1.4 用卡诺图化简逻辑函数
本次重点内容
1、卡诺图的画法与性质
2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图
逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义
在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质：
（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最
小项可用m 0, m １,m ２,……来编号。
1
01
00
01
11
10
01A BC
AB CD B A 00011110
00
01
11
10
m m m m m m
m
m
m m m m 012
3
00112233m m m m m m m m m m m m m m m m 45678910
1112131415
图1.4.1 卡诺图
二、应用卡诺图表示逻辑函数
应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。 三、应用卡诺图化简逻辑函数 1、一个正确卡诺圈的要求：
（1）画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2m 个（m 为大于等于0的整数）。
（2）画在一个卡诺圈内的2m 个1方格必须排列成方阵或矩阵。 （3）一个卡诺圈内的1方格必须是对称相邻的。 2、利用卡诺图化简逻辑函数的步骤：
（1）先找没有相邻项的独立1方格，单独画圈。
（2）其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈。 （3）再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈。 （4）再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈。 （5）依此类推，若还有1方格未被圈，找合适的圈画出。 如： 化简C B A BC A C B A C B A Y +++=1
A
BC 1
0000111101
1110
00
则有：Y1=C C B +A
化简)15,14,13,12,5,4,3,0(2m Y ∑=
AB C B D C A CD B A Y +++=2
3、 具有无关项的逻辑函数的化简 逻辑函数中的无关项：
??
?的取值不可能出现）一定约束关系，使它们约束项（逻辑变量之间，输出是任意的）任意项（对某些输入项
用“×”（或“d ” ）表示 利用无关项化简原则：
无关项即可看作“1”也可看作“0”。卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”， 组外的视为“0”。
例1 为8421BCD 码，当其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y 的最简表达式。（用于间断输入是否大于5）
解：先列真值表，再画卡诺图
AB CD 00011110
00
01
11
10
000001
1111
X
X X X X X
写出表达式：Y=D C B +B +A
作业： 用卡诺图化简下列逻辑表达式：
D C BCD C B D B A B A D C B A Y +++++=1
∑=)15,11,7,3,2,1,0(2m Y
A B C D Y A B C D Y 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 × 0 0 1 1 0 1 0 1 1 × 0 1 0 0 0 1 1 0 0 × 0 1 0 1 1 1 1 0 1 × 0 1 1 0 1 1 1 1 0 × 0
1 1 1
1
1
1
1
1
×
卡诺图化简法
卡诺图化简法又称为图形化简法。该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。
一卡诺图的构成
卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。
1．结构特点
卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。
图2. 5 2～5变量卡诺图
从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，
m 4，m
7
，m
13
，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，
这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。
归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：
☆n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；
☆卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
二卡诺图的性质
卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，
根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。
用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。
通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。
三逻辑函数在卡诺图上的表示
1．给定逻辑函数为标准“与-或”表达式
当逻辑函数为标准“与-或”表达式时，只需在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到该函数的卡诺图
例如，3变量函数F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡诺图如图2．6所示。
图2．6 函数F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡诺图
2．逻辑函数为一般“与-或”表达式
当逻辑函数为一般“与-或”表达式时，可根据“与”的公共性和“或”的叠加性作出相应卡诺图。
例如，4变量函数F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡诺图如图2．7所示。
