逻辑函数卡诺图表示方法
从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。
一、最小项的定义 1.最小项
如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。
对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和
ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。
2.最小项的编号
最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。下表为3变量最小项对应表。
3变量全部最小项的真值表
3.最小项表达式
如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如
()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F
要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。
例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。 解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式
ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m
4.最小项的性质：
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。 ②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。 ③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ④全部最小项的和必为1。二、表示最小项的卡诺图
逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。 1.相邻最小项
定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
2.最小项的卡诺图表示
卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。下图为各不同变量的卡诺图。
图6.33二变量卡诺图
00011110m AB
m AB
1m 03m AB AB
4A
(a)
B
1
3
2
AB
(b)
0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC
74ABC
m m m ABC
ABC
0(a)
(b)
1324
5
7
6
10
01
11
00
BC
A 01
B
C A
图6.34 三变量卡诺图
图6.35 四变量卡诺图
三、真值表与函数式之间的转换 1.真值表到卡诺图方法
例：某逻辑函数的真值表如表6.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。
该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表6.3将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图6.36所示。
图6.36 卡诺图
2.从逻辑表达式到卡诺图
(1)如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0。 例1:用卡诺图表示逻辑函数ABC C AB BC A C B A F +++=
解：该函数为三变量，且为最小项表达式，写成简化形式7630m m m m F +++=然后画出三变量卡诺图，将卡诺图中m 0、m 3、m 6、m 7对应的小方格填1，其他小方格填0。
(2)如果逻辑表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入，直接填入的具体方法是：分别找出每一个与项所包含
m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCD ABCD 1412
m 15m ABCD
ABCD ABCD m ABCD 8
m 10
11
m 9
m ABCD A
B
C
D 01327
6
5
4
131415129
8
11
10
AB CD
000001
01111110
10(a)
(b)
表6.3真值表
1011010A 00BC
100011
1
1
L
的所有小方格，全部填入1。
例2:用卡诺图表示逻辑函数D C B B A G +=
图6.37例1卡诺图 图6.38例2卡诺图
（3）如果逻辑表达式不是“与—或表达式”，可先将其化成“与—或表达式”再填入卡诺图。
C D
A
B
1
11
1
11G
00000000000
001
00
A 1
111
10
F 0
1
BC
01
10
b 第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项 ） B A B A B A AB Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项 C B A C B A C B A BC A ） C B A C B A C AB ABC 结论：n 变量共有2n 个最小项。三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的
h i n g s n 十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(+C)+BC(+A)+CA(+B) C A B =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3 567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()( C B D A B A Y +++=（ ) )((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++= D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++= D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝） 8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。
逻辑函数及其表示方法(案例分析) 表示一个逻辑函数有多种方法，常用的有：真值表、逻辑函数式、逻辑图等3种。它们各有特点，有相互联系，还可以相互转换，现介绍如下： 1.真值表 真值表时根据给定的逻辑问题，把输入逻辑变量各种可能取值的组合和对应的输出函数值排列成的表格。它表示了逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系。逻辑函数的真值表具有唯一性。若两个逻辑函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。当逻辑函数有n 个变量时，共有2n 个不同变量取值组合。在列真值表时，为避免遗漏，变脸取值的组合一般按n 位自然二进制数递增顺序列出。用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看成逻辑函数值和变量取值的关系。 例： 试列出逻辑函数B A AB Y +=的真值表。 解：该逻辑函数有2个输入变量，就有22=4种取值。把输入变量A 、B 的每种取值情况分别代入B A AB Y += 中，进行逻辑运算，求出逻辑函数值，列入表中，就得到Y 的真值表。 表 1 Y=AB+AB 的真值表 2.逻辑函数式 逻辑函数式时用与、或、非等 逻辑运算来表示输入变量和输出函数间因果关系的逻辑函数式。由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或表达式。写标准与-或表达式的方法是： (1)把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A 、B 、C 三个变量的取值为001，则代换后得到变量与组合为C B A 。 (2)把逻辑函数值为1所对应的各变量的与组合进行逻辑加，便得到标准的与-或逻辑式。 3.逻辑图 逻辑图是用基本逻辑门和符合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。
函数的表示方法 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2 r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函 数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格
