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必修1第一章集合与函数基础知识点整理
第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
¤知识要点：
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或
N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.
¤例题精讲：
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.
（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.
【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .
解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；
由325k +=-，解得7
3
k Z =∉，所以5A -∉；
由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2
y x =
的自变量的值组成的集合. 解：（1）3
{(,)|}{(1,4)}26
y x x y y x =+⎧=⎨
=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x
==≠.
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.
*【例4】已知集合2{|1}2
x a
A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程
21
2
x a x +=-为：2
(2)0x x a --+
=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为1
2
x =，合．
2
A B
B A A B A B A ． B ．
C ．
D ．
⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合． ⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合． 综上可知，9{,2,2}4
A =--．
点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现
象.
第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系
¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.
¤知识要点：
1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.
2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.
3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠
⊂B （或B ≠⊃A ）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；
若A B A =I ，则A B ⊆；若A B A =U ，则B A ⊆. ¤例题精讲：
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；
（2）=， ∈， ，. 【例2】设集合1
,,}22
{|,{|n n x n n A x x B x =
∈=+∈==Z}Z ，
则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.
解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222
B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅， 易知B ≠
⊂A ，故答案选A ．
另解：由21
,}2
{|n x n B x +=
∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．
【例3】若集合{}
{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.
解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123
a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或
12或1
3
-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨
论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2
}. 若A =B ，求实数x 的值.
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解：若2
2a b ax a b ax
+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2
=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若2
2a b ax a b ax
⎧+=⎨
+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2
-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12
x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12
x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.
第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）
¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
¤知识要点：
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到 并集 交集 补集
概念
由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ） 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集（intersection set ） 对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，
称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）
记号
A B U （读作“A 并B ”） A B I （读作“A 交B ”） U A ð（读作“A 的补集”） 符号 {|,}A B x x A x B =∈∈U 或 {|,}A B x x A x B =∈∈I 且
{|,}U A x x U x A =∈∉且ð
图形
表示
¤例题精讲：
【例1】设集合,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<
(){|1,9}U C A B x x x =<-≥U 或，
【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：
（1）()A B C I I ； （2）()A A B C I U ð. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------Q . （1）又{}3B C =Q I ，∴()A B C =I I {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =Q U ， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------U . ∴ ()A A C B C I U {}6,5,4,3,2,1,0=------.
【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =I ，求实数m 的取值范围. 解：由A B A =I ，可得A B ⊆.
在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.
U
A
-2 4 m x
B A
A B
B A I
4
点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B U ，()U C A B I ，
()()U U C A C B I ， ()()U U C A C B U ，并比较它们的关系.
解：由{1,2,3,4,5,8}A B =U ，则(){6,7,9}U C A B =U . 由{5,8}A B =I ，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B =I 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =I ，
()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =U .
由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =U I ，
()()()U U U C A C B C A B =I U .
另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.
点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =U I 与()()()U U U C A C B C A B =I U ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.
第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）
¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.
¤知识要点：
1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =I U ,()()()U U U C A B C A C B =U I .
2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-U I .
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：
【例1】设集合{}
{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =I ，求实数a 的值. 解：由于{}
{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =I ，则有：
当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.
3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，
不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.
所以，3a ＝－.
【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B U , A B I .（教材P 14 B 组题2）
解：{1,4}B =.
当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =U ，A B =∅I ； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =U ，{1}A B =I ； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =U ，{4}A B =I ；
当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =U ，A B =∅I .
点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质
和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A I B =B ，求实数a 的值．
解：先化简集合A ={4,0}-. 由A I B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.
(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；
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当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．
(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；
当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合
{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集
为{|,}U C A x x x A =∈∉U 且”而拓展）
解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则
{1,3,4,7,8}A B -=.
点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B I .
第5讲 §1.2.1 函数的概念
¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
¤知识要点：
1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作
y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.
2. 设a 、b 是两个实数，且a
{x |a ≤x
符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则
{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域： （1）1
21
y x =
+-；（2
）y =
.
解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞U U .
（2
）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，
所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞U .
