第十章 曲线积分与曲面积分
（第一部分）曲线积分
Ⅰ、对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）
一、对弧长的曲线积分的概念
1．定义
∑?=→λ?ηξ
=n
i i i i
L
s f ds y x f 1
) ,(lim ) ,(.
∑?=→λΓ
?ζ
ηξ=n
i i i
i
i
s f ds z y x f 1
) , ,(lim ) , ,(
2．物理意义 ?ρ=L
ds y x M ) ,(表示线密度为) ,(y x ρ的弧段AB L =的质量.
二、对弧长的曲线积分的性质
1．线性性质：?β+αL
ds y x g y x f )] ,() ,([??β+α=L
L
ds y x g ds y x f ) ,() ,(.
2．可加性：若21L L L +=，则?L
ds y x f ) ,(??+=
2
1
) ,() ,(L L ds y x f ds y x f .
3．L 的弧长：?=L
ds s .
4．单调性：设在L 上，) ,() ,(y x g y x f ≤. 则??≤
L
L
ds y x g ds y x f ) ,() ,(.
5．与积分曲线的方向无关性：
??=BA
AB
ds y x f ds y x f ) ,() ,(
三、对弧长的曲线积分的计算方法
方法：化为定积分计算（注：下限<上限） （1）若)( ),( :t y t x L ψ?== )(βα≤≤t ；则
?L
ds y x f ) ,(?'+'=β
αψ?ψ?
22)()()]
( ),([dt t t t t f .
（2）若)( :x y L ψ= )(0X x x ≤≤；则
?L
ds y x f ) ,(?
'+=X
x dx x x x f 20
)(1)]( ,[ψψ.
（3）若) :θr(r L = )(21θθθ≤≤；则
?L
ds y x f ) ,(?'+=2
1
22)()()sin ,cos (θθ
θθθθdr r r r r f .
（4）若)( ),( ),( :t z t y t x ω=ψ=?=Γ )(β≤≤αt ；则
?Γ
) , ,(ds z y x f ?β
α
ω'+ψ'+?'ωψ?= 222)()()()]( ),( ),([dt t t t t t t f .
注 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分典型例题
例1． 求?
??
????+++=
L
ds y x I 22)12()21(，其中1 :22=+y x L . 分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是122=+y x ，而由轮换对称性可知：??=L
L
ds y ds x 22，由奇偶对称性知：0)(=+?L
ds y x . 故本题
有如下简单的解法。
解 ?
??????++++=
L
ds y x y x I )()454(22
?
??
????++++=
L
ds y x y x )()454(22?++=
L ds y x )45
4(22
??++++=L
L ds ds y x y x 222245)82( π?++=
?245)8121(L ds π=π+π=4
152545. 五、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长?=L
ds s .
2．物理应用
质量 ?ρ=L
ds y x M ) ,(.
质心 ?
ρ=
L
ds y x x M
x ) ,(1
，?ρ=
L
ds y x y M
y ) ,(1.
转动惯量 ?
ρ=
L
x ds y x y I 2) ,(，?ρ=
L
y ds y x x I 2) ,(.
引力 ==),(y x F F ??
? ??--??L L ds r y y y x G ds r x x y x G 3030))(,(,)
)(,(ρρ. Ⅱ、对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）
一、对坐标的曲线积分的概念
1．定义
[]∑?=→λ?ηξ+?ηξ=+n
i i i i i
i
i
L
y Q x
P dy y x Q dx y x P 1
) ,() ,(lim ) ,() ,(.
2．物理意义 ???+=+?+=?=
→
→
→
→
→
→
AB
AB
AB
Qdy Pdx j dy i dx j Q i P r d F W )()(.
变力→
→
→
+=j y x Q i y x P y x F ) ,() ,() ,(沿AB L =所作的功.
二、对坐标的曲线积分的性质
1．线性性质：?→
→
→
?β+αL
r d y x F y x F 21)] ,() ,([??→
→→→?β+?α=L
L r d y x F r d y x F 2 1) ,() ,(.
2．可加性：若21L L L +=（方向不变），则
?→→?L
r d y x F ) ,(??→
→→→?+?=2
1
) ,() ,(L L r d y x F r d y x F .
3．方向性：设-
L 是L 的反向曲线弧，则
??→
→→→?-=?-
L
L r d y x F r d y x F ) ,() ,(.
三、对坐标的曲线积分的计算方法
1．直接计算法（化为定积分计算）.（注：下限→起点A ，上限→终点B ） （1）设)( ),( :t y t x L ψ=?=；t 从α变到β；则
?+L
dy y x Q dx y x P ) ,() ,(?
