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高中数学课时作业：基本不等式

课时作业38 基本不等式

一、选择题

1．下列不等式一定成立的是( C )

A ．lg ? ??

x 2＋14>lg x (x >0)

B ．sin x ＋1

sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1

x 2＋1

>1(x ∈R ) 解析:对选项A,当x >0时,x 2

＋1

4－x ＝? ????x －122≥0,所以lg ? ??

??x 2＋14≥lg x ；对选项

B,当sin x <0时显然不成立；对选项C,x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |,一定成立；对选项D,因为x 2＋1≥1,所以0<1

x 2＋1

≤1.故选C.

2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)

D ．(－∞,－2]

解析:∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y

? ????当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立,

∴2x ＋y ≤12,∴2x ＋y ≤1

4,得x ＋y ≤－2.

3．已知a ＋b ＝t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t ＝( C ) A ．2 B ．4 C ．2 2

D ．2 5

解析:∵a >0,b >0,∴ab ≤(a ＋b )24＝t 24,当且仅当a ＝b ＝t

2时取等号．∵ab 的最大值为2,∴t 2

4＝2,t 2＝8.又t ＝a ＋b >0,∴t ＝8＝2 2.

4．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x

,则f (x )在?

???

12，3上的最小值为( D ) A.1

2 B.4

3 C ．－1

D ．0

解析:f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0,当且仅当x ＝1

x ,即x ＝1时取等

号．又1∈??????12，3,所以f (x )在????

12，3上的最小值是0.

5．已知x ,y 为正实数,且x ＋y ＋1x ＋1

y ＝5,则x ＋y 的最大值是( C ) A ．3 B.72 C ．4

D.92

解析:∵x ＋y ＋1x ＋1y ＝5,∴(x ＋y )[5－(x ＋y )]＝(x ＋y )·? ??

??1x ＋1y ＝2＋y x ＋x

y ≥2＋2＝4,∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0,∴1≤x ＋y ≤4,

∴x ＋y 的最大值是4,当且仅当x ＝y ＝2时取得．

6．(吉林长春外国语学校质检)已知x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,若2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,则实数t 的取值范围是( B )

A ．(－∞,－8)∪(3,＋∞)

B ．(－8,3)

C ．(－∞,－8)

D ．(3,＋∞)

解析:∵x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,可得3y ＋2x ＝1,∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )3y ＋2

x ＝13＋6x y ＋6y

x ≥13＋2

6x y ·6y x

＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．∵2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,∴t 2＋5t ＋1<(2x ＋3y )min ,∴t 2＋5t ＋1<25,解得－8

7．若对于任意的x >0,不等式x

x 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则实数a 的取值范围为

( A )

A ．a ≥1

5 B ．a >15 C ．a <15

D ．a ≤1

解析:由x >0,x x 2＋3x ＋1

＝1x ＋1x ＋3

,令t ＝x ＋1

x ,则t ≥2

x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1

时,t 取得最小值 2.x x 2＋3x ＋1取得最大值15,所以对于任意的x >0,不等式x

x 2

＋3x ＋1≤a 恒成立,则a ≥1

二、填空题

8．已知a >0,则(a －1)(4a －1)

a 的最小值为－1. 解析:(a －1)(4a －1)a ＝4a 2－a －4a ＋1a ＝4a －5＋1a . ∵a >0,∴4a －5＋1a ≥2

4a ·1a －5＝－1,当且仅当4a ＝1a ,即a ＝12时取等号,∴

(a －1)(4a －1)

的最小值为－1. 9．若x >0,y >0,x ＋4y ＋2xy ＝7,则x ＋2y 的最小值是3. 解析:因为x >0,y >0,x ＋4y ＋2xy ＝7,则2y ＝7－x

x ＋2.

则x ＋2y ＝x ＋7－x x ＋2＝x ＋2＋9

x ＋2－3

≥2

(x ＋2)·9

x ＋2

－3＝3,当且仅当x ＝1时取等号．因此其最小值是3.

10．某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *),则当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值是8万元．

解析:每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－? ????x ＋25x ,而x >0,故y

x ≤18－

225＝8,当且仅当x ＝5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元．

三、解答题

11．(河北唐山模拟)已知x ,y ∈(0,＋∞),x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1

y 的最小值．

(2)是否存在x ,y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．

解:(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy

xy ＝2,当且仅当x ＝y ＝1时,等号成立, 所以1x ＋1

y 的最小值为2. (2)不存在．理由如下: 因为x 2＋y 2≥2xy ,

所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ,y ∈(0,＋∞),所以x ＋y ≤2.

从而有(x ＋1)(y ＋1)≤??

??(x ＋1)＋(y ＋1)22

≤4, 因此不存在x ,y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.

12．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道,如图．设矩形温室的室内长为x (单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位:m 2)．

(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解:(1)由题设,

得S ＝(x －8)? ??

??900x －2＝－2x －7 200x ＋916,x ∈(8,450)． (2)因为8

x ≥2

2x ·7 200

x ＝240,

当且仅当x ＝60时等号成立,从而S ≤676.

