第六章 微分方程
一、一阶微分方程
1、一阶线性方程
)()(x Q y x P dx
dy
=+
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx
x P +??
=?-通解
2、伯努利方程
)1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x
y
n ).()(d d 1111x Q y x P x
y n n n
=+?---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程
1．)()(x f y n =
n 次积分
2．
)',("y x f y = 不显含y
令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。
3．
)',("y y f y = 不显含自变量
令)('y p y =，dy
dp
p dx y d =22，化为一阶方程。 三、线性微分方程
)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++--Λ，
0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。
1．二阶线性齐次线性方程
0)()(=+'+''y x Q y x P y （1）
如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解，
则
)()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。
如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解,
则
)()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解.
两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为
C x y x y ≡/)
()
(21（常数）
2．二阶线性非齐次线性方程
设
)(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+''
的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则
)()(*
x y x Y y += 是该方程的通解.
设)(*
1x y 与
)(*
2x y 分别是二阶线性非齐次方程
)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''
的两个特解。则+
)(*
1x y )(*
2x y 是
)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''
的特解。（叠加原理）
3.二阶线性常系数齐次方程
0'"=++qy py y
特征方程02
=++q pr r ，特征根
,r r 4．二阶线性常系数非齐次方程
i) 如果
x m e x P x f λ)()(=,
则二阶线性常系数非齐次方程具有形如 x m k e x Q x y λ)(*= 的特解。
其中，)(x P m 是
m 次多项式, )(x Q m 也是系数待定的m 次多项式；
2,1,0=k 依照λ为特征根的重数而取值.
i)
如果
[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=,
则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为
[]
x
x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()
2()1(*+=
其中)(),()
2()1(x R x R m m 是系数待定的m
次多项式,
{}n l m ,m ax =,
1,0=k 依照ωλi +特征根的重数取值.
四、欧拉方程
二阶欧拉方程
)(2
x f qy y px y x =+'+''，其中q p ,为常数. 作变换
t
e x =，则有 dt
dy x dx dt dt dy dx dy 1=?=,
???
?
??-=dt dy dt y d x dx y d 222221。 原方程变为二阶线性常系数方程
)()1(2
2t
e f qy dt
dy p dx y d =+-+。 第七章 空间解析几何
一、1、φβαβαsin ||||||ρ
ρ
ρ
ρ
=?，其中φ是α
ρ
与βρ
的夹角；
2、向量积满足下列运算律：
1）反交换律 )(αββαρρρ
ρ?-=?；
2）结合律 )()()(βλαβαλβαλρρ
ρρρρ
?=?=?，其中λ是数量 ；
3） 左分配律 βγαγβαγρ
ρρρρρρ?+?=+?)(，
右分配律 γβγαγβαρ
ρρρρρρ
?+?=?+)(．
3、
3
21
3212
12131313232b b b a a a k j i k b b a a j b b a a i b b a a ρρρρρρρ
=+-=?βα 4、若0},,{321ρρ
≠=a a a α，则αααρ
ρρ|
|10=称为α
ρ单位化向量，并有
||αααρρρ=．此时
}cos ,cos ,{cos ,
,
2
322213
23
22
2
1
22
3222110
γβαα=??
?
???????++++++=a a a a a
a a a a a a a ρ
其中γβαcos ,cos ,cos 是αρ
的方向余弦．
三、1、旋转面方程
yoz 平面上的曲线C ：??
?==0
0),(x z y f 绕z 轴的旋转面方程为0),(2
2=+±z y x f ；绕y 轴的旋转面方程为0),(22=+±z x y f ．类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴
的旋转面方程．
2、柱面方程 以xoy 平面上的曲线
C ：???==0
0),(z y x f 为准线，母线平行于
z 轴的柱面方程为
0),(=y x f ．同理方程0),(=z y g 和0),(=z x h 分别表示母线平行于x 轴和y 轴的柱面．
3、曲线在坐标面上的投影
在空间曲线的方程 ???==0
),,(0),,(:21z y x F z y x F C 中，经过同解变形分别消去变量z y x ,,
，则可得
到C 在yoz 、xoz 、xoy 平面上的投影曲线，分别为：??
