至少两个人生日相同的概率有多大
“n个人中，至少2人的生日相同的概率是多少？”
这是一道概率论中的名题。如果说，在任意50个人中，很可能有2人生日相同，人们也许会不相信。因为，按照一般的想法，一年有365天，每个人的生日都是随意的。365比50大得多，在区区50人中怎么会那么巧，有2人同一天出生？即使偶尔有的话，那也纯属巧合，绝对没有普遍性。
的确，每人的生日都有365种可能，那么，怎样计算“至少2人生日相同”的概率呢？“至少2人的生日相同”既包括“2人的生日相同”，也包括“3人的生日相同”“4人的生日相同”……“50人的生日相同”。如果照这样去计算，实在是太复杂了。不妨换一种思路，先算出与“至少2人的生日相同”相对立的事件“没有人生日相同”的概率，这两个概率的和等于“1”。再从“1”中减去“没有人生日相同”的概率，就得到“至少2人生日相同”的概率。
按照这种思路：第1个人的生日是随意的，有365种可能，概率是365/365＝1；第2个人的生日不能与第1个人相同，只有365－1＝364种可能，概率是364/365；第3个人的生日不能与前面2人相同，只有365－2＝363种可能，概率是363/365；……；第50个人的生日不能与前面49人相同，只有365－49＝316种可能，概率是316/365。于是，50个人的生日都不相同的概率是1×(364/365) ×(363/365) ×…×(316/365)≈0.027。所以，“至少2人生日相同”的概率是1－0.027＝0.973≈0.97，即97%。可见，在任意50个人中有2人生日相同的可能性还是非常大的。
如果用n表示人数，p(n)表示n人中至少2人生日相同的概率，计算得到：
p(5)＝0.03 p(10)＝0.12 p(15)＝0.25 p(20)＝0.41
p(25)＝0.57 p(30)＝0.71 p(35)＝0.81 p(40)＝0.89
p(45)＝0.94 p(50)＝0.97 p(55)＝0.99
可以看出，当人数超过55人时，至少2人生日相同的概率就会超过
99%。所以，如果一个班的学生超过55人，几乎可以肯定地说，一定有2人的生日相同。
过去读《红楼梦》，看到第62回“憨湘云醉眠芍药裀，呆香菱情解石榴裙”，说宝玉、宝琴、平儿和邢岫烟四个人的生日是同一天，大太太和宝钗的生日是同一天，袭人和黛玉的生日是同一天，觉得哪会那么巧，反正是小说嘛，也没当回事。现在看来，贾府上上下下几百口，四个人的生日相同，也不是没有这种可能。看来，曹雪芹绝不是信口开河，胡编乱造，说不定，这位旷世奇才还真懂得点儿概率知识呢！
生日相同的概率（典型题汇总）◆基础训练 一、选择题 1．随机找两人，这两人同月出生的概率为（）． A．0 B．1 C． 1 12 D． 1 2 2．一个家庭中有4个孩子，则下列事件发生的可能性，正确的个数是（）． ①P（全为男孩）=1 5 ；②P（至少有一个女孩）= 4 5 ； ③P（2男2女）=1 5 ；④P（至少有2个女孩）= 3 5 ； ⑤P（3男1女）=1 4 ． A．0 B．1 C．2 D．3 3．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明一定的金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖．参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的机会是（）． A．1 4 B． 1 5 C． 1 6 D． 3 20 二、填空题 4．一年365天，任意翻一本日历，正好翻到你生日的概率是______，是2?月的概率是______．5．九年级（1）班有45个同学，有两人生日月份相同的概率为_______． 6．10件产品中有3件次品，从中任意抽出2件产品，则这两件产品都是合格品的概率是________． 三、解答题 7．你们一家三口的生肖分别是什么？有两人的生肖相同吗？?如果想了解任意三人中有两人生活相同的概率，在全班进行调查得到的结果正确吗？为什么？如果想得到比较准
确的结果，请你设计一个方案进行调查并将结果记录下来． ◆能力提高 8．在拼纸游戏中，把图中三张纸牌放在盒子里搅匀，任取两张，看能拼成菱形还是房子，拼成菱形和房子的概率分别是多少？ 9．桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4．这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，?记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙也从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，?然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数之和为5的概率； （2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜，反之则乙胜．若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方才公平？ ◆拓展训练 10．小王想知道6个人中有两个人是同月出生的概率，如果不进行调查，你能帮助小王设计一个方案吗？
