题目：积分不等式的若干证明技巧
学院：数学科学学院
专业班级：数学07－4实验班
学生姓名：努尔艾拉.阿西木
指导教师：塔实甫拉提副教授
答辩日期：2011年5月10日
新疆师范大学教务处
目录
1引言 (1)
2 利用有些定义证明积分不等式 (1)
2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1)
2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2)
3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4)
4利用微分中值定理证明积分不等式 (4)
5利用积分中值定理证明积分不等式 (6)
6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7)
7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7)
8利用将单积分化为重积分的方法 (8)
9利用分部积分法来证明积分不等式 (9)
10 结论 (10)
参考文献： (11)
致谢 (12)
积分不等式的若干证明技巧
摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。
关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理
Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law.
Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem
。
1引言
有人曾经说过这样的话,初等数学中的符号多,高等数学中的不等号多,现代数学中的箭头多。这虽不是划分数学发展阶段的准则,但也道出了各个数学阶段的显著特征,以及不等式在高等数学中的地位和作用。在高等数学的教学中,必须重视不等式教学。下面就从一道题出发,来展示积分不等式的多种证法,以期抛砖引玉,开拓思路。
2 利用有些定义证明积分不等式
2.1利用定积分的定义证明积分不等式
定义 2.1（定积分）设
f
是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实
数。若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[]b a ,任何分割T ,以及在其上任意选取的点集i ξ只要
δ ,)(1 εξ<-?∑=J x f i n i i 则称函数 f 在区间[]b a ,上可积。数J 称为 f 在[]b a ,上的定积分。 记作： ? = b a dx x f J )( 比如下面我们利用定积分的定义来解决一些问题。 例1 设f(x)当1x ≥时为一非负的增函数，试证： 证明： ? ??? ∑∑?----+++=≤≤n n n n k n k n dx x f dx x f dx x f dx x f k f dx x f k f 1 2 1 3 2 1 2 1 11 . )()()()() ()()( 因)x (f 当1x ≥时为非负的增函数，既[],1,),1()()(+∈+≤≤k k x k f x f k f 所以 ? ? ? ++++≤+≤1 1 1 )1()1()(k k k k k k dx k f dx k f dx k f 即 []? ++∈+≤≤1,1,),1()()(k k k k x k f dx x f x f 于是 ,)()1()()(11 1 1 1 1 1 1 ∑∑∑∑? -------+=+≤≤n k n k n k n k k k k f k f dx x f k f 因此 ∑?∑---≤≤1 1 1 2 ).()()(n k n n k k f dx x f k f 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 首先我们看一下凸函数的定义： 定义2.2.1（凸函数）设)(x f 定义在区间I 上，若[]1,0,2,1∈∈?R I x x ，恒有 )()1()(])1([2121x f R x Rf x R Rx f -+≤-+,则成 )(x f 为凸函数。 在这里我们利用凸函数的定义证明一些积分不等式。 例 2.设)(x f 是[]b a ,上连续的凸函数，试证：[]b a x x ,2,1∈?，,21x x <有 ? +≤ -≤+2 1 2 ()()(1 )2( ) 212 121x x f x f dt t f x x x x f 证明；令)1,0(),(121∈-+=λλx x x t ，则 []λλd x x x f dt t f x x x x ? ?-+= -2 1 1 121 2 1)()(1 （2） 同理，令)1,0(),(122∈--=λλx x x t 有 从而 [] ? ? -+= -2 1 1 1212 1)(2 1)(1 x x x x x f dt t f x x λ [] λλd x x x f )122(--+ （3） 注意到)(121x x x -+λ与)(122x x x --λ关于中点2 2 1x x +对 称，由于（3）)(x f 是凸函数 [][]2))()((212 1122121x x f x x x f x x x f +≥--+-+λλ 故由（3）得 )2 ()(12 12 12 1 x x f dt t f x x x x +≥-? 另外，由（2），应用)(x f 的凸性， [][]?? ?