类线积分，不常用 PS：用函数表达式，可以化简线面积分的被积函数，另有积分相关考点，旋度，散度，质量，质心，转动惯量，求曲面侧面面积，顶面面积，曲顶柱体体积~~~多多复习，牢记公式，一定可以渡过积分这个难关~
高数积分总结
高数积分总结 一、不定积分 1、不定积分的概念也性质 定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有 F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。 定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作 ?dx x f )(。 性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则 ???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。 性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则 ??=dx x f k dx x kf )()(。 2、换元积分法 (1)第一类换元法： 定理1：设f(u)具有原函数，)(x ?μ=可导，则有换元公式 ) (])([)(')]([x d f dx x x f ? μμμ??=??=。
例：求?xdx 2cos 2 解 ????=?=?=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得 ?+=C x xdx 2sin 2cos 2 (2)第二类换元法： 定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设 )(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式 ,] )(')]([[)() (1 x t dt t t f dx x f -=??=ψ ψψ 其中)(1 x -ψ是)(t x ψ=的反函数。 例：求? >+)0(2 2 a a x dx 解 ∵t t 2 2sec tan 1=+， 设 ??? ??<<-=22 tan ππ αt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+， 于是 ? ??==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 222 ∴C t t a x dx ++=+?tan sec ln 2 2 ∵a a x t 2 2sec += ，且0tan sec >+t t