至少两个人生日相同的概率有多大 “n个人中，至少2人的生日相同的概率是多少？” 这是一道概率论中的名题。如果说，在任意50个人中，很可能有2人生日相同，人们也许会不相信。因为，按照一般的想法，一年有365天，每个人的生日都是随意的。365比50大得多，在区区50人中怎么会那么巧，有2人同一天出生？即使偶尔有的话，那也纯属巧合，绝对没有普遍性。 的确，每人的生日都有365种可能，那么，怎样计算“至少2人生日相同”的概率呢？“至少2人的生日相同”既包括“2人的生日相同”，也包括“3人的生日相同”“4人的生日相同”……“50人的生日相同”。如果照这样去计算，实在是太复杂了。不妨换一种思路，先算出与“至少2人的生日相同”相对立的事件“没有人生日相同”的概率，这两个概率的和等于“1”。再从“1”中减去“没有人生日相同”的概率，就得到“至少2人生日相同”的概率。 按照这种思路：第1个人的生日是随意的，有365种可能，概率是365/365＝1；第2个人的生日不能与第1个人相同，只有365－1＝364种可能，概率是364/365；第3个人的生日不能与前面2人相同，只有365－2＝363种可能，概率是363/365；……；第50个人的生日不能与前面49人相同，只有365－49＝316种可能，概率是316/365。于是，50个人的生日都不相同的概率是1×(364/365) ×(363/365) ×…×(316/365)≈0.027。所以，“至少2人生日相同”的概率是1－0.027＝0.973≈0.97，即97%。可见，在任意50个人中有2人生日相同的可能性还是非常大的。 如果用n表示人数，p(n)表示n人中至少2人生日相同的概率，计算得到： p(5)＝0.03 p(10)＝0.12 p(15)＝0.25 p(20)＝0.41 p(25)＝0.57 p(30)＝0.71 p(35)＝0.81 p(40)＝0.89 p(45)＝0.94 p(50)＝0.97 p(55)＝0.99 可以看出，当人数超过55人时，至少2人生日相同的概率就会超过
课题：九年级上册《生日相同的概率》导学卡主备:九年级数学组 学习目标： 1.能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率． 2.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力． 3.通过对贴近生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣，并且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观． 教学重点： 用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率． 导学卡 任务一：（温故知新） 1.下列事件是随机事件，必然事件，还是不可能事件？ （1）13人中，有两个人在同一个月出生。 （2）掷一枚均匀的骰子，朝上的点为6点。 （3）在400人中，至少有两人在同一天出生。 （4）50人中有，有两人的生日相同。 2.星期天，小颖有事要与小亮打电话，但小亮家的电话号码的后两位数想不起来了，小颖随意拨一个电话号码，她能打通小亮家的概率为。 任务二：听故事，入新课：（美国数学家伯格米尼的故事） 任务三：经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率 活动1、调查全班45个同学的生日，看看有无2个同学的生日是相同的． 活动形式：全班按学习小组进行，组长进行统计。 在活动之前，请同学们思考：1、如果咱们班45个同学中有两个同学的生日相同，那么能说明这45个同学中有2个同学生日相同的概率是1吗？ 2、如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为0吗？ 3、为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2月16日”记为“2.16”．活动2、每位同学心中随便想一个生日号码，为了简便起见，用1—365中的一个数来代表，写在纸上。请一位同学写在黑板上。（至少做十次） 任务四：活动小结：这个问题出人意料之处在于其结果违反了人们的直觉．人们往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情．但计算结果告诉我们：如果人数不少于23人，那么这种可能性就会达到50％． 训练卡 基本题： 1.下列说法正确的是（） （A）“明天的降水量概率为30%”是指明天下雨的可能性是30% （B）连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25 （C）连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数 （D）某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖
密码学课程报告 学生姓名：xxxxxx 学号： xxxx
浅谈“生日悖论”与“生日攻击” 在开始正文之前，我想先简单地说明一下，我选择这个话题的原因，主要有三点：第一，比较贴近生活和实际；第二，趣味性较强，便于讨论；第三，容易理解。 既然是谈到“生日悖论”和“生日攻击”，那么肯定是少不了“生日”二字了。众所周知，我们每个人都有自己生日，在生活中，如果能够遇到与自己同一天生日的人，大多数的我们都会很惊喜，觉得这种缘分似乎很少见，又或者说这是一个很小的机率。那我们是否有想过，假若在23个人当中，出现两个人是同一天生日的这种缘分的概率有多大呢？是5%？10%？还是20%？又或者是更多呢？下面我来一一和大家说明。 文章开始我不想长篇大论地把很多公式给搬上来，那样没意思，吊足了大家的胃口，却不受待见。所以，在开始的时候，我就不打算写那么多计算过程，留着后面慢慢讨论和解释。那么我告诉各位：23个人中，有两个人生日是同一天的概率约为50%（甚至比这个数值还高出那么一丢丢），在50个人中有相同生日的概率，竟然高达97%，这两个数值，这两个结果，各位是不是有点不太敢相信？哈哈...... 其实这个结果并没有算错，是经过科学计算而得出来的结果，是有理有据的，只是我们的直觉错了，科学与生活，就好比梦想和现实是一样：梦想往往是丰满的，现实呢，却常常是骨感的。正因为经过科学方法计算出来的结果与我们日常生活的经验产生了如此大的落差，所以我们把这类问题称为“生日悖论(Birthday Paradox)”[1][2]。 什么是“生日悖论”？ 在很多课程中，常用“生日悖论来说明一些违背直觉的结果”。生日悖论是指：要想使得k个人中至少有两个人生日相同的概率大于0.5的话，k最小可以是多少？[1]我们不把某一年有2月29日或者某两人是双胞胎这样的或者类似的外界因素算在内，只考虑纯粹的随机概率，也就是说每个人出生的日子都随机分布在一年365天的任何一天。最后答案是我们在前面所说的23人。简单地说呢，就是假如一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。就拿我身边的情况来作为例子吧，假如我们班30人，那