β
α
ψ'ψ?+?'ψ?= )}()]( ),([)()]( ),([{dt t t t Q t t t P .
（2）设)( :x y L ψ=；x 从a 变到b ；则
?+L
dy y x Q dx y x P ) ,() ,(?ψ'ψ+ψ=b
a
dx x x x Q x x P )}()]( ,[)]( ,[{.
（3） 设)( :y x L ?=；y 从c 变到d ；则
?+L
dy y x Q dx y x P ) ,() ,(?
?+?'?=d
c
dy y y Q y y y P ]} ),([)(] ),([{.
（4）设)( ),( ),( :t z t y t x ω=ψ=?=Γ；t 从α变到β；则
?Γ
++ ) , ,() , ,() , ,(dz z y x R dy z y x Q dx z y x P
?βα
+?'ωψ?= )()]( ),( ),([{t t t t P dt t t t t R t t t t Q )}()]( ),( ),([)()]( ),( ),([ω'ωψ?+ψ'ωψ?. 2．格林（Green ）公式计算法
??????? ?
???-??=
++
D L dxdy y P x Q Qdy Pdx .（注意使用条件！
） （这里+L 为区域D 的正向边界曲线） 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
?+L
Q d y
P d x 与路径无关0 =+??c
Q d y P d x ，c 为区域G 内任意闭曲线. x
Q
y P ??=
???
，G y x ∈) ,(─单连域 Qdy Pdx du +=?，G y x ∈) ,(—单连域.
B
A L
y x U Qdy Pdx ),( =+?—Newton lebniz 公式的推广。
4．斯托克斯（Stokes ）公式计算法
??
?∑
Γ??????γ
βα=+++
cos cos cos dS R
Q P z y x Rdz Qdy Pdx . （这里+Γ是有向曲面∑的正向边界曲线） 注 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、两类曲线积分之间的联系
?
?
β+α=
+L
L
ds Q P Qdy Pdx )cos cos (.
其中) ,(y x α、) ,(y x β为有向曲线弧L 在点) ,(y x 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲面积分典型例题
例
1．计算曲线积分?-++=
L
dy y x dx y x I 2
222)()(，其中L 为曲线
|1|1x y --=)20(≤≤x 沿x 增大的方向。
分析 由于
x
Q
y P ??≠
??，故曲线积分与路径有关。又因积分曲线L 不是封闭的，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用添补特殊路径，然后应用Green 公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分
曲线L 的方程改写为?
??≤<-≤≤=21 ,21
0 ,x x x x y ，再代入被积函数中计算。
解 由于?
??≤<-≤≤=21 ,21
0 ,x x x x y ，所以
?
-++=
L
dy y x dx y x I 2222)()(
[
]
[]
???---+-++=2
1
222
1
2
21
2
)()2()2(2dx x x dx x x dx x
?-+=
2 1 2)2(232dx x 3
4
)2(3
2
3221
3=
--=x . 例2．计算曲线积分?+--+=L y
x dy y x dx y x I 2
2)()(．其中L 为圆周2
22a y x =+（按逆时针方向绕行）.
分析 由于本题积分曲线L 为圆周222a y x =+，故可首先写出L 的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
由于L 的参数方程为：?
??==t a y t
a x sin cos ，t 从0变到π2. 则
?+--+=
L
y x dy
y x dx y x I 2
2)()( ?
π
'--'+=
2 0
2
])sin )(sin cos ()cos )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a
π-=-=?
π
2)[(1
2 0
22
dt a a
.
解法2：利用格林公式计算。
设L 由所围区域为D ，则222 :a y x D ≤+；于是
?+--+=
L
y x dy y x dx y x I 22)()(?
--+=L
dy y x dx y x a 2)()(1
??σ--=
D
d a )11(1
2
??σ-
=D
d a 2
22
22a a
π?-
=π-=2. 例3．设函数)(y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分?
++L
y
x xydy
dx y 4
222)(?的值恒为同一常数。
(1) 证明：对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有0224
2
=++?C
y
x xydy
dx y )(?；
(2) 求函数)(y ?的表达式；
(3) 设L 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求?
++L
y
x xydy
dx y 4
222)(?．
(1) 证 在右半平面0>x 内，任取两点B A ,，以A 为起点，B 为终点作任意光滑曲线21,L L ，再以B 为起点，A 为终点作围绕原点的光滑曲线3L ，由题设知
?
+++3
14
222)(L L y
x xydy
dx y ??
