平面向量单元复习教学建议
滨州实验中学王清娥
发言日期：2020年3月24日
尊敬的各位老师，大家好！非常荣幸能在这里和大家交流我对《平面向量》这一单元的复习看法，不当之处，敬请批评指正！
一、本单元近五年全国卷I 高考试题统计分析 年份 题号 分数 题型 考查内容 2015 文2 5 选择题 平面向量的坐标运算，减法的三角形法则 理7
5 选择题 平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念 201
6 文13
5 填空题 用平面向量数量积的坐标运算表示垂直 理13
5 填空题 平面向量的模的坐标运算、数量积的性质 2017 文13
5 填空题 两平面向量的加法、数量积坐标运算，向量的垂直（与16年文雷同） 理13
5 填空题 平面向量的数量积运算、模及夹角 2018
文7 5 选择题 同一题。平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念（与15年理科第7题同出一辙） 理6 5 选择题 2019
文8 5 选择题 同一题。平面向量的模、夹角，垂直的条件，数量积的运算律 理7 5 选择题
二、本单元在全国I 卷中的地位和作用
从上表中的统计分析可以看出，平面向量这一单元在高考中是每年的必考内容，它承载着对数学基本运算能力的考查。但是考查注重基础，无论是选择题还是填空题，题号都比较靠前，题目相对比较简单，占分比重也不大（5分），应该是学生比较容易得分的题目，也可以说是送分题。但是如果在教学中老师要求落实不到位，学生对基本概念不理解，基本公式记忆不准确，就会“大意失荆州”，即便出题老师有意送分，也会有不少学生“不领情”而拒收。这就要求我们在一轮复习中，必须从基础知识入手，稳扎稳打，确保该题不丢分。
三、本单元的典型试题类型及解题方法、策略
题型1. 以平面几何为背景的线性运算
（18年理）6. 在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )
A ．AC A
B 4143- B . A
C AB 4341- C . AC AB 4143+
D . AC AB 4
341+ (先由题意画出图形)
解法1：AC AB AC AB AB AD AB AE AB EB 4
143)(4121-=+-=-=-=
解法2： AC BA AC BA BA BC BA BD BA BE 4
143)(412141212121+=++=+=+= 所以4
143-=.故选A. 解法3：特殊化后用坐标法
设等边三角形ABC 的边长为2，以直线BC 为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。则 B(-1，0),E(0，)2
3,C(1，0),A(0，)3,)3,1(),3,1(),23,1(-=--=--=AC AB EB 设,y x +=则)3,1()3,1()23,1(-+--=--y x 所以??
???-=---=+-23331y x y x 解得???
????-==41
43y x ，所以4143-=. 老师们再看一下这道题：
（15年理）7. 设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r ，则（ ）
A ．1433AD A
B A
C =-+u u u r u u u r u u u r B ．1433A
D AB AC =-u u u r u u u r u u u r C ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r 解法1：（不画图，直接用向量的代数运算求解）
)(33-=-∴=Θ 展开化简得3
431+-=.故选A 解法2：（画出图形，结合图形利用向量的线性运算求解）
3
134)(3131-=-+=+=+= 另：AB AC AB AC AB AB BC BA BD AD 3
134)(3434-=-+=+=-= 解法3：（特殊化后用坐标法）
设等边三角形ABD 的边长为4，以BD 所在直线为x 轴，线段BD 的垂直平分线为y 轴，
建立平面直角坐标系，如图 则)32,0(),0,1(),0,2(),0,2(A C D B -,
)32,2(),32,1(),32,2(-=-=--=
设,y x +=则)32,1()32,2()32,2(-+--=-y x
???-=--=+-∴32323222y x y x 解得???