图2．7 函数F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡诺图
填写该函数卡诺图时，只需在4变量卡诺图上依次找出和“与项”AB、CD、A·BC对应的小方格填上1，便可得到该函数的卡诺图。
当逻辑函数表达式为其他形式时，可将其变换成上述形式后再作卡诺图。
为了叙述的方便，通常将卡诺图上填1的小方格称为1方格，填0的小方格称为0方格。0方格有时用空格表示。
四卡诺图上最小项的合并规律
卡诺图的一个重要特征是，它从图形上直观、清晰地反映了最小项的相邻关系。当一个函数用卡诺图表示后，究竟哪些最小项可以合并呢？下面以2、3、4变量卡诺图为例予以说明。
1．两个小方格相邻, 或处于某行(列)两端时，所代表的最小项可以合并，合并后可消去一个变量。
例如，图2.8给出了2、3、4变量卡诺图上两个相邻最小项合并的典型情况的
图2．8 两个相邻最小项合并的情况
2．四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所的表的最小项可以合并，合并后可消去两个变量。
例如，图2.9给出了3、4
图2．9 四个相邻最小项合并的情况
3．八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行（列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合并，合并后可消去三个变量。
例如，图2．10给出了3、4变量卡诺图上八个相邻最小项合并的典型情况的。
图2．10 八个相邻最小项合并的情况
至此，以3、4变量卡诺图为例，讨论了2，4，8个最小项的合并方法。依此类推，不难得出n个变量卡诺图中最小项的合并规律。
归纳起来，n个变量卡诺图中最小项的合并规律如下：
（1）卡诺圈中小方格的个数必须为2m个，m为小于或等于n的整数。
（2）卡诺圈中的2m个小方格有一定的排列规律，具体地说，它们含有m个不同变量，(n-m)个相同
（3）卡诺圈中的2m个小方格对应的最小项可用(n-m)个变量的“与”项表示，该“与”项由这些最
（4）当m=n时，卡诺圈包围了整个卡诺图，可用1表示，即n个变量的全部最小项之和为1。
五、卡诺图化简逻辑函数
1．几个定义
蕴涵项：在函数的“与-或”表达式中,每个“与”项被称为该函数的蕴涵项(Implicant)。
显然，在函数卡诺图中，任何一个1方格所对应的最小项或者卡诺圈中的2m个1方格所对应的“与”项都是函数的蕴涵项。
质蕴涵项：若函数的一个蕴涵项不是该函数中其他蕴涵项的子集，则此蕴涵项称为质蕴涵项(Prime Implicant)，简称为质项。
显然，在函数卡诺图中，按照最小项合并规律，如果某个卡诺圈不可能被其他更大的卡诺圈包含，那么，该卡诺圈所对应的“与”项为质蕴涵项。
必要质蕴涵项：若函数的一个质蕴涵项包含有不被函数的其他任何质蕴涵项所包含的最小项，则此质蕴涵项被称为必要质蕴涵项(Essential Prime Implicant)，简称为必要质项。
在函数卡诺图中，若某个卡诺圈包含了不可能被任何其他卡诺圈包含的1方格，那么，该卡诺圈所对
2．求函数最简“与-或”表达式
（1）一般步骤：
第一步：作出函数的卡诺图。
第二步：在卡诺图上圈出函数的全部质蕴涵项。按照卡诺图上最小项的合并规律，对函数F卡诺图中的1方格画卡诺圈。为了圈出全部质蕴涵项，画卡诺圈时在满足合并规律的前题下应尽可能大，若卡诺圈不可能被更大的卡诺圈包围，则对应的“与”项为质蕴涵项。
第三步：从全部质蕴涵项中找出所有必要质蕴涵项。在卡诺图上只被一个卡诺圈包围的最小项被称为必要最小项，包含必要最小项的质蕴涵项即必要质蕴涵项。为了保证所得结果无一遗漏地覆盖函数的所有最小项，函数表达式中必须包含所有必要质蕴涵项。
第四步：求出函数的最简质蕴涵项集。若函数的所有必要质蕴涵项尚不能覆盖卡诺图上的所有1方格，
（3）举例
例1用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D)=∑m(0,3,5,6,7,10,11,13,15)。
解根据卡诺图化简的步骤，该题化简过程如下：
图2.11
该题中，5个必要质蕴涵项已将函数的全部最小项覆盖，故将各卡诺圈对应的与项相或即可得到函数F的最简“与-或”表达式为
F(A,B,C,D)=A·B·C·D+ABC+ABC+BD+CD
例2F(A,B,C,D)=∑m(2,3,6,7,8,10,12)。
解根据卡诺图化简的步骤，该题化简过程如下：
图2．12
由图可知，该函数包含两个必要质蕴涵项，即AC和AC·D。在选取必要质蕴涵项之后，尚有最小项m
未被覆盖。为了覆盖最小项m10，可选质蕴涵项BCD或者AB·D，由于这两个质蕴涵项均由3个变量组10
成，故可任选其中之一作为所需质蕴涵项，即F的最简质蕴涵项集可为
{AC，AC·D，BCD} 或者{AC，AC·D，AB·D}
因而，可求得函数F的最简“与-或”表达式为
F(A,B,C,D)=AC+AC·D+BCD或者F(A,B,C,D)=AC+AC·D+AB·D 这里，函数F的最简“与-或”式有两个，其复杂程度相同。由此可见，一个函数的最简“与-或”表达式不一定是唯一的！
归纳起来，卡诺图化简的原则是：
☆在覆盖函数中的所有最小项的前提下，卡诺圈的个数达到最少。
☆在满足合并规律的前题下卡诺圈应尽可能大。
☆
3.求函数的最简“或-与”表达式
当需要求一个函数的最简“或-与”表达式时，可采用“两次取反法”。
具体如下：
☆先求出函数F的反函数F的最简“与-或”表达（合并卡诺图上的0方格）；
☆然后对F的最简“与-或”表达式取反，从而得到函数F的最简“或-与”表达式。
例如，用卡诺图求逻辑函数F(A,B,C,D)=∑m(3,4,6,7,11,12,13,14,15)的最简“或-与”表达式。
解首先画出函数F的卡诺图如图2．13所示。
图2．13
图中，F的0方格即反函数F的1方格，它们代表F的各个最小项，将全部0方格合并就可得到反函数F的最简“与-或”表达式
F(A,B,C,D)=AB+CD+BD
再对上述函数式两边取反，即可求得函数的最简“或-与”表达式
卡诺图化简逻辑函数具有方便、直观、容易掌握等优点。但依然带有试凑性。尤其当变量个数大于6时，画图以及对图形的识别都变得相当复杂。
为了克服它的不足，引入了另一种化简方法--
