第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示
重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景．
②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．
经典例题：下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
当堂练习：
1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量
2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量
3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO 、OB 、CO 、OD
是 （ ）
A ．平行向量
B ．有相同终点的向量
C ．相等的向量
D ．模都相同的向量
4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. ||AB =|| D. ||AB 与线段BA 的长度不相等
5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ) A. AB 与共线 B. 与BD 相等 C. 与 是相反向量 D. 与模相等
6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，
（1）与BC
相等的向量有 ；
（2）与OB
长度相等的向量有 ； （3）与DA
共线的向量有 ．
7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ．并对你的判断举例说 明 ．
8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：
（1）与AO
相等的向量有 ；
（2）写出与AO
共线的向有 ； （3）写出与AO
的模相等的有 ； （4）向量AO 与CO
是否相等？答 ． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且OA a = ，OB b = ，AB c =
，在
以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：
（1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有
10．在如图所示的向量a ，b ，c ，d ，e 中（小正方形的边长为1），
是否存在：
（1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ．
11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，
（1）与向量FE
共线的有 ．
O
A
B
C D
E F
（2）与向量DF
的模相等的有 ． （3）与向量ED
相等的有 ．
12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？
第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算
重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．
考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义．
经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点，
求证：0EA FB DC ++= ．
.
当堂练习：
1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b
D ．a 与b 方向相反
2．设+++=()()
AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；
②+=a b a ；③+=a b b ；④
+<+a b a b
，其中正确的是 （ ）
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则
-+等于 （ ）
A ．O
B ．4
C ．4
D ．4
4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）
A ．||||||b a b a -=-
B ．||||b a b a -=+
C ．||||||b a b a -=+
D ．||||||b a b a +=+
5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ． 以上都不对
6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP
=
（ ）
A ．().(0,1)A
B AD λλ+∈
B
．
().(0,2AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈
D ．
().AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3 OA a ，==||||3
OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
8．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得+平分和间的夹角。 9．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则等式：
F
E
C
①+-=
FD DA AF0②+-=
FD DE EF0
③+-=
DE DA BE0④+-=
AD BE AF0
10．若向量
x、y满足+=-=
23,32
x y a x y b
，
a、b为已知向量，则
x=__________；y=___________．
11．一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60?方向行驶3 km，求汽车的位移.
12.如图在正六边形ABCDEF中，已知：
→
AB=,
→
AF= ,试用、表示向量
→
BC,
→
CD, →AD，→BE.
第2章平面向量
§2.3平面向量的基本定理及坐标表示
重难点：对平面向量基本定理的理解与应用；掌握平面向量的坐标表示及其运算．
考纲要求：①了解平面向量的基本定理及其意义．
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
③会用坐标表示平面向量的加法，减法于数乘运算．
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
经典例题：已知点(,0),(2,1),(2,),(6,2)A x B x C x D x ．
求实数x 的值，使向量AB 与CD
共线；
当向量AB 与CD
共线时，点,,,A B C D 是否在一条直线上？
当堂练习：
1．若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c 等于 （ ）
A ．21-
a 23+
b B ．21a 23- b C ．23a 21- b D ．23-
a+21
b
2．若向量a=(x －2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则 （ ） A ．x=1,y=3 B ．x=3,y=1 C ．x=1,y=－5 D ．x=5,y=－1
3．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = （ ）
A ．43
B ．43
-
C ．34
D ．34-
4．ABCD 的两条对角线交于点E ，设1e =，2e =，用21,e e 来表示ED 的表达式（ ）
A ．2
1212
1e e -- B ．212121e e +- C ．212121e e - D ．212121e e + 5．已知两点P １（－１，－6）、Ｐ２（3，０），点P （－37
，ｙ）分有向线段21P P 所
成的比为λ，则λ、ｙ的值为 （ ）
A ．－41，8
B ．41，－8
C ．－41，－8
D ．4，81
6．下列各组向量中：①)2,1(1-=e ②)5,3(1=e ③)3,2(1-=e )7,5(2=e
)10,6(2=e )
43,21(2-=e 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正
确的判断是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③
7．若向量=（2，m ）与=（m ，8）的方向相反，则m 的值是 ． 8．已知=（2，3）， =（-5，6），则|+|= ，|-|= ． 9．设a =（2，9），b =（λ,6），c =(-1,μ),若a +b =c ,则λ= , μ= . 10．△ABC 的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C 点坐标为 .