生日悖论 生日悖论（Birthday paradox） 生日悖论 (1) 什么是生日悖论 (1) 生日悖论的理解 (1) 概率估计 (2) 数学论证(非数字方法) (3) 泛化和逼近 (5) N＝365的结果 (5) 泛化 (5) 反算问题 (6) 举例 (6) 经验性测试 (7) 应用 (7) 近似匹配 (8) 参考文献 (8) 什么是生日悖论 生日悖论（Birthday paradox）是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。 生日悖论的理解 理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所 提到的例子，23个人可以产生种不同的搭配，而 这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。
换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。 概率估计 假设有n个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。 计算机率的方法是，首先找出p(n)表示n个人中，每个人的生日日期都不 同的概率。假如n> 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设n≤ 365，则概率为: 因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365),第三个人不 能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。用阶乘可以写成如下形 式: p(n)表示n个人中至少2人生日相同的概率: n≤365，根据鸽巢原理，n大于365时概率为1。 当n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似 的得出来：
验证生日悖论 问题引入： 一．问题分析 生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。在《著名的生日悖论》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%。悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质，它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度。这种攻击对Hash函数提出了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长。生日攻击这个术语来自于所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。 二．问题求解 不计特殊的年月，如闰二月。 先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么 第一个人的生日是 365选365 第二个人的生日是 365选364 第三个人的生日是 365选363 : : : 第n个人的生日是 365选365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的概率是： (365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... × 【(365-n+1）/365】 那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是： 1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... × 【(365-n+1）/365】 所以当n=23的时候，概率为0.507，约等于0.51。 当n=100的时候，概率为0.9999996，趋近于1。 对于已经确定的个人，生日不同的概率会发生变化。下面用随机变量计算： 令X[i,j]表示第i个人和第j个人生日不同的概率，则易知任意X[i,j]=364/365 令事件A表示n个人的生日都不相同
一些很有趣的概率学问题 说到概率，有些好玩的东西不得不提。比如，你知道吗，23个人中至少两个人生日相同的概率竟然超过了1/2；假如你们班上有50个人的话，那更不得了，至少两人生日相同的概率达到97% ！如果你会计算这个概率问题的话，你可以亲自证实这一点。本文适宜的读者是知道上述问题怎么算的高中朋友，上述问题也是高中阶段学的一些基本概率知识。 上面的问题都是简单概率，它包含了一个最基本的原则，即使没有系统地学习过，平常人们也都在无形之中使用它：概率等于你要算的东西除以总的数目。比如。我们要计算23个人中任何两个人都不在同一天生的概率。假设2月29 日与其它日期出现概率相同的话（这是为了便于计算我们做出的假设，它有悖于常理），那么它的概率为A(366,23)/366^23。它约为。因此，至少两人在同一天生的概率为=。