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一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消 因子。常用方法有： ①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其 中的一个变量。 ②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。 ③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子 ④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多 的与项。 ⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。 二、卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图表示法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。 逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。 1.表示最小项的卡诺图 将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数： 方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。 2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填 1，其余方格中填 0。 方法二：根据函数式直接填卡诺图。 用卡诺图化简逻辑函数： 化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。 化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。 如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。 注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到，不能合并的 1 单独画圈。说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。 合并最小项的原则： 1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。 卡诺图化简法的步骤： 画出函数的卡诺图; 画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小
b 第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项 ） B A B A B A AB Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项 C B A C B A C B A BC A ） C B A C B A C AB ABC 结论：n 变量共有2n 个最小项。三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的
h i n g s n 十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(+C)+BC(+A)+CA(+B) C A B =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3 567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()( C B D A B A Y +++=（ ) )((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++= D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++= D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝） 8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。
《数字电路逻辑设计》练习题 ---------- 逻辑函数及其化简 一. 用公式证明下列各等式。 1.()= D = +BC+BCD = +D= AB AC B C D AB AC D AB AC B CD AB AC AB AC +++=+++++++原式左边右边 2. A +BC (1+D)++BC =++BC=++BC =BC+BC=+BC=A C A B C D A BC A C A B A C A B A C B A A ?+?+??=+?????原式左边（）右边 3. BCD BCD ACD+ABC +A BCD +BC +BCD BC +BD =BCD+A BCD BCD+BCD +ABC +BC +ACD =BCD+A BCD+BD+BC +ACD =BCD+ACD+BCD+BD+BC =BCD+ACD+BD+DC+BC =BCD+BD+DC+BC =C D+B + B D+C =BC+BD+BC= D D BC D D D D D D ++???=+?+???????原式左边（）（）右边 4. AB B+D CD+BC+A BD+A+CD=1=AB B+D CD BC+A BD A+C+D =AB+ B+D+CD)(B+C C D =(B+C +C D =BC+BD+CD+C+D=1=????????原式左边（）++(B+D)）+ 右边 二. 写出下列各逻辑函数的最小项表达式及其对偶式、 反演式 的最小项表达式 1. F=ABCD+ACD+BD =m m(0,1,2,3,5,7,8,9,10,13) F*=m(2,5,6,7,8,10,12,13,14,15) ∑=∑∑（4,6,11,12,14,15）F 2. F=AB+AB+BC =m m(0,1,6) F*=m(1,6,7) ∑=∑∑（2,3,4,5,7）F 3. F=AB+C BD+A D =m m(023******* ) F*=m(34511121315) B C +?++∑=∑∑（1,5,6,7,8,9,13,14,15） F ，，，，，，，，，，，， 三. 用公式法化简下列各式 1. F=ABC+A CD+AC =A(BC+C)+A CD=AC AB A CD =C(AD)AB=AC+CD+AB A ??++?++ 2. F=AC D+BC+BD+AB+AC+B C =AC D+BC+BD+AB+AC+BC+B C =AC D+BC+AC+B =AD+C+B ????? 3. F=(A+B)(A+B+C)(A+C)(B+C+D)F*= AB+ABC+AC+BCD = AB+AC+BCD=AB+AC F=(F*)*=(A+B)(A+C)=AC+AB ∴ 4. F=AB+A B BC+B C AB+A B BC+B C AB+A B BC+B C A B C A A F C AB BC C AB B C C ???=?+?=?+?+=++?+=+?+ 5. F=AC+B ()()()()C B AC AC F A C B C ABC ABC AB A C BC C ABC ABC AB C A B C AC BC ++=++++=+?++++=+=+=+ 四. 用图解法化简下列各函数。 1. F=ABC+A CD+AC ?