【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）32
54x y x
+=
-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5
{|}4
x x ≠.
32112813(45)233233305445445445444
x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.
6
（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4
-∞. 【例3】已知函数1(
)1x
f x x
-=+. 求：
（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1
(2)3f =-.
（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=
+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x
f x x
-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需
要结合换元法、特值代入、方程思想等.
【例4】已知函数2
2
(),1x f x x R x =∈+.
（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111
(1)(2)(3)(4)()()()234
f f f f f f f ++++++.
解：（1）由22222222
2
1
111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.
（2）原式11117
(1)((2)())((3)())((4)())323422
f f f f f f f =++++++=+=
点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.
第6讲 §1.2.2 函数的表示法
¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.
¤知识要点：
1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.
2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.
3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.
判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .
¤例题精讲：
【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．
解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.
又由20a x >－，解得2
a x <
. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2
a x x <<.
【例2】已知f (x )=333322x x x x
-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)
(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.
解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32.
又 ∵ 32>1，
∴ f (32)=(32)3+(32)-3
=2+
12=52，即f [f (0)]=52
. 【例3】画出下列函数的图象：
（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3）
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（2）|1||24|y x x =-++.
解：（1）由绝对值的概念，有2,2
|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩
.
所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.
（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪
=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩
，
所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.
点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.
【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.
解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3
x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪
=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪
=⎩. 函数图象如右：
点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.
第7讲 §1.3.1 函数的单调性
¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.
¤知识要点：
1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从 左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1 ¤例题精讲： 【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1 x f x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222() ()()11(1)(1) x x x x f x f x x x x x --=-= ----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，函数2()1 x f x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性. 解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则 22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++. 若0a <，当122b x x a <≤- 时，有120x x -<，12b x x a +<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2b a -+∞上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间： 8 （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++. 解：（1）33,1 |1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪ =-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩ ，其图象如右. 由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数. （2）22 223,0 2||323,0 x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右. 由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数. 点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象. 【例4】已知31 ()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55 ()322x f x x x +--==+ ++， ∴ 把5 ()g x x -=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位， 得到()f x 的图象，如图所示. 由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增. 点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律. 第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值 ¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值. ¤知识要点： 1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义. 2. 配方法：研究二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成2 24()24b ac b y a x a a -=++后， 当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值2 44ac b a -. 