+++=
3
24
222)(L L y
x xydy
dx y ?
所以，?
++1
4
222)(L y x xydy
dx y ??
++=
2
4
222)(L y x xydy
dx y ?，即0224
2=++?
C
y x xydy
dx y )(?．
(2) 解 因为对右半平面0>x 内任意分段光滑简单闭曲线C ，有
0224
2=++?
C
y x xydy
dx y )(?，所以
x
Q
y P ??=
??．从而有
2
42252
42342)2(42)2()
(4)2)((y x y x y y x y y y x y +-=+-+'?? 所以，有 y x y y y y y x y 2534242)(4)()(2-=-'+'???，比较两边x 的同次幂系数得
???=-'-='2
2)(4)(2)(y
y y y y y ???，将 )(y ?'代入第二式得2
)(y y -=?.
(3) 解 设D 为正向闭曲线12:42=+y x L a 所围区域，由(1)
?++L
y x xydy
dx y 4
222)(??
++=
a
L y x xydy
dx y 4
222)(?，利用Green 公式和对称性，
04222)(24
2==
+-=
++???
?
D
L L ydxdy xydy dx y y
x xydy
dx y a
a
?.
六、对坐标的曲线积分的物理应用
求变力沿曲线所作的功：??+=?=
→
→AB
AB
Qdy Pdx r d F W .
(第二部分)曲面积分
Ⅰ、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）
一、对面积的曲面积分的定义
1．定义
∑??=→λ∑
?ζ
ηξ=n
i i i
i
i
S f dS z y x f 1
) , ,(lim ) , ,(.
2．物理意义 ??∑
ρ= ) , ,(dS z y x M 表示面密度为) , ,(z y x ρ=ρ的曲面∑的质量.
二、对面积的曲面积分的性质
1．线性性质：??∑
β±α )], ,(), ,([dS z y x g z y x f ????∑
∑
β±α=dS z y x g dS z y x f ), ,(), ,(
2．可加性：
??∑+∑=∑2
1 ),
,(dS z y x f ????∑∑+=2
1
), ,(), ,( dS z y x f dS z y x f .
3．∑的面积：??∑
= dS S .
4．单调性：若在∑上，), ,(), ,(z y x g z y x f ≤，则????∑
∑
≤dS z y x g dS z y x f ), ,(), ,( .
三、对面积的曲面积分的计算方法
方法：化为二重积分计算（关键：确定二重积分的积分变量） （1）若) ,( :y x z z =∑，xy D y x ∈) ,(. 则
????++=∑
xy
D y x dxdy z z y x z y x f dS z y x f 22
1)]
,( , ,[) , ,(.
（2）若) ,( :z y x x =∑，yz D z y ∈) ,(. 则
????++=∑
yz
D z y dydz x x z y z y x f dS z y x f 2
2 1] , ),,
([) , ,(.
（3）若) ,( :x z y y =∑，zx D x z ∈) ,(. 则
??
??
++=
∑
zx
D x z dzdx y y z x z y x f dS z y x f 2
2 1] ),,( ,[) , ,(.
四、对面积的曲面积分典型例题
例1．计算曲面积分??
∑
++2
22z y x dS ，其中∑
为2
22R y x =+在0=z 与H z =之间的部分。
分析 因为∑：222R y x =+，即0),,(222=-+=R y x z y x F ，从0),,(=z y x F 中能确定22y R x -±=，或22x R y -±=。
解 令1∑： 22y R x -=
；2∑：22y R x --=. 则21∑+∑=∑（如图）.
（1）求1∑和2∑在yoz 平面上的投影区域：
因1∑和2∑在yoz 平面上的投影区域相同，设为yz D ，则
yz D ：R y R ≤≤-，H z ≤≤0.
（2）求微元dS ：在1∑和2∑上， dydz y R R dydz z
x
y x dS 2
222)()(
1-=??+??+=；
（3）转化为二重积分：
??∑
++2
22z y x dS ????∑∑+++=12222)(z y x dS
??
-+=yz
D dydz y
R z R R
2
2
2
2
)(2
?
?
+-=-H
R
R
z R dz
y R dy R 0
2
2 2
22
y
R
H
R
z R R
y
R H
R
R
arctan
2arctan 1arcsin
20
π=??=-. 例2．计算曲面积分??∑
+++dS d cz by ax 2)(，其中∑为球面2222R z y x =++.