1.4 用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最
逻辑函数的化简方法 一、教学时数：30分钟 授课类型：理论课 二、教学目的、要求： 通过介绍、讲解逻辑函数化简方法中的公式法，让学生能够运用 公式法来化简逻辑函数。 三、教学重点：公式法中的并项法、吸收法、消去法、配项消项法 四、教学难点：配项消项法 五、教学方法：采用通过师生互动的方法让学生回答问题，上讲台解答题目的方法，让学生参与进来课堂教学中来。 六、教学内容: （一）回顾常用的公式与两个重要规则：（3分钟） 通过提问让大家回顾上节课的知识，并将重点部分展示出来。为了节省时 间，这部分的内容用PPT 展示。 1、德 摩根定理： 2、 A B A AB =+ 3、 A A B A =+ 4、B A B A A +=+ 5、C A AB BC C A AB +=++ 6、AB B A B A B A +=+ 7、C A B A C A AB +=+ 8、代入规则:在任何逻辑等十种，如果等式两边所有出现某一变量的地方， 都代之以一个函数，则等式仍然成立。 B A B A +=?B A B A ?=+
9、反演规则：对于任意一个函数表达式Y,如果将Y 中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”；“0”换成“1”， “1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是Y 的反函数Y 。（反演规则很有用，但在这一节我们主要用德 摩根定理） (二)介绍逻辑函数的各种最简式：（3分钟） 将各种类型的逻辑函数最简式在PPT 中展示出来，让学生思考他们是属于哪种最简式。 （最简与非与非式）（最简与或式） C A AB Z C A AB Z =+= （最简与或非式） （最简或非或非式）（最简或与式）C A B A Z C A B A Z C A B A Z +=+++=++=) )(( （三）运用公式法的四种方法来化简逻辑函数（19分钟） 将前三道例题在PPT 中展示出来，请学生上讲台到黑板上解答题目。（4分钟） 由三道例题引出前三种方法，在引出第四种方法（15分钟） 1、并项法：利用公式 A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一 个变量。 例题1： B B A AB =+= 2、吸收法：利用公式A AB A =+，吸收掉多余的乘积项。 例题2：E B D A AB Y ++=
1.最小项的基本概念 由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次 一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个 2.最小项的性质 为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。 由此可见，最小项具有下列性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 3.最小项的编号 表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为最小项通常用m i 例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而 按此原则，3个变量的最小项 011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m 3
二、逻辑函数的最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式 。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将 化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将 逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即 又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式； （2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；
卡诺图化简 一卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 1．结构特点 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i 。 图2. 5 2～5变量卡诺图 从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图
形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m 7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。 归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点： ☆n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项； ☆卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 二卡诺图的性质 卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如， 根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD 相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。 用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡
第2章逻辑函数及其化简 内容提要 本章是数字逻辑电路的基础，主要内容包含： （1）基本逻辑概念，逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）及其复合运算（与非、或非、与或非、同或、异或等）。 （2）逻辑代数运算的基本规律（变量和常量的关系、交换律、结合律、分配律、重叠律、反演律、调换律等）。 （3）逻辑代数基本运算公式及三个规则（代入规则、反演规则和对偶规则）。 （4）逻辑函数的五种表示方法（真值表法、表达式法、卡诺图法、逻辑图法及硬件描述语言）及其之间关系。本章主要讲述了前三种。（5）逻辑函数的三种化简方法（公式化简法、卡诺图法和Q–M法）。教学基本要求 要求掌握： （1）逻辑代数的基本定律和定理。 （2）逻辑问题的描述方法。 （3）逻辑函数的化简方法。 重点与难点 本章重点： （1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。 （2）常用公式。 （3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。
（4）最小项和最大项概念。 （5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。主要教学内容 2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算 2.1.2 复合运算 2.2 逻辑代数运算的基本规律 2.3 逻辑代数的常用运算公式和三个规则2. 3.1 逻辑代数的常用运算公式 2.3.2 逻辑代数的三个规则 2.4 逻辑函数及其描述方法 2.4.1 逻辑函数 2.4.2 逻辑函数及其描述方法 2.4.3 逻辑函数的标准形式 2.4.4 逻辑函数的同或、异或表达式 2.5 逻辑函数化简 2.5.1 公式法化简 2.5.2 卡诺图化简
2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算 2.1.1 三种基本运算 1. 与运算（逻辑乘） 2. 或运算（逻辑加） 3. 非运算（逻辑非） 2.1.2 复合运算 1. 与非运算 与非运算是与运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行非运算。 2. 或非运算
逻辑函数的公式化简方 法 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
1.2逻辑函数的化简方法 一、教学时数：30分钟授课类型：理论课 二、教学目的、要求： 通过介绍、讲解逻辑函数化简方法中的公式法，让学生能够运用公式法来化简逻辑函数。 三、教学重点：公式法中的并项法、吸收法、消去法、配项消项法 四、教学难点：配项消项法 五、教学方法：采用通过师生互动的方法让学生回答问题，上讲台解答题目的方法，让学生参与进来课堂教学中来。 六、教学内容: （一）回顾常用的公式与两个重要规则：（3分钟） 通过提问让大家回顾上节课的知识，并将重点部分展示出来。为了节省时间，这部分的内容用PPT 展示。 1、德摩根定理： 2、A B A AB =+ 3、 A A B A =+ 4、B A B A A +=+ 5、C A AB BC C A AB +=++ 6、AB B A B A B A +=+ 7、C A B A C A AB +=+ 8、代入规则:在任何逻辑等十种，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。 9、反演规则：对于任意一个函数表达式Y,如果将Y 中所有的“.”换成“+”， “+”换成“.”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成B A B A +=?B A B A ?=+
原变量，那么所得到的表达式就是Y 的反函数Y 。（反演规则很有用，但在这一节我们主要用德摩根定理） (二)介绍逻辑函数的各种最简式：（3分钟） 将各种类型的逻辑函数最简式在PPT 中展示出来，让学生思考他们是属于哪种最简式。 （三）运用公式法的四种方法来化简逻辑函数（19分钟） 将前三道例题在PPT 中展示出来，请学生上讲台到黑板上解答题目。（4分钟） 由三道例题引出前三种方法，在引出第四种方法（15分钟） 1、并项法：利用公式A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一个变量。 例题1：B A C AB ABC Y ++= 2、吸收法：利用公式A AB A =+，吸收掉多余的乘积项。 例题2：E B D A AB Y ++= 3、消去法：利用公式 B A B A A +=+，消去乘积项中多余的因子。 例题3：BD A C AB Y ++= 4、配项消项法：利用公式C A AB BC C A AB +=++，在函数与或表达式中加上多余的项——冗余项，以消去更多的乘积项，从而获得最简与或式。（常称之为冗余定理） 例题4：C B C A C B C A Y +++=（加上乘积项B A ） （四）重点、难点巩固：（4分钟） 加强练习：DEF E B ACEF BD C A AB D A AD Y +++++++= （五）布置作业：（1分钟） 通过布置习题，让学生在课后通过习题巩固知识。 课本习题：题1.9（9）、（10） 黑板板书：
逻辑函数卡诺图表示方法 从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。 一、最小项的定义 1.最小项 如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。 对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和 ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。 2.最小项的编号 最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。下表为3变量最小项对应表。 3变量全部最小项的真值表 3.最小项表达式 如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如
