初一上学期期中考试重难点分析 ----绝对值的化简求值
进入初一上学期，同学们会发现大部门知识学起来还是比较简单，唯独绝对值的化简和 求值成为了众多学生的拦路虎。
无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a 取任意有理数都有||a ≥0。
经过仔细分析，绝对值的考查无非就三种题型，用到的思想基本上就是分类讨论和数形结合，方法大部分题型考查的就是零点分段讨论，下面我们简单的分析下：
零点分段讨论法：我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做零点，一个代数式里有几个绝对值符号，通常就有几个零点。比如|42||3|-++x x ，有两个绝对值，就有两个零点，分别是-3和2。确定了零点后，再根据两个零点在数轴上把整个数轴分成几段，就进行几类分类讨论。
题型一：含一个绝对值符号的化简
1、已知未知数的取值或取值范围进行化简
典型题型：当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简）
解：原式=-+=-2333x x x 。
2、没有告知未知数的取值或取值范围进行化简
典型题型：化简||x x -+52（此题中零点是5,5把数轴分成了两部分，因此分两类讨论）
解：（1）当5≥x 时，则05≥-x 是一个非负数，则它的绝对值应是它本身，所以原式=-+=-x x x 5235。
（2）当x <5时，则x -<50，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式=--+=-++=+()x x x x x 52525。
人大附中2009年期中测试真题：化简||2612
x y x y +-+- 此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y 看作一个整体未知数，找出零点，使260x y +-=的整体未知数的值是26x y +=，我们把6叫做此题的零点，这样又可分两种情况进行讨论。
（1）当62≥+y x 时，
||2612x y x y +-+-
=+-+
-=
-261252
6x y x y x
（2）当26x y +<时
||261
2x y x y
+-+-
=-+-+-=--++-=--+()261
2261
23
226
x y x y
x y x y
x y
题型二：含两个绝对值符号的化简
1、 已知未知数的取值或取值范围
典型题型：当x <-5时，化简||||256x x -+
解：原式=--+-()()256x x
=-+-=-+25685x x
x
2、 没有告知未知数的取值或取值范围
典型题型：化简||||x x ++-321 （此题有两个零点，把数轴分成三段，故应分三类讨论）
解：（1）当21
≥x 时
原式=++-()()x x 321
=++-=+x x x 321
32
（2）当21
3<≤-x 时
原式=++--x x 321[()]
=+-+=-+x x x 321
4
（3）当x <-3时
原式=-++--()[()]x x 321
=---+=--x x x 321
32
北京四中2010年期中测试真题：化简
解： ①当
时, 原式
②当
时， ，
原式
③当
时， ， 原式
题型三：数形结合绝对值化简题 典型题型：有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，试化简：
||||||23a b b c c a -+---。
解：由a 、b 、c 在数轴上的位置可知a b c <><000、、且c a <、c a >3、2a b < 所以原式=--+---()()()23a b b c c a
=-++--+=+-2322a b b c c a a b c
综上所述，含有绝对值符号的化简题，如已确定某些未知数的取值，就按这个未知数的取值根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，进而化简。如没有告诉某些未知数的取值或取值范围，那么就找出这个绝对值（或两个绝对值）符号内的零点，然后进行分类讨论。
绝对值计算化简专项练 习 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
绝对值计算化简专项练习 1．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b| 2．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|． 3．已知xy ＜0，x ＜y 且|x|=1，|y|=2． （1）求x 和y 的值； （2）求的值． 4．已知|m ﹣n|=n ﹣m ，且|m|=4，|n|=3，求（m+n ）2的值． 5．a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a ﹣b|﹣|a+b|． 6．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a ﹣c|﹣|a ﹣b|﹣|b ﹣c|+|2a|． 7.若|x|=3，|y|=2，且x ＞y ，求x ﹣y 的值． 8.已知：有理数a 、b 在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 9．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+| ﹣| 10.阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >??==??-