当然，对于“你要算的东西除以总的数目”的认识是片面的，比如“投两个骰子出现的数字和从2到12共有11种可能，问数字和大于10的概率”这一问题的答案并不是2/11，因为这11个点数和出现的概率不是相等的，我们只能从投出的两个数字共6*6=36种情况中进行统计，可能的情况只有(5,6)、(6,5)和(6,6) （不会有人说还有(6,7)之类的吧），答案应该是3/36=1/12。这些都是废话，我不细说了。 但是，你有想过这个问题吗：要是这些数目是无穷的怎么办换句话说，统计的东西不是“离散”的怎么办比如看这样一个问题。明天早上我要和MM约会，但是具体见面时间我忘了，好像是8:00-9:00的某个时候。那么我随便在这个时段中选一个时间去等MM，最多等她半个小时，正好能见到MM的概率是多少（假设MM先到的话不会等我）。这个问题和我们平时见到的问题不同的地方在于，它的“情况”是连续的，不是离散的，不能逐一统计数目。咋办呢我们注意到，我的时间随机取一个，MM的时间随机取一个，对于某些组合我们是有缘分的（这些组合无穷多）。这些组合正好对应了平面区域上的点。就是说，搞一个横坐标表示我的时间，纵坐标表示MM的时间，那么肯定能画出那么一块区域，区域里的所有点(x,y)对应所有我和MM可能相见的组合。任何一个时间组合有多大的可能落在这个区域呢由于在矩形区域内点(x,y)是均匀分布的，我们只需要计算一个面积之比就行了。下图中显而易见，答案是3/8。
第一章 概率论的基本概念 一、选择题 1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ ） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面} 2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（ ） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生 3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（ ）. A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(A-B)=P(A)－P(B) C. )()(B A P B A P -= D.P(A+B)=P(A)+P(B) 4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A)+P(A )=1 5.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（ ）. A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ). A. A,B 为对立事件 B.B A = C.φ=B A D.P(A-B)≤P(A) 7.若,B A ?则下面答案错误的是( ). A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥ C.B 未发生A 可能发生 D.B 发生A 可能不发生
8.(1,2,,)i A i n =L 为一列随机事件,且12()0n P A A A >L ,则下列叙述中错误的是( ). A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===n i i n i i A P A P 1 1)()( B.若诸i A 相互独立,则1 1 ( )1(1())n n i i i i P A P A ===--∑∏ C.若诸i A 相互独立,则1 1 ( )()n n i i i i P A P A ===∏U D.)|()|()|()()( 12312 1 1 -=Λ=n n n i i A A P A A P A A P A P A P X 9.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A. 2 1 B. b a +1 C. b a a + D. b a b + 10.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ). A.r r P 365 1365 - B. r r r C 365 !365? C. 365 !1r - D. r r 365 ! 1- 11.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0< 6.3 生日相同的概率（二） 一、选择题 1．在不透明的袋子里有4个红球和1个黑球，从中摸出一个球恰为红球的机会，与在一个信封中装有8个男生名字和2个女生名字，?从中摸出一个名字恰为男生名字的机会（）． A．摸出红球的机会大于摸出男生名字的机会 B．摸出红球的机会小于摸出男生名字的机会 C．机会相等 D．不能确定 2．在抽屉里放有一双白袜子和一双黑袜子，?从中摸出两只袜子恰为一双的机会与（）的机会不相等． A．在抽屉里放有一双白手套和一双黑手套，从中摸出两只手套恰为一双的机会 B．在不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，从中摸出2个，恰好同色的机会 C．柜子里放着一双蓝色拖鞋和一双黄色拖鞋，从中任意取出两只，恰好为一双的机会 D．抛掷两枚均匀的硬币，出现两个正面朝上的机会 3．在抛掷1枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，你认为不可以用来替代的是（ ?）． A．抛掷均匀的正六面体骰子，向上一面是偶数 B．抛掷一枚图钉 C．一个不透明的袋子里有两个形状、大小完全相同，但颜色是1红1白的两个乒乓球，从中摸出一个球 D．人数相同的男、女生，以抽签的方式随机抽取一人 二、填空题 4．抛掷骰子时，若用计算器模拟实验，如果研究恰好出现1的机会，?则要在_____到_______范围中产生随机数，若产生的随机数是______，则代表“出现1”，否则就不是．5．?