证明不等式的若干方法
?摘要?不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。
?关键词?不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性
在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西 施瓦茨不等式。
1 中值定理定理法
利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。
例1 设e4e2(b-a)。
解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ
设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξ
ξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。
也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x
例2 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。
解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c) (a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。
若f(c)
2 利用辅助函数的单调性证明
辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。
例3 试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。
又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f″(x)=2lnx+1+1x2,f″(1)=2>0
f (x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。又由f′
(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
例4 设b>a>e，证明ab>ba。
分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb
解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)
所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba 。
解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。
3 利用泰勒展开式证明
泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。
例5 设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2 。
分析: 已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。
解：对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得
f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f″(ξ)2!(x-c)2（1）
其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有
f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f″(ξ)2!c2, 0<ξ1
在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f″(ξ)2!c2, 0
上述两式相减得
f(1)-f(0)=f′(c)12! ［f″(ξ2)(1-c)2-f″(ξ1)c2］, 于是
|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f″(ξ2)(1-c)2-f″(ξ1)c2］|
≤|f(1)|+|f(0)|+12|f″(ξ2)| (1-c)2+12 |f″(ξ1)|c2
≤2a+b2［(1-c)2+c2］, 又因当c∈(0,1)时，有
(1-c)2+c2≤1 故 |f′(c)|≤2a+b2
因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。
4 柯西 施瓦茨不等式
(〖JF(Z〗baf(x)g(x)dx)2〖JF)〗≤〖JF(Z〗baf2(x)dx 〖JF)〗〃〖JF(Z〗bag2(x)dx〖JF)〗
柯西 施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。
例6 设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖JF(Z〗baf(x)dx〖JF)〗〃〖JF(Z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2 。〖JF)〗证明：(〖JF(Z〗baf(x)1f(x)dx)2〖JF)〗≤〖JF(Z〗baf(x))2 dx〖JF)〗〃〖JF(Z〗ba（1f(x))2dx〖JF)〗
即得〖JF(Z〗baf(x)dx〖JF)〗〃〖JF(Z〗ba1f(x)dx ≥(b-a)2〖JF)〗
5 利用函数图形的凹凸性进行证明
函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。
f″(x)>0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；
f″(x)<0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。
例7 xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)
令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f″(t)=1t>0, 故f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)
即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2
即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2
类似的如：证明 ex+ey2>ex+y2, (x≠y)。
?参考文献?
1 同济大学数学系.高等数学.第5版.北京：高等教育出版社, 2002.
2 黄先开，曹显兵,等.历届考研试题.北京：世界图书出版公司, 2004.