????=-=3431y x 所以3134-= 这种解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解。 可以发现：这两题考查的知识点和解题方法是一样的
此类题的基本解决方法和思路是：
1. 向量的代数运算法
把题目中的条件和目标都用向量来表示，都向基底去转化。
2.向量的几何运算法
先观察向量位置，再寻找所在的三角形或多边形，再由近及远的运用法则找关系，最后化简结果。
3.向量的坐标运算法
先把已知的平面几何图形特殊化（一般三角形可以特殊化为等边三角形或直角三角形，平行四边形可特殊化为矩形或正方形），再建立坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，最后通过坐标运算解方程（组）。
【纯向量法对同学们的观察能力要求较高，坐标法对计算能力要求较高】
题型2.平面向量的数量积的运算及性质
（19年理）7.已知非零向量a ρ，b ρ满足||2||b a ρρ=，且b b a ρρ?⊥-)(，则a ρ与b ρ
的夹角为（ ） A.6π B.3π C.32π D.65π 解法1：Θ||2||b a ρρ=，且b b a ρρ?⊥-)(，∴0)(=?-b b a ρρ?，有0||2=-?b b a ρρ?，
设a ρ与b ρ的夹角为θ，则有0||cos ||||2=-?b b a ρρ?θ，即0||cos ||222=-b b ρ
ρθ， 0)1cos 2(||2=-θb ρ，Θ0||≠b ρ，∴21cos =θ，3πθ=，故a ρ与b ρ的夹角为3
π，选B . 解法2：数形结合，根据题意画出符合条件的图形，答案一看便知，不用计算。 如图：作,,b AC a AB ==则-=
又因为)(=⊥-
由图可知，显然a ρ与b ρ
的夹角为600.
解法3：坐标运算 设),0()(),0,1(x b =-∴⊥-=可设Θ则),1(x =
，又=Θ=2
所以21,cos ==b a b a b a ，故a ρ与b ρ的夹角为3π。
我们再来看下面几道题
（17年理）13.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= .
（16年理）13.设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .
（16年文）（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =
（17年文）13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =_________.
从这几道高考题也可以看出，平面向量的考查非常注重基础，两向量垂直的充要条件、模和夹角是高频考点，两向量共线的充要条件却从来没考过。
四、2020年高考试题预测
从试题模式看：题目设置上会继续延用只出一小题的模式，因为空间向量必出解答题，所以平面向量只会出小题。但是选择题有可能设置多选题，填空题也有可能一题两空，总分仍是5分。
从试题难度看：文理不分科后，估计难度不会增加。又因为这部分知识点比较零碎，预估多选题可能设置一题多点来考查本单元的知识点。
从考查范围看：平面向量的线性运算（借助平面几何图形，选定基底，利用三角形法则或平行四边形法则表示其他向量）、坐标运算及应用，平面向量的数量积的运算及性质仍会是这部分的考查重点。
五、一轮复习建议
1.课时安排建议
平面向量的概念及其线性运算 1课时
平面向量的基本定理及坐标运算 1课时
平面向量的数量积、模及夹角 1课时
2.选题建议
我们在设计一轮复习学案时起点要低，覆盖面要广，选题时，不要选择难度大，计算量大、技巧性强的题目，应把重点放在落实基础知识和基本技能上，使学生掌握通性、通法；选题既要突出重点，又要兼顾冷点，多练热点、高频点，围绕考查的重点和热点精选习题。
3．教学建议
老师们在教学中要注重对学生公式、定理、概念的检查，必须要求学生该记住的一定要记准、记牢，不能模棱两可。再通过必要的强化训练，提高学生的运算能力。我们只有把提高学生的运算能力贯穿于教学的过程之中，才能收到较好的效果。
4.附一节复习学案：
平面向量的数量积、模及夹角
[学习目标]
1.掌握平面向量数量积的定义及坐标表示、运算性质．(重点)
2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、模、夹角等相关问题．(难点)
3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
【再现型题组】
1.已知|a|＝3，|b|＝4，且向量a 与b 的夹角为π3
，则a·b ＝ a 在b 方向上的投影为 2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝ ，|a|＝________， a+2b= .
3．已知a ＝(－2，1)，b ＝(x ，－2)，若a ⊥b ，则x = ；若a ∥b ，则x = .
4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，23)，则a 与b 的夹角是( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
【请把你回忆起来的知识点写在下面：】
【巩固型题组】
例1：（1）已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则（a+b ）·(a －b)＝________.
（2）已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －2b|＝_______.
例2：(1)已知a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋mb)⊥(a －b)，则实数m=_______.
(2)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－2，＋∞)
B.????－2，12∪????12，＋∞ C ．(－∞，－2)
D ．(－2，2)
[规律方法总结]
【提高型题组】
1．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是
2.已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.
3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0，2)，若a ⊥(b －c)，则实数x 的值为
4.若向量a ＝(－2，2)与b ＝(1，y)的夹角为钝角，则y 的取值范围为________．
5.已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．
[规律方法总结]
【反馈型题组】
1.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________.
