数值计算方法复习提纲

数值计算方法复习提纲

第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计；

2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；

3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。

1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字

绝对误差 E （x ）=x-x *

绝对误差限ε

εε+≤≤-**x x x

相对误差

***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=

有效数字

m n a a a x 10.....021*?±=

若

n m x x -?≤

-102

1

*，称*x 有n 位有效数字。 有效数字与误差关系

（1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；

（2）

*x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(1

1021

)(--?≤

n r a x E 。 选择算法应遵循的原则

1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播；

例

?=

10

1dx e x e I x

n n

e

I nI I n n 11101

-

=-=- △!n x n

=△x 0

2、 简化计算步骤，减少运算次数；

3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免

第二章 线性方程组的数值解法

1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法；

4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。

本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解

??

???

?

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)

两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；

第二是迭代解法，得到其近似解。

一、 Gauss 消去法 1、 顺序Ｇauss 消去法 记方程组为：

???????=+++=+++=+++)

1()1(2

)1(21)1(1)1(2

)1(22)1(221)1(21)

1(1)1(12)1(121)1(11......

......n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

消元过程：

经ｎ－１步消元，化为上三角方程组

??

????

?=+++=+=)()(2)(21)(1)

2(22

)2(221)2(21)1(11)

1(11......n n

n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a b x a

第ｋ步

若0)

(≠k kk

a

n k j i n k b a a b

b

a a a a

a

k k k kk

k ik

k i

k i

k kj k kk

k ik k ij

k ij

,....,1,1,...1)()()()()1()()()

()()1(+=-=-=-=++

回代过程：

??

?

??--=-

==∑+=n

i j i ii

j i ij

i i i

n nn n n n n n i a x a

b x a b x 1

)

()()()

()()

1,...2,1(/)(/

２、Ｇauss —Ｊｏｒｄａｎ消去法

避免回代，消元时上下同时消元 ３、Ｇauss 列主元消去法

例 ：说明直接消元，出现错误

?

?

?=+=+32

200001.02121x x x x 由顺序Ｇauss 消去法，得0,112≈≈x x ；

Ｇauss 列主元消去法原理： 每步消元前，选列主元，交换方程。 算法：

将方程组用增广矩阵

[]()(1)

ij n n A b a +=M 表示。 （1）消元过程： 对k=1,2,n-1,

选主元，找{,1,,}k

i k k n ∈+???使得

,max k i k ik

k i n

a a ≤≤=

如果,0k

i

k

a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行3。

如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应的元素位置， ,,, 1.k kj

i j a a j k n ?=+g g g

消元，对i=k+1,

L

,n,计算

,ik

ik kk

a l a =

对j=L+1, L

,n+1,计算

ij

ij ik kj a a l a =-

（2）回代过程：

1．若0,nn

a =则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行。

2

,1

;1,,2,1,n n n nn

a x i n a +=

=-L 对计算

,11n

i n ij j j i i ii

a a x x a +=+??

-∑ ??

?=

举例说明。 4、消元法应用 （1）行列式计算； （2）矩阵求逆。

二、利用矩阵三角分解求解线性方程组 1、求解原理

线性方程组写成矩阵形式为： AX=b

若A=LU ，则LUX= b ， 记UX=Y 则LY= b

若L 、U 为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。

2、 Doolittle 分解

L 为下三角矩阵, U 为上三角矩阵,不一定能分解,分解也不一定唯一; 设L 或U 是单位三角矩阵, 若能分解,则可分解唯一. L 是单位下三角矩阵,称为Doolittle 分解; U 是单位上三角矩阵,称为Crout 分解；

定理: n 阶矩阵A 有唯一分解的充要条件为A 的前n-1阶主子式都不为0.

Doolittle 分解算法：

??

???

?

?

?????????????????=??????????????nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a ............1............11......

......

(222112)

1121212

1

2222111211 由矩阵乘法：

∑==n

k kj

ik ij u l a 1

得到：

∑-=+=-=1

1

;,...1,k r rj

kr kj kj n k k j u l a u

n k k i u u l a l k r kk

rk ir ik ik ,...1,/)(1

1

+=-=∑-=

算法特点：先计算U 的行，再计算L 的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。 矩阵分解后，解两个三角方程组： LY= b ，UX=Y

??