?==0
),(x z y F ；
??
?==0
),(y z x G ； ?
?
?==00
),(z y x H 四、1、平面方程
1）点法式：过点),,(0000z y x P ，法向量
},,{C B A n =ρ
的平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，
2）一般式： 0=+++D Cz By Ax ，其中C B A ,,不全为零．
3）截距式：1=++c
z
b y a x
4）两个平面之间的关系
设两个平面Π1与Π2的法向量依次为},,{1111C B A n =ρ
和},,{2222C B A n =ρ
．Π1
与Π2的夹角θ规定为它们法向量的夹角（取锐角）．此时
2、直线方程
1）一般式：将直线表示为两个平面的交线
??
?=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A ． 2）若直线L 经过点),,(0000z y x P 且与方向向量0},,{ρρ
≠=n m l v 平行，则L 的
方程为
i) 对称式：
n
z z m y y l x x 000-=-=-．
ii) 参数式：??
?
??+=+=+=t
n z z t m y y t l x x 000，+∞<<∞-t
．
3）两条直线之间的关系
设两条直线L 1和L 2方向向量分别为
},,{,},,{22221111n m l v n m l v ==ρ
ρ，L 1 与 L 2 的
夹角θ规定为它们方向向量的夹角（取锐角）．于是
22
22222121212121212121|
|||||||cos n m l n m l n n m m l l v v v v ++?++++=
??=ρρρ
ρθ
3、直线与平面的关系
设直线L 的方向向量为},,{n m l v =ρ，平面 Π 的法向量为},,{C B A n =ρ
．L 与Π
的夹角φ规定为L 与它在Π上投影直线'L 的夹角（锐角）．这时
2
22222|
|||||||sin C B A n m l nC mB lA n v n v ++?++++=
??=ρρρρφ．
L 与 Π 垂直的充要条件是
C
n
B m A l == ．
L 与 Π 平行的充要条件是
0=++nC mB lA
五、1、椭圆抛物面：
2
222b
y a x z +=，
2
2 2 2
2
2
2 1 2
1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2
1 |
| | | | | | | co
C
B A
C B A C C B B A A n
n n n
其中0,0>>b a （图3）．
例如22y x z +=，22y x z +=-等．
2、椭圆锥面： 2
2
222b y a x
z +=
，
其中
0,0>>b a （图4）．
例如，圆锥面2
22
y x z
+=．
3、单叶双曲面
122
2222=-+c
z b y a x ， 其中0,0,0>>>c b a （图5）． 例如 12
22=-+z y x ．
4、双叶双曲面 122
2222-=-+c
z b y a x ， 其中0,0,0>>>c b a
（图6）．例如
12
22=--y x z ．
第八章 多元函数的微分学
一、1．偏导数
图4
y
6）
x
y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?)