2.设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( )
A ．4
B ．5
C ．3 5
D ．4 5
3．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R)．则|a ＋b|的取值范围为________．
4.平行四边形ABCD 中，AB →＝(1，0)，AC →＝(2，2)，则AD →·BD →等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4
5.已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC 的形状为
( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上均不正确 6．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，
求：(1)a·b. (2)(a ＋b)2. (3)(a ＋b)·(a －b)．
7．已知a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，
(1)ka －b 与a ＋b 共线； (2)ka －b 与a ＋b 的夹角为120°.
平面向量 第一课时 平面向量的概念 【重要知识】 知识点一：向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 知识点三：有向线段 （1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 知识点四：两个特殊的向量 （1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r . 0r 的方向是任意的. 注意0r 与0的含义与书写区别. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五：平行向量、共线向量 （1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。 （2） 规定：规定0r 与任一向量平行. （3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义; ②向量,,a b c r r r 平行，记作a r ∥b r ∥c r ③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六：相等向量
平面向量单元复习教学建议 滨州实验中学王清娥 发言日期：2020年3月24日
尊敬的各位老师，大家好！非常荣幸能在这里和大家交流我对《平面向量》这一单元的复习看法，不当之处，敬请批评指正！ 一、本单元近五年全国卷I 高考试题统计分析 年份 题号 分数 题型 考查内容 2015 文2 5 选择题 平面向量的坐标运算，减法的三角形法则 理7 5 选择题 平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念 201 6 文13 5 填空题 用平面向量数量积的坐标运算表示垂直 理13 5 填空题 平面向量的模的坐标运算、数量积的性质 2017 文13 5 填空题 两平面向量的加法、数量积坐标运算，向量的垂直（与16年文雷同） 理13 5 填空题 平面向量的数量积运算、模及夹角 2018 文7 5 选择题 同一题。平面向量的线性运算，相等向量和相反向量、共线向量等概念（与15年理科第7题同出一辙） 理6 5 选择题 2019 文8 5 选择题 同一题。平面向量的模、夹角，垂直的条件，数量积的运算律 理7 5 选择题 二、本单元在全国I 卷中的地位和作用 从上表中的统计分析可以看出，平面向量这一单元在高考中是每年的必考内容，它承载着对数学基本运算能力的考查。但是考查注重基础，无论是选择题还是填空题，题号都比较靠前，题目相对比较简单，占分比重也不大（5分），应该是学生比较容易得分的题目，也可以说是送分题。但是如果在教学中老师要求落实不到位，学生对基本概念不理解，基本公式记忆不准确，就会“大意失荆州”，即便出题老师有意送分，也会有不少学生“不领情”而拒收。这就要求我们在一轮复习中，必须从基础知识入手，稳扎稳打，确保该题不丢分。 三、本单元的典型试题类型及解题方法、策略 题型1. 以平面几何为背景的线性运算 （18年理）6. 在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( ) A ．AC A B 4143- B . A C AB 4341- C . AC AB 4143+ D . AC AB 4 341+ (先由题意画出图形) 解法1：AC AB AC AB AB AD AB AE AB EB 4 143)(4121-=+-=-=-=
第七章平面向量 1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时向量的概念与几何运算 1．向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量． ⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律． ⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． 3．实数与向量的积 ⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝ ． ② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ． ⑵ λ(μ)＝ ． (λ＋μ)＝ ． λ(＋b )＝ ． ⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． 4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，＝2212e y e x +，则与共线的充要条件是 ． 例1 ．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，b AC =，求． 解：＝－＝4 1(＋)－＝－ 43＋4 1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ） A ．－＋2 1 B ．－－21 C ．－21 D ．＋BA 21 解:A
第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示 重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景． ②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示． 经典例题：下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 当堂练习： 1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量 2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO 、OB 、CO 、OD 是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等的向量 D ．模都相同的向量 4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. ||AB =|| D. ||AB 与线段BA 的长度不相等 5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ) A. AB 与共线 B. 与BD 相等 C. 与 是相反向量 D. 与模相等 6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中， （1）与BC 相等的向量有 ；
（2）与OB 长度相等的向量有 ； （3）与DA 共线的向量有 ． 7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ．并对你的判断举例说 明 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中： （1）与AO 相等的向量有 ； （2）写出与AO 共线的向有 ； （3）写出与AO 的模相等的有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等？答 ． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且OA a = ，OB b = ，AB c = ，在 以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 10．在如图所示的向量a ，b ，c ，d ，e 中（小正方形的边长为1）， 是否存在： （1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ． 11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中， （1）与向量FE 共线的有 ． O A B C D E F