???

=-==∑-=1

111,...3,2i k k

ik i i n

i y

l b y b y

∑+=-=-

=n

i k ii

k ik

i i n n i u x u

y x 1

1,...1,/)(

3、Crout 分解

若L 为下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称Crout 分解； 算法特点：先计算L 的列，再计算U 的行，交替进行。 4、正定对称矩阵的平方根法（Cholesky 分解） （1） 正定对称矩阵性质与判定：

定义：是n 阶对称矩阵，若对任意非零向量

n R X ∈，有0>AX X T ，则称A 为正定对称矩阵；

判定：A 为n 阶正定对称矩阵充要条件A 的各阶顺序主子式大于0。 （2） Cholesky 分解

定理：设A 为n 阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵L ，使得

T LL A =.

Cholesky 分解算法：

??

???

??

????

?????????????=

?????????????

?nn n n nn n n nn n n n n l l l l l ll l l l l l l a a a a a a a a a ..................

..................

(222112)

112122

21112

12222111211 2

11

1

2

)

(∑-=-=j k jk

jj jj l a l

∑-=-=1

1

/)(j k jj

jk ik ij ij l l l a l

n

j j i n j ,...2,1;

,...2,1++==

5、 追赶法

三对角矩阵的特殊分解

??????

???

?

?

??

???????????????=????????

?

???????

?

?----n n C n n n

n n n u c u u c u l l l b a c b a c b a c b a c b 1-n 1

2

1

1

3211

13

332

2

211......

1......111....

2

n i c

l b u u a l b u i i i i

i i i ,...3,2/111

1=???

??-===--

三对角方程组的追赶法：

追的过程 LY=D

??

?

=-==-n i y l d y d y i i i i ,...3,21

11 赶的过程 UX=Y

??

?--=-==+1,....,2,1/)(/1n n i u x c y x u y x i i i i i

n

n n

§2 线性方程组的迭代解法

一、 Jacobi 迭代公式 例：

?????-

=+=+21

2

12

1212121x x x x 其解为 1,121-==x x 方程变形得到迭代公式

??

???-

-=+-=++21212121)(1)1(2)(2)

1(1k k k k x x x x 给初值???? ??=00)0(X 计算，观察解的变化。 一般地，对线性方程组

??

???

?

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2211222221211)

1212111

若0≠ii a ，则可从第i 个方程中解出i x ,得到Jacobi 迭代公式：

?????

??--=---=---=-+++nn k n nn k n n k n

ii k n in k i i k i

k n n k k a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x /)...(.../).......(.../)...()

(1)(11)1()

()(11)1(11)

(1)(2121)1(1

简记为：

n i a x a b x

ii

n

i

j j k j

ij i k i

,...,2,1/)(1)

()

1(=-=∑≠=+

二、 Gauss--Seidel 迭代公式

n i a x a

x a b x

ii

i j n

i j k j ij

k j

ij i k i

,...,2,1/)(1

1

1

)()

1()1(=-

-=∑∑-=+=++

三、 SOR 迭代公式

四、 迭代公式的矩阵表示

D

GX X

k k +=+)()

1(

§3 迭代公式的收敛性

一、 向量与矩阵的范数与性质 1、 向量范数

定义：向量

n R X ∈，对应非负实数X

，满足三条件：

（1）非负性

0,0,0==≥X X X

（2）齐次性

X

k kX =

（3）三角不等式

Y

X Y X +≤+

称

X

为向量范数

2、 常见向量范数

1范数

n

x x x X +++= (211)

