一次函数（第4 课时）导学案
【学习目标】
1.利用一次函数知识解决相关实际问题.
2.理解分段函数的意义.
【重点难点】
重点：灵活运用知识解决相关问题.
难点：分类讨论方法.
【学习过程】
一、自主学习：
【问题1】今年某地区发生严重干旱,自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数,当0≤x≤5时,y＝0.72x,当x＞5时,y＝0.9x-0.9．
(1)画出函数的图象；
(2)利用函数图象,说出当市民本月用水10吨时,应缴水费多少元.
分析：本题y随x变化的规律分成两段：当0≤x≤5时,y＝0.72x,当x＞5时,y＝0.9x-0.9. 画图象时也要分成两段来画,且要注意各自变量的取值范围．
二、合作探究：
【问题2】“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子的价格打8折.
（1）填表：
（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式,并画出函数图象？
【分析】付款金额与种子价格相关,种子价格是变化的,它与购买的种子数量有关.设购买x千克种子,当x 取______________时,种子的价格为5元/千克；当x取___________时,种子的价格分两部分：2千克按5元/千克,其余的（即超出部分）___________按8折计价.
因此,写函数解析式与画图时,应对______________和_________________分段讨论.
三、尝试应用
1.如图,某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为线型函数,由图可知行李的重量只要不超过______公斤,就可免费托运．
四、补偿提高
3.某农户种植一种经济作物,总用水量y(3
米)与种植时间x(天)之间的函数关系式如图所示．
(1)第20天的总用水量为多少3
米？
(2)当x 20时,求y与x之间的函数关系式．
(3)种植时间为多少天时,总用水量达到7 0003
米？
【学后反思】
O ()
x
3
4000
1000
30
20
参考答案： 自主探究：
问题1
解：（1）图象如下
（2）根据图象可知,当x=10时,y=8.1（元）
合作探究
【问题2】
【分析】0≤x ≤2, x>2,（x-2）千克
0≤x ≤2 和x>2.
解（1）
（2）当02x ≤≤时,5y x =,当2x >时,4(2)1042y x x =-+=+也可以写成5(02)
42(2)
x x y x x ≤≤?=?+>?
图象如图所示
尝试应用
1.解析：本题只给出了一次函数的图像,若能求得一次函数的解析式,问题即可解决． 根据图像不难发现直线过以下三点：
(30,330)、(40,630)、(50,930),
任选其中两点可求出
一次函数解析式为
y ＝30x －570．
于是,令y ＝0得一次
函数与x 轴交点为
(19,0),
可知当x ≤19时,行李就可免费托运．
2.2,6,
3.解:(1)第20天的总用水量为1000米3
(2)当20
x≥时,设y=kx+b
∵函数图象经过点(20,1 000),(30,4 000)
∴
100020 400030
k b
k b
=+?
?
=+?
解得
300
5000 k
b
=
?
?
=-
?
∴y与x之间的函数关系式为y=300x-5000
(3)当
=7000
y时,有
=-
70003005000
x,解得=40
x 答:种植时间为40天时,总用水量达到7 0003
米.