在抛掷两枚均匀骰子的试验中，?如果没有骰子，?请你提出两种替代方式：_______． 6．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代品的是_________（填序号）． ①一枚均匀的骰子；②瓶盖；③两张相同的卡片；④两张扑克牌． 三、解答题 7．从1～35中选出7个号码中有一个与中奖号码相同即可获奖，此时中奖机会有多大？ 你能设计一个方案预测中奖机会吗？ ◆能力提高 一、填空题 8．我们去游泳馆游泳，首先必须要换拖鞋，如果大桶里只剩下尺码相同的2?双红色拖鞋和1双蓝色拖鞋混放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们恰好是一双的概率是_______． 9．请选用一种替代物来模拟上面的试验：___________． 二、解答题 10．下图是一个蓝、红双方的转盘，你能估计转盘指针停在红色上的概率吗？如果没有转盘，你有哪些方法可以用来模拟试验？尽可能多地说说你的方法． 摘要 随着科学技术的迅速发展和计算机的普及应用，概率论正广泛的应用到各个行业，它与我们的生活密切相关.在我们的生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用概率论来解决.本文从概率论的基础出发，通过在日常生活中包括生日缘分、博彩、抽奖、比赛等以及商品买卖与贮存和其他一些特殊的例子来说明概率论的重要性. 关键词：概率论、生日缘分、博彩、比赛、商品买卖与贮存. Abstract With the rapid development of science and technology and the popularization of computer applications, probability theory is widely applied to various industnss, it is closely related to our lives. In our lives, there are many problems can be directly or indirectly, the use of probability theory to resolve. In this paper, probability theory, basis, by fate in their daily lives, including birthdays, gaming, sweepstakes, contests, etc. as well as commodity trading and storage and some other specific examples to illustrate the importance of probability theory. Key word: Probability theory, birthday fate, gaming, competition, commodities trading and storage. 8 生日相同问题 教学目标: 掌握一群人生日相同的概率,估计本班生日相同的可能性大小. 教学方法：举例教学 芸芸众生，都是母亲生出来的。每个人都有一个生日，但生日不外乎365天里面的某一天。假设n 个人，试问他们里面至少有两个人生日相同的可能性（概率）多么大呢？我们班45个人，我敢断言，必有至少两个人生日相同。 一、n 个人中至少两个人生日相同的概率 n 个人中至少两个人生日相同的对立事件就是n 个人中任意两个人生日都不相同，n 个人来选生日，每个人有365种选法，共有n 365种。任意两个人生日不相同，先让第一个人来选生日，有365种，接着第二个人来选生日有364种，到第n 个人来选生日有635-n+1种 因此n 个人中，任意两个人生日都不相同的概率是 n n n p 365 ) 1365(*364*365+-= 那么n 个人中至少两个人生日相同的概率是 P(n 个人中至少两个人生日相同)= n n 365)1365(*364*3651+-- =)! 365(365! 365n n - 我们利用数学软件Mathematica 编制程序来计算针对不同的n 的至少两个人生日相同的概率。程序是： n=100 For[i=1,i ≤n,i++,Print["n=",i," ",N[1-365!/(365^i*(365-i)!)]]] 从1计算到100，计算以后得： n= 1 0. n= 2 0.00273973 n= 3 0.00820417 n= 4 0.0163559 n= 5 0.0271356 n= 6 0.0404625 n= 7 0.0562357 n= 8 0.0743353 n= 9 0.0946238 n= 10 0.116948 n= 11 0.141141 n= 12 0.167025 n= 13 0.19441 n= 14 0.223103 n= 15 0.252901 n= 16 0.283604 n= 17 0.315008 n= 18 0.346911 课题 6.3 生日相同的概率（一）课型新授课 教学目标1．经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。2．能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。 3．体会统计、实验、研讨活动的应用价值。 教学重点掌握实验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。 教学难点实验估计随机事件发生的概率。 教学方法活动 教学内容及过程备注一、创设情境、激趣揭题 情境导入： 1.找出班上今天生日的学生，为他过个生日，将课堂气氛浓厚起来。 2.导入主题：400个同学中，一定有2个学生的生日相同（可以不同年）吗？300 个同学呢？ 学生为班上过生日的同学唱“生日之歌”，活动后进入主题思考。