故当矩形温室的室内长为60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为676 m 2.

13．(海淀质监)当0

1－2m ≥k 2－2k 恒成立,则实数k 的取值范

围为( D )

A ．[－2,0)∪(0,4]

B ．[－4,0)∪(0,2]

C ．[－4,2]

D ．[－2,4]

解析:因为0

????2m ＋(1－2m )22＝1

8,当且仅当2m ＝1－2m ,即m ＝14时取等号,所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8,又1m ＋2

1－2m ≥k 2－2k

恒成立,所以k 2－2k －8≤0,所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.

14．(湖南长郡中学月考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2 017＝4 034,则1a 9＋9

a 2 009

的最小值为4.

解析:由等差数列的前n 项和公式, 得S 2 017＝2 017(a 1＋a 2 017)2＝4 034, 则a 1＋a 2 017＝4.

由等差数列的性质得a 9＋a 2 009＝4,

所以1a 9＋9a 2 009＝14? ????

4a 9＋

9×4a 2 009 ＝14?

????

a 9＋a 2 009a 9＋9(a 9＋a 2 009)a 2 009 ＝14??????? ??

a 2 009a 9＋9a 9a 2 009＋10 ≥14? ??

??2a 2 009a 9×9a 9

a 2 009＋10＝4,

当且仅当a 2 009＝3a 9时等号成立．

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15．(合肥模拟)已知函数f (x )＝1

3ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增,且ac ≤4,则a c 2＋4＋c a 2＋4

的最小值为( B ) A ．0 B ．12 C ．14

D ．1

解析:因为函数f (x )＝1

3ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增,所以f ′(x )＝ax 2－4x ＋

c ≥0在R 上恒成立．所以?

????

a >0，

Δ＝16－4ac ≤0，所以ac ≥4,又ac ≤4,所以ac ＝4,又

a >0,所以c >0,则a c 2＋4＋c a 2＋4＝a c 2＋ac ＋c a 2＋ac ＝a c (c ＋a )＋c a (c ＋a )＝1c －1c ＋a ＋

a －

1c ＋a ＝1a ＋1c －2c ＋a

≥21ac －22ac ＝1－12＝1

2,当且仅当a ＝c ＝2时等号成立,故

选B.

16．(天津模拟)已知x ,y 为正实数,则2x x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为5

解析:∵x ,y 为正实数,则2x

x ＋2y ＋x ＋y x

＝2x x ＋2y ＋y x

＋1＝21＋2y x

＋y x ＋1,

令t ＝y

x ,则t >0, ∴

2x x ＋2y ＋x ＋y x ＝21＋2t ＋t ＋1 ＝1

12＋t ＋t ＋12＋12≥ 2

112＋t

·? ????t ＋12＋12＝52, 当且仅当t ＝1

2时取等号． ∴2x x ＋2y

＋x ＋y x 的最小值为5

功到自然成课时作业本高中数学必修第章集合

第1章集合 1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义创新练习（1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1.方程：x2-2x+l=0的解集为. 2.若a是小于9的自然数，且a是集合A={x｜x=2n，n是整数}中的一个元素，则a的值可以是， 3.若集合A={x｜ax2-2x+l=0，x，a∈R}仅有一个元素，则a= . 4.若x，y是非零实数，则的取值集合为. 5.将集合{（x，y）｜x2-y2=5，x，y是整数}用列举法表示为. 6.对于集合：①{（1，2）}；②{（2，1）}；③{1，2}；④{2，1}.其中表示同一集合的两个集合是（用序号表示）. 7.对于集合：①{x｜x=l}；②{y｜（y-1）2=0}；③x =l}；④{1}.其中不同于另外三个集合的是（用序号表示）. 8.给出下列集合：，其中是有限集的是. 9.给出下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{2，3，1}；③方程（x-1）2（x-2）=0的所有解构成的集合可表示为1{l，1，2}；④集合{x｜y=x2}与集合{（x，y）｜y =x2}是同一集合.其中正确的有（用序号表示）. *10.若集合A由三个元素2，x，x2-x构成，则实数x的取值范围是. 11.已知集合A={1,2}，B={a+2,2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x=x1·x2,x1是A中元素，x2是B中元素}记为集合A×B.若集合A×B中的最大元素是2a＋4，求实数a的取值集合. 12.已知集合A={x|（x－1）（x－a）（x－a2+2）=0，a∈R}. （1）若2∈A，求实数a的值；（2）若集合A中所有元素的和为0，求实数a的值. 第2课时元素与集合的关系创新练习（1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1.已知集合A={1,2，a2}，B={1，a＋2}，若4∈A且4?B，则a= . 2.若集合A={1,2，3,4,5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 . 3.给出下列叙述：①集合N中最小的数是1；②若a∈N， b∈N*，则a＋b的最小值是2；③方程x2－2x＋1=0的解得是{1,1}；④{x|x2－x－2=0, x∈N*}={-1,2}.其中正确的个数是 . 4.已知P和Q是两个集合，定义集合P－Q={x|x∈P且x?Q}. 若P={1,2,3,4,5}，Q={2,4,5}，则P－Q= .