2018八年级数学下册第一章知识点总结 （北师大版） 2018八年级数学下册第一章知识点总结（北师大版） 第一章三角形的证明 1、等腰三角形 （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（即“三线合一”） （3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个 角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形两个锐角之间的关系 定理：直角三角形两个锐角互余。 逆定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 （3）含30度的直角三角形的边的定理 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度。 （4）命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （5）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线
第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（二） 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 2．教学重点 一次函数图象的应用 3．教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺
五、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午 7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞 瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发， 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同 的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪 种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t， S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线S1=36t， S2=26t+10的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36 km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km） 思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？ 意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力． 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否
一次函数（第4课时）导学案【教材分析】 教学目标知识 技能 利用一次函数知识解决相关实际问题. 理解分段函数的意义. 过程 方法 经历函数模型解决实际问题的过程,体会利用函数思想解决问题的方法. 情感 态度 在数学建模的过程中,发展创新实践能力,培养学生的数学应用意识. 重点灵活运用知识解决相关问题. 难点分类讨论方法. 【教学流程】 环节导学问题师生活动二次备课 情境引入【问题1】今年某地区发生严重干旱,自来 水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段 收费标准,若某户居民每月应交水费y （元）是用水量x（吨）的函数,当0≤x≤5 时,y＝0.72x,当x＞5时,y＝0.9x-0.9． (1)画出函数的图象； (2)利用函数图象,说出当市民本月用 水10吨时,应缴水费多少元. 分析：本题y随x变化的规律分成两 段：当0≤x≤5时,y＝0.72x,当x＞5时,y ＝0.9x-0.9. 画图象时也要分成两段来 画,且要注意各自变量的取值范围． 教师出示问题,学生自主尝试,合作交 流,师生共同评价 解：（1）图象如下 （2）根据图象可知,当x=10时,y=8.1 （元） 自主探究 合作交流 自主探【问题2】“黄金1号”玉米种子的价格为 5元/千克,如果一次购买2千克以上的种 子,超过2千克部分的种子的价格打8折. （1）填表： （2）写出购买种子数量与付款金额之间 的函数解析式,并画出函数图象？ 【分析】付款金额与种子价格相关,种子 价格是变化的,它与购买的种子数量有 关.设购买x千克种子,当x取 ______________时,种子的价格为5元/千 克；当x取___________时,种子的价格分 两部分：2千克按5元/千克,其余的（即 超出部分）___________按8折,即 教师出示问题,学生合作交流,师 生共同评价 解：（1） （2）当02 x ≤≤时,5 y x =,当 2 x>时,4(2)1042 y x x =-+=+也可 以写成 5(02) 42(2) x x y x x ≤≤ ? =? +> ? 图象如图所示
B C A D https://www.doczj.com/doc/1716805267.html, 图2 B C A C 'D https://www.doczj.com/doc/1716805267.html, F 图1 八年级数学下学期第一章测试题 一、填空题。（共30分） 1、直角三角形的一个锐角为500，则另一个锐角为 。 2、在⊿ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点,AB=6，则CD=________。 3、已知三角形的三个内角之比为1：2：3，且最短的边为5，最小的角是 度，最长的边为 ，它的面积是 。 4、在△ABC 中，90C ∠=?，若5,13a c ==，b = 。 5、已知，如图AB ＝AD ＝5，∠B ＝150，CD ⊥AB 于C ，则CD ＝ 。 6、如图，△ABC 中，∠C＝90°，若BC=5，BD=2，则点D 到边AB 的距离为 。 7、直角三角形一条直角边与斜边分别长为8cm 和10cm ，则斜边上的高等于 cm 。 8、在△ABC 中，若222AC BC AB =-,则∠ =90°. 9、矩形纸片ABCD 中，AD =4c m ，AB =10c m ，按如图1方式折叠，使点B 与点D 重合，折 痕为EF ，则DE =_______c m 10、如图2，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD =2BD ，AC =52，BC =5，则BD 的长为__________． 二、选择题。（共30分） 11、下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（ ） A 、3,4，5 B 、5，12,13 C 、6,8，10 D 、3,3，5 12、已知在直角三角形中，最长边为10，最短边为5，则最小的角是（ ）度 A 、500 B 、300 C 、400 D 、900 13、一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、等腰三角形 C 、等边三角形 D 、直角三角形 14、一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） B