,(),(lim
),(00000
00
[]0
'
),(),(000x x x y x f y x f ==
对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数． 2．高阶偏导数
二元函数),(y x f 的二阶偏导数
),(),(112
2y x f y x f x z
x z x xx ==??=
??? ?????? ，或 11f ，11z ； ),(),(122y x f y x f y
x z
x z y xy ==???=
??? ??????，或 12f ，12z ； ),(y x f xy 及),(y x f yx 称为二阶混合偏导数
3、全微分
二元函数),(y x f z =在点),(y x 处的全微分
dy y
z dx x z dz ??+??=
三元函数),,(z y x f u =的全微分，并有
dz z
u dy y u dx x u du ??+??+??=
4、可微、可导、连续的关系
在多元函数中，可微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同．在多元函数中
1）可微必可导，可导不一定可微； 2）可微必连续，连续不一定可微； 3）可导不一定连续，连续不一定可导
5、复合函数的偏导数
假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式（链式法则）：
a.若),(v u f z =，)(x u
?=，)(x v ψ=，
则复合函数)](),([x x f z ψ?=的导数为
dx dz =dx du u z ??+dx
dv
v z ??； b.若),(v u f z =，),(y x u ?=，),(y x v ψ=，
则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=的偏导数
x z ??=x u u z ????+x
v
v z ???? ， y z ??=y u u z ????+y v v z ????；
6、隐函数的偏导数
1）方程 0),(=y x F 所确定的隐函数的导数为
y
x F F
dx dy -=． 2）方程 0),,(=z y x F 所确定隐函数的偏导数为
z x F F x z -=?? ， z
y F F y z
-=??． 二、1、取得极值的必要条件
如果函数),(y x f z
=在点),(000y x P 的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极
值，则 0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y ． 可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点．
2．取得极值的充分条件
设),(y x f z =在驻点),(00y x 的某个邻域内有二阶的连续偏导数． 令),(00y x f A xx =, ),(00y x f B xy =,
),(00y x f C yy =, AC B -=?2，
于是有
1）如果0
当0A 时，),(00y x f 是极小值． 2）如果0>?，则点),(00y x 不是函数的极值点．
3）如果0=?，则函数),(y x f z =在点),(00y x 有无极值不能确定，需用其它方
法判别． 3．条件极值
1）求二元函数),(y x f z =在约束条件),(y x ?=0下的极值，可以按照如下步骤进行：
i) 构造拉格朗日函数 ),(),(),(y x y x f y x L λ?+=；
ii) 解方程组 ??
???????==+=??=+=??0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y L y x y x f x
L
y y x x ??λ?λ
．
若 000,,y x λ是方程组的解，则),(00y x 是该条件极值问题的可疑极值点．
三、多元微分学的几何应用
1．空间曲线的切线与法平面
给定空间曲线 ??
?
??===)()()(:t z z t y y t x x L ，其中的三个函数有连续的导数且导数不同时
为零（光滑曲线）．L 上的点),,(0000z y x P 对应的参数为0t
．则曲线L 在点
),,(0000z y x P 处的切向量为})(',)(',)('{000t z t y t x ，此时的切线方程为
)
(')(')('00
0000t z z z t y y y t x x x -=-=- ． 曲线L 在点),,(0000z y x P 的法平面方程为
))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x
2．曲面的切平面与法线
给定曲面∑的方程0),,(=z y x F ，函数),,(z y x F 有连续的偏导数且三个偏导数不同时为零（光滑曲面）．点),,(0000z y x P 是∑上的一个点．则曲面∑在点
),,(0000z y x P 处的法向量为
}),,(,),,(,),,({000000000z y x F z y x F z y x F z y x ，
此时的切平面方程为
0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，
曲面∑在点),,(0000z y x P 的法线方程为
)
,,(),,(),,(0000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ．
四．方向导数与梯度
1．若函数 ),,(z y x f u =在点),,(z y x P 可微，方向l 的方向余弦为
γβαcos ,cos ,cos ，则函数在点),,(z y x P 沿方向l 的方向导数为
γβαcos cos cos z
u y u x u l u ??+??+??=??． 2．设函数),,(z y x f u =在空间区域G 内可微，
则函数在点),,(0000z y x P 处的梯度定义为一个向量grad )
,,(000z y x f ＝
k z y x f j z y x f i z y x f z y x ρω
ρ),,(),,(),,(000000000++．
梯度方向是函数变化率最大的方向．在梯度方向上函数的方向导数取得最大值
|),,(grad |000z y x f ．
第九章 重积分
一、 二重积分的计算
||D d D
=??σ
1．直角坐标下二重积分的计算 1）若积分区域可以表示为D ：,b x a ≤≤
)()(21x y x ??≤≤，则
?
???
=)()
(21),(),(x x b
a
D
dy y x f dx dxdy y x f ??