回答提出的问 题。 想一想 （1）50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同，这话正确吗？请与同伴交 流。 （2）如果你们班50个同学中有2个同学的生日相同，那么能说明50个同学中 有2个同学生日相同的概率是1吗？如果你们班没有2个同学生日相同，那么能说 明其相应概率是0吗？ 学生小组合作探究，而后进行小组汇报。 二、联系生活、丰富联想 做一做 每个同学课外调查10人的生日写在纸条上，从全班的调查结果中随机选取50 个被调查的人，看看他们中有没有2个人的生日相同，将全班同学的调查数据集中 起来，设计一个方案，估计50人中有2人生日相同的概率。 三、随堂练习课本随堂练习1 四、课堂总结 1.学习本节课内容，结合具体情况，请你谈一谈它们的实际意义。 2.在经历了调查、收集数据和整理的学习过程中，你能否进行合理的估算。 3.本节课在小组合作交流中，你在哪些能力上有提高？你的同伴中哪些表现良好 的观察和分析能力。 五、布置作业课本P197 1 板书设计： 课后反思： 一个经典的生日概率问题 以1年365天计(不考虑闰年因素)，你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同，那么需要多少人？大家不难得到结果，366人，只要人数超过365人，必然会有人生日相同。但如果一个班有50个人，他们中间有人生日相同的概率是多少？你可能想，大概20%～30%，错，有97%的可能！ 现在要使房间中至少有两个人拥有相同生日的可能性大于不存在共用生日的可能性，房间中应有多少人？换句话说，要使存在生日相同的概率大于50%，需要有多少人？要使这一概率大于90%，需要有多少人？ 解答此题的一种方法是逆向思考这一问题，考虑在特定人员数的情况下，不存在生日相同的可能性。如果房间中只有一个人，由于不存在与之共享生日的人，因此一定没有相同生日。这种情况下，不存在相同生日的概率为1。必定会发生的事件的概率为1。而另一个极端，当房间中有367 个人时，由于没有足够多的生日，因此必定至少存在一个相同生日。 现在，假设第二个人进入此房间。此人与第一个进入此房间的人生日不同的概率为365 / 366 或0.997。因为有366 个可能的生日，而只有一个与第一个人的生日相同。 如果房间中前两个人的生日不同，此时第三个人走进来，已经有两个生日被占用了，因此第三个人与其室友的生日均不相同的概率为364 / 366，这三个人生日各不相同的概率为1 * 365 / 366 * 364 / 366 = 0.992，仍大于99%。因此，房间中有2 或3 个人时，存在共用生日的概率低于1%。 可以继续计算人数为任意值时生日各不相同的概率： 1 * 365 / 366 * 364 / 366 * 363 / 366 * 36 2 / 366 ... 情况随人数的增加而迅速变化。房间中有10 个人时，存在相同生日的概率大于10%。房间中有23 个人时，存在共用生日的概率略大于50%，当人数达到41 人时，此概率超过90%。 用超级精度软件(小数点后无失真记录到38位) 计算得到的结果如下： 41人时的概率是： 0.6802 35人时的概率是： 0.043834 30人时的概率是： 0.366181 23人时的概率是： 0.0025 其中，50个人中有相同生日的概率是0.386588 ， 它的计算方式是这样的： a、50个人可能的生日组合是365×365×365×……×365(共50个)个； b、50个人生日都不重复的组合是365×364×363×……×316(共50个)个； c、50个人生日有重复的概率是1-b/a。 这里，50个人生日全不相同的概率是b/a=0.03，因此50个人生日有重复的概率是1-0.03＝0.97，即97%。 根据概率公式计算，只要有23人在一起，其中两人生日相同的概率就达到51%！ 但是，如果换一个角度，要求你遇到的人中至少有一人和你生日相同的概率大于50%，你最少要遇到253人才成。 1 同一天生日的概率问题 姓名：唐李兵 班级：06级电子商务一班学号：200641920125 上课时间：星期一 据国外媒体报道，数学经常会让聪明人感觉自己笨得不行，有时甚至会让他们很生气。事实上，数学本身非常有趣，它是我们日常生活的一部分，每个人都能从中获得享受。只不过在课堂上，数学被一些死板的老师教死板了。以下就是英国《每日邮报》最近公布的日常生活中一道趣味数学： 同一天过生日的概率 假设你在参加一个由50人组成的婚礼，有人或许会问：“我想知道这里两个人的生日一样的概率是多少？此处的一样指的是同一天生日，如5月5日，并非指出生时间完全相同。” 也许大部分人都认为这个概率非常小，他们可能会设法进行计算，猜想这个概率可能是七分之一。然而正确答案是，大约有两名生日是同一天的客人参加这个婚礼。如果这群人的生日均匀地分布在日历的任何时候，两个人拥有相同生日的概率是97%。 你没有看错，的确是97%。这似乎超出了很多人的想象。认为这不可能有这么高的概率。开始我也这么认为我问过很多人，都觉得不好算。简化点问是否有50%？答没有，再问有没有20%，也还是觉得没那么高。当我告诉答案是96.5%时，都表示不相信。 而事实上，当有50个学生时，答案确实是96.5%；有59个学生更是高达99.1%，有47个是94.8%，有35个是80.5%，而当有23个时，概率就刚好超过50%，可以进行赔率为1:1的赌博了。另一方面，要是以普通约为50人的班做对象，按1:10的赔率赌博也是个赚字。 看到这些答案吃惊吗?不信的话可以做验证，下面有两个方法： 第一个是实验验证，找多个班的学生生日资料，查查是不是有同一天过生日的，计算有同一天过生日的数量占总数的百分比。当然也不必限定一定是学生，只要是能找到生日资料的任何人群都可以，如亲人朋友、战友、网友、同村的、同楼的等等，有生日记载的历史人物也可以，只要按一定的数量组成要考查的群体就行。 第二个是实验数学方法验证。