2范数

2

22212

...n

x x x X

+++=

∞范数

i

x n

i X

≤≤=

∞

1max

3、 矩阵范数

定义：方阵

n n R A ?∈，对应非负实数A

，满足三条件：

（1）非负性

0,0,0==≥A A A

（2）齐次性

A k kA =

（3）三角不等式 B A B A +≤+

（4）绝对值不等式 B

A A

B ≤

称

A

为矩阵范数；

向量范数与矩阵范数相容性：

X

A AX ≤

4、常见矩阵范数

1范数，列范数 ：

∑=≤≤=n

i ij

n

j a A 1

11max

∞范数，行范数 ：

∑=≤≤∞

=n

j ij

n

i a A

1

1max

2范数，谱范数 ：

F 范数：

∑∑===

n

i n

j ij

F

a

A

11

2

举例计算

二、 迭代公式收敛性的判定 1、 向量的极限

2、 矩阵的谱半径：

i

i

n

i A λλρ≤≤=1max )(为特征值；

3、收敛性的判定 收敛的充要条件：

迭代公式

D GX X k k +=+)()1(收敛的充要条件为谱半径1)(

判定定理1：

若

,1

判定定理2：

若对方程AX=b 的系数矩阵A 为对角占优，则Jacobi 迭代公式，Gauss--Seidel 迭代公式收敛； 判定定理3：

若对方程AX=b 的系数矩阵A 为对称正定，则Gauss--Seidel 迭代公式收敛；

Jacobi迭代公式收敛与Gauss--Seidel迭代公式收敛关系举例：

第三章非线性方程的数值解法

1．了解二分法的原理与算法；

2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；

3．掌握Newton切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。

本章问题：求方程f(x)=0的根

§1 二分法

一、根的存在性

定理：函数f(x)在区间[a，b]连续，且f(a).f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a，b]有根。方程的根存在，不一定唯一，若在区间[a，

b]上有唯一根，称区间[a ，b]为根隔离区间。

二、 二分法（区间逐次分半法） 原理：通过计算根隔离区间中点，将区间分半，缩小区间，得到方程近似根数列{}n

x 。

[][][]...,....,,11????n n b a b a b a k

k

k a b a b 2/)(-=-

取 2

/)(*n n b a x +≈

§2 迭代法

一、 迭代原理

迭代法是一种逐次逼近法，由提供的递推公式计算，逐次精确，直到满足精度要求。 方程f(x)=0变形为)(x x ?=， 得到递推公式)

(1

k k x x

?=+--------简单迭代公式

称)(x ?为迭代函数

给初值计算，得到数列{}n

x ，若

*

lim x x

k

k =∞

→，

则称迭代收敛，否则发散。

例： 求方程]

4.0,3.0[0

210

*∈=--x x x

写出两个简单迭代公式： （1）2

101

-=+k x k x

（2）)

2lg(1

+=+k k x x

观察计算得到数列{}n

x 的收敛性。

迭代法的几何解释：

二、 迭代收敛性判定

收敛性定理：设方程)(x x ?=的迭代函数)(x ?在[a ，b]满足：

（1）当],[b a x ∈时，)(x ?],[b a ∈；

（2）)(x ?在[a ，b]可导，且1)(<≤L x ?，],[b a x ∈， 则（1）方程)(x x ?=在[a ，b]有唯一根*

x ；

（2）迭代公式)

(1

k k x x

?=+收敛，即*

lim x x

k

k =∞

→；

（3）误差估计

1*

1x x L

L x x k

k --≤-。

说明可根据迭代函数)(x ?的导数判断迭代收敛性。

三、 迭代公式的加速

§3 Newton 迭

代法

一、Newton 切线公式 几何作法 迭代公式

)

()('1k k k k x f x f x x -

=+

例：利用解二次方程,

02

=-c x 推导近似计算

c

的公式。

由Newton 切线公式

)(211k

k k x c x x +=

+

三、 Newton 弦截公式 Newton 切线公式的缺点及改进

几何作法 迭代公式

)

()

()()

(111--+---

=k k k k k k k x x x f x f x f x x

Newton 弦截公式是两步公式。

第五章 插值法

1. 掌握代数插值问题及其解存在唯一性，Lagrange 插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；

2. 掌握差商的概念及其性质，Newton 插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；

3．了解差分与等距节点插值多项式公式； 4. 掌握Hermite 插值问题及其构造方法。

本章问题：函数

)(x f 复杂，或无表达式，构造简单函数)(x P 来代替)(x f 。

§1 Lagrange 插值

一、代数插值问题及插值多项式存在唯一条件 1、代数插值问题：

已知

)(x f 在区间[a,b]中互异的n+1个点n x x x ......,,,10的函数值n y y y ,.....,,10，求次数≤n 次多项式

n n n x a x a a x P +++=...)(10且满足i i i n y x f x P ==)()(，（i=0,1,…n ）.