《一次函数》(第一课时)教学设计
1、《一次函数》选自人教版义务教育教科书八年级下册19.2.2； 2、本节主要研究一次函数的概念，并类比于正比例函数，研究一次函数的图像和增减变化规律。一次函数是一种最基本的初等函数，研究它的概念和图像性质，对它的函数解析式与函数图像的相互联系与转化能发挥重要作用， 这是“数形结合”的思想方法的体现，它对今后进一步研究其他类型的函数具有启示作用。 ☆【教学目标】 依据以上分析，制定了如下三维目标： ☆【教学重点、难点】 重点：一次函数的概念和一次函数图像的性质； 难点：一次函数的图像及其性质。 ☆【学生特征分析】 认知基础：学生之前对变量与函数、函数的概念、正比例函数及解析式、图像知识与技能 理解一次函数的概念和意义，能画出具体一次函数的图像， 探索并理解一次函数的单调性和一次函数的图像所过的特殊 点；了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图像法， 并会用解析法表示数量关系。 过程与方法 1、经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现 实生活的联系； 2、进一步体验函数图像的画法和性质，会应用数形结合的思想 分析问题，感悟函数解析式与函数图像的相互联系与转化。 情感态度价值观 通过一次函数的概念和图像的学习，进一步形成学生利用 函数的观点认识现实世界的意识和能力，培养学生探究，合作 学习的习惯。并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的 体验，建立学习的自信心。 《一次函数》第一课时教学设计
具体过程 复习提问：(5分钟) 1．前面我们学习了正比例函数的性质，哪位同学能叙述一下？并且举个正比例函数的例子呢? 2．列出下列正比例函数的方程 （1）小华步行的速度为每分钟30米，小华所走的路程S（单位：米）随他所走的时间t（单位：分钟）的变化而变化. （2）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm），随这些练习本的本数n的变化而变化； 教师活动:用多媒体呈现问题,让学生举手回答和板书。 学生活动:学生通过独立思考,很容易得到答案，举手回答，并且到黑板写出后面两道题的答案。 师生活动：交流总结，并用多媒体展示正比例函数一般形式及图像性质，复习上节的知识。 设计意图： 让学生温习、重现已学的相关知识，既是对上节内容的巩固，又为本节建立一次函数概念进行类比做好铺垫，通过对已有知识的梳理获得成就感，从而为下面的学习激发学生兴趣。 本环节重点关注： （1）学生在复习的过程中的积极性、发现问题和回答问题的勇气； （2）学生在答题过程中知识掌握情况，语言表达是否规范； （3）学生对正比例函数中k值的意义的理解。 一、（5分钟） 设置情景、导入新课 问题某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高ⅹkm时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系。 教师活动：用多媒体导入题目，启发函数解析式如何建立。
人教版八年级下册数学课本知识点归纳 第十六章 分式 一、分式; 1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 ) 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示如下： （C ≠0） 其中A,B,C 是整式 3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母 4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项式时要分解因式） 5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。 二、分式的运算; 1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 上述法则可以用式子表示： 3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时 这就是说， 分式乘方要把分子、分母分别乘方 4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±= ±=±= 5．整数指数幂; C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(
1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1 =- （ )0≠a ，也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方： n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)(( n 是正整数)；( b ≠0) 三、分式方程; 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。 (解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。) 2．解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。 3．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 四、列方程应用题: 1．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答。 2．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
4.1一次函数的应用第3课时 精讲案 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克 数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所 示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前 y 与 x 之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多 少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见 面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发， 沿景区公路去“飞瀑”，车速为 36km /h ，小慧 也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车 沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km /h ． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草 甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑” 还有多少千米？ 分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 内容2：深入探究 例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑 船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派 出快艇 B 追赶（如图），下图中1l ， 2l 分 别表示两船相对于海岸的距离s （海里） 与追赶时间t （分）之间的关系． 根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的 关系？ 第三环节：反馈练习 内容：观察甲、乙两图，解答下列问题