绝对值计算化简专项练习 Prepared on 22 November 2020
绝对值计算化简专项练习 1．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b| 2．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|． 3．已知xy ＜0，x ＜y 且|x|=1，|y|=2． （1）求x 和y 的值； （2）求的值． 4．已知|m ﹣n|=n ﹣m ，且|m|=4，|n|=3，求（m+n ）2的值． 5．a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a ﹣b|﹣|a+b|． 6．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a ﹣c|﹣|a ﹣b|﹣|b ﹣c|+|2a|． 7.若|x|=3，|y|=2，且x ＞y ，求x ﹣y 的值． 8.已知：有理数a 、b 在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 9．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+| ﹣| 10.阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >??==??-
绝对值化简求值练习题 一、绝对值化简题 1.若x＞0，y＜0，求x?y?2?y?x?3的值。 2.若a?2?2?a?0，则a的取值范围是： A．a≤ B． a＜C．a≥D． a＞2 3. 有理数a、b在数轴上的表示如图所示，那么 A．－b＞a B．－a＜b B．C．b＞a D．∣a∣＞∣b∣ 4．有理数a、b在数轴上的位置如图1－1所示，那么下列式子中成立的是 A．a>bB．a0 D．a?0 b 5. 已知a、b、c在数轴上的位置如下图所示，化简： |a－b|＋|－c|－|a－c| ; |a－b|－|b+c|+|a－c| ; b-2a2b |－a+b|＋|b－c|－|a+c|; －|a+b|＋|b－c|－|a－c|. 2b -2a 二、整式化简求值 1.化简： ? 2?7x??2x3x2???? 5?2
2a2???1?1?8ab??ab； ?2?2 ?8m2??4m?2m2??3m?m2?7??8?? 3x2?2xy?4y2? 4?5 3-2 -「2+2b2-3」 1st?3st?6 32328a?a?a?4a?a?7a?6 7xy?xy?4?6x?323xy?5xy?5 2?3 2?3?2[x?] 3x?2xy?4y? 4?5 8m222222222222?[4m2?2m?] 2222?3 2ab?3ab? 322212ab328a?a?a?4a?a?7a?6 8ab?5ab 2?22??2?3ab?4ab?2?42a?3ab?2a? ?2??222? 2. 先化简，再求值： 121232xy??,其中 x??1,y?2.422
3b?[1??2],其中b? —1,a??2。11—4，其中x=5.4 x2y?[2xy2?2?xy]?3xy2，其中x??3,y??2。 12x3?4x?x2?，其中x??33 1a2b?5ac??，其中a??1，b?2，c??2。 123232x?4x?x?，其中x??3。 12ab?5ac??，其中a??1，b?2，c??2。 23a1??2，其中a??； 1 412313y)?,其中x?,y??2；232 2x?2几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 ?a?当a为正数???也可以写成： |a|??0?当a为0? ????a?当a为负数? 说明：|a|≥0即|a|是一个非负数； |a|概念中蕴含分类讨论思想。 一、典型例题
绝对值教案设计 课题：§1.2.4 绝对值 学习目标: 1.初步理解绝对值的概念. 2.会求一个数的绝对值，并利用绝对值解决实际问题. 3.理解绝对值的非负性. 重点难点: 1.重点：对绝对值概念的理解及运用. 2.难点：对绝对值非负性的理解. 课时安排：2课时 学习过程，（学法指导） 一、学习准备: (一)已学知识: 上一节我们学过互为相反数的两个数到原点的距离相等. 1、什么叫相反数？互为相反数的两个数的代数及几何特征如何？ ２、到原点的距离为2.5的点有几个？它们有什么特征？
(二)相关知识: 距离表示点与点之间的线段长度.距离总是一个非负数。 二、新课导学 ※ 自学探究（阅读教材P11~ P13） 探究任务一： 问题探究：绝对值的概念和表示方法。 1. 观察：－5与5是相反数，把它们在数轴上表示出来，这两个数到原点的距离是多少？ －5与5在数轴上所表示的点到原点的距离是个单位长度，它们的符号不同。我们把这个距离5叫做＋5和－5的绝对值。 概括： 一般地，数轴上表示数a的点叫做数a的绝对值(absoute value)，记作：。读作a的绝对 值. 例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。
2．试一试：你能从中发现什么规律? (1)∣＋1∣＝_____ (2)| +2.5 |=______；(3) |+6|=_____； (4)∣－5∣＝____ (5)∣－0.5∣ ＝____(6) |-0.1|=____；(7) |-101|=____； (8)∣0∣ ＝_____ 思考：上述各数的绝对值与这些数本身有什么关系？ 正数的绝对值是 ; 负数的绝对值 是 ; 0的绝对值是. 小结：代数意义，用式子表示为： |a|= 所以|a| 0（绝对值的非负性） 3.知识延伸： （1）－3的符号是_______，绝对值是______；（2）＋3的符号是_______，绝对值是______； （3）－6.5的符号是_______，绝对值是______；（4）＋6.5的符号是 _______，绝对值是______ 在上一节课中我们规定只有符号不同的两个数称互为相反数。今天学习了绝对值以后，你能给相反数一个新的解释吗？