2、插值多项式存在唯一条件： 定理：n n n x a x a a x P +++=...)(10存在唯一条件是n+1个节点互异。

二、Lagrange 插值构造 1、线形插值（n=1） 几何解释；

利用插值基函数构造：

基函数：一次多项式)(),(10x l x l 满足

??

?==??

?==1

)(0

)(0

)(1)(11011000x l x l x l x l 1

010)(x x x x x l --= 0

101)

(x x x x x l --=

)()()(11001x l y x l y x L +=----------1次Lagrange 插值多项式

例1：求

x x f =

)(过点（4，2），（9，3）的1次Lagrange 插值多项式，并计算5近似值。

2、抛物插值（n=2） 几何解释；

利用插值基函数构造：

基函数：二次多项式)(),(),(210x l x l x l 满足

???

??===?????===???

??===1)(0)(0)(0)(1)(0

)(0)(0)(1)(2

212022

11

101201000x l x l x l x l x l x l x l x l x l )

)(())(()(2010210x x x x x x x x x l ----=

)

)(()

)(()(2101201x x x x x x x x x l ----=

)

)(())(()(1202102x x x x x x x x x l ----=

)()()()(2211001x l y x l y x l y x L ++=-------2次Lagrange 插值多项式

例2：求

x x f =

)(过点（1，1），（4，2），（9，3）的2次Lagrange 插值多项式，并计算5近似值。

3、一般情形： 利用插值基函数构造：

基函数：n 次多项式)(...),(),(10x l x l x l n 满足

??

?≠===j

i j i x l ij j i 0

1

)(δ

)

)...()()....()(()

)...()()....()(()(11101110n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=

+-+-

∑==+++=n

k k k n n n x l y x l y x l y x l y x L 0

1100)()(...)()()( -------n 次Lagrange 插值多项式

三、插值余项

定理：若

，

b a x ，f

b a x f n n 存在在连续在],[)(],[)()

1()(+则插值误差

)()!

1()

()()()()1(x n f x L x f x R n n n ωξ+=-=+，

其中x b a 依赖于],[∈ξ

。

§2 分段插值

一、分段线性插值

在区间[a ，b]，分为n 个区间],[1+i i x x ,i=0,1,2…n-1

每个区间由直线代替曲线，形成分段线性插值函数)(x ?

],[)()()(11

1+++∈+=i i i i i i x x x y x l y x l x ?

1

1)(++--=i i i i x x x x x l ，i

i i i x x x x x l --=

++11)(

二、分段抛物插值

§3 Newton 插值

一、差商及其性质 定义：

一阶差商：

i

i i i i i x x x f x f x x f --=

+++111)

()(],[

二阶差商：

i

i i i i i i i i x x x x f x x f x x x f --=

++++++212121]

,[],[],,[

K 阶差商：

i

k i k i i i k i i i k i i i x x x x x f x x x f x x x f --=

+-+++++++]

,...,[],...,,[],...,,[11211

性质：

（1）差商可由节点函数值表示； （2）差商值与节点次序无关。 二、Newton 插值多项式 由差商定义

)](,[)()(000x x x x f x f x f -+=

)](,,[],[],[110100x x x x x f x x f x x f -+=

)](,,,[],,[],,[221021010x x x x x x f x x x f x x x f -+=

。。。

)](,,....,[],...,[],,...,[1010110n n n n x x x x x x f x x x f x x x x f -+=-

依次带入

))...(](,...,[...)](,[)()(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ----- Newton 插

值多项式

计算时先造差商表； 三、余项

)!

1()(],,...,[)1(10+=+n f x x x x f n n ξ

§4 差分与等距节点插值多项式

一、差分及其性质： 二、等距节点插值多项式

§5 Hermite 插值

一、带导数的插值多项式 1

、

问

题

：

求

次

数

不

超

过

3

次

多

项

式

11'