八年级数学下册第一章《三角形的证明》 知识点归纳 八年级数学下册第一《三角形的证明》知识点归纳（北师大版） 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点、N；作直线N就是线段AB的垂
4.5 一次函数的应用 第1课时 利用一次函数解决实际问题 学习目标：1、经历运用一次函数的知识分析和解决问题的过程，体验一次函数知识的应用； 2、在利用一次函数的图像分析和解决问题的活动中，培养观察、提取信息、分 析、归纳、应用等综合能力，体会数形结合的数学思想. 学习重点：用一次函数图象解实际决问题 学习难点：灵活运用一次函数图象解决实际问题 预习 1、甲、乙两人同时从A 地出发，以各自的速度匀速 骑车到B 地，甲先到B 地后原地休息.甲、乙两人的距离 为y （千米）与乙骑车的时间x （小时）之间的函数关系图 象如图，则A ，B 两地的距离为______千米. 2、甲、乙两人在直线跑道上匀速跑步，两人相距8米，甲的速度是4米/秒，乙的速度是5 米/秒， （1）若两人同时出发，相向而行，经过 秒后两人相遇； （2）若两人同时出发，同向而行，甲在前乙在后，经过 秒后乙追上甲. （3）若两人同时出发，同向而行，乙在前甲在后，经过3秒后两人相距＿＿＿米 3、甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m ，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒， y （米）表示甲乙两人的距离，x （秒）表示甲出发的时间，y 与x 的函数关系如图所示 （1）A 点的实际意义是 ； B 点的实际意义是 ； C 点的实际意义是 ； D 点的实际意义是 ； （2）甲的速度是 米/秒； 乙的速度是 米/秒； （3）B 点的坐标是 ； C 点的坐标是 ； D 点的坐标是 ； 探究 例1 (2012.中考)、甲、乙两人在直线跑道上同起点、 同终点、同方向匀速跑步500m ，先到终点的人原地休 息．已知甲先出发2s ．在跑步过程中，甲、乙两人的 距离y (m)与乙出发的时间t (s)之间的关系如图所示， 给出以下结论：①a ＝8；②b ＝92；③c ＝123．其中正 确的是（ ） x/秒y/米10228O A C B D 8a c 100b y （米）t （秒）
第4课时一次函数与实际问题 1．根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数；(重点) 2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题．(重点) 一、情境导入 联通公司手机话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x(分钟)． (1)分别表示出y1与x，y2与 x的函数关系式； (2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？ (3)什么情况下A套餐更省钱？ 二、合作探究 探究点：一次函数与实际问题 【类型一】利用一次函数解决最值问题 广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价(元/千 克) 售价(元/千 克) 甲种 5 8 乙种9 13 (1)若该水果店预计进货款
为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，列出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，则购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)． 答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35.∵－1<0，∴W 随x的增大而减小，则x越小W 越大．∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，140－35＝105(千克)． 答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元． 方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．【类型二】利用一次函数解决有关路程问题 为倡导低碳生活，绿色
第十九章一次函数 19.1.1 变量与函数 第一课时变量与常量 学习任务 1.认识变量、常量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量. 3.了解常量与变量的关系. 素读检测 1.汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为s km，行驶的时间为t h，填写下面的表格，s的值随t的值的变化而变化吗？ 2.电影票的售价为10元/张，如果第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？ 3.当圆的半径r分别为10 cm、20 cm、30 cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？ 4.用10m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m、3.5m、4m、4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ 问题辨析 1.上面4个问题反映了不同事物的变化过程,说一说其中哪些量的数值是变化的，哪些量的数值是不变的？ 2.写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ ⑴用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式：，其中变量是，常量是； ⑵购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系： ，其中变量是，常量是；