2）若积分区域可以表示为 D ：
,
d y c ≤≤
)()(21y x y ψψ≤≤，则
?
???
=)()
(21),(),(y y d
c
D
dx y x f dy dxdy y x f ψψ．
2．极坐标下二重积分的计算
直角坐标与极坐标的关系为 ???==θθ
sin cos r y r x
，.20,0πθ<≤+∞<≤r
此时面积元素为θσrdrd d =或θrdrd dxdy =．若在极坐标下积分区域可以表示
为 )()(,:21θ?θ?βθα≤≤≤≤r D ，则
?
?????
==)()
(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(θ?θ?β
α
θθθθθθrdr
r r f d rdrd r r f dxdy y x f D
D
二、三重积分的计算
||1Ω==??????Ω
Ω
dv dv ，||Ω表示Ω的体积．
1．直角坐标下三重积分的计算 1）“先一后二”法
若积分区域可表示为
Ω:),(),(,)()(,
2121y x z z y x z x y y x y b x a ≤≤≤≤≤≤，则
?
?????=Ω
),()
,(21),,(),,(y x z y x z D dz
z y x f dxdy dxdydz z y x f xy
?
?
?=),()
,()()
(2121),,(y x z y x z x y x y b
a
dz z y x f dy dx
其中xy D 是Ω在xoy 坐标面上的投影． 2) “先二后一”法
设积分区域Ω在z 轴上的投影区间为],[d c ．用平面z =z （常数）去截Ω，截
面为z D ．则
???
???=Ω
z
D d c
dxdy z y x f dz dxdydz z y x f ),,(),,( 其中
??z
D dxdy z y x f ),,( 是将z
D
投影到xoy 坐标面上所做的二重积分．
2．柱面坐标下三重积分的计算
直角坐标与柱面坐标的关系为 ??
?
??+∞
<<∞-=<≤=+∞<≤=z z z r y r r x πθθ
θ20sin 0cos ,
，
则体积元素为dz rdrd dv θ=或 dz rdrd dxdydz θ=．
若积分区域在柱面坐标下可表示为
:Ω,βθα≤≤)()(21θθr r r ≤≤，),(),(21θθr z z r z ≤≤，则
??????Ω
Ω
=dz
rdrd z r r f dxdydz z y x f θθθ),sin ,cos (),,(
?
?
?=),()
,()()
(2121),sin ,cos (θθθθβ
α
θθθr z r z r r rdz z r r f dr d
3．球面坐标下计算三重积分
直角坐标与球面坐标的关系为??
?
??===??θ?θcos sin sin sin cos r z r y r x ，πθπ?2000<≤≤≤+∞<≤r ，
体积元素为θ??d drd r dv sin 2
= 或 θ??d drd r dxdydz sin 2
=． 如果积分区域在球面坐标下可表示为
Ω：
,
βθα≤≤
)
,(),(,)()(2121θ?θ?θ??θ?r r r ≤≤≤≤，则
??????
Ω
Ω
=θ
????θ?θd d dr r r r r f dxdydz z y x f sin )cos ,sin sin ,sin cos (),,(2
.sin )cos ,sin sin ,sin cos (),()
,(2)()
(2121?
?
?=θ?θ?θ?θ?β
α
???θ?θ?θr r dr r r r r f d d
4.简算：对称奇偶性， 重心公式。
三、重积分的应用
1．曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积 ??=D
dxdy y x f V ),(．
2．质量
密度为0),(≥y x ρ，则平面板的质量 ??=
D
dxdy y x M ),(ρ．
密度为0),,(≥z y x ρ ，则物体的质量为???Ω
=dxdydz z y x M ),,(ρ ．
3．曲面面积
设曲面∑的方程为 ),(y x f z =，D y x ∈),(，其中D 是有界闭区域，),(y x f 在
D 上有连续的偏导数．则曲面∑的面积为
??++=D
y x d y x f y x f S σ),(),(122．
面积微元σd y x f y x f dS y x ),(),(12
2++=
第十一章 无穷级数
一、
1、a.收敛±收敛＝收敛，收敛±发散＝发散，发散±发散＝敛散不定。 b.收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变.