分析 由于积分曲面∑为球面2222R z y x =++，它关于三个坐标面具有轮换对称性，所以??????∑
∑
∑
==
dS z dS y dS x 2
22，而0===??????∑
∑
∑
zdS ydS xdS . 故本题利用轮换
对称性和奇偶对称性计算比较简单。
解 因 ++++=+++22222222)(d z c y b x a d cz by ax ，由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为0，而由轮换对称性易知??????∑
∑
∑
=
=
dS z
dS y
dS x 2
2
2，故
??∑
+++dS d cz by ax 2)(????∑
∑
+++=dS d dS x c b a 2
2222)( 222222
224)(3
d R dS z y x c b a π+++++=
??∑
222222
4)(31d R dS R c b a π+++=
??∑
224222
4)(3
4d R R c b a π+++π=
. 注 从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意掌握以下几个要点： （1）由于积分范围∑是曲面，所以点) , ,(z y x 的坐标满足曲面∑的方程
0),,(=z y x F ,计算中要善于利用曲面∑的方程来化简被积函数；
（2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面∑的对称性（包括轮换对称性）和被积函数),,(z y x f 的奇偶性，可以利用此类特殊性来简化积分的计算；
（3）将对面积的曲面积分转化为二重积分计算，关键在于二重积分积分变量的选择，这是由积分曲面∑的方程0),,(=z y x F 的特点所决定的，从以上的例子即可看出。
五、对面积的曲面积分的应用
1．几何应用 求曲面的面积：??∑
= dS S .
2．物理应用
质量 ??∑
ρ= ) , ,(dS z y x M .
质心 ??∑
ρ=
) , ,(1dS z y x x M
x ，??∑
ρ=
) , ,(1dS z y x y M
y ，
??∑
ρ=
) , ,(1dS z y x z M
z .
转动惯量 ??∑
ρ+=
22)(dS z y I x ，??∑
ρ+= 2
2)(dS z x I y ， ??∑
ρ+=
22)(dS y x I z .
Ⅱ、对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）
一、对坐标的曲面积分的概念
1．定义
??∑
++ ) , ,() , ,() , ,(dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P
[]
∑=→λ?ζηξ+?ζηξ+?ζηξ=n
i xy i i i i zx i i i i yz i i i i S R S Q S P 1
))( , ,())( , ,())( , ,(lim .
2．物理意义 ??∑
++=
Φ R d x d y Q d z d x P
d y d z 表示流体密度1=ρ速度场为
→
→
→
→
++=k R j Q i P V ，单位时间内流过曲面∑一侧的流量。
二、对坐标的曲面积分的性质
1．可加性
??∑+∑=∑++2
1 R d x d y
Q d z d x P d y d z ????∑∑+++++=
2
1
Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz ；
2．反号性
????∑
-∑
++-=++ R d x d y
Q d z d x P d y d z R d x d y Q d z d x P d y d z ). 三、对坐标的曲面积分的计算方法
1．直接投影法（化为二重积分）
（1）设 ) ,( :y x z z =∑，xy D y x ∈) ,(. 则
????±=∑
xy
D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )] ,( , ,[) , ,(.
上侧取“+”，下侧取“–”.
（2）设) ,( :z y x x =∑，yz D z y ∈) ,(. 则
????±=∑
yz
D dydz z y z y x P dydz z y x P ] , ), ,([) , ,(.
前侧取“+”，后侧取“–”.
（3）设) ,( :x z y y =∑，zx D x z ∈) ,(. 则
????±=∑
zx
D dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ] ), ,( ,[) , ,(.
右侧取“+”，左侧取“–”.
2．高斯（Gauss ）公式计算法
??∑
++Rdxdy Qdzdx Pdydz ???Ω???? ?
???+??+??=
dxdydz z R y Q x P .
或
??∑
γ+β+αdS R Q P )cos cos cos (???Ω????
?
???+??+??=
d x d y d z z R y Q x P .
这里∑是Ω的外侧边界，γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑上点) , ,(z y x 处的法向量的方向余弦. 3．转化为第一型曲面积分计算法
????∑
∑
γ+β+α=++ )cos cos cos (dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz
其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑在点) , ,(z y x 处的法向量的方向余弦.
4. 斯托克斯公式：??∑???? ????-??+???
????-??+???? ?
???-??dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ?Γ
++=Rdz Qdy Pdx
或 dS R
Q P z
y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz ??
??∑∑??
????
=??????γβ
α
cos cos cos ?Γ++=Rdz Qdy Pdx .