常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种： （1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。 （2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。 三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域； 四、分段函数图像： 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。
excel中六种逻辑函数的使用 2008-04-18 09:31 用来判断真假值，或者进行复合检验的Excel函数，我们称为逻辑函数。在Excel中提供了六种逻辑函数。即AND、OR、NOT、FALSE、IF、TRUE函数。 一、AND、OR、NOT函数 这三个函数都用来返回参数逻辑值。详细介绍见下： （一）AND函数 所有参数的逻辑值为真时返回 TRUE；只要一个参数的逻辑值为假即返回 FALSE。简言之，就是当AND的参数全部满足某一条件时，返回结果为TRUE，否则为FALSE。 语法为AND(logical1,logical2, ...)，其中Logical1, logical2, ... 表示待检测的 1 到30 个条件值，各条件值可能为TRUE，可能为 FALSE。参数必须是逻辑值，或者包含逻辑值的数组或引用。举例说明： 1、在B2单元格中输入数字50，在C2中写公式=AND(B2>30,B2<60)。由于B2等于50的确大于30、小于60。所以两个条件值（logical）均为真，则返回结果为TRUE。 图1 AND函数示例1 2、如果 B1-B3 单元格中的值为 TRUE、FALSE、TRUE，显然三个参数并不都为真，所以在 B4单元格中的公式=AND(B1:B3) 等于 FALSE 图2 AND函数示例2 （二）OR函数 OR函数指在其参数组中，任何一个参数逻辑值为 TRUE，即返回 TRUE。它与AND函数的区别在于，AND函数要求所有函数逻辑值均为真，结果方为真。而OR函数仅需其中任何一个为真即可为真。比如，上面的示例2，如果在B4单元格中的公式写为=OR(B1:B3)则结果等 于TRUE 图3 OR函数示例 （三）NOT函数 NOT函数用于对参数值求反。当要确保一个值不等于某一特定值时，可以使用 NOT 函数。简言之，就是当参数值为TRUE时，NOT函数返回的结果恰与之相反，结果为FALSE. 比如NOT(2+2=4)，由于2+2的结果的确为4，该参数结果为TRUE，由于是NOT函数，因此返回函数结果与之相反，为FALSE。 二、TRUE、FALSE函数 TRUE、FALSE函数用来返回参数的逻辑值，由于可以直接在单元格或公式中键入值TRUE或者FALSE。因此这两个函数通常可以不使用。 三、IF函数 （一）IF函数说明 IF函数用于执行真假值判断后，根据逻辑测试的真假值返回不同的结果，因此If函数也称之为条件函数。它的应用很广泛，可以使用函数 IF 对数值和公式进行条件检测。 它的语法为IF(logical_test,value_if_true,value_if_false)。其中Logical_test表示计算结果为 TRUE 或 FALSE 的任意值或表达式。本参数可使用任何比较运算符。 Value_if_true显示在logical_test 为 TRUE 时返回的值，Value_if_true 也可以是其他公式。Value_if_false logical_test 为 FALSE 时返回的值。Value_if_false 也可以是其他公式。 简言之，如果第一个参数logical_test返回的结果为真的话，则执行第二个参数
题型一 求函数值 【例1】若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 【例2】（2006年安徽高考） 函数()f x 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 【例3】若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 【例4】已知函数2 2(),1x f x x R x = ∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 【例5】已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值． 典例分析 板块二.函数的表示法
【例6】若函数2()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ） A ．12()2x x f +≤12()()2f x f x + B ．12()2x x f +<12()() 2f x f x + C ．12( )2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>12()() 2 f x f x + 【例7】（2006．台湾） 将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118?，29?，36?三种，又36?是这三种分解中两数的差最小的，我们称36?为18的最佳分解．当p q ?()p q ≤ 是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p F n q = ，例如31 (18)62 F ==，下列有关函数()F n 的叙述，正确的序号为 （把你认为正确的序号都写上） ⑴(4)1F =；⑵3(24)8F =；⑶1 (27)3 F =； ⑷若n 是一个质数，则()F n 1 n = ；⑸若n 是一个完全平方数，则()1F n = 【例8】设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +
逻辑函数的表示方法论文：浅谈逻辑函数的表示方法及其相 互转换 逻辑函数是数字电路(一种开关电路)的特点及描述工具，输入、输出量是高、低电平，可以用二元常量(0，1)来表示，输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。学好逻辑函数是学习数字电子技术必要的工具和基础，对数字电路的分析和设计具有重要的作用，逻辑函数的表示方法有哪些？它们之间又是如何相互转换呢？ 下面就谈一谈逻辑函数的表示方法及其相互转换。 一、逻辑函数的表示方法 1、逻辑函数 在数字系统的逻辑电路中，如果某一输出变量与一组输入变量存在着一定的对应关系，当输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。即用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量a、b、c、...连接起来，所得的表达式 f=f（a、b、c、...）称为逻辑函数。逻辑函数自身的特点：(1)逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1两种可能。(2)逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三种基本逻辑运算决定的。
2、描述逻辑函数的常用方法有5种表示形式：真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图。 （1）真值表 真值表定义为：输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格。真值表具有唯一性。其优点是：直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。缺点是：难以用公式和定理进行运算和变换；量较多时，列函数真值表较繁琐。真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2i种不同的取值，将这2i种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。 例如：y=ab+bc+ca其真值表为表1所示。 （2）逻辑函数表达式 逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。逻辑函数表达形式不是唯一的。其优点是：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。缺点是：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。 表达式列写方法：取f=1的组合，输入变量值为1的表示成原变量，值为0的表示成反变量，然后将各变量相乘，最后将各乘积项相加，即得到函数的与或表达式。例如：
1.4 用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最