()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F 要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。 例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。 解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式 ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m 4.最小项的性质： ①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。 ②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。 ③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ④全部最小项的和必为1。二、表示最小项的卡诺图 逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。 1.相邻最小项 定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。 2.最小项的卡诺图表示 卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。下图为各不同变量的卡诺图。 图6.33二变量卡诺图 00011110m AB m AB 1m 03m AB AB 4A (a) B 1 3 2 AB (b) 0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC 74ABC m m m ABC ABC 0(a) (b) 1324 5 7 6 10 01 11 00 BC A 01 B C A
第 2 章 逻辑代数和逻辑函数化简 基本概念：逻辑代数是有美国数学家 George Boole 在十九世纪提出 , 因此也称 布尔代数 , 是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。 也叫开关代数， 是研究只用 0 和 1 构成的数字系统的数学。 基本逻辑运算和复合逻辑运算 基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。 复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异 或”、“同或”等。 A B 基本逻辑运算 ～ 220V F 1. “与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具 备时，事件才会发生。 ②运算电路：开关 A 、B 都闭合，灯 F 才亮。 ③表示逻辑功能的方法： 真值表 A B F 灯 F 的状态代表 开关 A 、B 的状态代 0 0 表输入： 0 1 0 输出： 1 0 0 “ 0”表示亮； “0”表示断开； 1 1 1 表达式： F A B = ? 逻辑符号： A & FA FA F B B B 国家标准 以前的符号 欧美符号 功能说明： 有 0 出 0，全 1 出 1。 在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号： A B A B A B & F F F
通过“ ?”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。推广：当有 n 个变量时： F=A 1A 2 A 3 ? ? ? A n “与”运算的几个等式： 0?0=0，0?1=0， 1?1=1 A?0=0（0-1 律）， A?1=A （自等律），A?A=A （同一律）， A?A?A=A （同一律）。 2. “或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只 要具备一个，事件就会发生。 A ②运算电路： 开关 A 、B 只要闭合一个，灯 F 就亮。 B ～220V F ③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能： 有 1 出 1，全 0 出 0。 真值表：（略） 表达式： F=A+B 逻辑符号： A ≥ 1 F A FA F B + B B 国家标准 以前的符号 欧美符号 推广：当有 n 个变量时： F=A 1+A 2+ A 3+? ? ? +A n “或”运算的几个等式： 0+0=0，0+1=1， 1+1=1 A+0=A （自等律） A+1=1（ 0-1 律），A+A=A （同一律）。 上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。 3．“非”运算 ①逻辑含义：当决定事件的条件具备时， 事件不 发生；当条件不具备时，事件反而发生了。 R ②运算电路：开关 A 闭合，灯 F 不亮。 ～ 220V A F ③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能： 入 0 出 1，入 1 出 0。 真值表：（略） 表达式： F= A
用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项 C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如 最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 m 0,m １,m ２,……来编号。
1 01 00 01 11 10 01 A BC AB CD B A 00011110 00 01 11 10 m m m m m m m m m m m m 012 3 00112233m m m m m m m m m m m m m m m m 45678910 1112131415图卡 诺图 二、应用卡诺图表示逻辑函数 应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。 三、应用卡诺图化简逻辑函数 1、一个正确卡诺圈的要求： （1）画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2m 个（m 为大于等于0的整数）。 （2）画在一个卡诺圈内的2m 个1方格必须排列成方阵或矩阵。 （3）一个卡诺圈内的1方格必须是对称相邻的。 2、利用卡诺图化简逻辑函数的步骤： （1）先找没有相邻项的独立1方格，单独画圈。 （2）其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈。 （3）再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈。 （4）再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈。 （5）依此类推，若还有1方格未被圈，找合适的圈画出。 如：化简C B A BC A C B A C B A Y +++=1 则有：Y1=C C B +A 化简)15,14,13,12,5,4,3,0(2m Y ∑= 3、具有无关项的逻辑函数的化简