-+≤-+=-1 1210 1212 1)()1()()()(12 1 λλλλλd x f x f d x x x f dt t f x x x x 2 ) ((21x f x f + 引理 2.2.1 设)(x f 在区间I 上是凸的，对于任意点 ,0,,,,,,212,1≥Λ?I ∈Λn n r r r x x x 且不全为0，有 例 5 设 )(),(x g x f 在[]b a ,上连续，?>≥b a dx x g x g ,0)(,0)(且 )(,)(x M x f m ?≤≤在[]M m ,上游定义，并有二阶导数，0)(>''x ? 试证；????≤b a b a b a b a dx x g dx x f x g dx x g dx x f x g )())(()()()()((?? 证明将[]n b a ,等分 记； 因为)(,0)(x x n ??>为凸函数，有引力1知： n n n n n n g g g f g f g f g g g g f g f g f g +Λ++Λ++≤+Λ+++Λ++21221 1212211) ()()()( ???? 及 ∑∑∑∑--≤--n a b x g n a b x f x g a a b x g n a b x f x g i i i i i i )()()()() ()(( ?? 令+∞→n 取极限，使得到要证明的不等式。 3 利用函数的单调性证明积分不等式 利用函数的单调性能不能处理积分不等式方面的问题那么我们看一下： 定理3.1(单调性定理)；设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在区间I 上递增（减）的充要条件)0)((0)(≤'≥'x f x f . 例 2.)(x f 在[]1,0上可微，且当∈x （0,1）时,1)(0< )0(=f 试证： 2 1 0))((?dx x f d x f )(1 3 ? >x 证明：令dt t dt t f x F x f ? ?-=0 3 2 1 )()(()() 因0)0(=F 故只要证明在（0,1）内有0)(>x F ，，事实上， ?? ? ???-=-=??x x f dt t f X f x f dt t f X f x F 02 1 03)()(2)() ()()(2)(， 已知1)(0,0)0(,<<=x f f 当（))1,0(x ∈故)1,0(∈x 时)(x f 0> 一下证（1）中另一个因式也大于0. 记 ),()(2)(02x f dt t f X g x ?-=则,0)0(=g ]] 0)(1)(2)().(2)(2)(,,,>-=-=x f x f x f x f x f x g 于是 0)()(2)(02>-=?x f dt t f x g x 故当.0)(),1,0(, >∈x F x 从而原不等式成立。 4利用微分中值定理证明积分不等式 微分学中三个基本定理为，拉格朗日中值定理。罗尔定理，柯西中值定理，利用这三个定理可以证明一些不等式。 定理4.1 (Rolle 定理)设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得 0)(='ξf （1） 定理4.2 （Lagrange 中值定理）如函数f 满足如下条件： （1）f 在区间],[b a 上连续； （2）f 在开区间),(b a 内可导， 则在),(b a 上至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --=') ()()(ξ 。 （2） 定理4.3（Cauchy 中值定理）:设函数f 和g 满足 1.在],[b a 上都连续； 2.在),(b a 上都可导； 3.()x f '和()x g '不同时为零； 4.()()b g a g ≠， 则存在),(b a ∈ξ，使得 ()()=''ξξg f ()()() a g b g a f b f --)( 例 3 )(x f 在[]1,0上连续，在)01(上可微，且当∈x （0,1）时 ,1)(0≤' 1 0))(?dx x f d x f )(1 3 ? >x 证明；令dt t x G dt t f x F x f ? ?==0 3 210 )()()(()()， 由柯西中值定理有；存在)0(),01(εηε∈∈使得 1) (1 ) ()(2)(2) 0()()(2)(2) ()()(2)()()0()1()0()1()1()1(2 2 02 0≥'= --= =''=--=???ηηηηεεεεεεε f f f f f f dt t f dt t f f dt t f f G F G G F F G F ， 即)1()1(G F ≥故 从而原不等式成立。 5利用积分中值定理证明积分不等式 积分中值定理是在数学分析中很重要的一部分下面我们看一下它的定义和 积分不等式方面的应用： 定理5.1（积分第一中值定理） : 如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ。 定理5.2（积分第二中值定理）设函数)(x f 在[]b a ,上可积 （1）若)(x g 在[]b a ,上减，且0)(≥x g ，则存在],[b a ∈ξ，使得 ??=ξ a b a dx x f a g dx x g x f )()()()( （2）若)(x g 在[]b a ,上增，且0)(≥x g ，则存在],[b a ∈η，使得 ?? =b b a dx x f b g dx x g x f η )()()()( 下面利用积分中值定理解决一些积分不等式： 例。 4 证明不等式： ()0cos 20 ≥? nxdx x f π， 其中)(x f 在]2,0[π上可导且下凸函数。 证 由题设知()x f '在]2,0[π上递增，我们有 ?? ?'?-== π ππ2020 20)(sin 1sin )(1cos )(d x f nx n nx d x f n nxdx x f =??