⑶运动员在4000m 一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t (s )与跑步的速度v (m /s )的关系： ，其中变量是，常量是； ⑷银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x 元本金与所得的本息和y （元）之间的关系：，其中变量是，常量是. 当堂检测 1.汽车在匀速行驶过程中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么对于等式s =vt ， 下列说法正确的是（ ） A.s ,v ,t 三个量都是变量 B.s 与v 是变量，t 是常量 C.v 与t 是变量，s 是常量 D.s 与t 是变量，v 是常量 2.在△ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高为h ，则△ABC 的面积ah S 2 1 =，当高h 为定值时，上述式子中（ ） A.S 、a 是变量，21、h 是常量 B.S 、a 、h 是变量，2 1 是常量 C.a 、h 是变量，S 是常量 D.S 是变量，2 1 、a 、h 是常量 3.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t 之间的关系中，下列说 法正确的是（ ）. A.数100和η，t 都是变量 B.数100和η都是常量 C.η和t 是变量 D.数100和t 都是常量 4.汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t 小时，则汽车离开甲站所 走的路程s （千米）与时间t （小时）之间的关系式是（ ）. A.1060s t =+ B.60s t = C.6010s t =- D.1060s t =- 19.1.1 变量与函数 第二课时 函数 学习任务 １.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数． ２．进一步理解掌握确定函数关系式． ３．会确定自变量取值范围． 素读检测 1.如图是某日的气温变化图： （1）气温T 随着t 的值的变化而变化吗？
第十六章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
《4.4 一次函数的应用》第一课时导学案 【学习目标】 （一）、知识技能目标： 1.知道两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数； 2.能根据两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关实际问题. （二）、过程与方法目标： 经历探究实际问题中变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用数学的意识和能力； （三）、情感、态度、价值观目标： 通过合作学习与讨论探究的过程，培养学生的合作意识和探究精神。 【学习重、难点】 重点：会利用题目中所给的条件求出一次函数和正比例函数的表达式。 难点：将实际问题转化为数学问题 【知识链接】 1、正比例函数的表达式是 ，它的图象是经过（ ， ）、（ ， ）的一条直线。 2、一次函数的表达式是 ，它的图象是经过（ ， ）、（ ， ）的一条直线。 3、一个函数图象上的点的坐标一定满足这个函数的关系式吗？ 【探究新知】 问题1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示： （1）写出v 与t 之间的关系式？ （2）下滑3秒时物体的速度是多少？ 解：（1）设此函数表达式为 ； ∵此函数图象经过点（ ， ）， ∴ = k ， ∴k= ， ∴v 与t 的函数关系式是 。 （2）下滑3秒时物体的速度v= 。 问题2：在弹性限度内，弹簧的长度y （厘米）是所挂物体质量x （千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y 与x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。 分析：（1）、一次函数的一般形式是： 。 （2）、题目中已知的条件是： ①、弹簧不挂物体时长14.5厘米，即当x= 时y= ； ②、挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米，即当x= 时y= ； （3）、根据上面的两个条件你可得到两个什么式子？ ① ② V( t(秒)
义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师
二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的_____________; x 是a 的________, 记为______, a 一定是______________数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 _______- 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才有意义。 2 )3(________ )(2=a 4
新北师大版八年级数学下册第一章证明（二）辅导资料 第一节等腰三角形 知识回顾： 复习证明全等三角形的判定方法 等腰三角形的性质： （1）、等腰三角形的两个底角，也就是说，在同一个三角形中，； （2）、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合，简称等腰三角形。 等腰三角形有下面的判定方法： （1）、依据三角形定义：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。 （2）、依据定理：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。简单地说：在同一个三角形中，； 3、有边相等的三角形叫做等腰三角形。 有三边相等的三角形叫做三角形，也叫三角形。 4、等边三角形的内角都，且等于；等边三角形是 图形
5、等边三角形的判定方法： （1）有边相等的三角形叫做等边三角形； （2）有角相等的三角形叫做等边三角形； （3）有个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；（4）有个内角等于600的三角形叫做等边三角形。典型例题： 1、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周 长为 。 2、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周 长为。 3、等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 .则腰长为 3、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于_________度；如果 底角等于36°，那么顶角的度数为_________． 4、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三 角形．
5、等边三角形的三个内角的度数分别为_______. 6、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______. 7、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________. 8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度. 9、如图，，交BC于点D，，那么BC的长为_________. 10、如图，在中，D是AC上的一点，且， ，则 _______， ______， ________. 11、如图，已知：在中，，，BD是的角平分线，求的度数.