11．已知向量e1、e2不共线，
(1)若=e1－e2，BC =2e1－８e2，CD =3e1＋３e2，求证：A 、B 、D 三点共线. (2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值.
12．如果向量=i －2j,BC =i+mj,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.
第2章 平面向量 §2.4平面向量的数量积
重难点：理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解． 考纲要求：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ②了解平面向量数量积于向量投影的关系．
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 经典例题：在ABC ?中，设()(),,1,3,2k AC AB ==且ABC ?是直角三角形，求k 的值．
当堂练习：
1．已知a =（3，0），b =（-5，5）则a 与b
的夹角为 （ ）
A ．450
B 、600
C 、1350
D 、1200
2．已知a =（1，-2），b =（5，8），c =（2，3），则a 2（b 2c ）的值为 （ ）
A ．34
B 、（34，-68）
C 、-68
D 、（-34，68）
3．已知a =（2，3），b =（-4，7）则向量a 在b
方向上的投影为 （ ）
A ．13
B 、513
C 、565
D 、
65
4．已知a =（3，-1），b =（1，2），向量c 满足2c =7，且b ⊥，则c
的坐标是
（ ）
A ．（2，-1）
B 、（-2，1）
C 、（2，1）
D 、（-2，-1）
5．有下面四个关系式（1）0 20 =0 ；（2）（a 2b ）c =a （b 2c ）；（3）a 2b =b 2a ；
（4）0a
=0，其中正确的个数是 （ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
6．已知a =（m-2，m+3），b =（2m+1，m-2）且a 与b 的夹角大于90°，则实数m
（ ）
A 、m ＞2或m ＜-4/3
B 、-4/3＜m ＜2
C 、m ≠2
D 、m ≠2且m ≠-4/3
7．已知点A （1，0），B （3，1），C （2，0）则向量与的夹角是 。
8．已知a
=（1，-1），b =（-2，1），如果（)()b a b a λλ-⊥+，则实数λ= 。 9．若|a |=2，|b |=2，a 与b
的夹角为45°，要使k b -a 与a 垂直，则k=
10．已知a +b =2i -8j ，a —b =-8i +16j ，那么a
2b =
11．已知2a +b =（-4，3），a -2b =（3，4），求a 2b
的值。
12．已知点A （1，2）和B （4，-1），试推断能否在y 轴上找到一点C ，使∠ACB=900？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由。
第2章 平面向量 §2.5平面向量的应用
重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力． 考纲要求：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题．
经典例题：如下图，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳
OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大
小，判断哪根绳受力最大？
当堂练习：
1．已知A 、B 、C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若
AB PC PB PA +++，则点P 与△ABC 的位置关系是 （ ）
A 、点P 在△ABC 内部
B 、点P 在△AB
C 外部 C 、点P 在直线AB 上
D 、点P 在AC 边上 2．已知三点A （1，2），B （4，1），C （0，-1）则△ABC 的形状为 （ ） A 、正三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰锐角三角形 3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为（ ）
A 、300
B 、600
C 、900
D 、1200
4．某人顺风匀速行走速度大小为a ，方向与风速相同，此时风速大小为v ，则此人实际感到的风速为 （ ） A 、v-a B 、a-v C 、v+a D 、v
5．一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h 。
6．两个粒子a ，b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b 相对于粒子a 的位移 ； （2）求S 在Sa 方向上的投影 。
7．如图，点P 是线段AB 上的一点，且AP ︰PB=m ︰n ，点O 是直线AB 外一点，
设OA = a ，OB = b ，试用,,,m n a b 的运算式表示向量OP ．
G E
D
C B
A
8．如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，设AD 与BE 相交于G ，求证：AG ︰GD=BG ︰GE=2︰1．
9．如图， O 是△ABC 外任一点，若
1()
3OG OA OB OC =++ ，求证：G 是△ABC 重心（即三
条边上中线的交点）．
10．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h 的速度向前航行，货船以21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。
第2章 平面向量 §2.6平面向量单元测试
1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===
（ ）
A ．)35(2121e e +
B ．)35(2121e e -
C ．)53(2112e e -
D ．)35(2112e e -
2．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①=
②||||=
③||||+=-
④
||4||||2
2=+ 2 其中正确的个数为 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．在 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是