+'-πξξπ20sin )2(sin )0([1 nxdx f nxdx f n =??'+ 'π ξξπ2022cos )2(cos )0(nx d n f nx d n f =0)cos 1)](0()2([1 2≥-'-'ξπn f f n 6利用一些基本不等式证明积分不等式 利用积分不等式如Couchy 不等式和schwarz 不等式等可以证明另外一些不等式。 例 6 ，已知0)(≥x f 在[]b a ,上连续，?=b a k dx x f ,1)(为任意实数，求证： 1)sin )(()cos )((22 ≤+??b a b a kxdx x f kxdx x f (1) 证明：（1）式左边第一项应用Schwarz 不等式 . cos )(cos )(.)()cos )()()cos )((222 2 kxdx x f kxdx x f dx x f kx dx x f x f kxdx x f b a b a b a b a b a ?????=≤??? ???= （2） 同理： .sin )()sin )((22 kxdx x f kxdx x f b a b a ??≤ （3） （2）+（3）得与式（1） 注：在使用Schwarz 不等式时,要恰当地选取函数)(),(x g x f ,有时需对积分作适当变形，才能用Schwarz 不等式。 7利用泰勒展开式证明积分不等式 利用泰勒公式证明积分不等式，该法适合于题设中有二阶和二阶以上的高阶导数，先写出比题设条件低一阶的函数的泰勒展开并恰当地选择等式两边的x 与x 。，根据题给高阶导数的大小或界对展开进行放缩。 定理7.1：（泰勒定理）若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的[]b a x x ,,0∈ 至少存在一点),(b a ∈ξ，使得 1 0) 1(002 00000)()!1()()(! )()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ε 例 7例 设),(,0)(+∞<<-∞≥x x f ，有设)(t u 是),(+∞-∞上的任意的连续函数，试证明，对任意的,0>a 有 []?? ? ???≥??a a dt t U a f dt t u f a 00)(1)(1 证 ：本例显然可用定积分的定义求证，令用泰勒展开式证明，由泰勒公式及，0)(≥'x f 得 ))(())((! 21 ))(()()(0020000x x x f x x f x x x f x f x f -≥-''+ -'+=ε 令 ?==a dt t U a x t U x 0 0,)(1),（ 代入上式 则有 [][]))()()(1)(000x t U x f dt t U a f t U f a -+?? ? ???≥?， 并对x 两边从0到a 积分得 []??????-+?? ????≥????a a a a dt x dt t U x f dt t U a af dt t U f 000000)())(1)(（， ,)(1))(()(100000?? ????=+????????-a a dt t U a af ax ax x f dt t U a af ， 因0a >，两边除以a ，既有 []?? ? ???≥??a a dt t U a f dt t U f a 00)(1)(1 。 8利用将单积分化为重积分的方法 当积分不等式中含有两单积分乘积或可以化为两单积分乘积时，可通过化为重积分的途径来证明。 定义8.1（重积分的定义）:设),(y x f 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数。J 是一个确定的数，若对人给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于的 D 任何分割T 当它的细度δ εσ ηε<-?∑=n i i i i J f 1 ),(则称),(y x f 在D 上可积，数J 称为函数),(y x f 在D 上 的二重积分， 记作： ??=D d y x f J σ),( 例.8设)(),(x g x f 在[]1,0上连续，且均为单调下降的函数，证明 dx x g dx x f dx x g x f ??? ≥10 1 1 )()()()( 证 令???-=1 1 1 )()()()(dx x g dx x f dx x g x f A ，则 [][]dxdy x g y f y g y f dxdy y g x f x g x f A ??? ?-=-=101 101 )()()()()()()()( 于是[][]dxdy y g x g y f x f A )()()()(21010 ? ?-= 由于)()(x g x f 均为单调下降的.故。02>A ，由此得证。 9利用分部积分法来证明积分不等式 定义9.1（分部积分法）若)(x u 与)(x υ可导，不定积分dx x x u )()(υ?'存在，则dx x x u )()(υ'?也存在，并有 -='?)()()()(x x u dx x x u υυdx x x u )()(υ?' 例9 设)(x f 在[]π2,0上单调增加且连续可微 证 ： []n n f f nxdx x f ()0()2(2sin )(20 -≤ ? ππ 为正整数) 证： ?? = π π 2020 cos )(1sin )(nx d x f n nxdx x f = dx x f n n f f nx d x f n nx n x f ??+-≤-??? ???πππ π202020 )(1)0()2(cos )(1cos )(，[]n f f dx x f n n f f )0()2(2)(1)0()2(20-=+-?