3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单 调性求函数的最大值或最小值. 4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲： 【例1】求函数26 1y x x = ++的最大值. 解：配方为2613()24y x =++，由2133 ()244x ++≥，得260813()24 x < ≤++. 所以函数的最大值为8. 【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润. 解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -g 件，所赚得的利润为 (8)[10010(10)]y x x =---g g . ..下载可编辑.. 即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =. 所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数21y x x =+-的最小值. 解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2. 点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究. 【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48 y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2. 【例4】求下列函数的最大值和最小值： （1）25332,[,]22 y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a =- ，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 9 4y =-. 所以函数253 32,[,]22 y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-. （2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1) x y x x x x x ≥⎧⎪ =+--=--<<⎨⎪-≤-⎩. 作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出. 第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性 ¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性. ¤知识要点： 1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称. 3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系. ¤例题精讲： 【例1】判别下列函数的奇偶性： （1）31 ()f x x x =- ； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有 3311 ()()()()f x x x f x x x -=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有 ()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1 ()()1 f x g x x -= +，求()f x 、()g x . 10 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=. 则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧ -=⎪⎪+⎨⎪--= ⎪-+⎩ . 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21 ()1 g x x =-. 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2 ()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式. 解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称. 作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--. 点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下. 【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--. 【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式 22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围. 解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数， ∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减. 又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减. ∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴ 223332a a a a +->-，解得1a >. 点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反. 集合与函数基础测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2 －6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递减． 2．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ） M N A M N B N M C M N D .. ..下载可编辑.. 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=∅ B. }0{⊆∅ C. }0{⊇∅ D. }0{∈∅ 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－5 9.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ） A. A B Y B. B A I C. B C A C U U I D. B C A C U U Y 11.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．x y = B ．x y = C ．2x y = D ．13 +=x y 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________． 14．函数y ＝ 1 1＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{a b a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M . 三、解答题(共4小题，共44分） 17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合． 18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1． 12 19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式． 20. 已知二次函数2 22)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间. .. ..下载可编辑.. 必修1 第一章 集合测试 集合测试参考答案： 一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB 二、13 ［0，43］，（－∞，－4 3） 14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ； 13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x . 三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）． 所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1． 答案：x ＞3或x ＜－1． 19. ．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力． f （x ）＝x 3＋2x 2 －1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1． 当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1． 20. Θ二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ． ..