2015年11月14日整式的加减（化简求值） 一．解答题（共30小题） 1．（2014秋?黔东南州期末）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中 a=，b=﹣． ． 2．（2014?咸阳模拟）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c| 3．（2015?宝应县校级模拟）先化简，再求值：（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中 x=，y=2012． 4．（2014?咸阳模拟）已知（x+1）2+|y﹣1|=0，求2（xy﹣5xy2）﹣（3xy2﹣xy）的值． 5．（2014?咸阳模拟）已知A=x2﹣2x+1，B=2x2﹣6x+3．求：（1）A+2B．（2）2A﹣B．
6．（2010?梧州）先化简，再求值：（﹣x2+5x+4）+（5x﹣4+2x2），其中x=﹣2． 7．（2014? 陕西模拟）先化简，再求值：m﹣2（）﹣ （），其中 m=，n=﹣1． 8．（2015春?萧山区校级月考）化简后再求值：5（x2﹣2y）﹣（x2﹣2y）﹣8（x2﹣2y）﹣（x2﹣2y），其中|x+|+（y ﹣）2=0． 9．（2015?宝应县校级模拟）化简：2（3x2﹣2xy）﹣4（2x2﹣xy﹣1） 10．（2011秋?正安县期末）4x2y﹣[6xy﹣2（3xy﹣2）﹣x2y]+1，其中x=﹣，y=4．
11．（2009秋?吉林校级期末）化简：（1）3a+（﹣8a+2）﹣（3﹣4a）（2）2（xy2+3y3﹣x2y）﹣（﹣2x2y+y3+xy2）﹣4y3 （3）先化简，再求值，其中 12．（2010秋? 武进区期中）已知：，求： 3x2y﹣2x2y+[9x2y﹣（6x2y+4x2）]﹣（3x2y﹣8x2）的值． 13．（2013秋?淮北期中）某同学做一道数学题：“两个多项式A、B，B=3x2﹣2x﹣6，试求A+B”，这位同学把“A+B”看成“A﹣B”，结果求出答案是﹣8x2+7x+10，那么A+B的正确答案 是多少？ 14．（2012秋?德清县校级期中）先化简，再求值：﹣（3a2﹣4ab）+a2﹣2（2a+2ab），其中 a=2，b=﹣1．
1.2.4 绝对值 【教学目标】 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题. 【教学重难点】 1、重点：绝对值的概念。 2、难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 【教法与学法】 1、教法指导：创设问题情境，引起学生学习兴趣，让学生通过自主合作，观察、探究知识的产生、发展过程。利用数形 结合思想，引入绝对值概念，形象生动。归纳有理数的绝对值时，利用分类讨论思想对正数、0，负数的绝对值进行总结。利用类比的方法，把数轴上数的大小与温度计中度数的高低进行比较，总结出负数比较大小的规律。讲解例题时，让学生先结合所学知识点进行自主探究，然后教师再规范、总结解题过程。 2、学法指导：通过小组交流、合作、自主探究知识的产生、发展过程，探索各个知识点之间的联系，充分利用已学的数 形结合思想，并体会分类讨论思想、类比思想方法，以此来加深理解绝对值的概念，以及负数比较大小的规律。 【探究课堂】 【教学准备】 教师：刻度尺，小黑板或多媒体，温度计图片 学生：刻度尺 【教学过程】 一、情境引入 问题两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处如图，它们的行驶路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？ 学生讨论回答 教师总结：两辆车的行驶路线相反，它们行驶的路程相同都是10km。 我们把上面这个过程看成一个数轴，那么就有数轴上表示-10和10的两个点到原点的距离都是10。 数轴上，一个点到原点的距离，是“形”的描述，那么对于“数”是表示一个数的绝对值。下面我们一起来学习今天的新知识——绝对值。 二、互动新授 问题1 如图数轴上有A、B、C、D、四个点， 点A表示的数是（），点A到原点的距离是（）个长度单位； 点B表示的数是（），点B到原点的距离是（）个长度单位； 点C表示的数是（），点C到原点的距离是（）个长度单位； 点D表示的数是（），点D到原点的距离是（）个长度单位； 学生活动：小组合作探究 教师总结：点A-2 2；点B2 2；点C-0.5 0.5；点D0.5 0.5； 数学上定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。如上面的-2的绝对值是2；2的绝对值也是2。还有0.5与-0.5的绝对值都是0.5。用绝对值符号表示为：︱-2︱=2，︱2︱=2， ︱-0.5︱=0.5，︱0.5︱=0.5，显然︱0︱=0 设计意图：利用学生故有知识，从特殊到一般来理解绝对值“形”的含义。 问题2 a的绝对值等于什么？ 学生活动：根据问题2的结论，来总结任意正、负数a的绝对值怎么表示。 师生合作探究：a在这里可能是正数、0、负数，那么我们应该分类来讨论a的绝对值，结果去掉绝对值符号并用含a的式子来表示。我们可以利用绝对值定义写成下面的式子：（1）当a是正数时，︱a︱=_____；（2）当a是负数时，︱a︱=______；（3）当a=0时，︱a︱=____ 教师总结：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0 。