（ ）
A ．=+
B ．=-
C ．=-
D ．=-
4．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ）
A ．||||||b a b a -=-
B ．||||b a b a -=+
C ．||||||-=+
D ．||||||+=+
5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 6．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为
（ ）
A ．)5,1312(
B ．)135,1312(--
C ．)135,1312(或
)135,1312(-- D ．)
135
,1312(±± 7．若
32041||-=-，5||,4||==，则b a 与的数量积为 （ ）
A ．103
B ．－103
C ．102
D ．10
8．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转4π
得到向量,则的坐标为 ( ）
A ．
)
22
3,22(--
B ．)223,2
2( C ．)22,223(- D ．)22
,2
23(
- 9．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 （ ） A ．),(k k b =
B ．),(k k c --=
C ．
)1,1(2
2++=k k d D ．
)1,1(2
2--=k k e 10．已知12||,10||==，且
1(3)()365a b =-
，则b a 与的夹角为 （ ）
A ．60°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
11．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 12．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是
13．已知)2,3(=，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .
14．已知e 为单位向量，||a =4，与的夹角为π
32
，则在方向上的投影
为 .
15．已知非零向量,满足||||-=+,求证: ⊥
16．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.
17、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.
18．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,35+=,k +=3,当当实数k 为何值时，⑴∥ ⑵⊥
19．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ； ②PA ⊥EF.
20．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点， 求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
参考答案
第2章 平面向量
§2.1向量的概念及其表示 经典例题：
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
当堂练习：
1.C;
2.C;
3.D;
4.C;
5.B;
6. (1) (2)DO CO AO BO OD OC OA ,,,,,, (3).,,;
7.①②③⑤;
8.（1）BF （2）,,（3）
CF BF CO BO DO DE AE ,,,,,,（4）不相等; 9. （1）CB DO , （2）DC EO , （3）,;
10. （1）d a , （2）d a , （3）不存在 （4）d a ,，c ;
11. （1）,,,,, （2）,,, （3）,; 12. 3种，8种，可以（转化为相邻两个中的互跳）;
§2.2向量的线性运算 经典例题：
证明：连结,,DE EF FD ．因为,,D E F 分别是ABC ?三边的中点，所以四边形ADEF
为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA +=
（1），同理在平行
四边形BEFD 中，F D F E F B +=
(2)，在平行四边形C F D E 在中，
D F D
E D C +=
(3)
将（1）(2) (3)相加，得
EA FB DC ED EF FD FE DE DF ++=+++++ ()()()EF FE ED DE FD DF =+++++
0=
当堂练习：
1.C;
2.D;
3.A;
4.C;
5.D;
6.A;
7. 3;
8. ||||b a =;
9. ③，④; 10. （1）d a , （2）d a , （3）不存在 （4）d a ,，c ;
11. 北偏东30°方向，大小为． 12.b a AF AB BO AB AO BC +=+=+==；
==； ()
+==22； 22==
§2.3平面向量的基本定理及坐标表示 经典例题：
解 （1）(,1)AB x = ，(4,)CD x = ．//AB CD ，24,2x x ∴==±． （2）由已知得
(22,1)BC x x =--
． ∴当2x =时，(2,1)BC =- ，(2,1)AB = ，AB ∴
和 BC 不平行，此时,,,A B C D 不
在一条直线上；
当2x =-时，(6,3)BC =- ，(2,1)AB =- AB ∴ //BC
，此时,,A B C 三点共线．
又//AB CD
，,,,A B C D ∴四点在一条直线上．
综上 当2x =-时，,,,A B C D 四点在一条直线上．
当堂练习：
1.B;
2.B;
3.A;
4.B;
5.D;
6.A;
7. -4;
8. 358,10;
9. -3，15; 10. (8,-4); 11．解析：(1) =+=2e1-8e2+3(e1+e2)＝５e1-5e2＝５ ∴BD 与AB 共线
又直线BD 与AB 有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线 (2)∵λe1-e2与e1-λe2共线
∴存在实数k ，使λe1－e2＝ｋ（e1－λe2） ，化简得（λ－ｋ）e1+(k λ－１)e2＝0
∵e1、e2不共线 ， ∴由平面向量的基本定理可知：λ－ｋ＝０且ｋλ－１＝０
解得λ＝±１，故λ＝±１．
12．解法一：∵A 、B 、C 三点共线即AB 、共线 ∴存在实数λ使得AB ＝λ 即i-2j=λ（i+mj ）
于是?