平面向量知识点整理 1、概念 （1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量． （3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有零向量) ④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、 共线 （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a （6）向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 2 2 222||,||a x y a a x y = +==+。 ） （8）零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是 它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则AB DC =。 （5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 13； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律： ()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第四章平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫 做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为 ± a |a|平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线向量 相等向量长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能 比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－ b的和的运算叫做a与 a－b＝a＋(－b)
b 的差 三角形法则 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的 方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝ λa ＋λb 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】 1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12 (OA →＋OB → )． 2．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC → ＝0?P 为△ABC 的重心． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × ) (4)向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12 (AC →＋AB → )．( √ ) 1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA → 相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①② 答案 A 解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA → 互为相反向量，故③错误． 2．如图所示，向量a －b 等于( )
第四部分：平面向量公式和基本方法 平面向量是高一所学内容，这是一个比较有特点的知识，其在物理的“力的分解”上也有所涉及，高中数学 对于平面向量的考察形式主要有两方面：1）向量知识、公式相关题型的考察；2）结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。 1、平面向量相关主要知识点 1）单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =| |a 同向的单位向量。 零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】。 相等向量：长度和方向都相同的向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 2）向量的加减法： 三角形法则 AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） ()()()12122211,,,,,y y x x AB y x B y x A --=? 平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那 条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段 就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法 的三角形法则可推广至多个向量相加： 3）共线（平行）定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 4）向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+2 2||a a =，2||()a b a b +=+ 5）设()()2211,,,y x b y x a ==则： 数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?2121y y x x +=； cos |||| a b a b θ?= ?
向量 一.知识清单 向量有关概念 1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素 2.向量： 叫做向量 ３．向量的长度(或模）： 就是此向量的长度 ４.向量的表示： 表示向量，如AB a 或 ５.零向量： 叫做零向量,记作 0 6．单位向量： 叫做单位向量 7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a 与b 平行（或共线）,记作//a b 8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等,记作a =b 二.基础训练 1.在下列各命题中,真命题为( ) A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 B 模为0的向量与任一向量平行 C 向量就是有向线段 D a =b 是a b =的必要不充分条件 ２．下列命题中,假命题是( ） A 向量AB 与向量BA 长度相等 Ｂ 两个相等向量若起点相同,则终点必相同 C 只有零向量的模等于0 Ｄ 共线的单位向量相等 ３.已知下列命题：①ａ=b,ｂ=c ，则ａ＝ｃ; ②若ａ／/b,b//c 则a//c;③若ａ=b,则a/／b; ④若ａ／/ｂ,则a=ｂ.其中命题正确的序号是( ) A ①③ B ②③ C ④③ D ①② ４．在四边形AB ＣＤ中, AB DC =,且AB AD =，则四边形ＡBCD 是 5.如图，D 、 E 、 F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 和AB 的中点,试写出: (1）与EF 平行的向量； (2)与EF 相等的向量；
三.强化训练 1．下列说法正确的是（ ) Ａ 方向相同或相反的向量是平行向量 B 零向量的长度是０ C 长度相等的向量叫相等向量 D 共线向量是在一条直线上的向量 2.下列命题中，真命题的个数为( ） ① 若a b =，则a =b 或a =b - ② 若AB DC =,则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点 ③ 若a ＝b ，b c =，则a =c ④ 若//a b ,//b c ，则//a c A ４ B 3 C ２ D 1 3．下列命题,正确的是（ ） A a b a b =?= B a b a b >?> C //a b a b =? Ｄ 00a a =?= 4．如图,ABCD 是边厂为３的正方形，把各边三等分后，共有1 ６个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC 平行且长度为的向量个数是 A B C D B C D
高考数学第一轮复习精品试题：平面向量 必修4 第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示 重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景． ②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示． 经典例题：下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 当堂练习： 1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量 2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO u u u r 、OB uuu r 、CO uuu r 、OD u u u r 是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等的向量 D ．模都相同的向量 4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量a ,|a |>0总是成立的 C. ||=|BA | D. ||与线段BA 的长度不相等 5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ) A. 与CD 共线 B. AC 与相等 C. AD 与 CB 是相反向量 D. AB 与CD 模相等 6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中， （1）与BC uuu r 相等的向量有 ； （2）与OB uuu r 长度相等的向量有 ； （3）与DA u u u r 共线的向量有 ． 7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ．并对你的判断举例说