初一数学绝对值化简求值练习试题 下文是数学绝对值化简求值练习试题 设a，b，c为实数，且化简|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 【解析】 |a|+a=0，即|a|=-a，a |ab|=ab，ab0，b |c|-c=0，即|c|=c，c0 原式=-b+a+b-c+b-a+c=b 【答案】b 二、【考点】有理数运算、绝对值化简 【人大附期中】 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算# 法则：a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2 如：(-1)#2#3=[|(-1-2-3)|+(-1)+2+3]/2=5 (1)计算：3#(-2)#(-3)___________ (2)计算：1#(-2)#(10/3)=_____________ (3)在-6/7,-5/7-1/7,0,1/9,2/98/9这15个数中，①任取三个数作为a、b、c的值，进行a#b#c运算，求所有计算结果的最大值__________，②若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行a#b#c运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值
是___________ 【分析】将a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2进行取绝对值化简。【解析答案】 (1)原式=3 (2)原式=4/3 (3)当a＜b+c时，原式=b+c，当ab+c时，原式=a ①令b=7/9，c=8/9时a#b#c的最大值为b+c=5/3 ②4（提示，将1/9,2/98/9分别赋予b、c同时赋予a四个负数；最后一组，a=0，b、c赋予两个负数即可） 三、【考点】绝对值与平方的非负性、二元一次方程组 【北京四中期中】 已知：(a+b)+|b+5|=b+5，|2a-b-1|=0，求ab的值. 【分析】考察平方和绝对值的非负性，若干个非负数的和为零，则每个数都为零。 【解析】 由题意知b+50，(a+b)+b+5=b+5，即(a+b)=0① 2a-b-1=0② 解得a=1/3，b=-1/3 所以ab=-1/9 【答案】-1/9 四、【考点】绝对值化简，零点分段法 【北大附中期中】
第一讲——绝对值 一 、知识归纳： 1．在数轴上，x 的意义是数x 对应的点与原点的距离， x a -的意义是x 对应的数a 对应点之间的距离． 2．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >??==??-+++x x 的x 的取值范围为__________。 B C 0 A
例4、如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ， 那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ） （A ）是B 点 （B ）是AC 的中点 （C ）是AC 外一点 （D ）有无穷多个 例5、（1）设b a ,是非零有理数，求b b a a +的值； （2）已知a 、b 、 c 都不等于零，且abc abc c c b b a a x +++= ，根据a 、b 、c 的不同取值，x 有______种不同的值。 三、课堂练习： 1．已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于（ ） A ．1 B ．5 C ．8 D ．3 2．11-++x x 的最小值是 。 3．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，结果不为0的是 。 4．如果2-
初一上学期期中考试重难点分析 ----绝对值的化简求值 进入初一上学期，同学们会发现大部门知识学起来还是比较简单，唯独绝对值的化简和 求值成为了众多学生的拦路虎。 无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a 取任意有理数都有||a ≥0。 经过仔细分析，绝对值的考查无非就三种题型，用到的思想基本上就是分类讨论和数形结合，方法大部分题型考查的就是零点分段讨论，下面我们简单的分析下： 零点分段讨论法：我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做零点，一个代数式里有几个绝对值符号，通常就有几个零点。比如|42||3|-++x x ，有两个绝对值，就有两个零点，分别是-3和2。确定了零点后，再根据两个零点在数轴上把整个数轴分成几段，就进行几类分类讨论。 题型一：含一个绝对值符号的化简 1、已知未知数的取值或取值范围进行化简 典型题型：当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简） 解：原式=-+=-2333x x x 。 2、没有告知未知数的取值或取值范围进行化简 典型题型：化简||x x -+52（此题中零点是5,5把数轴分成了两部分，因此分两类讨论） 解：（1）当5≥x 时，则05≥-x 是一个非负数，则它的绝对值应是它本身，所以原式=-+=-x x x 5235。 （2）当x <5时，则x -<50，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式=--+=-++=+()x x x x x 52525。 人大附中2009年期中测试真题：化简||2612 x y x y +-+- 此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y 看作一个整体未知数，找出零点，使260x y +-=的整体未知数的值是26x y +=，我们把6叫做此题的零点，这样又可分两种情况进行讨论。 （1）当62≥+y x 时， ||2612x y x y +-+- =+-+ -= -261252 6x y x y x