300'31130033)(,)(,)(,)(),(m x H m x H y x H y x H x H ====满足；

2、利用基函数构造

北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

数值计算实验课题目

数值实验课试题 本次数值实验课结课作业，请按题目要求内容写一篇文章。按题目要求 人数自由组合，每组所选题目不得相同(有特别注明的题目除外)。试题如下： 1）解线性方程组的Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法(2人)/*张思珍，巩艳华*/ 用C 语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下列84阶的方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 1681684 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 2）解线性方程组的平方根法(4人)/*朱春成、黄锐奇、张重威、章杰*/ 用C 语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b Ax =，其中 (1)b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵 ?????? ???? ? ? ?101 1101 1101 1101 1101110 ； (2)系数矩阵为40阶的Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为 1 1-+= j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+ = n j i j i b 1 1 1. 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编

3.《数值分析简明教程》，王能超编 3）三对角线方程组的追赶法(3人)/*黄佳礼、唐伟、韦锡倍*/ 用C 语言将三对角线方程组的追赶法法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解如下84阶三对角线方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 16816 84 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值分析简明教程》，王能超编 4）线性方程组的Jacobi 迭代法(3人)/*周桂宇、杨飞、李文军*/ 用C 语言将Jacobi 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组， 精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?-149012 2111221 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 5）线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法(3人)/*张玉超、范守平、周红春*/ 用C 语言将Gauss-Seidel 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?--39721 1111112 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 6）解线性方程组的最速下降法法(2人)/*赵育辉、阿热孜古丽*/ 用C 语言将最速下降法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称

数值计算方法教学大纲

《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。

（5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。

现代数值计算方法习题答

现代数值计算方法习题答案 习 题 一 1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以 有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此 49×10 -2 ：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字. 0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解： 7 22 = 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字. E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E = 14 .3E = 14 .30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |) 1(10 1 21--??=n < = 2 1× 10 -4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：) ()(1)()(1)(* 1 1* * 1 1 * * x x x n x E x n x E n n n -= ≈ -- )(11)()(1) ()(* * * * * 1 1 ** * * x E n x x x n x x x x n x x E x E r n n n n n r = -= -≈ = - 5、解：(1)因为=20 4.4721…… ， 又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47. (2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |) 1(10 4 21--??= n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 cm . 记*y 为y 的近似值，则

数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在

数值计算方法实验5

实验报告 学院（系）名称： 主程序部分列选主元部分

实验结果： 一．列主元消去法 输入各个数据，最终使用列选主元法，得到结果为：x1=x2=x3=1二．高斯-赛德尔迭代法 输入各个数据，输出每一步迭代数据，最终结果为：x1=0.285716，附录（源程序及运行结果） 一．列主元高斯消去法 #include #include void print(double a[3][3],int n,double b[3]){ printf("输出矩阵：\n"); for(int i=0;ifabs(d)){ d=a[i][k]; l=i; } i++; } printf("选出主元：%lf\n",d); if(d==0) printf("矩阵奇异！\n"); else if(l!=k){ for(int j=k;j

现代数值分析

研硕16《化工数值方法及Matlab应用》试题 班级姓名成绩 1．（15分）数值计算方法的主要研究对象有哪些？其常用基本算法主要包括哪三个方面？举例说明Matlab在解决化工数值计算问题方面有什么样实用价值？答：（1）数值计算方法的主要研究对象为非线性方程求根，插值法、曲线拟合、数值积分、常微分方程（组）、初值问题求解、线性和非线性方程组求解。（2）基本算法包括①离散化方法：用差商代替导数、差分代替微分等，将连续的数学问题转化为离散问题。②逼近方法：用简单函数的值近似代替求解困难或形式未知的复杂函数的值。③迭代法：用一个固定公式反复计算，对较为粗糙的根的近似值进行加工直到满足精度要求的方法。 （3）Matlab在解决化工数值计算问题的实用价值有：数值计算和符号计算功能；图形功能；MATLAB语言；功能性和学科性工具箱。 2．（10分）数值计算中的“曲线拟合”，一般有哪些方法？请至少指出四种，并简述各自的基本特点。 答：（1）拉格朗日插值：，优点在于不要求数据点事等间隔的，缺点是数据点不易过多，当数据比较多时，差值函数有偏离原函数的风险； （2）牛顿插值法：它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。