逻辑函数的卡诺图化简法 代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。 本节介绍一种比代数法更简便、直观的化简逻辑函数的方法。它是一种图形法，是由美国工程师卡诺（Karnaugh ）发明的，所以称为卡诺图化简法。 卡诺图实际上是真值表的一种变形，一个逻辑函数的真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方格。所不同的是真值表中的最小项是按照二进制加法规律排列的，而卡诺图中的每一项则是按照相邻性排列的。 1．卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图。 00011110m AB m AB 1m 03m AB AB 4A (a) B 0 1 3 2 AB (b) （2）三变量卡诺图。 0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC 74ABC m m m ABC ABC 0(a) (b) 1324 5 7 6 10 01 11 00 BC A 01 B C A （3）四变量卡诺图。 m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCD ABCD 1412m 15m ABCD ABCD ABCD m ABCD 8m 1011m 9m ABCD A B C D 01327 6 5 4 131415129 8 11 10 AB CD 000001 01111110 10(a) (b) 2．从真值表到卡诺图 例3.2.3 某逻辑函数的真值表如表3.2.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。 解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表3.2.3将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图3.2.4所示。
卡诺图化简法 卡诺图化简法又称为图形化简法。该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。 一卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 1．结构特点 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。
图2. 5 2～5变量卡诺图 从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。 归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点： ☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项； ☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 二卡诺图的性质 卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，
1.2逻辑函数的化简方法 一、教学时数：30分钟 授课类型：理论课 二、教学目的、要求： 通过介绍、讲解逻辑函数化简方法中的公式法，让学生能够运用公式法来化简逻辑函数。 三、教学重点：公式法中的并项法、吸收法、消去法、配项消项法 四、教学难点：配项消项法 五、教学方法：采用通过师生互动的方法让学生回答问题，上讲台解答题目的方法，让学生参与进来课堂教学中来。 六、教学内容: （一）回顾常用的公式与两个重要规则：（3分钟） 通过提问让大家回顾上节课的知识，并将重点部分展示出来。为了节省时间，这部分的内容用PPT 展示。 1、德 摩根定理： 2、 A B A AB =+ 3、A AB A =+ 4、 B A B A A +=+ 5、C A AB BC C A AB +=++ 6、AB B A B A B A +=+ 7、C A B A C A AB +=+ 8、代入规则:在任何逻辑等十种，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。 9、反演规则：对于任意一个函数表达式Y ,如果将Y 中所有的“.”换成“+”， B A B A +=?B A B A ?=+
“+”换成“.”；“0”换成“1”， “1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是Y 的反函数Y 。（反演规则很有用，但在这一节我们主要用德 摩根定理） (二)介绍逻辑函数的各种最简式：（3分钟） 将各种类型的逻辑函数最简式在PPT 中展示出来，让学生思考他们是属于哪种最简式。 （最简与非与非式） （最简与或式） C A AB Z C A AB Z =+= （最简与或非式） （最简或非或非式）（最简或与式）C A B A Z C A B A Z C A B A Z +=+++=++=))(( （三）运用公式法的四种方法来化简逻辑函数（19分钟） 将前三道例题在PPT 中展示出来，请学生上讲台到黑板上解答题目。（4分钟） 由三道例题引出前三种方法，在引出第四种方法（15分钟） 1、并项法：利用公式A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一 个变量。 例题1： B B A AB =+= 2、吸收法：利用公式 A A B A =+，吸收掉多余的乘积项。 例题2：E B D A AB Y ++= B A E B D A B A +=+++= B A C AB ABC Y ++=