其中，Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，R Q P ,,在∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数。
四、对坐标的曲面积分典型例题
例3．计算曲面积分??∑++++=2
12222)()(z y x dxdy
a z axdydz I ，其中∑为下半球面222y x a z ---=)0(>a 的上侧。
分析 由于2
1222)
(z y x ax P ++=，0=Q ，212222
)()(z y x a z R +++=定义在曲面∑上，所以被积函数满足曲面方程222y x a z ---=. 故应首先考虑用曲面方程化简被积函数，即??∑
++=
dxdy a z axdydz a I 2
)(1，然后再计算。 解 先以2222a z y x =++代入被积表达式中，得
??∑
++++=2
12222)()(z y x dxdy a z axdydz I ??∑++=dxdy a z axdydz a 2)(1. （法一）直接计算
将∑（或分片后）投影到相应坐标面上化为二重积分逐块计算。
????---==∑
yz
D dydz z y a xdydz I 22212
其中yz D 为yoz 平面上的半圆0222≤≤+z a z y ,. 利用极坐标，得
30
22213
2
2a rdr r a d I a πθπ
π
-=--=?
?
????---=+=
∑xy
D dxdy y x a a a dxdy a z a I 2
2222211][)( 302222206
1
221a r d r r r a a a d a a πθπ=---=??)(
因此，3212
a I I I π
-=+=.
（法二）高斯公式
补有向曲面)( ,0 :2221a y x z ≤+=∑取下侧，则1∑+∑构成封闭曲面，且方向为内侧。由1∑+∑所围成的空间闭区域为Ω：2220y x a z --≤≤（如图所示）. 应用高斯公式，得
??∑+∑++1
2
)
(dxdy a z axdydz
???Ω
??+??+??-=dxdydz z
R y Q x P )(
y
???Ω
++-=dxdydz a z a )]([2
??????Ω
Ω
--=zdxdydz dxdydz a 23
???---=z
D a
dxdy zdz a 0422 π?----=0
22422 )(a
dz z a z a ππ
44212a a ππ+-=42
3
a π-=.
又因
4
22
22
221
1
a dxdy a dxdy a dxdy a z axdydz a y x π-=-==++??
????≤+∑∑)(， 因此 3442
1
231a a a a I πππ-=+-=
)(. 例4． 计算?
-+-+-=
L
dz y x dy x z dx z y I 222222)3()2()(，其中L 是平面2
=++z y x 与柱面1||||=+y x 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。
分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，若采用参数法转化为定积分计
算比较困难。现利用Stokes 公式将曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化为二重积分时，曲面∑的侧与曲线L 的方向符合右手规则，从而正确决定二重积分的正负号。
解 设∑为平面2=++z y x 上L 所围成部分的上侧，D 为∑在xoy 坐标面上的投影区域，则1|||| :≤+y x D ；由Stokes 公式，得
??∑
---??
????=
dS y
x x z z y z y x I 323
1
3
1
3
1
2222
22
??∑
++-=dS z y x )324(32
???--++-
=D
d x d y
y x y x 3)33624(3
2
2412)6(2-=-+--=????D
D
dxdy dxdy y x .
五、其它结论
1.
??∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz 与∑无关
0=++???S
Rdxdy Qdzdx Pdydz ，S 为区域G 内任意闭曲面 0=??+??+???
z
R
y Q x P ， G z y x ∈), ,(— 二维单连通域。
2. 空间曲线积分与路径无关的条件
?Γ
++ Rdz Qdy Pdx 与路径无关0=++??c
Rdz Qdy Pdx ，c 为区域G 内任意闭曲线
z
P
x R y R z Q x Q y P ??=
????=????=???
,,，G z y x ∈), ,(— 一维单连通域 Rdz Qdy Pdx du ++=?，G z y x ∈), ,(— 一维单连通域
B
A z y x u Rdz Qdy Pdx ),,( =++??Γ
.
?
++=),,(),,(),,(z y x z y x Rdz Qdy Pdx z y x u 000
???++=z
z y
y x
x dz z y x R dy z y x Q dx z y x P 0
000),,(),,(),,(.
注：二维单连通区域：G 内任一闭曲面所围成的区域完全属于G . 如环面。
一维单连通区域：G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面，如同心球面之间的区域。 3. 散度与旋度
设→
→
→
→
++=k R j Q i P A ，R Q P , ,均有一阶连续偏导数， （1）散度 z
R
y Q x P A ??+
??+??=
→
div . （2）旋度 =→
A rot
R
Q
P z y x k
j i ??
????