（3）牛顿迭代法：牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。 （4）区间二分法：优点：算法简单，容易理解，且总是收敛的。缺点：收敛速度太慢，浪费时间，二分法不能求复根跟偶数重根。 （5）最小二乘法：通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 3. （15分）在298K 下，化学反应 2OF 2=O 2+2F 2 的平衡常数为0.410 atm ，如在298K 下将OF 2 通入容器，当t=0 时为1 atm ，问最后总压是多少？取计算精度为10-3 。 解：首先写出求解问题的数学方程式。 假设气体是理想气体，由反应的化学计量式可知， 22222F O OF += 设氧的分压为p ，平衡时有p 21- p p 2。 平衡时，有()410.02142 3=-p p 整理得 0410.064.1640.1423=-+-p p p 函数关系为 ()0410.064.1640.1423=-+-=p p p p f

数值分析期末考试复习题及其答案.doc

数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分

②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(

数值分析实验报告1

实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法

《数值计算方法实习》教学大纲

《数值计算方法实习》教学大纲 Numerical Computation Method Practice 适用本科四年制信息与计算科学专业（2周 2学分） 一、课程的目的和任务 本课程的授课对象是信息与计算科学专业本科生，属信息与计算科学专业公共基础课。 数值计算方法是一门专门研究各种数学问题近似解法的课程，它是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程。在数值计算方法课程中，讲授了各种数学问题的近似解法，这些近似解法的计算量很大，只有利用计算机计算，这些解法才具有实用意义。因而上机实习，掌握这些近似解法的计算机实现是数值计算方法课程学习的一个重要环节。 本课程实习的主要目的是通过科学计算语言MA TLAB的学习，利用MA TLAB求解各种数学问题的近似解，使学生对数值计算方法课程所学的各种近似解法能在计算机上实现，提高学生对数值计算方法课程讲授的各种数学问题近似解法的理解和掌握。 通过本实践环节，要求学生初步掌握MATLAB的使用方法，掌握利用MATLAB求解各种数学问题近似解的算法，通过上机实践，提高学生对各种数学问题近似解法的实际运用能力，并能应用所学的方法解决一些较简单的实际问题。 二、课程的基本要求和特点 本课程是一门既有系统理论又有较强实践性的技术基础课，学习本课程需坚持理论联系实际的学风，必须在学习数值计算方法课程讲授的各种数学问题近似解法的基础上，动手编写一些简单的MA TLAB程序，利用MATLAB来实现求解各种数学问题的近似解；同时要注意数学软件的使用原理及使用方法。本课程是一门实用性很强的应用数学课程。 三、本课程与其它课程的联系 本课程实习是对前期《数值计算方法》课程的巩固，数值计算方法课程涉及面较宽，必须先修课程为《数学分析》、《高等代数》、《常微分方程》、《计算机应用基础》、《数值计算方法》。 四、课程的主要内容 1 数学软件MATLAB 教学要求： 了解：MA TLAB的基本特点，MATLAB的启动方法和工作界面，MATLAB数值计算，MATLAB程序设计，MATLAB绘图。 掌握：MA TLAB的基本操作，MATLAB的基本运算。。 教学要点： （1）MATLAB的基本特点、启动方法和工作界面； （2）MATLAB的基本操作； （3）MATLAB的基本运算； （4）MATLAB数值计算； （5）MATLAB程序设计； （6）MATLAB绘图。 2数值计算方法实习 教学要求： 掌握：MATLAB数值计算语句的使用，利用MA TLAB编制程序将求解各种数学问题近似解的公式转化为计算机程序，利用MA TLAB绘图。

太原理工大学数值计算方法实验报告

本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日

y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"