πππ， 10 结论 通过以上的工作，我们看到，在处理积分不等式或类似数学问题时，首先必须仔细审题，以寻找相关的尽可能行之有效的思想方法;其次，在具体使用某方法而不能奏效时，应认真分析该法失败的原因之所在，以便修正改进，最终达到目的.本文主要讨论了微分中值定理中的Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理，有些不等式，分部积分法给出了它们的定义和有关的一些例题。讨论了积分中值定理中的积分第一中值定理、积分第二中值定理与他们有关的内容等。然后对这些中值定理，定积分与凸函数的定义和性质，泰勒定力在处理积分不等式中的应用技巧作了系统的总结。通过给出几个应用例子来进一步讨论了积分不等式的若干技巧。 参考文献： [1] 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析(上册) [M]. 北京：高等教育出版社，2004.5. 第2 版.167～201，290～291，373～374. [2] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册) [M]. 北京：高等教育出版社，2001(2006重印). 第3版. 167～201， [3] 周民强. 数学分析习题演练[M]. 北京：科学出版社，2006. 第2版.78～90. [4] (美国)M.R.施皮格尔著编；施建兵，朱卓宇，冯玉勇等译. 微积分[M]. 北京：科学出 版社，2002 .55～56，73～74. [5] 吴良林,毛羽辉. 数学分析习题精解(多变量部分) [M]. 北京：科学出版社，2003. 74～ 81. [6] 《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海(第一卷)[M]. 太原：山西教育出版社、中国科 学技术出版社、东南大学出版社，2002.8. 535～537，547～548. [7] 邹成. 关于积分第一中值定理的逆命题[J]. 思茅师范高等专科学校学报，2008(06). 31～33. [8] 陈友朋. 柯西中值定理的反问题[J]. 高等数学研究，2008(05). 35～37. [9] 赵旭波，李小平. 改进的定积分中值定理在解题中的应用[J]. 高等数学 致谢 大学四年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！ 感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，老师塔实甫拉提严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助. 同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊. 到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对塔实浦拉提老师表示最诚谢意和祝福挚的！ 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.doczj.com/doc/184328237.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.doczj.com/doc/184328237.html,) 原文地址： https://www.doczj.com/doc/184328237.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ； 比较法证明不等式 2013-12-07 比较法证明不等式 1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a- b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的.正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2 因a^a*b^b=(ab)^ab, 又ab>a+b/2 故a^a*b^b>(ab)^a+b/2 已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4. 用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4 下面这个方法算不算“比较法”啊? 第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ——高中数学教案 课题：用比较法证明不等式 （５３００２１广西南宁三中 许兴华） 教学目标：1、通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商 比较法）”证题的基本原理； 2、学会“比较法”证题的基本步骤； 3、初步学生培养分析问题解决问题的能力. 重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤； 难点是掌握变形的思路和技巧. 教学过程： 一、复习引入： 1、实数大小比较的依据是什么？ （让学生回答）主要依据是： ①a －b ＞0 ＞b ②a －b ＝0 b ③a －b ＜0 b 2、 由以上法则我们知道： ① 要证a ＞b ，只需证a －b ＞0； ② 要证a ＜b ，只需证a －b ＜0.于是我们得到不等式证明的一种方法：作差 比较法. 二、新授课： 1、“作差比较法”证明不等式： 例1：求证：x 2+3>3x （1） 分析：欲证x 2+3>3x ，只需证x 2+3－3x ＞0 （2） 于是配方即得:04 3 )23(2>+-x ,此不等式显然成立. （3） 证明：板书证明过程（略）. 