初一数学压轴题：绝对值化简求值 一、【考点】绝对值的代数意义、绝对值化简 【北大附中期中】 设a，b，c为实数，且化简|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 【解析】 |a|+a=0，即|a|=-a，a≤0； |ab|=ab，ab≥0，b≤0； |c|-c=0，即|c|=c，c≥0 原式=-b+a+b-c+b-a+c=b 【答案】b 二、【考点】有理数运算、绝对值化简 【人大附期中】 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#” 法则：a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2 如：（-1）#2#3=[|（-1-2-3）|+（-1）+2+3]/2=5 （1）计算：3#（-2）#（-3）___________ （2）计算：1#（-2）#（10/3）=_____________ （3）在-6/7,-5/7……-1/7,0,1/9,2/9……8/9这15个数中，①任取三个数作为a、b、c的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果的最大值__________，
②若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是___________ 【分析】将a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2进行取绝对值化简。 【解析&答案】 (1)原式=3 (2)原式=4/3 (3)当a＜b+c时，原式=b+c，当a≥b+c时，原式=a ①令b=7/9，c=8/9时 a#b#c的最大值为b+c=5/3 ②4（提示，将1/9,2/9……8/9分别赋予b、c同时赋予a 四个负数；最后一组，a=0，b、c赋予两个负数即可） 三、【考点】绝对值与平方的非负性、二元一次方程组 【北京四中期中】 已知：（a+b）2+|b+5|=b+5，|2a-b-1|=0，求ab的值． 【分析】考察平方和绝对值的非负性，若干个非负数的和为零，则每个数都为零。 【解析】 由题意知b+5>0，（a+b）2+b+5=b+5，即（a+b）2=0……① 2a-b-1=0……② 解得a=1/3，b=-1/3 所以ab=-1/9 【答案】-1/9 四、【考点】绝对值化简，零点分段法
绝对值计算化简专项练习30题（有答案）1．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2．有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，化简：|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|． 3．已知xy＜0，x＜y且|x|=1，|y|=2． （1）求x和y的值； （2）求的值． 4．计算：|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|． 5．当x＜0时，求的值． 6．若abc＜0，|a+b|=a+b，|a|＜﹣c，求代数式的值．
7．若|3a+5|=|2a+10|，求a的值． 8．已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值． 9．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|． 11．若|x|=3，|y|=2，且x＞y，求x﹣y的值． 12．化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 13．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|．
14．++=1，求（）2003÷（××）的值． 15．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？ （2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？ （3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？ 16．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1，求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值． 18．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．
绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +| 人教版七年级第一章第二节绝对值(一) 教案 【教学目标】 （一）知识技能 1.使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法。 2.使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关计算问题。 （二）过程方法 1.在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力。 2.能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念。 3.给出一个数，能求它的绝对值。 （三）情感态度 从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。 教学重点 给出一个数会求它的绝对值。 教学难点 绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数。 【情景引入】 问题：两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米．为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米．这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了． 我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向．当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)．这里的5叫做+5的绝对值，4叫做-4的绝对值． 【教学过程】 1．绝对值的定义： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值)。记作|a|。 例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。 2．试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道： 1= ，|+8.2|= ；(2)|0|= ； (1)|+2|= ， 5 (3)|―3|= ，|―0.2|= ，|―8.2|= 。 概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）0的绝对值是0； （3）一个负数的绝对值是它的相反数。 即：①若a＞0，则|a|=a； 绝对值化简问题的归类分析 绝对值化简是初中数学中的难点之一，本文将此类问题大致归纳为以下十种情况，进行举例分析. 一、已知不等式的解集，化简绝对值 例1 已知:1x <-，化简:3113x x +--. 分析 要去掉题中绝对值，明确31x +,13x -的符号是关键.这里根据条件，运用不等式的性质就可以得出求出31x +,13x -的符号.根据不等式的性质2，由1x <-，得33x <-.又根据不等式的性质1，得312x +<-，这就确定了31x +的符号为负号. 同理，根据不等式的性质3，由1x <-，得33x ->.又根据不等式的性质1，得134x - > ，所以得出13x -的符号为正号，这样就可以轻松化简. 解 1x <-， 3120,134x x ∴+<-<->>, ∴原式=(31)(13)31132x x x x -+--=---+=-. 二、求出不等式的解集后，再化简绝对值 例2 已知2(1)3x x -<-，化简:242x x +---. 分析 要去掉绝对值，就得知道2x +, 42x --的符号.要知道2x +, 42x --的符号就得知道x 的解集，要知道:的解集就要运用不等式的解法求出其解.求出x 的解集后，由例1的方法就可以确定2x +, 42x --的符号，进而化简绝对值. 解 由2(1)3x x -<-, 解得2x <- 20x ∴+<，420x --> ∴原式(2)(42)2x x x =-+---=+ 三、已知不等式的解集，化简多重绝对值 例3 已知3x <-，化简:321x +-+ 分析 要去掉绝对值符号，我们只能从最里面一层一层的去掉.先根据不等式的性质，用例1的方法判断1x +的符号，去掉第一个绝对值，然后再合并同类项后判断符号，去掉 绝对值教学设计（二） 一、教学目标 知识与技能： 从几何、代数两个角度正确体会绝对值的意义； 会求已知数的绝对值； 会利用绝对值比较两个负数的大小。 过程与方法： 体验绝对值解决实际问题的过程，感受数学在生活中的应用价值。 学会与人合作交流，初步形成评价意识。 情感、态度与价值观： 积极参与数学学习活动，激发学习数学的欲望。 二、重难点 1.重点：禾U用绝对值比较两个负数的大小。 2?难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小。 三、教具学具准备 投影仪（或电脑）、自制胶片。 四、教学设计思路 由于这一节内容容量较大，所以安排了两课时，这是第二课时，主要内容是有理数大小的比较。本堂课由教师先提出问题，学生讨论归纳；然后教师出示练习题，学生练习巩固。 五、教学过程设计 （一）创设情境，复习提问 师：我们前面学习了绝对值，我相信大家学得都非常好。一定能做好下面这个题。 比较大小 (1) _3与 (2) 4 与一5 0.9 与 1.1 —10 与0 —9 与一1 学生活动：（1）题在练习本上演算，两个学生板演，（2）题学生抢答。 【教法说明】（1）题是为了分散利用绝对值比较两个负分数的大小这一难点埋下了伏笔， 在这个题目中用最简单的“???，???”的形式训练学生简单的推理能力。 （2）题是复习利用数 轴比较两个数的大小，让学生体会出这四个题中觉得难度较大的题目是最后小题两个负数比 较大小， 从而引出课题。 教师板书课题 ［板书］1.2.4绝对值 （二）探索新知，讲授新课 1 ?规律的发现 （看书）给出的14个温度按从低到高排列为 —4, — 3, — 2, — 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 按照这个顺序排列的温度，再温度计上所对应的点是从下到上的， 按照这个顺序把这些 数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的。 （学生活动）在练习本上画出数轴。 （师）：我们已知两个正数（或 0）之间怎样比较大小，例如 0<1,1<2,2<3,…. 任意两个有理数（例如-4和-3 , -2和0, -1和1）怎样比较大小呢？ 【教法说明】教师注意“放”时要让学生带着针对性的问题去思考、分析，既给学生一 片自己发挥想象的天地，又使学生不至于走偏。 数学中规定，在数轴上表示有理数， 它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序， 即左 边的数小于右边的数。 由这个规定可知：— 6<-5,-5<-4,-4<-3,-2<0,-1<1, 得出结论：（1 ）正数大于0, 0大于负数，正数大于负数; （2）两个负数，绝对值大的反而小。 例题： 例：比较下列各对数的大小 ⑵ 这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值。 8 _8_ 3 _ 3 __9_ 21 _21' 7 7 _21 (1) -(-1)和-(+2); —和 (2) -21 3 7 ； (3) -(-0.3) 解：(1)先化简,-(-1)=1,-(+2)=-2. 正数大于负数，1>-2, 即-(-1)>-(+2). a a b b =(0)b ≠知识点整合 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对 值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值 符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对 值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或者互为相反数） （3）ab a b =?； （两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积） （4）； （两个数相除的绝对值等于这两个数的绝对值再相除） （5）222||||a a a ==； （一个数的平方等于这个数的平方的绝对值，也等于这个数的绝对值的平方） 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 有理数去绝对值专题教案 每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨：千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件， 以免得出错误的结果． 、根据题设条件 那么 练习： 1. 有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子化简 的结果是( )。 A ) B ) C ) D ) 练习： 1．已知 a 、 b 、c 、d 满足 且 扩展) 2．若 A ) ，则有( B ) )。 C ) D ) 二、借助教轴 例 2 实数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示， 则代数式 的值 等于( )． A ) B ) C ) D ) 化简 结果为（） 中负数的个数是（） A)0（B）1 （C）2（D）3 三、采用零点分段讨论法 例 3 化简 练习： 1. 化简 2. 设 x 是实数，列四个结论中正确的是 （ ）。 A） y 没有最小值B）有有限多个 x 使 y 取到最小值 A）（B）（C）D）2. 有理数a、b 在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子， C）只有一个 x使 y取得最小值（D）有无穷多个 x使 y取得最小值 1. 已知│ x+y+3│ =0, 求│ x+y │的值。 2. 已知│ a│ =3，│ b│=5，a 与b 异号，求│ a－b│的值。 3. a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示： 6.（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与6， 4 与 3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？ （2）若数轴上的点 A 表示的数为x，点 B 表示的数为― 1，则 A 与 B 两点间的距离可以表示为． T 实练）A-b<-a 小专题(一) 整式与绝对值的化简 1．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是( ) A．a＋c B．c－a C．－a－c D．a＋2b－c 2．如果|x－4|与(y＋3)2互为相反数，那么2x－(－2y＋x)的值是( ) A．－2 B．10 C．7 D．6 3．有理数x，y在数轴上对应的点的位置如图，化简： |x－y＋1|－2|y－x－3|＋|y－x|＋ 5. 4．如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点，试化简：|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b＋ c|. 5．已知有理数a＜0、b＞0、c＞0，且|b|＜|a|＜|c|. (1)在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中； (2)化简：|2a－b|＋|b－c|－2|c－a|. 6．