→
→
→
→→→???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=k y P x Q j x R z P i z Q y R . 例5．设)(x f 存在一阶连续导数，),0(+∞∈x ，且)0(+f 存在。并设S 为任意一张可定向的逐片光滑曲面片，它的边界为l ，l 的定向与S 的定向按右手法则，设
??+--++++-S
dxdy y z x yz yz dzdx z y y x f dydz z
xy x xf )2())(3())((4222
的值仅与l 及其
走向有关，而与绷在l 上的S 无关。求)(x f . 解 由已知得
0=??+??+??z
R y Q x P ，即 42)(4)(x x f x f x =+' 为一阶线性微分方程，利用求解公式得 444
344
2)(x C x C dx e
x e x f dx x
dx x +=??????+??=?-
，又因为)0(+f 存在，所以，0=C ，故 4
)(4
x x f =.
例6．设)(),(x g x f 有连续导数，且0)0(,1)0(==g f ，对任意简单闭曲线L ，有
?
=+++-+L
zdz dy x g x yf dx x f x y x g y 0)]()(2[)]}([)({2，求(1))(),(x g x f ；
(2)?+++-+B
A
zdz dy x g x yf dx x f x y x g y )]()(2[)]}([)({2，其中)1,0,1(),0,1,0(B A .
解 (1)由已知，该曲线积分与路径无关，所以，
z
P
x R y R z Q x Q y P ??=
????=????=??,, 得 )()(2)()(2x g x f y x f x x yg '+'=-+，
由y 的任意性，有)()(),()(x f x x g x g x f -='='，即)()()(x f x x g x f -='=''，
x x f x f =+'')()(，0)0()0(,1)0(=='=g f f ，解方程得x x x x f +-=sin cos )(，因此，
x x x f x g cos sin 1)()(--='=.
(2) 设点)0,0,1(C ，因为积分与路径无关，所以
?
+++-+B A
zdz dy x g x yf dx x f x y x g y )]()(2[)]}([)({2
2
1
0)]0()0(2[1
01
-
=+++=++=???
?
?zdz dy g yf CB
OC
Ao
.
定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头
{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。
1 2 1 2 2 5 L L ? ? ? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题 10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1） I = ? L xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B ( , - ) 之间的一段劣弧； 解: (1 + ) ． （2） ? L (x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0) 及 B (0,1) 所成三角形的边界； 解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ． （3） ? x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ； 解: ? x 2 + y 2 ds = 2 ． （4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2), L D (1, 2, 3) ； 解: ? L x 2 yzds = 8 ． 3 z B (0, 0, 2) D (1, 2,3) C (1, 0, 2) 2 求八分之一球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密 度 = 1 。 解 故所求重心坐标为? 4 , 4 , 4 ? ． A (0, 0, 0) y x 3 3 3? 习题 10—2 1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明 1 2 y A C o x B
? ? ?L x - y + z = 2 , ? 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： ?L Q (x , y )dy = 0 。 （1） ? L xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2 4 解 : ? L xydx = 5 。 （2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到 L x = 2 时的点的一段弧； 解 (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy = 4 ． L 3 （3） ? L ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧； 解 ?L ydx + xdy = 0. （4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L 到终点 B (0, -a ) 的路径； 解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4 。 4 （5） ? L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3 2 2 0 3 87 解 ? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4 ?x 2 + y 2 = 1 , （6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周? 且从 z 轴 ? 正方向看去， L 取顺时针方向。 解: = -2 。 习题 10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
第一型曲线积分与曲面积分的一些问题 第1型曲线积分与曲面积分的1些问 题摘要本文归纳研究了第1型曲线积分与曲面积分的物理背景，定义，性质及计算方法，并在此基础上给出了它们在特殊坐标变换下的计算公式及证明。并且利用这个公式，推导出了当第1型曲线积分或曲面积分的被积函数为奇函数或偶函数，积分曲线或曲面是对称的时的几个重要的推论及证明。关键字：第1型曲线积分与曲面积分；坐标变换；奇偶性；对称性。 Some questions about curve integral and surface integral of the first kind A bstract In this article we induce and study the physical background ,definition, quality ,and calculating method of the curve and surface integral of the first kind ,and at the base of these , calculate formula and providence was proposed in the special coordinate transformation. Using this formula ,we get several important inference and prove that when the curve and surface integral of the first kin d’s integrand is odd function or even function and the integral curve or surface is symmetry.Key word: Curve integral and surface integral of the first kind; coordinate transformation; odevity; symmetry
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：
从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