D C B A 1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法 【教学目标】 1．掌握函数的三种主要表示方法 2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入： 1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？ 3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？ 二、讲解新课：函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，s=602 t ，A=π2 r ，S=2rl π,y=a 2 x +bx+c(a ≠0),y= 2-x (x ≥2)等等都是用解析 式表示函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本 中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解 例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.
函数及其表示法要点归纳 一、 学习目标 1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域； 2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法； 3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。 二、重难点归纳 1．学习函数概念一定要注意理解其实质． ⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．． 确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2． ⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x = a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值． ⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数，
用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项 C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如 最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 m 0,m １,m ２,……来编号。
1 01 00 01 11 10 01 A BC AB CD B A 00011110 00 01 11 10 m m m m m m m m m m m m 012 3 00112233m m m m m m m m m m m m m m m m 45678910 1112131415图卡 诺图 二、应用卡诺图表示逻辑函数 应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。 三、应用卡诺图化简逻辑函数 1、一个正确卡诺圈的要求： （1）画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2m 个（m 为大于等于0的整数）。 （2）画在一个卡诺圈内的2m 个1方格必须排列成方阵或矩阵。 （3）一个卡诺圈内的1方格必须是对称相邻的。 2、利用卡诺图化简逻辑函数的步骤： （1）先找没有相邻项的独立1方格，单独画圈。 （2）其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈。 （3）再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈。 （4）再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈。 （5）依此类推，若还有1方格未被圈，找合适的圈画出。 如：化简C B A BC A C B A C B A Y +++=1 则有：Y1=C C B +A 化简)15,14,13,12,5,4,3,0(2m Y ∑= 3、具有无关项的逻辑函数的化简
函数及其表示方法 编稿：丁会敏审稿：王静伟 【学习目标】 (1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 【要点梳理】 要点一、函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 要点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： <<= {x|a≤x≤b}=[a，b]； x a x b a b {|}(,); (] x a x b a b ≤<=； {|}, x a x b a b {|}, <≤=；[) (][) x x b b x a x a ≤=∞≤=+∞. {|}-,; {|}, 要点二、函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 要点三、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a
逻辑函数卡诺图表示方法 从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。 一、最小项的定义 1.最小项 如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。 对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和 ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。 2.最小项的编号 最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。下表为3变量最小项对应表。 3变量全部最小项的真值表 3.最小项表达式 如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如
()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F 要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。 例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。 解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式 ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m 4.最小项的性质： ①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。 ②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。 ③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ④全部最小项的和必为1。二、表示最小项的卡诺图 逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。 1.相邻最小项 定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。 2.最小项的卡诺图表示 卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。下图为各不同变量的卡诺图。 图6.33二变量卡诺图 00011110m AB m AB 1m 03m AB AB 4A (a) B 1 3 2 AB (b) 0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC 74ABC m m m ABC ABC 0(a) (b) 1324 5 7 6 10 01 11 00 BC A 01 B C A
函数及其表示方法 一、目标认知 学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号)(x f y =的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法． 二、知识要点梳理 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：)(x f y =，x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： {x|a ≤x ≤b}=[a ，b]； ； ； .