?
?-==21m λλ ∴ｍ＝－２ 即m=－2时，A 、B 、C 三点共线. 解法二：依题意知：i=(1,0),j=(0,1)
则=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), =(1,0)+m(0,1)=(1,m)
而、BC 共线 ∴１3ｍ－１3（－２）＝０ ∴ｍ＝－２ 故当m=－2时，A 、B 、C 三点共线.
§2.4平面向量的数量积 经典例题：
解：若
,900
=∠A 则⊥，于是0312=?+?k
解得
32-
=k ；
若
,900
=∠B 则⊥，又(),3,1--=-=k AB AC BC 故得
()()03312=-?+-?k ，
解得
311
=
k ；
若
,900
=∠C 则BC AC ⊥，故 ()()0311=-+-?k k ，
解得
2133±=
k ．所求k 的值为32-
或311或213
3±．
当堂练习：
1.C;
2.B;
3.C;
4.A;
5.D;
6.B;
7. 450;
8.
25
1±; 9.2; 10. - 63; 11. a =(-1,2) b =(-2,-1) a 2b
=0
12. 令C(0,y),则=(-1,y-2) )1,4(y --=
因为∠ACB=900,所以AC CB ?=0 ,即-4+(y-2)(-1-y)=0 y2-y+2=0,此方程无实数解,所以这样的点不存在.
§2.5平面向量的应用 经典例题：
解：设,,OA OB OC 三根绳子所受力分别是,,a b c ，则0a b c ++= ，,a b
的合力为',|'|||c a b c c =+=
，如上右图，在平行四边形'''OB C A 中，因为'','''OB OC B C OA ⊥= ，所以|'||'|,|'||'|OA OB OA OC >> ．即||||,||||a b a c >> ，
所以细绳OA 受力最大． 当堂练习：
1.D;
2.C;
3.D;
4.A;
5. 53km/h;
6. 粒子b 相对于粒子a 的位移为(1,7), S 在Sa 方向上的投影为-5;
7. OP =n m n n
m m +++; 8. OP =12n m n ++(a a -b);
9.略;
10.| BC |=14,cos ∠ABC=1413
§2.6平面向量单元测试
1.A;
2.C;
3.B;
4.C;
5.D;
6.C;
7.A;
8.B;
9.C; 10.B; 11． 120°； 12． 矩形 13、
1± 14． 2-
15
．证：()(
)2
2
-=+?+=+?-=+
0222
2
2
2
=?+-=++?
又, ⊥∴
16．解：
)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k
0)3,1(),1(0=--??=??⊥?∠∠k k RT C 为
213
30312
±=
?=-+-?k k k
17．
()
212121432e e e e e e -=+--=-=
若A ，B ，D 三点共线，则共线，
λ=∴设
即
212142e e e k e λλ-=+
由于21
e e 可得： 221
142e e k e e λλ-== 故8,2-==k λ
18.⑴若c ∥d 得
59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k 19.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1)
)22,22(
,r r P r DP 则设=
)221,22(r r --
=∴
)0,22
(:),22,
1(r F r E 点为 )22,122(r r --=∴
22)221()22(||r r -+-
=∴ 2
2)22()221(||r r -+-=∴
故EF PA
=
⊥?=?0而
20.证:
-=-=,
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
一、多选题 1．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2 π 2．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()1 2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+
专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D
【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；