2、两个重要级数及其敛散性
1）几何级数
1
211
(0)n n n aq
a aq aq aq a ∞
--==+++++≠∑L L .
当
1q <时该级数收敛，其和为
1a
q
-；当1q ≥时该级数发散. 2）
p -级数
11111
1(0)23p
p p p n p n
n ∞
==+++++>∑L L . 当
1p >时，该级数收敛；当1p ≤时，该级数发散.
当1p =时称级数11111
123n n
n ∞
==+++++∑L L
为调和级数，它是一个发散级数.
二、 正项级数的审敛法 （
1
n
n u
∞
=∑，0n u ≥）
1）（比较审敛法）
设
1
n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑都是正项级数，且(1,2,).n n u v n ≤=L
若强级数
1
n
n v
∞
=∑收敛，则弱级数
1
n
n u
∞
=∑收敛；
若弱级数
1
n
n u
∞
=∑发散， 则强级数
1
n
n v
∞
=∑发散.
2) (比较审敛法的极限形式)
设
1
n n u ∞
=∑与1
n
n v
∞
=∑都是正项级数.
如果
lim (0<<+),n n n
u l l v →∞=∞ 则级数
1
n
n u
∞
=∑和级数
1
n
n v
∞
=∑同时收敛或同时发散.
（若0=l
或+∞=l 如何）
3) （比值审敛法）
若正项级数
1
n
n u
∞
=∑满足
1
lim
n n n
u u ρ+→∞=，
则当1ρ<时，级数收敛；
1ρ>时，级数发散；
1ρ=时，级数可能收敛也可能发散.
4）（根值审敛法）
若正项级数
1
n
n u
∞
=∑满足
lim n ρ→∞
=,
则当1ρ<时，级数收敛；
1ρ>时，级数发散;
1ρ=时，级数可能收敛也可能发散.
5. 交错级数的莱布尼兹审敛法
设0n
u >,则称级数1
1(1)n n
n u ∞
-=-∑为交错级数.
定理（莱布尼兹审敛法）
设
11
(1)n n n u ∞
-=-∑为交错级数.如果n u 满足：
1）对一切自然数
n 有1n n u u +≤；
2）lim 0n
n u →∞
=，则1
(1)n
n n u ∞
=-∑收敛，且其和1s
u ≤.
6．级数的绝对收敛和条件收敛
如果级数
1n
n u
∞
=∑收敛，则称级数
1
n
n u
∞
=∑绝对收敛.
如果
1
n
n u
∞
=∑收敛，而
1
n
n u
∞
=∑发散，称级数
1
n
n u
∞
=∑条件收敛.
对任意项级数，如果它绝对收敛，则它必收敛.
三、幂级数(∑∞
=-0
0)
(n n
n x x a ，
∑∞
=0
n n
n x a ) 1．阿贝尔定理
2．幂级数∑∞
=0n n
n x a
收敛半径 +∞≤≤R 0； 收敛区间),(R R -。 收敛域：收敛区间加入收敛的端点 收敛半径的求法
1）对于幂级数1n
n n a x
∞
=∑，如果1lim
n n n
a a ρ+→∞
=，则1
R ρ
=
；
2）对于幂级数1
n n n a x ∞
=∑，如果ρ=→∞n n
n a ||lim ，则1R ρ=
2. 幂级数的性质
性质1. （和函数连续性）幂级数的和函数在收敛域内是连续的。 性质2.（逐项积分）
设幂级数0
n
n
n a x ∞
=∑和函数
()s x 在收敛区间可逐项积分
1
00
000()()1
x
x
x
n
n
n n n n n n n a s t dt a t dt a t dt x
n ∞
∞
∞
+======+∑∑∑?
??
逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.