第2课时 一次函数的图象和性质 一、学习目标： 1、知道一次函数的图象是一条直线，理解正比例函数图象和一次函数图象的关系. 2、理解一次函数中k ，b 对函数图象的影响，掌握一次函数的性质. 3、培养大胆猜测，乐于质疑的良好品质，体会合作探究的乐趣. 二、重点难点： 重点：一次函数的图象和性质 难点：对一次函数)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数中b k ,的数与形的联系的理解 三、学习过程： 1、复习、回顾： （1）、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？ （2）、正比例函数的图象是什么形状？ （3）、正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）中，k 的正负对函数图像有什么影响？ 2、合作、探究： 1、在同一直角坐标系内做出y=-2x 、y=2x+3、y=2x-3的图像，比一比这三个函数的图象有什么异同并回答下面的问题：
(1)这三个函数的图象形状都是＿＿＿，并且倾斜程度＿＿＿； (2)函数y=－2x 图象经过原点，一次函数y=－2x +3 的图象与y 轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x 向＿＿平移＿＿单位长度而得到； 一次函数y=－2x －3的图象与y 轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x 向＿＿平移＿＿单位长度而得到； 归纳： (1) 所有一次函数y=kx+b 的图象都是________ (2)直线 y=kx+b 与直线y=kx__________ (3)直线 y=kx+b 可以看作由直线y=kx___________而得到 2、在同一坐标系中用两点法画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象 观察上面四个一次函数的图象，类比正比例函数y=k x 中k 的正负对图象的影响,表述一次函数的性质． 3、练习检测 （1）、有下列函数：①y=2x+1, ②y=-3x+4,③y=0.5x,④y=x-6; 其中过原点的直线是________； 函数y 随x 的增大而增大的是__________； 函数y 随x 的增大而减小的是___________； 图象在第一、二、三象限的是________ .
人教版初中数学八下 全册教案
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200， s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60 千米所用时间 v -2060小时，所以 v +20100= v -2060. 3. 以上的式子v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分 数有什么相同点和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 20 9y +, 54-m , 2 38y y -， 9 1-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 1-m m 3 2 +-m m 1 12 +-m m 4 522 --x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --2 2 1 2 31 2 -+x x
八年级数学上册第一章复习要点 重点、难点: 重点：有平方根、立方根的概念及意义和点的坐标。 难点：平方根、立方根等概念的理解、简单实数运算及无理数大小的比较。 一、知识框架图: 二、重要知识点 一)、知识点提示： 1、平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数等概念的理解，举例说明。 2、实数怎样分类？ 3、如何在产面直角坐标系中，说出点的坐标及根据坐标找点。 4、在实数范围内找一个数的绝对值、倒数、相反数、及各种运算的运算顺序。 二)知识点 平方根: １、概念:如果有一个数r，使得a r=2，那么我们把ｒ叫作a的一个平方根。 ①、一个正数的平方根有两个,它们互为相反数; ②、负数没有平方根; ③、０的平方根有且只有一个（它就是0） ④、ａ的正平方根叫作ａ的算术平方根,记作a 2、求一个非负数的平方根，叫作开平方。一个正．数先开平方再2次方等于它本身; 一个正．数先2次方再开平方也等于它本身。立方根 1、概念：如果有一个数b，使得a b=2,那么我们把b叫作a的一个立方根。 ①、一个正数有一个立方根，它是正数;②、负数有一个负的立方根； ③、0的平方根有且只有一个（它就是0) ④、ａ的立方根记作3a。 2、求立方根号a,叫作开立方。一个数先开立方再3次方等于它本身; 一个数先3次方再开立方也等于它本身。 实数: 1、有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类 3、数轴上的点与实数一一对应。 4、实数大小的比较。 无理数:无限不循环小数。 有效数字:从左边第一个不为0的数字起,到时精确到的数位止共有几个数 字则这个数的有效数字就是几位。 平而直角坐标系： 1、能写出点的坐标和根据点的坐标描点。
第四章一次函数 4. 一次函数的应用（第3课时） 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 教学目标 1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识． 4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 教学重点 一次函数图象的应用 教学难点 从函数图象中正确读取信息 三、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺 四、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．
第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克 数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所 示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前 y 与 x 之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多 少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见 面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发， 沿景区公路去“飞瀑”，车速为 36km /h ，小慧 也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车 沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km /h ． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草 甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑” 还有多少千米？ 分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为1S 、2S ， 由题意得：t S 361=，10262+=t S 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线t S 361= ，10262+=t S 的交点坐标为（1，36） 这说明当小聪追上小慧时，1236km S S ==，即离“古刹”36km ，已超过35km ，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即145km S =，此时242.5km S = ．