下载可编辑.. 必修1第一章集合与函数基础知识点整理 第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-. （2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈； 由325k +=-，解得7 3 k Z =∉，所以5A -∉； 由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x = 的自变量的值组成的集合. 解：（1）3 {(,)|}{(1,4)}26 y x x y y x =+⎧=⎨ =-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x ==≠. 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心. *【例4】已知集合2{|1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程 21 2 x a x +=-为：2 (2)0x x a --+ =．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为1 2 x =，合． 高一数学必修第一章知识点第一节实数 实数是指可以在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。 1.1 有理数 有理数是可以表示为两个整数之比的数，可以用分数表示。有理数包括正整数、负整数、零和分数。 1.2 无理数 无理数是不能表示为两个整数之比的数，无限不循环小数或无限循环小数。常见的无理数有根号2、圆周率π等。 第二节幂次方与根式 2.1 幂次方 幂次方是指由底数和指数组成的数，表示为a的n次方，其中a是底数，n是指数。 2.2 幂运算法则 - 乘法法则：a的m次方乘以a的n次方等于a的(m+n)次方； - 除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的(m-n)次方； - 幂的幂：(a的m次方)的n次方等于a的(m*n)次方； - 幂的0次方：任何数的0次方等于1； - 幂的负指数：a的负n次方等于1除以a的n次方。 2.3 根式 根式是求一个数的平方根、立方根等的运算，表示为√a、³√a 等。 2.4 根式的运算法则 - 基本性质：如果a≥0，那么√a≥0； - 乘法法则：√(a*b)等于√a乘以√b； - 除法法则：√(a/b)等于√a除以√b； - 次方：(√a)的n次方等于√(a的n次方)。 第三节整式与分式 3.1 整式 整式是由常数、变量及它们的运算（加法、减法、乘法）组成的代数表达式。 - 单项式：由单个项组成的整式，如3x、-4y²等； - 多项式：由多个项组成的整式，如2x+3y、-4x²+5xy+6等。 3.2 分式 分式是由整式的运算（加法、减法、乘法、除法）和整数指数（有理数）组成的代数表达式。 - 分子：分式的上部，表示为a； - 分母：分式的下部，表示为b； - 分子与分母的关系：如果a和b都是整数，且b不等于0，则表示一个真分式；如果a和b都是整数，且b等于1，则表示一个整式；如果a和b都是整数，且a能被b整除，则表示一个整数； - 分子和分母都为多项式的分式：分式的分子和分母都是多项式。 第四节一元一次方程与一元一次不等式 4.1 一元一次方程 一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。 - 解方程的步骤：去括号、合并同类项、移项、化简、求解。 4.2 一元一次不等式 一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。 高中数学必修一第一章复习参考题及解答 高中数学必修一第一章复习参考题及解答（人教A 版） A 组 1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=. 解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =； （3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点. 解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线； （2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ?，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合 {|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是什么. 解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线， 得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的 垂直平分线的交点，即ABC ?的外心． 4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ?，求实数a 的值. 解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =?，满足B A ?，即0a =； 当0a ≠时，集合1 {}B a =，而B A ?，则11a =-，或11a =， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=， {(,)|23}C x y x y =-=，求A B I ，A C I ，()()A B B C I U I . 解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ?-=? ?==???+=???I ，即{(0,0)}A B =I ； 集合20(,)|23x y A C x y x y ?-=? ?==????-=???I ，即A C =?I ； 集合3039 (,)|{(,)}2355x y B C x y x y ?+=??==-??? -=???I ； 则39 ()(){(0,0),(,)}55 A B B C =-I U I . 6.求下列函数的定义域： （1）y =； （2）||5 y x = -. 解：（1）要使原式有意义，则20 50 x x -≥??+≥?，即2x ≥， 高一数学必修1第一章知识点总结 高一数学必修1第一章主要包括三个部分：集合论、函数与映射、数列与数列的极限。下面将对这三个部分进行总结。 一、集合论 1. 集合的概念：集合是由一些确定的事物（称为元素）构成的整体。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。 3. 集合的运算：并集、交集、补集、差集、元素的判断和包含关系。 4. 集合的性质：幂集、集合的基数和集合的运算律。 二、函数与映射 1. 函数的定义与表示：函数是一个对应关系，每个输入都有唯一的输出。 2. 映射的定义与表示：映射是一个集合到另一个集合的对应关系。 3. 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、判定性质等。 4. 反函数与复合函数：反函数是一个函数的逆过程，复合函数是两个函数的结合。 三、数列与数列的极限 1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数。 2. 等差数列与等比数列：等差数列是指每一项与前一项之差都相等的数列，等比数列是指每一项与前一项之比都相等的数列。 3. 数列的通项公式与递推公式：通项公式是通过数列项的位置计算项的值，递推公式是通过前一项计算后一项的值。 4. 数列的极限：数列极限是数列中项的无限逼近某个数的过程，包括数列的有界性、极限存在与不存在以及数列极限的计算。 综上所述，高一数学必修1第一章主要是基础的数学知识点。通过学习集合论、函数与映射以及数列与数列的极限，可以奠定后续数学学习的基础。这些知识点在高中数学中会贯穿始终，为后续的学习打下坚实的基础。因此，学生应该重视这些知识点的学习，理解其概念、运算法则，尽量多做相关习题，从而提高数学的综合素养和解题能力。同时，也应注重数学的实际运用，将所学的数学知识应用到现实生活中，培养数学思维和解决问题的能力。 高一数学必修1第一章知识点总结 一、集合 (一)集合有关概念 1、集合的含义：练习1：下列四组对象，能构成集合的是（ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、元素与集合的关系 (1)如果a 是集合A 的元素，则a 属于A ，记作a____A (2)如果a 不是集合A 的元素，则a 不属于A ，记作a_____A 3、常用数集 自然数集______，正整数集______，整数集______，有理数集______，实数集______。 练习2：用适当的符号填空 （1）5______N , （2）Q Q ____,___2 1π- （3）{}()(){}1|,____2,1,2|______3+=≤x y y x x x （4）{} 32|_______52+≤+x x ， 4、集合的中元素的三个特性 (1) 元素的______ (2) 元素的______ (3) 元素的 ______ 练习3：若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 练习4：下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212 =+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、集合常用的表示方法： 1） _______：{a,b,c……} 2） ________：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x>2} ,{x| x-3>2} 3） __________：例：{不是直角三角形的三角形}； 4） Venn 图 练习5：集合M={0，2，3，7}，P={x|x=ab ，a 、b ∈M ，a ≠b}，用列举法表示，则P=___________. 