毕竟要找那么多人的生日资料不是很容易办到的。可以假设生日的分布是随机的，用随机数函数产生伪随机数模拟生日资料进行分析。 1.打开Excel，新建一个工作簿，另存为birthday.xls； 2.在Sheet1的A2单元格输入“=INT(RAND()*366)”，获得从0 至365的伪随机数； 3- 《生日相同的概率》练习题 一、温故知新 1.下列事件是随机事件，必然事件，还是不可能事件？ （1）13人中，有两个人在同一个月出生 。 （2）掷一枚均匀的骰子，朝上的点为6点 。 （3）在367人中，有两人在同一天出生 。 （4）50人中有，有两人的生日相同 。 2.星期天，小颖有事要与小亮打电话，但小亮家的电话号码的后两位数想不起来了，小颖随意拨一个电话号码，她能打通小亮家的概率为 。 二、堂清练习题 1.下列说法正确的是（ ） （A ）“明天的降水量概率为30%”是指明天下雨的可能性是30% （B ）连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25 （C ）连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数 （D ）某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 2.如图，数轴上两点A,B ，在线段AB 上任取一整数点C ，则点C 到表示1的点的距离不大于2 的概率是 ． 3.小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定： 若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（ ） A ．对小明有利 B ．对小亮有利 C ．游戏公平 D ．无法确定对谁有利 4.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b ，且a 、b 分别取0、1、2、3，若a ，b 满足1a b -≤，则称甲、乙两人“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为 . 5.袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是（ ） Ａ． 12 Ｂ．13 Ｃ．23 Ｄ．14 同一天生日的概率问题 姓名： xx 班级：06级电子商务一班学号：0125上课时间： 星期一据国外媒体报道，数学经常会让聪明人感觉自己笨得不行，有时甚至会让他们很生气。事实上，数学本身非常有趣，它是我们日常生活的一部分，每个人都能从中获得享受。只不过在课堂上，数学被一些死板的老师教死板了。以下就是英国《每日邮报》最近公布的日常生活中一道趣味数学： 同一天过生日的概率 假设你在参加一个由50人组成的婚礼，有人或许会问： “我想知道这里两个人的生日一样的概率是多少？此处的一样指的是同一天生日，如5月5日，并非指出生时间完全相同。” 也许大部分人都认为这个概率非常小，他们可能会设法进行计算，猜想这个概率可能是七分之一。然而正确答案是，大约有两名生日是同一天的客人参加这个婚礼。如果这群人的生日均匀地分布在日历的任何时候，两个人拥有相同生日的概率是97%。 你没有看错，的确是97%。这似乎超出了很多人的想象。认为这不可能有这么高的概率。开始我也这么认为我问过很多人，都觉得不好算。简化点问是否有50%？答没有，再问有没有20%，也还是觉得没那么高。当我告诉答案是96.5%时，都表示不相信。 而事实上，当有50个学生时，答案确实是96.5%；有59个学生更是高达 99.1%，有47个是94.8%，有35个是80.5%，而当有23个时，概率就刚好超过50%，可以进行赔率为1:1的赌博了。另一方面，要是以普通约为50人的班做对象，按1:10的赔率赌博也是个赚字。 看到这些答案吃惊吗?不信的话可以做验证，下面有两个方法： 第一个是实验验证，找多个班的学生生日资料，查查是不是有同一天过生日的，计算有同一天过生日的数量占总数的百分比。当然也不必限定一定是学生，只要是能找到生日资料的任何人群都可以，如亲人朋友、战友、网友、同村的、同楼的等等，有生日记载的历史人物也可以，只要按一定的数量组成要考查的群体就行。 第二个是实验数学方法验证。毕竟要找那么多人的生日资料不是很容易办到的。可以假设生日的分布是随机的，用随机数函数产生伪随机数模拟生日资料进行分析。 1.打开Excel，新建一个工作簿，另存为birthday.xls； 2.在Sheet1的A2单元格输入“=INT(RAND()*366)”，获得从0至365的伪随机数； 3.在B1单元格输入“1-1”，显示为1月1日，或者将B列设为喜欢的日期格式，设置C列为B列相同的日期格式； 4.在B2单元格输入“=A2+B$1”，显示为1月1日，或者将B列设为喜欢的日期格式； 5.在D2单元格输入“=C3-C2”，显示为1月1日，或者将B列设为喜欢的日期格式； 6.选取区域A2:D2，鼠标移到选取区域的右下角时指针变为“+”，如要模拟50人的情况，将鼠标按住下接至51行； 7.在D1单元格输入“=MIN(D2:D50)”； 8.此时A列为0至365的伪随机数，B列为对应的日期。此二列当有输入事件发生时会重新产生随机数而变化。D列为0，将D51中的内容删除； 9.选取区域B2:B51，复制，选择性粘贴数值到C2:C51，对C列数据区域排序。 《概率论》案例分析 题目生日悖论与生日攻击 班级： 学号： 姓名： 一、问题分析 生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。在《著名的生日悖论》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%。 悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质，它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度。