函数及其表示 [考纲传真]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 【知识通关】 1．函数与映射的概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法： 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
[常用结论] 简单函数定义域的类型 (1)f (x )为分式型函数时，分式分母不为零； (2)f (x )为偶次根式型函数时，被开方式非负； (3)f (x )为对数型函数时，真数为正数、底数为正且不为1； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1； (6)正切函数y ＝tan x 的定义域为xx ≠k π＋π 2 ，k ∈Z . 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( ) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) (3)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．函数y ＝2x －3＋1 x －3 的定义域为( ) A .?????? 32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C .?????? 32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞) C 3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) B 4．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝3 x 3与g (x )＝x 2 B ．f (x )＝|x |与g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1 x －1 与g (x )＝x ＋1
课题名称: 函数及其表示 （一）知识梳理 1．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________ (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (3)函数的三要素： 、 和 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：映射的概念 例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？ （1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±． 例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个 例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ） ()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个 考点2：判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
函数及其表示法要点归纳 一、学习目标 1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域； 2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法； 3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。 二、重难点归纳 1．学习函数概念一定要注意理解其实质． ⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．． 确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2． ⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与 ()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x = a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值． ⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数，若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定．所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素．如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函
卡诺图 3.3.1 卡诺图化简的基本原理（略） 3.3.2 逻辑函数的标准式—最小项 1. 最小项的定义 先看一个有三变量的真值表: 三变量的真值表 A B C 三变量与因式最小项编号 0 0 0 ABC m0 0 0 1 ABC m1 0 1 0 ABC m2 0 1 1 ABC m3 1 0 0 ABC m4 1 0 1 ABC m5 1 1 0 ABC m6 1 1 1 ABC m7 对于n个变量，有2n个可能的取值，全部变量的“与”项，称为最小项。 观察表中，在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。 举例： 下列三变量乘积项中，哪些是最小项，哪些是一般项？ ABCA A（B+C） AB ABC ABC 一个变量有21=2个最小项, A, A 二个变量有22=4个最小项, AB，AB，AB，AB。 n个有2n个最小项。 2.最小项的性质（看表） （1）对于任意一个最小项，只有一组取值使得它的值为1，而在其他各组值时，这个最小项的值都是0 （纵向看）
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。（横向看） (2)真值表法 A B C A B C BC AC F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 写逻辑表达式 F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC （根据最小项性质：逻辑函数，对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使其为1，而其他组取值为0。）。 1 1 1 0 1 0 1
《函数及其表示方法》说课稿： 《函数的表示法》教学设计说明 一、教材内容分析 今天我说课的课题是中职数学（基础模块）第三章第一节《函数及其表示》，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。 学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。 二、教学目标分析 根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订教学目标。 1．明确函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），通过具体的实例，了解简单的分段函数及其应用。 2．通过解决实际问题的过程，在实际情境中能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，发展学生思维能力。
3．通过一些实际生活应用，让学生感受到学习函数表示的必要性；通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想。 三、教学问题诊断分析 （1）初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法。因此，教学中应该多给出一些具体问题，让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的。 （2）分段函数大量存在，但比较繁琐。一方面，要加强用分段函数模型刻画实际问题的实践，另一方面，还可以通过动画模拟，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合。这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔。 四、本节课的教法特点以及预期效果分析 （一）．本节课的教法特点 根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式。在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程。倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生能够利用函数来处理信息的能力。 （二）．本节课预期效果
第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是 按一定规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。 公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。 2．最小项 （1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。 如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ） Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC ） 结论： n 变量共有2n 个最小项。 三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十
进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++ 例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++= 解：))()(C B D A B A Y +++= （ ))((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++= D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++= D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑ 列真值表写最小项表达式。