逻辑函数的卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图化简法 由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。 一、最小项的定义及其性质 1.最小项的基本概念 由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个 被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次 一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3 时，最小项有23＝8个
2.最小项的性质 为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最 小项的真值表。 由此可见，最小项具有下列性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 3.最小项的编号 最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC 是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3 按此原则，3个变量的最小项
二、逻辑函数的最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式 。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系, 将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即 又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步： （1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式； （2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式； （3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。 由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
逻辑函数的化简方法 一、教学时数：30分钟授课类型：理论课 二、教学目的、要求： 通过介绍、讲解逻辑函数化简方法中的公式法，让学生能够运用公式法来化简逻辑函数。 三、教学重点：公式法中的并项法、吸收法、消去法、配项消项法 四、教学难点：配项消项法 五、教学方法：采用通过师生互动的方法让学生回答问题，上讲台解答题目的方法，让学生参与进来课堂教学中来。 六、教学内容: （一）回顾常用的公式与两个重要规则：（3分钟） 通过提问让大家回顾上节课的知识，并将重点部分展示出来。为了节省时间，这部分的内容用PPT 展示。 1、德摩根定理： 2、A B A AB =+ 3、 A A B A =+ 4、B A B A A +=+ 5、C A AB BC C A AB +=++ 6、AB B A B A B A +=+ 7、C A B A C A AB +=+ 8、代入规则:在任何逻辑等十种，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。 9、反演规则：对于任意一个函数表达式Y,如果将Y 中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所B A B A +=?B A B A ?=+
得到的表达式就是Y 的反函数Y 。（反演规则很有用，但在这一节我们主要用德摩根定理） (二)介绍逻辑函数的各种最简式：（3分钟） 将各种类型的逻辑函数最简式在PPT 中展示出来，让学生思考他们是属于哪种最简式。 （三）运用公式法的四种方法来化简逻辑函数（19分钟） 将前三道例题在PPT 中展示出来，请学生上讲台到黑板上解答题目。（4分钟） 由三道例题引出前三种方法，在引出第四种方法（15分钟） 1、并项法：利用公式A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一个变量。 例题1：B A C AB ABC Y ++= 2、吸收法：利用公式A AB A =+，吸收掉多余的乘积项。 例题2：E B D A AB Y ++= 3、消去法：利用公式 B A B A A +=+，消去乘积项中多余的因子。 例题3：BD A C AB Y ++= 4、配项消项法：利用公式C A AB BC C A AB +=++，在函数与或表达式中加上多余的项——冗余项，以消去更多的乘积项，从而获得最简与或式。（常称之为冗余定理） 例题4：C B C A C B C A Y +++=（加上乘积项B A ） （四）重点、难点巩固：（4分钟） 加强练习：DEF E B ACEF BD C A AB D A AD Y +++++++= （五）布置作业：（1分钟） 通过布置习题，让学生在课后通过习题巩固知识。 课本习题：题（9）、（10） 黑板板书：
卡诺图 3.3.1 卡诺图化简的基本原理（略） 3.3.2 逻辑函数的标准式—最小项 1. 最小项的定义 先看一个有三变量的真值表: 三变量的真值表 A B C 三变量与因式最小项编号 0 0 0 ABC m0 0 0 1 ABC m1 0 1 0 ABC m2 0 1 1 ABC m3 1 0 0 ABC m4 1 0 1 ABC m5 1 1 0 ABC m6 1 1 1 ABC m7 对于n个变量，有2n个可能的取值，全部变量的“与”项，称为最小项。 观察表中，在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。 举例： 下列三变量乘积项中，哪些是最小项，哪些是一般项？ ABCA A（B+C） AB ABC ABC 一个变量有21=2个最小项, A, A 二个变量有22=4个最小项, AB，AB，AB，AB。 n个有2n个最小项。 2.最小项的性质（看表） （1）对于任意一个最小项，只有一组取值使得它的值为1，而在其他各组值时，这个最小项的值都是0 （纵向看）
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。（横向看） (2)真值表法 A B C A B C BC AC F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 写逻辑表达式 F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC （根据最小项性质：逻辑函数，对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使其为1，而其他组取值为0。）。 1 1 1 0 1 0 1