【1.1.1】集合的含义与表示 1、集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2、常用数集及其记法 N ——自然数集，N *或N +——正整数集，Z ——整数集，Q ——有理数集，R ——实数集 . 集合与函数概念 3、集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. 4、集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5、集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集，记为?. 【1.1.2】集合间的基本关系 6、子集、真子集、集合相等 7、已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 8、交集、并集、补集 ) 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次 不等式的解法 1、含绝对值的不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 1、函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 2、区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 高一数学必修一第一章知识点梳理 （原创版） 目录 1.必修一第一章的背景和重要性 2.第一章的主要知识点 3.知识点的具体内容和理解方法 正文 【必修一第一章的背景和重要性】 高一数学必修一的第一章是整个高中数学学习的基础，也是高中数学的重要组成部分。本章的主要内容是代数式和方程式，它们是数学中常见的表达方式，也是解决许多数学问题的关键。因此，深入理解和掌握本章的知识点对于学生来说是至关重要的。 【第一章的主要知识点】 第一章的主要知识点包括代数式、方程式和一元一次方程式。 【知识点的具体内容和理解方法】 1.代数式 代数式是由数、字母和运算符号组成的式子。它是数学中常见的表达方式，也是解决许多数学问题的关键。要理解代数式，我们需要掌握以下几个概念： （1）数：数是代数式中最基本的元素，它可以是整数、分数、小数或无理数。 （2）字母：字母是代数式中的变量，它可以表示数或量。字母通常用 a、b、c 等表示。 （3）运算符号：运算符号是代数式中表示运算的符号，如+、-、×、 ÷等。 2.方程式 方程式是含有未知数的等式。它是代数式的一种，也是解决许多数学问题的关键。要理解方程式，我们需要掌握以下几个概念：（1）未知数：未知数是方程式中的变量，它表示一个数或量。 （2）等式：等式是表示左右两边相等的式子。 （3）解方程：解方程是求方程式中未知数的过程。 3.一元一次方程式 一元一次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的方程式。它是方程式的一种，也是解决许多数学问题的关键。要理解一元一次方程式，我们需要掌握以下几个概念： （1）一元：一元是指方程式中只含有一个未知数。 （2）一次：一次是指未知数的次数是 1。 （3）解一元一次方程：解一元一次方程是求一元一次方程式中未知数的过程。 第一章 集合与函数的概念 1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降； 而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”； 因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢． 2 A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2 解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D. 3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①② 解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确． 4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x 2 时面积最大，此时x ＝________， 面积S ＝________. 解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－1 2 x 2＋x ＋12 ＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212 . 答案：1 121 2 1 ( ) 第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且 }x B ∈ （1） A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或 }x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 补集 U A e {|,} x x U x A ∈?且 1()U A A =? I e 2()U A A U =U e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> 把 ax b +看成一个整体，化成 ||x a <， ||(0)x a a >>型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2(0) y ax bx c a =++>的图象 O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=>的根 21,242b b ac x a -±-= （其中1 2)x x < 122b x x a ==- 无实根 20(0) ax bx c a ++>>的解集 1{|x x x <或2}x x > {|x }2b x a ≠- R ()()()U U U A B A B =I U 痧?()()() U U U A B A B =U I 痧? （新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总 （附答案） 目录 第一章集合与常用逻辑用语. 1.1 集合的概念 1.2 集合间的基本关系 1.3集合的基本运算 1.4 充分条件与必要条件 1.5全称量词与存在量 小结 复习参考题1 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 练习 1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由: (1)与定点A，B等距离的点; 【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性. (2)高中学生中的游泳能手. 【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定. 2.用符号“∈”或“?”填空: 0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ?__Q; π__R. 【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断. 0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3?N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5?Z，√2?Z;?是有理数,则?∈Q ;π 是无理数，则π∈R 故答案为:(1)∈;(2)? ;(3)? ;(4)? ;(5)∈ ;(6)∈ 3.用适当的方法表示下列集合: (1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合; 【答案解析】：{-3, 3}. (2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合; 【答案解析】： {(1, 4)}. (3)不等式4x- 5<3的解集. 【答案解析】：{x | x<2}. 习题1.1 一、复习巩固 1.用符号“∈”或“?”填空: (1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则 中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A; 【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则: 中国∈A，美国?A,印度∈A，英国?A. (2)若A={x|x2=x},则-1____A; 【答案解析】：A={x|x2=x}={0, 1},则-1?A. (3)若B={x|x2+x-6=0}，则3____B; 【答案解析】：若B={x|x2+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3?B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C. 