这种攻击对Hash函数提出了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长。生日攻击这个术语来自于所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。 二、问题求解 不计特殊的年月，如闰二月。 先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么 第一个人的生日是 365选365 第二个人的生日是 365选364 第三个人的生日是 365选363 : : : 第n个人的生日是 365选365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的概率是： (365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... × 【(365-n+1）/365】 数学建模实验报告 试验名称：生日问题 问题背景描述： 在100个人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的，那么随机找n个人（不超过365人）。求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？ 实验目的： 用计算机求解概率计算问题；当幂方次数较大时用多项式拟合方法确定求概率的近似计算公式；了解随机现象的计算机模拟技术。 实验原理与数学模型： 这是一个古典概率问题，n个人中每一人的生日都可能在365天中任何一天，样本空间中样本点总数为365n，考虑n个人的生日两两不同，第一个人的生日可能在365天中任一天，第二个人的生日不能与第一个人生日相同，第二个人生日可能在364天中任何一天，类推可得，n个人生日两两不同的这一事件的总共有365*364*……*(365-n+1). 故这n个人的生日各不相同的概率（可能性）以下面公式计算： P n n 365 )1 365 ( * ...... * 364 * 365+ - =（1） 因而，n个人中至少有两人生日相同这一随机事件发生的概率为： P(n)=１－ n n 365 )1 365 ( * ...... * 364 * 365+ - （2） 但是在利用公式进行计算时,所用的乘法次数和除法次数较多,可以考虑用多项式做近似计算。这需要解决多项式拟合问题。 主要内容（要点）： 1、求出n个人中至少有两个人生日相同的概率P（n）的近似公式； 2、根据P（n）的近似公式，用计算机分别计算出当团体人数取n=1，2，……， 100时的概率值：P（1），P（2），……，P（100）。在Matlab环境下用指令plot(p)绘制图形，描述概率值随团体人数变化的规律； 3、特殊概率值的计算。在有40个学生的班上，至少有2个同学生日相同的概 率是多少？60个人的团体中，至少有两个人生日在同一天的概率又是多少？ 在80个人的团体中，情况又如何？ 4、用5次多项式拟合方法寻找一个近似计算概率的公式； 5、考虑团体总人数对概率值的影响； 计算机仿真（数值模拟）。 实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）： 1、利用（2），用计算机分别计算出当团体人数取n=1,2,……,100时的概率值： P（1），P（2），……，P（100），并绘制图形。Matlab程序具体如下： for k=1:100 p(k)=1-prod(365-k+1:365)/365^k; end 第六章频率与概率 ３．生日相同的概率（一） 课型：新授课 授课时间：2012年11月29日星期四 教学目标： 1．经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程，估计一些复杂的随机事件发生的概率.（重点；亦是难点） 2．经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力. 3．通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观. 教法及学法指导： 这节课应用我校倡导的“学案导学，合作探究”模式，充分发挥学生的主体地位。教师引导学生课前预习，让学生主动探索课本及导学案中提到的几个问题，课堂上引导学生通过独立思考、同桌合作、小组讨论、全班交流等一系列活动，一环扣一环探索知识，最后自己得出结论. 重点是掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率； 难点是试验估计随机事件发生的概率； 关键是通过试验、统计活动，体会随机事件的概率，这些都需要收集大量数据，整理大量数据，所以要充分调动学生进行小组合作，全班合作. 教学过程： 【自主预习】（老师提前一周布置预习任务，下发导学案） 预习内容： 1、课本188页至课本189页 设计意图：这节课内容十分有趣，很容易引起学生的兴趣、讨论、甚至争论，因为问题的答案有些出人意料.提前预习可让学生带着困惑去思索、去实践验证. 2、以合作小组为单位，开展调查活动：每人课外调查10个人的生日、生肖. 设计意图：收集数据，为本节课的学习提供素材，在课堂中运用源于学生实际调查的真实数据展开教学，能极大地激发学生学习数学的兴趣及学习的积极性与主动性.另一方面，2020年6.3 生日相同的概率(2)(含答案)-
生活中的一些概率问题
生日相同问题
6.3 生日相同的概率(一)导学案
一个经典的生日概率问题材料
同一天生日的概率问题
《生日相同的概率》练习题(含答案)
同一天生日的概率问题
生日悖论与生日分析
数学建模生日问题
3.生日相同的概率(一)
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