第十章 曲线积分与曲面积分 （第三部分）曲线积分习题解答 一、对弧长的曲线积分 1．计算? = L yds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱 )20 ,0(π≤≤>t a ． 解 由于? ??-=-=)c o s 1()s i n (:t a y t t a x L , )20 (π≤≤t ；而 dt t a dt y x ds 2 1 2 2)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t 故 ? ? π -?-= = 2 0 2 1 )c o s 1(2)c o s 1(dt t a t a yds I L ? π =2 0 3 22 sin 4dt t a ?π= 0 32sin 8udu a ? π=2 0 32 sin 16udu a 2 2 32a = . 2．计算曲线积分? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22． 解 圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρc o s a )2 2(π ≤θ≤π- ，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故 ? +L ds y x 22 ? π π-?ρ=2 2 ads ? ππ-θ?θ=2 2 cos ad a ? πθθ=2 0 2 cos 2d a 22a =. 3． 计算?+=L y x ds e I 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内 所围成的扇形的整个边界． 解 积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中 )0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==； )4 0( , :2π ≤ θ≤==a r AB L ；
第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性， 参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第十章 曲线积分与曲面积分 10.01 填 空 (1) 第二类曲线积分 ?Γ Rdz +Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是 ?Γ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切 向量 的方向角。 (2) 第二类曲面积分 ??∑ Rdxdy +Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是 ??∑ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法 向 量的方向角 10.02 计算下列曲线积分： (1) ds y x L 22?+,其中L 为圆周 ax y x 22=+ 解： Θ L:x y ax 22+= 表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +? ??? ?≤≤θθ θπ() 02 有 θ'θ-='θ θcos 2a =y ,sin 2a x x y a 4a 2''2θθ2 2 +== ) cos 1(2a =ax y x 222θ+=+ θ?θ=+∴ ?? πd 2a cos +12 a ds y x 20L 22θθ ?πd 2cos 2a 42= 202 ??? ? ?θθ-θθ=??πππ022d 2cos d 2cos 2a =-?? ? ? ??=a a 2 2 20222sin sin θπθππ (2) ?Γ zds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0t t 0≤≤ 解： ΘΓ:cos sin () x t t y t t z t t t ===??? ??≤≤0 0 ∴++=+x y z t t t t '''2 2 2 2 2
第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L I xds = ? ，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到( ,)22 B -之间的一段劣弧； 解: (1)2 +． （2）(1)L x y ds ++? ?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及 (0,1)B 所成三角形的边界； 解:(1)322L x y ds -+=+??． （3） 22L x y ds +? ?，其中L 为圆周22x y x +=； 解:22 2L x y ds +=??． （4） 2 L x yzds ? ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ； 解: 2 853 L x yzds =?． 2 求八分之一球面222 1(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。 解 故所求重心坐标为444,,333πππ?? ??? ． 习题10—2 1 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明 x y z (0,0,0) A (0,0,2) B (1,0,2) C (1,2,3) D x y o A B C
(,)0L Q x y dy =?。 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）L xydx ? ，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。 解 : 45 L xydx = ? 。 （2） ? -++L dy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到 2=x 时的点的一段弧； 解 3 4)()( 2222= -++? L dy y x dx y x ． （3） ,L ydx xdy +? L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧； 解 0.L ydx xdy +=? （4）22L xy dy x ydx -?，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0) C a 到终点(0,)B a -的路径； 解 22L xy dy x ydx -? 44 a π =- 。 （5）3223L x dx zy dy x ydz +-? ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ； 解 3223L x dx zy dy x ydz +-? 31 87 874 t dt ==- ?。 （6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-??，L 为椭圆周22 1 , 2 ,x y x y z ?+=?-+=? 且从z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。 解: 2π=-。 习题10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1
第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 必作习题 P158 1；2；3（1）（3）（5）（7） 必交习题 一、计算? +L y x ds e 2 2， 其中L 为圆周2 22a y x =+，直线x y =及x 轴在第一卦限内所围成的扇形的整个边界。 二、计算 ds z y x L ? ++2 221，其中L 为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 在相应于t 从0到2的这段弧。
三、计算? +L ds y x )(，L 为以（0，0），（1，0）和（0，1）为顶点的三角形边界。 四、设物质曲线32x x y = 在点M 处的线密度μ与点M 到原点的弧长s 成正比，求该曲线从点)0,0(到)3 16 ,4(的一段弧的质量。
§2 对坐标的曲线积分 必作习题 P170 1；2；3（1）（3）（5）（7）；4（2）（4） 必交习题 一、把对坐标的曲线积分 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分，其中L 为： 在xoy 平面内 1、 沿直线从点（0，0）到点（1，1）； 2、 沿抛物线2 x y =从点（0，0）到点（1，1）； 3、 沿上半圆周x y x 22 2=+从点（0，0）到点（1，1）。 二、计算? +--+L y x dy y x dx y x 2 2)()(，其中L 为圆周2 22a y x =+（按逆时针方向绕行）。
三、在力},,2{22z x y xy F = 的作用下，质点从)0,0,0(沿L ：?? ? ??===22t z t y t x 移至)1,2,1(， 求力F 所做的功。 四、计算曲线积分? +++L x x dy e x dx ye )()1(，其中L 为：沿21x y -=从点A(1，0） 到点B （-1，0）。
第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.