例2：已知a ，b ∈R +，并且a ≠b ，求证： a 5＋ b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 (1)分析：要证a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ,只要证明(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)>0 而(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)=(a 5－a 3b 2)+(b 5－a 2b 3) =a 3(a 2－b 2)－b 3 (a 2－b 2)= (a 2－b 2)(a 3－b 3) = (a －b)2(a+b)(a 2+ab+b 2)>0 (),,b a R b a ≠∈+ (2)：板书证明过程(略). 引导学生进行小结:用“作差比较法”证不等式的步骤是： ①作差 ②恒等变形 ③ 判断符号 ④结论 其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”的目的.证明的实质：进行实数大小比较. （3）为了确定差的正负，“变形”的目标一般是： ① 一个常数； ② 一个常数与一个或几个平方的和的形式； ③ 几个因式的积的形式. 课堂练习：设a ＞b ＞0，比较2 222b a b a +-与 b a b a +-的大小. （要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评） （1） 分析：作差通分变形即可. （2） 证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”. 2、“作商比较法”证明不等式： 比较法还有“作商比较法”：若已知b>0 , 则要证.1,>>b a b a 只要证明 例3．已知+∈R b a ,，求证：a b b a b a b a ≥. 分析：0,,>∴∈+ a b b a R b a ，故只要证明1≥a b b a b a b a . 不妨设b a ≥,则.1,0,1≥? ?? ??==∴≥-≥---b a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b a （板书证明过程）（略） 三、课堂练习： 课本：P.7之1、2、3、4. 5.(补充练习):已知,0>>>c b a 求证:3 )(c b a c b a ab c c b a ++>. 练习后，当堂讲评: 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2： 1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式 一个不等式的七种证明方法 证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立. (2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2 因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二: (a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2) =(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd . 故命题得证. 分析三:用比较法 证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0, ∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法 证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |, 可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法 证法五:不妨设???==???==ββ ααsin cos ,sin cos 2 211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量). 则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+?+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法 不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考． 关键词：不等式；证明；方法 Methods for Proving Inequality Abstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method不等式证明的常用基本方法
不等式典型例题之基本不等式的证明
高中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法
经典不等式证明的基本方法
证明不等式的几种常用方法
高中数学基本不等式证明
证明不等式的基本方法(20200920095256)
比较法证明不等式.
证明不等式的基本方法-比较法
4 基本不等式的证明(1)
不等式的证明方法习题精选精讲
不等式证明的基本方法
用比较法证明不等式.许兴华
均值不等式的证明方法
一个不等式的七种证明方法
不等式的证明方法论文
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