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒 介． 一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假： 1、有向线段就是向量，向量就是有向线段； 2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； 3、向量AB →与向量CD → 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； 5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； 6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； 7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行； 8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； 9、向量 与的长度相等； 10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量 与是两平行向量； 14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若 AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； 16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量 AB 的长度是OA 长度的3倍； 17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等； 19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ 或=λ； 20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+ 21、下列命题中：其中正确的是_____________ ① → →→→→ → → ?-?=-?c a b a c b a )(； ② → →→→ →→??=??c b a c b a )()(； ③ 2 () a b → → -2 ||a → =2 2||||||a b b → → → -?+； ④ 若0=?→ →b a ，则0=→ a 或0=→ b ； ⑤若,a b c b ?=? 则a c = ⑥22 a a = ； ⑦2a b b a a ?= ； ⑧222()a b a b ?=? ； ⑨222()2a b a a b b -=-?+ 二、平面向量平行定理（共线定理） （1）若//(0)a b b ≠? （2）若a b λ= 共线定理作用（1） （2） 【例2】设两个非零向量a 与b 不共线, （1） 若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=- 求证：A..B.D 三点共线; （2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb + 共线。 【例3】已知向量a = 1）b =（0，-1），c =（k ）。若2a b - 与c 共线，则k=__________。 三、直线的向量参数式方程 已知A,B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,则对直线l 上任意一点P,存在实数t,使OP 关于基底{,OA OB }的分解 式为 此向量等式叫做直线l 的向量参数方程式,其中实数t 叫做参数,并且满足t =. 应用一:OB OA ,前面的系数之和为定值1 1.（2007·全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123 AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=（ ）
第七章平面向量 1 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则． 2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用． 4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时 向量的概念与几何运算 1．向量的有关概念 ⑴既有又有的量叫向量． 的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．
⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量． ⑶且的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律． ⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向． 3．实数与向量的积 ⑴实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝． ②当λ＞0时，λ的方向与的方向； 当λ＜0时，λ的方向与的方向； 当λ＝0时，λ． ⑵λ(μ)＝． (λ＋μ)＝． λ(＋b )＝． ⑶共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得． 4．⑴平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得． ⑵设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是． 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设a AB =，b AC =，求． 解：＝－＝4 1(＋)－＝－ 43＋4 1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（） A ．－＋2 1 B ．－－21 C ．－21 D ．＋21 解:A 例2.已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使 μλ+=． 解:c ＝λ＋μb ?21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ?2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9?λ
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第七章平面向量 1 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时向量的概念与几何运算
1．向量的有关概念 ⑴既有又有的量叫向量． 的向量叫零向量．的向量，叫单位向量． ⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量． ⑶且的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律． ⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向． 3．实数与向量的积 ⑴实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝． ②当λ＞0时，λ的方向与的方向； 当λ＜0时，λ的方向与的方向； 当λ＝0时，λ． ⑵λ(μ)＝． (λ＋μ)＝． λ(＋b )＝． ⑶共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得． 4．⑴平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得． ⑵设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是． 例1 ．已知△ABC 中， D 为BC 的中点， E 为AD 的中点．设=，b AC =，求． 解：＝－＝4 1(＋)－＝－ 43＋4 1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（） A ．－＋2 1 B ．－－21 C ．－21 D ．＋21 解:A
第 1 页 共 19 页 1 高考数学（平面向量）第一轮复习资料 知识点小结 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． b a C B A a b C C -=A -A B =B