心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。

《大数据分析与挖掘》课程教学大纲

《大数据分析与挖掘》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16054103 课程名称：大数据分析与挖掘 英文名称：Big data analysis and mining 课程类别：专业选修课 学时：48(理论课：32, 实验课：16) 学 分：3 适用对象: 软件工程专业、计算机科学与技术 考核方式：考查 先修课程：多媒体技术、程序设计、软件工程 二、课程简介 本课程从大数据挖掘分析技术实战的角度，结合理论和实践，全方位地介绍基于Python语言的大数据挖掘算法的原理与使用。本课程涉及的主题包括基础篇和实战篇两部分， 其中基础篇包括：数据挖掘基础，Python数据分析简介，数据探索，数据预处理和挖掘建模；实战篇包括：电力窃漏电用户自动识别，航空公司客户价值分析，中医证型关联规则挖掘，基于水色图像的水质评价，家用电器用户行为分析与事件识别，应用系统负载分析与磁盘容量预测和电子商务网站用户行为分析及服务推荐。 本课程不是一个泛泛的理论性、概念性的介绍课程，而是针对问题讨论基于Python语言机器学习模型解决方案的深入课程。教师对于上述领域有深入的理论研究与实践经验，在课程中将会针对这些问题与学员一起进行研究，在关键点上还会搭建实验环境进行实践研究，以加深对于这些解决方案的理解。通过本课程学习，目的是让学生能够扎实地掌握大数据分析挖掘的理论与应用。 This course introduces the principle and application of big data mining algorithm based on Python language comprehensively from the perspective of big data mining analysis technology practice, combining theory and practice. This course covers two parts, the basic part and the practical part. The basic part includes: basic data mining, introduction to Python data analysis, data exploration, data preprocessing and mining modeling. Practical article included: electric power leakage automatic identification of the user, airlines customer value analysis, TCM syndrome association rule mining, based on water quality evaluation of color image, household electrical appliances

现代数值分析复习题

复习题(一) 一、填空题： 1、求方程0.5x2 101x 1 0的根，要求结果至少具有6位有效数字。已知 V10203 101.0099，贝卩两个根为x1 _____________________________ ， X2 ________________________________ .(要有计算过程和结果) 4 1 0 A A 1 4 1 2、0 1 4，则A的LU分解为。 1 2 A 3、 3 5，贝卩(A) ____________ ，A __________ . 4、已知f(1)「Q f(2)「2，f(3) =3，则用抛物线(辛卜生)公式计算求 3 得1 f(x)dx -------------------- ，用三点式求得f (1) ________________ . 5、f(1) 1，f(2) 2，f(3) 1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数 为_____ ，拉格朗日插值多项式为 _________________________ . 二、单项选择题： 1、Jacobi迭代法解方程组Ax b的必要条件是( ). A. A的各阶顺序主子式不为零 B. (A) 1 C a ii 0,i 1,2, ,n D|| A 1 2、设f(x) 3x99 5x 7，均差f[1,2,22, ,299]=(). D. 3

4、三点的高斯求积公式的代数精度为 （ ). A.3 B. -3 C. 5 D.0 2 2 3 A 0 5 1 3、设 0 0 7 ，则 (A )为( ). A. 2 B. 5 C. 7

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 f （x ）的三次插值多项式P 3（x ），并 求f （2）的近似值（保留四位小数）. 4、 取步长h 0.2,用预估-校正法解常微分方程初值问题 y 2x 3y y （0） 1 （0 x 1） 5、 已知 A. 2 B.5 C. 3 D. 4 5、幕法的收敛速度与特征值的分布 A.有关 B.不一定 C. 无关 三、计算题: 1、用高斯-塞德尔方法解方程组 4X ! 2X 2 X 3 11 X 1 4X 2 2X 3 18 2X ! X 2 5X 3 22 （°） /c c c\T ，取 x （°，°，°），迭 四次（要求按五位有效数字计算 ). 1 2、求A 、B 使求积公式 1 f （X ）dX A[f( 1) f (1)] 1 B [f (2)f （2）］ 的代数精 度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求 I 21dx 1 x （保留四位小 数）。 3、已知

数值计算方法期末考试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+=

单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=?