性质3.（逐项求导）
幂级数0n
n
n a x ∞
=∑的和函数()s x 在收敛区间内有逐项求导公式：
10
()()()n
n
n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞
-==='''===∑∑∑,
逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径. 3．幂级数的运算 1）幂级数的加减法
若收敛域b a I I ≠，则
∑∞
=±0
)(n n n n
x b a
的收敛域为b a I I ?。
2）幂级数的乘法
设幂级数
∑∞
=0
n n n
x a 与∑∞
=0
n n
n
x
b 的收敛半径分别为b a
R R ,，},m in{b a R R r =.
则这两个幂级数乘积的收敛半径r R ≥，且在),(r r -上恒有
???? ??∑∞
=0n n
n x a ??? ??∑∞=0
n n n x b ∑∞
=-+++=
0110)(n n
n n n x b a b a b a Λ
4. 函数的幂级数展开式 设
()
f x 在
x x =点附近有任意阶导数，则称幂级数
()
20000000()()
()()()()()2!!
n n f x f x f x f x x x x x x x n ''+-+-++-+L L
为
()f x 在0x 点的泰勒级数，
称()0()
!
n n f x a n = (0,1,2)n =L 为()f x 在0x 点的泰勒系数.
特别，当0
0x =时，称幂级数
()2(0)(0)(0)(0)2!!
n n
f f f f x x x n ''+++++L L
为
()f x 的马克劳林级数，称()(0)
!
n n f a n =为()f x 的马克劳林系数.
根据函数的幂级数展开式的唯一性知，如果()f x 在0x x =点的一个邻域内能展
开成幂级数，则该幂级数必为
()f x 在0x 点的泰勒级数.
设函数
)(x f 在点0x 的邻域内有任意阶导数，则该函数在点0x 能展开为泰勒级数的
充要条件：
)(x f 在点0x 的泰勒级数的余项趋于零。
5．几个常用函数的幂级数展开式：
1)20111 , (-,)!
2!!n x
n
n x e x x x x n n ∞
===+++++∈∞+∞∑L L 2) 2
21
3210(1)1(1)sin (21)!
3!(21)!n n n n n x x x x x n n ∞
++=--==-+++++∑L L
，
(,)x ∈-∞+∞.
3)
22240
11cos (1)1(1)(2)!2!4!(2)!n n
n
n n x x x x x n n ∞
==-=-+++-+∑L L ,(,)x ∈-∞+∞ 4)
1234
1
(1)ln(1)234n n n x x x x x x n -∞
=-+==-+-+∑L
,
(11)x -<≤.
5)
230
1
11n n n x x x x x x ∞
===++++++-∑L L ,
11x -<<.
6)
(1)(1)(1)!n
n n x x
n α
ααα∞
=--++=∑
L =
2(1)
(1)(1)
12!
!
n n x x x n αααααα---+++
++
+L L L
当α不是正整数时，其收敛半径1=R
.