【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1?C. 2.用列举法表示下列集合: (1)大于1且小于6的整数; 【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}. (2) A={x|(x-1)(x +2)=0}; 【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}. (3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}. 【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1 高中数学人教A版必修一第一章知识点总 结及题型 高中数学必修一第一章知识点及题型 一、第一章第一单元集合---知识点总结 知识点一：集合的概念 集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示 元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。 知识点二：集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作 a∉A。 知识点三：集合的特性及分类 集合元素具有唯一性、无序性和互异性。集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。 知识点四：集合的表示方法 集合的表示方法有列举法和描述法。列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描 述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。 知识点五：集合与集合的关系 集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A 是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元 素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。子集的性质 包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 知识点六：集合的运算 集合的运算包括交集和并集。集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。 3.交集与并集的性质 交集的运算性质： A∩B = B∩A （交换律） A∩A = A （恒等律） A∩∅ = ∅（零律） A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律） 并集的运算性质： A∪B = B∪A （交换律） A∪A = A （恒等律） 第一章 集合与函数概 念 〖1.1〗集合 1.1.1集合的含义与表示 1集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 3集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. 4集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集∅. 1.1.2集合间的基本关系 6子集、真子集、集合相等 7已知集合 A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有 22n -非空真子集. 8交集、并集、补集 1.1.3集合的基本运算 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ 1A A A = 2A∅=∅ 3A B A ⊆ A B B ⊆ B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ 1A A A = 2A A ∅= 3A B A ⊇ A B B ⊇ B A 补集U A {|,} x x U x A ∈∉ 且 1() U A A=∅ 2() U A A U =补充知识含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 1含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0) x a a >>型不等式来求解 2一元二次不等式的解法 判别式 24 b a c ∆=- ∆>0 ∆=0 ∆< 二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象 O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = 其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 20(0) ax bx c a ++>> 的解集 1 {|x x x <或 2 } x x >{|x} 2 b x a ≠-R ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B = 人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解 一、实数的分布 1.有理数和无理数 有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和循环小数。无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比。 2.实数的分布 实数是由有理数和无理数组成的。实数可以表示在数轴上，有理数处 于数轴上的有序点上，而无理数则处于数轴上的间断点上。 二、数列 1.数列的定义 数列由按照一定规律排列的数所组成，数列中的每一个数称为数列的项，其中第n个数称为第n项，用an表示。 2.数列的性质 -数列可以是有限的或无限的； -数列可以是等差数列、等比数列或其他类型的数列； -数列的前n项和是指数列的前n项的和，用Sn表示。 三、逻辑与命题 1.命题的定义 命题是陈述一个明确的陈述句，可以判断真假的句子。 2.逻辑的基本运算 -否定：命题p的否定是“非p”，用¬p表示； -合取：命题p和命题q的合取是“p并且q”，用p∧q表示； -析取：命题p和命题q的析取是“p或者q”，用p∨q表示； -排列：命题p和命题q的排列是“若p，则q”，用p→q表示。 四、命题间的逻辑关系 1.充分条件和必要条件 -充分条件：若命题p→q成立，则p是q的充分条件； -必要条件：若命题p→q成立，则q是p的必要条件。 2.等价命题 等价命题是指两个命题具有相同的真值，可以通过推理得到。 -等价式：若命题p等价于命题q，则称p和q是等价命题，并用p↔q 表示； -基本等价式：德摩根定律、蕴含等价式等。 练习题 1.将下列数分为有理数和无理数： -1，1.5，√2，0.25，π 答案：有理数：-1，1.5，0.25；无理数：√2，π 2.判断以下数列是否为等差数列，并求出它的公差： 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集 合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 注意：B 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A⊆A ②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算 高一数学必修1第一章知识点总结 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性, (2)元素的互异性, (3)元素的无序性, 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印 度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法; 注意：常用数集及其记法： 非负整数集即自然数集记作：N 正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法;{xR|x-3>2},{x|x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A⊆有两种可能1A是B的一部分,；2A与B是同一集合;反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B5≥5,且5≤5,则5=5 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集;AA ②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作A B 或B A ③如果AB,BC,那么AC ④如果AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集; 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 运算 类型 交集并集补集 定义由所有属于A且 属于B的元素所由所有属于集合A 或属于集合B的元 设S是一个集合,A 是S的一个子集,由高中一年级数学必修一_第一章_知识点与习题讲解
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