数值计算方法大纲

数值分析 一、课程名称：数值分析（Numerical Analysis ） 课程负责人：邹昌文 二、学时与学分：64学时，4学分 三、适用专业：信息与计算科学 四、课程教材：李有法编. 数值计算方法. 高等教育出版社，1996 五、参考教材：杜延松编. 数值分析及实验. 科学出版社，2006 丁丽娟编. 数值计算方法. 北京理工大学出版社，1997 郑咸义编.计算方法. 华南理工大学出版社，2002 六、开课单位：理学院 七、课程的性质、目的和任务： 本课程是计算机科学与技术本科专业的一门专业基础课，是培养学生掌握计算机上常用的数值分析方法以及有关的基本概念与理论的专业基础学科。 本课程的主要任务是，通过对数值分析内容的讲解，培养学生使用所学方法进行科学计算的能力，着重培养学生用数学的思想去指导编程的能力。 八、课程的基本要求： 通过理论教学达到如下基本要求。 1．了解误差的概念 2．掌握常用的解非线性方程根的方法 3．熟练掌握线性代数方法组的解法 4．熟练掌握插值与拟合的常用方法 5．掌握数值积分方法 6．了解常微分方程初值问题的数值方法 九、课程的主要内容： 理论教学 1. 误差的概念 误差的来源、绝对误差、相对误差、有效数字、误差的传播、数值运算中应注意的问题 2. 解非线性方程根的方法 二分法、迭代法、牛顿迭代法、迭代法的收敛阶与加速收敛方法 3. 线性代数方法组的解法 高斯消去法、三角分析法、向量与矩阵的范数、迭代法、方程组的状态与解的迭代改善 4. 插值与拟合 插值概念与基本理论、插值多项式的存在唯一性、插值多项式的求法、分段低次插值、曲线拟合的最小二乘法 5. 数值积分方法 构造数值积分公式的基本方法与有关概念、牛顿-科茨公式 6. 常微分方程初值问题的数值方法 欧拉方法与改进欧拉方法、龙格-库塔法

吉林大学 研究生 数值计算方法期末考试 样卷

1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2)

3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解：

5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值

6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b)

7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ，使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度；利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求

) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ，并求)2(f 的近 似值（保留四位小数）。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ，并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

(完整版)数值计算方法上机实习题答案

1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;

计算方法课程教学大纲解答

计算方法》课程教学大纲 课程编号： 学时：54 学分：3 适用对象：教育技术学专业先修课程：高等数学、线性代数 考核方式：本课程考试以笔试为主70%，兼顾学生的平时成绩30%。使用教材及主要参考书：使用教材： 李庆扬. 《数值分析（第四版）》, 清华大学出版,2014 年。 主要参考书： 1.朱建新,李有法. 《高等学校教材:数值计算方法（第3版）》,高等教育出版社,2012 2.徐萃薇,孙绳武. 《计算方法引论（第4版）》,高等教育出版社,2015 。 一课程的性质和任务计算方法是教育技术学专业学生的一门专业选修课。作为计算数学的一个重要分支，它是数学科学与计算机技术结合的一门应用性很强的学科，本课程重点介绍计算机上常用的基本计算方法的原理和使用；同时对计算方法作适当的分析。 教学任务：通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理计算机常用数值分析的构造思想和计算方法。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识分析和解决实际问题的能力。 二教学目的与要求教学目的：通过学习使学生了解数值计算方法的基本原理。了解计算机与数学结合的作用及课程的应用性。为今后使用计算机解决实际问题中的数值计算问题打下基础。 通过理论教学达到如下基本要求。 1．了解误差的概念2．掌握常用的解非线性方程根的方法3．熟练掌握线性代数方法组的解法4．熟练掌握插值与拟合的常用方法5．掌握数值积分方法 6．了解常微分方程初值问题的数值方法 三学时分配

四教学中应注意的问题 本课程是一门理论性较强、内容较抽象的综合课程，因此面授辅导或自学，将是不可缺少的辅助教学手段，教师在教学的过程中一定要注意理论结合实际，课堂教学并辅助上机实验，必须通过做练习题和上机实践来加深对概念的理解和掌握，熟悉公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。同时应注重面授辅导或答疑，及时解答学生的疑难问题。五教学内容 第一章绪论（误差） 基本内容： 第一节数值分析研究的对象和特点 第二节数值计算的误差 1.误差的来源与分类 2.误差与有效数字 3.数值运算的误差估计 第三节误差的定性分析与避免误差的危害 1.病态问题与条件数 2.算法的数值稳定性 3.避免误差危害的若干原则教学重点难点： 重点：数值运算的误差估计 难点：误差的定性分析与避免误差的危害。 教学建议: 了解数值分析的背景、对象与特点。理解误差的来源与分类、有效数字、误差估计、算法的数值稳定性与病态算法。熟练掌握与误差相关的概念以及避免误差危害的若干原则。第二章插值法基本内容: 第一节引言 第二节拉格朗日插值 1．线性插值与抛物插值 2．拉格朗日插值多项式 3．插值余项、误差估计