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
第十章：微分方程总结姓名：刘桥 学号：40905237 班级：工商49班 小组：第八小组 组长：刘洪材
一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义 微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程） ()() ,dy axy a dx dy p x y Q x dx =+=为常数 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程） () 22,2224 2 u u f x y x y u u y x ??+=????=?? 微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2：一阶微分方程 (,,)0,(,);F x y y y f x y ''== 高阶(n )微分方程 ()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,, ,).n n y f x y y y -'= 分类3：线性与非线性微分方程. ()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+= 分类4：单个微分方程与微分方程组. 32,2,dy y z dx dz y z dx ?=-??? ?=-?? 2. 微风方程的解 微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与 微分方程的阶数相同.）
,y y '=例;x y ce =通解 0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解 特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.） 初始条件：用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线 二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程 可分离变量的微分方程：形如： ()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味：求方程()290y dy x dy ye ++ =的通解 分离变量得，21 9 y ye dy dx x = + 两边同时积分得， 2 1 9y ye dy dx x =- +?? 于是得到通解为，()11arctan 33 y x y e c -=+ 2. 齐次方程 如果一阶微分方程可化为()dy y f dx x =形如的方程，那么久称之为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x = ,y xu =或 两边分求微分得， ,dy udx xdu =+ 代入原式得，(),du u x f u dx +=().du x f u u dx =-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得， ()du dx f u u x =-. 两边分别积分得， ()du dx f u u x =-? ? 求出积分后，将y u x = 代入，就求得了原微分方程的通解. 例题回味：求解微分方程(cos )cos 0.y y x y dx x dy x x -+=
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程 精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次 令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p， 即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。 令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1
高等数学（微积分、微分方程、数理方程） 一、极限 1.定义; 2.序列的极限; 3.函数的极限; 4.极限的运算。 二、函数 1.连续; 2.奇函数和偶函数; 3.复合函数; 4.函数的几种表示方法; 5.常用的几种初等函数及其性质; 6.隐函数。 三、导数与微分、偏导数与全微分 1.导数与偏导数的计算; 2.复合函数和隐函数的导数与偏导数的计算; 3.微分与全微分的计算; 4.一阶微分的形式不变性。 四、矢量分析和场论 1.梯度、散度、旋度的定义及计算； 2.矢量的导数。 五、导数与微分的应用 1.切线方程; 2.函数的增减、凸凹及拐点; 3.极值、最值; 4.曲率; 5.条件极值; 6.渐近线。 六、Taylor级数 1.Taylor级数公式; 2.函数的级数展开; 3.级数的收敛性及收敛半径; 4.级数的求和; 5.常用的Taylor级数。 七、不定积分 1.不定积分的基本性质; 2.分部积分法; 3.换元积分法; 4.简单的不定积分公式。 八、定积分 1.定积分的定义及几何意义; 2.定积分的基本性质; 3. 分部积分法; 4.换元积分法; 5.奇函数与偶函数在对称区间上的积分。 6.积分号F的微商; 7.广义积分; 8.积分的应用。 九、曲线积分、曲面积分和重积分 1.定义; 2.性质; 3.计算; 4.应用。 十、Fourier级数 1.正弦级数与余弦级数; 2.复数形式的Fourier级数;
3.任意函数的Fourier级数; 4.解析延拓。 十一、常微分方程 1.一阶线性常微分方程; 2.二阶常系数线性常微分方程; 3.Euler方程。 十二、偏微分方程 1.二阶线性偏微分方程的分类; 2.分离变量法; 3.本征值问题; 4.球坐标系,柱坐标系和平面极坐标系中的Laplace算子。 参考书： a). 《高等数学》（第三版）同济大学数学教研室主编，高等教育出版社1996年 b). 《高等数学讲义》樊映川编高等教育出版社1989年 c).《数学物理方法》梁昆淼编高等教育出版社1998年
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 2 22=-+c z a y x （把xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~α αββ'', 且lim βα''存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123; (2)lim lim n n n n y z a →∞→∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0 lim ln 0n x x x + →=, 0, x x e x →-∞ ?→?+∞→+∞ ?
高等数学微分方程练习 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
（一）微分方程的基本概念 微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 1.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 2.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x += 称为一阶线性微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解. 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解. 1.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 2.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 3.是微分方程的通解． A.正确 B.不正确
4.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. （二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是： （1）分离变量：1221()()()() g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解. 1.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 2.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 3.微分方程的通解是（ ）． A. B. C. D. 4.微分方程的通解是（ ）．
第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1. （等价小量与洛必达） 2. 已知 （洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数，
（变量替换）5. 解：令 6. （变量替换） 7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1.（洛必达）
2. （洛必达或Taylor） 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的 计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
第六章 常微分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=?=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ?上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1()() dy g y g y ?表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例1】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ??=+ ????，则()f x 等于 （ ） （A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e + 【例2】已知曲线()()10,,,2y f x x y ? ?=- ??? 过点且其上任一点处的切线斜率为