已知x、y互为相反数，且|y－3|＝0，求2(x3－2y2)－(x－3y)－(x－3y2＋2x3)的值． 7．已知a、b、c、d为有理数，若a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，且|c|＝|d|－7，先化简下式并求其值：|c－a－b|－|a＋c－d|－|c－ b|. 小专题(二) 整式的化简求值 1．先化简，再求值： (1)2(x2y＋xy2)－(x2y＋2xy2)，其中x＝－1，y＝2； (2) 1 4 (－4x2＋2x－8)－( 1 2 x－1)，其中x＝ 1 2 ； (3)2x－y＋(2y2－x2)－(x2＋2y2)，其中x＝－ 1 2 ，y＝－3； （4)2(x ＋x 2 y)－23 (6x 2 y ＋3x)－y ，其中x ＝1，y ＝3； (5)13x 2－3(x 2 ＋xy －15y 2)＋(83x 2＋3xy ＋25y 2)，其中x ＝－12 ，y ＝－2. 2．当x ＝1时，ax 3＋bx ＋4的值为0，求当x ＝－1时，ax 3 ＋bx ＋4的值． 3．已知a 2－a －4＝0，求4a 2－2(a 2－a ＋3)－(a 2 －a －4)－4a 的值． 4．多项式(a －2)m 2 ＋(b ＋1)mn －m ＋n －7是关于m ，n 的多项式， 若该多项式不含二次项，求3a ＋2b 的值． 5．已知代数式x 2＋x ＋3的值为7，求代数式2x 2 ＋2x －3的值． 6．已知||m ＋n －2＋(mn ＋3)2＝0，求2(m ＋n)－2[mn ＋(m ＋n)]－3[2(m ＋n)－3mn]的值． 7.已知：,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，3(1)(2)x a a b =---， 22(2)d y c d d c c =+-+-， 求： 23236 x y x y -+-的值． 8..已知：ax 2 +2xy-x 与2x 2 -3bxy+3y 的差中不含2次项，求a 2 -15a b+9b 2 的值. 9. 已知：A=x 2 +xy+y 2 , B=x 2 -xy+y 2 , x 2 +3xy+4y 2 =2, 4x 2 -2xy+y 2 =3，求代数式4A+B-(A-B)的值. ．解答题（共 30 小题） 中|x+ |+ （y ﹣ 2015?宝应县校级模拟）化简： 2（3x 2﹣2xy ）﹣ 4（2x 2﹣xy ﹣1） 2009秋?吉林校级期末）化简：（ 1）3a+（﹣ 8a+2）﹣（ 3﹣4a ） 2（xy 2+3y 3﹣x 2y ）﹣（﹣ 2x 2y+y 3+xy 2）﹣ 4y 3 ﹣8x 2）的值． 13．（2013 秋 ?淮北期中） 某同学做一道数学题： “两个多项式 A 、B ，B=3x 2﹣2x ﹣6，试求 A+B ”，这位同学把 “A+B ” 看成 “A ﹣ B ”，结果求出答案是﹣ 8x 2+7x+10，那么 A+B 的正确答案是多少？ 14．（ 2012 秋 ?德清县校级期中）先化简，再求值： 2）2a ﹣{7b+[4a ﹣7b ﹣（ 2a ﹣6a ﹣4b ）]﹣3a}，其中 a=﹣ ，b=的值． 2015 年 11 月 14 日 整式的加减 化简求值） 1． 2014 秋?黔东南州期末）先化简，再求值： 5（3a 2b ﹣ab 2 ）﹣ 3 ab 2+5a 2b ），其中 a= ， b=﹣ 2． 2014?咸阳模拟）已知 a 、b 、 c 在数轴上的对应点如图所示，化简 3． 2015?宝应县校级模拟）先化简， 4 ． 5． 6． 7． 8． |a| ﹣ |a+b|+|c ﹣ a|+|b+c| ， ， 2 （﹣ 4x 2 +2x ﹣8y ） 2+|y ﹣ 1|=0 ，求 2（xy ﹣ 5xy 2）﹣（ 3xy 2﹣ xy ）的 值． 2x+1， B=2x 2﹣ 6x+3．求：（ 1）A+2B ．（ 2）2A ﹣ 再求值： x ﹣ 2y ），其中 x= y=2012 ． 2014?咸阳模拟）已知（ x+1） 2014?咸阳模拟）已知 A=x 2﹣ 2010?梧州）先化简，再求值：（﹣ 2014?陕西模拟）先化简，再求值： m ﹣ 2 （ ）﹣ （ 2015 春 ?萧山区校级月考）化简后再求值： 5（x 2﹣2y ）﹣ （x 2﹣2y ）﹣ 8（x 2﹣2y ） m= ， ﹣ （ x n=﹣1． 2 ﹣2y ），其 2 =0． 9． 10． 2011 秋 ?正安县期末） 4x 2y ﹣[6xy ﹣ 2（3xy ﹣2）﹣ x 2 y]+1，其中 x=﹣ ，y=4． ，y=4． 11． （2） 3） 先化简，再求值 12． 2010 秋 ?武进区期中）已知： ，求： 3x 2y ﹣2x 2y+[9x 2y ﹣（6x 2y+4x 2）]﹣（ 3x 2y 3a 2﹣ 4ab ） +a 2﹣2（2a+2ab ），其中 a=2 ， b=﹣ 1． ，B=2a 2+3a ﹣6，C=a 2﹣3． 1） 2） 求 A+B ﹣2C 的值； 当 a=﹣2 时，求 A+B ﹣2C 的值． 2008 秋 ?城口县校级期中）已知 A=x 3﹣2x 2+4x+3， 16． ﹣2． 17．求下列代数式的值： （1）a 4+3ab ﹣6a 2b 2﹣3ab 2+4ab+6a 2b ﹣7a 2b 2﹣2a 4，其中 B=x 2+2x ﹣6，C=x 3 +2x ﹣3，求 A ﹣ 2B+3C 的值，其中 x= a=﹣ 2， b=1； 18．已知 a 、 b 在数轴上如图所示，化简： 19．（ 2012 秋 ?中山市校级期末）（ 2|a+b | ﹣|a ﹣ ﹣ 2） [ （ x+1）+2]﹣2 =x ），其 中 ，其中 15．已知 1） =1 b| ﹣| ﹣b ﹣a|+|b ﹣a|．绝对值优质课教案
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