第七章平面向量 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时向量的概念与几何运算 1．向量的有关概念 ⑴既有又有的量叫向量． 的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律． ⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． 3．实数与向量的积 ⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝ ． ② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ． ⑵ λ(μ)＝ ． (λ＋μ)＝ ． λ(＋b )＝ ． ⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． 4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ． 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，b AC =，求． 解：＝－＝41 (＋)－＝－43＋4 1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ） A ．－＋21 B ．－－21 C ．－21 D ．＋21 解:A 例2. 已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使μλ+=．
平面向量数学高考一轮复习知识点 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2． 加法与减法的代数运算： (1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）则a b= （x1+x2,y1+y2 ）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）; 3．实数与向量的积：实数 与向量的积是一个向量。 (1)｜｜=｜｜｜｜; (2) 当 a＞0时，与a的方向相同；当a＜0时，与a的方向相反；当 a=0时，a=0． 两个向量共线的充要条： (1) 向量b与非零向量共线的充要条是有且仅有一个实数，使得b=
． (2) 若 =（）,b=（）则‖b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，，使得 = e1+ e2． 4．P分有向线段 所成的比： 设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ，叫做点P分有向线段所成的比。 当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0； 分点坐标公式：若 = ；的坐标分别为（）,（）,（）；则（－1），中点坐标公式：． 5．
向量的数量积： （1）．向量的夹角： 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则AOB= （）叫做向量与b的夹角。 （2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为，则 b=｜｜｜b｜cos ．其中｜b｜cos 称为向量b在方向上的投影． （3）．向量的数量积的性质： 若 =（）,b=（）则e = e=｜｜cos (e为单位向量); b b=0 （，b为非零向量）;｜｜= ; cos = = ． (4) ．向量的数量积的运算律：
⑶三角形不等式: 平面向量知识点整理 1、概念 （1） 向量：既有大小，又有方向的量. 有向线 段的三要素：起点、方向、长度. （2） 单位向量：长度等于 1个单位的向量. （3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 提醒： ① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ② 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③ 平行向量无传递性！（因为有零向量） ④三点A B 、C 共线=AB 、AC 共线 长度相等且方向相同的向量. 长度相等方向相反的向量。 a 的相反向量是-a 数量：只有大小，没有方向的量. (4) (5) 相等向量: 相反向量: (6) 向量表示: 几何表示法 AB ;字母a 表示；坐标表示：a = xi +y j =（x , y ）. (7) 向量的模: 设OA=α ,则有向线段QA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作: |a|. (8) (| a ,X 2 ? y 2, a? =| a |2 = X 2 ■ y 2。 零向量：长度为 O 的向量。a = O= I a I= O. 【例题】1.下列命题：（1）若 它们的起点相同，终点相同。 （3）若 ABCD 是平行四边形，则I AB =DC o （5）若a=bb 毛，则a =C 。 则a 〃C 。其中正确的是 __________ Ub ,则a=b 0（2）两个向量相等的充要条件是 B AB=DC ,则ABC^是平行四边形。（4）-若 6）若 a"b,b∕ c , 4 耳 2.已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为60 ,那么|a 3b| （答:（4）（5）） （答: .13）； 2、向量加法运算 ⑴三角形法则的特点：首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点： 共起点. J+? = AB÷BC = AC J+^=. AB+AΓ = A? a -七兰肾
向量 一．知识清单 向量有关概念 1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素 2．向量： 叫做向量 3．向量的长度（或模）： 就是此向量的长度 4．向量的表示： 表示向量，如AB a 或 5．零向量： 叫做零向量，记作0 6．单位向量： 叫做单位向量 7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a 与b 平行（或 共线），记作//a b 8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等，记作a =b 二．基础训练 1．在下列各命题中，真命题为（ ） A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 B 模为0的向量与任一向量平行 C 向量就是有向线段 D a =b 是a b = 的必要不充分条件 2．下列命题中，假命题是（ ） A 向量AB 与向量BA 长度相等 B 两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C 只有零向量的模等于0 D 共线的单位向量相等 3．已知下列命题：①a=b,b=c,则a=c; ②若a//b,b//c 则a//c ；③若a=b,则a//b; ④若a//b,则a=b.其中命题正确的序号是（ ） A ①③ B ②③ C ④③ D ①② 4．在四边形ABCD 中， AB DC = ，且AB AD = ，则四边形ABCD 是 5．如图，D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 和AB 的中点，试写出： （1）与EF 平行的向量； （2）与EF 相等的向量； B C D
三．强化训练 1．下列说法正确的是（ ） A 方向相同或相反的向量是平行向量 B 零向量的长度是0 C 长度相等的向量叫相等向量 D 共线向量是在一条直线上的向量 2．下列命题中，真命题的个数为（ ） ① 若a b = ，则a =b 或a =b - ② 若AB DC = ，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点 ③ 若a =b ，b c = ，则a =c ④ 若//a b ，//b c ，则//a c A 4 B 3 C 2 D 1 3．下列命题，正确的是（ ） A a b a b =?= B a b a b >?> C //a b a b =? D 00a a =?= 4．如图，ABCD 是边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交 点组成向量，则与AC 平行且长度为的向量个数是 A B C D
第1节 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 知 识 梳 理 1.向量的有关概念 (1)向量：具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度等于零的向量；其方向不确定. (3)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同向且模为1的向量，叫做向量a 的单位向量，可记作a 0. (4)共线(平行)向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行. 规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量. (6)相反向量：与向量a 反向且等长的向量，叫做a 的相反向量. 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [常用结论与微点提醒] 1.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →). 2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 4.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①② 解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模