第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e
第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ?Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ?Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ?≤≤1max ，在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ?∑=→1 ),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：?L ds y x f ),(. 注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类
似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(. 性质：1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ?∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑?=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且?i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(=∑?=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则 ? L ds y x f ),(≤?L ds y x g ),(. 4、若?L ds y x f ),(存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(. 5、若?L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ? L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:?? ?==) () (t y t x ψ?, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数，则?L ds y x f ),(=?'+'β αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψ?. 由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理，有
第8章 曲线积分与曲面积分 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分 概念与形式 恒力沿直线方向做功 → →→ → ?=?=l F l F w θcos |||| 变力沿曲线运动?取微元 Qdy Pdx ds F dw +=?=→ ||，则?+ += L Qdy Pdx W 。 平面曲线?+ +L Qdy Pdx ，空间曲线?+ ++L Rdz Qdy Pdx ，性质??- +=L L 一、计算方法 1．设参数，化定积分 ?L dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10 ? '+' 2．平面闭曲线上积分－用格林公式 ???+=???? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ?上有连续一阶偏导数。 ~ 3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关 ),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ?上连续。下列四个命题等价 （1）? +C Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C . （2） ?+L Qdy Pdx 积分与路径无关 （3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L L u du Qdy Pdx |==+??? （4）x Q y P ??=?? 在D 内恒成立. 常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题 1．基础题目，设参数，化定积分 , （1） 计算? -=L ydx xdy I ，: L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法 ?∑? ==L i L i 5 1 于1L 上 设t x cos =，t y sin = ?? -= +=-0 2 222 )sin (cos 1 ππ dt t t ydx xdy L 于2L 上 设t x cos =，t y sin 2= ?? =?+?=-20 )sin sin 2cos 2(cos 2 π πdt t t t t ydx xdy L 于3L 上 以x 为参数，xdx dy 2-=
第十章 曲线积分与曲面积分 一．第一型曲线积分的概念和性质 1．金属曲线的质量 设有金属曲线L （如图9－1），L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。 把L 分成n 个小弧段：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示这些小弧段的长度。在Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ），由于线密度函数是连续的，因此当Δs i 很小时，Δs i 的质量?m i 便可近似地表示为：?m i ≈ρ（ξi ，ηi ）Δs i ，于是整个金属曲线地质量近似于M ≈n i 1=∑ρ(ξi ，ηi )Δs i .记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },令λ→0取上式和式的极限，得M ＝0lim →λn i 1 =∑ρ(ξi ， ηi )Δs i . 2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义 定义：设L 为xoy 平面内的曲线弧，),(y x f 是L 上的有界函数,把L 分成n 个小弧段: Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示第i 个小弧段的弧长. 记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },在每 个小弧段Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ）,作和式n i 1 =∑),(i i f ηξΔs i ,如和式极限0lim →λn i 1 =∑),(i i f ηξΔs i 存在,且极限值与L 的分法和点（ξi ，ηi ）在Δs i 上的取法无关,则称此极限值为函数?(x,y)在曲线L 上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作 ? L ds y x f ),(,即 ? L i i ds f ),(ηξ=0lim →λn i 1 =∑),(i i f ηξΔs i 称),(y x f 为被积函数,L 为积分曲线弧. 注1:同前面一样,并非任一个函数),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若 ),(y x f 在L 上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定),(y x f 在L 上连续. 注2:显然物体M 的质量为:M=?L ds y x ),(ρ 注3:类似地,我们可定义),,(z y x f 对于空间曲线弧Γ的曲线积分: ? Γ ds z y x f ),,( =∑ =→?n i i i i i s f 1 ),,(lim ζηξλ 注4:若L 为闭曲线,则),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分记为?L ds y x f ),(
曲线积分： 在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。 分类： 曲线积分分为： （1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） （2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。 曲面积分： 定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。 第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。 第一型曲面积分：
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。 第二型曲面积分： 第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。