1
l ()()
21
3
1
22
00
1211418312l xds x ==?+=??? ()
1
2
1
1212
L
l l xds xds
xds =
+=
+??
?蜒? （2）(
)
22
234L
xy x y ds ++??，L 为椭圆22
143x y +=，其周长为a 。 解：
()()2
222
2342341212L
L
L
L
xy x
y ds xyds x y ds ds a ++=++==???
?蜒蜒 注意第一类曲线积分的对称性：若曲线关于x （y ）轴对称，而被积函数关于y （x ）为奇函数，则曲线积分为零！ （3）
L
?，L 为圆周22x y ax +=（0a >）。
解：圆周之参数方程为cos 22
sin 2
a a x t a y t ?
=+????=??（02t π≤≤），故
2
22
00
cos
22
L
a t
dt
ππ
==
???
222
2
00
2
cos cos cos2
a u du a udu udu a
π
ππ
π
??
==-=
??
??
???
（4）
L
zds
??，L为()0
cos
sin0
x t t
y t t t t
z t
=
?
?
=≤≤
?
?=
?
解
：()
3
22
1
2
3
t
L
zds t
?
==+-
?
?
??
?
（5）2
L
x ds
??，L圆周为2222
x y z a
x y z
?++=
?
++=
?
解：因222
L L L
x ds y ds z ds
==
???
蜒?，故
()
222223
112
333
L L L
x ds x y z ds a ds a
π
=++==
???
蜒?
2、计算下列对坐标的曲线积分：
（1）()()
2222
L
x y dx x y dy
++-
?，其中L为折线11
y x
=--上从点()
0,0到点()
1,1再到点()
2,0的二线段。
x
解：()
1
:01
L y x x
=≤≤，()
2
:212
L y x x
=-≤≤
()()
2222
L
I x y dx x y dy
=++-
?
()()()()
12
22222222
L L
x y dx x y dy x y dx x y dy
=++-+++-
??
()
()()
()
1222
222
01
222
x dx x x x x dx
??
=++----
??
??
()12
2
20
1
222x dx x dx =+-??
4
3
=
（作代换2t x =-，知第二个定积分与第一个相等） （2）2
3L
ydx xzdy yz dz -+??，L 是圆周2222x y z
z ?+=?=?，从z 轴正向看去，该圆周取逆时针方向。
解：L 的参数方程为()2cos 2sin 022x y z θ
θθπ=??
=≤≤??=?
，故得
222
012sin 8cos 20I d π
θθθπ??=--=-?
?? 3、利用Green 公式计算下列曲线积分： （1）()()1cos sin x x
L
e y dx e
y y dy ---?
?， L 由sin y x =，0x π≤≤与x 轴围成，沿
逆时针方向。
O
x
第3（1）题
解：L 为封闭曲线，如图所示，直接运用Green 公式。
()()1cos sin x x
L
I e y dx e y y dy =---?? ()sin sin x x D
e y y e y dxdy ??=---????（(){},|0sin ,0D x y y x x π=≤≤≤≤） x D
e y dxdy =-??
sin 0
x
x e dx ydy π=-??
2
01sin 2x e xdx π=-
? ()011cos 24x e x dx π
=--?
()0
111cos 244x
e e xdx ππ=--+?
但
cos 2x e xdx π
?
cos 22sin 2x
x e x e xdx π
π=+?
0012sin 22cos 2x x e e x e xdx πππ
??=-+-?????
14cos 2x e e xdx π
π=--?，
故得
()0
1cos 215
x e xdx e π
π
=
-?。从而得 ()()()111
1114205
I e e e πππ=--+-=--
（2）
22L
xdy ydx
x y -+??， L 由1x y +=的正向。
x
第3（2）题
解：22y P x y =-+，22x Q x y =+，()22222Q y x P x y x y ?-?==??+。但Q x
??和P
y ??在L 所围正方形区域内并不连续（在点()0,0处两者根本不存在），故不满足Green 公式之条件。为此，采用“挖地雷”方法：取以原点为心、1
2
的任意正数）为半径的圆l ，并取逆时针方向，如图所示。其参数方程为：
()1cos 2
021sin 2
x y θθπθ?=??≤≤?
?=?? 于是，l 和L 所围区域D 成为“安全地带”，在D 上，P 和Q 均具有一阶连续偏导数，Green 公式成立。于是
222222L l L l xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y -
+----=+++???蜒?0D Q P dxdy x y ????=-= ??????? 因此，
()2222222
1
sin cos 4214
L
l
xdy ydx xdy ydx
d x y x y πθθθπ+--===++??
?蜒
4、计算积分()()()333L
y x dx y x dy I x y -+-=
+?， 其中L 是由点, 02A π?? ???沿曲线cos 2y x
π=到点0,
2B π?
?
??
?
的弧段。
x
第4题
解：这里()
()
3
3
33, y x
y x
P Q x y x y --=
=++，
()()46x y P Q
y x
x y -??==
??+。因此，在曲线L 和线段AB 所围闭区域上，曲线积分与路径无关。这里，线段AB 的方程为2
y x π
=-，02
x π
≤≤
，
方向为从点A 指向点B 。
因此，
()()()333L y x dx y x dy I x y -+-=+?()()()3
33AB
y x dx y x dy x y -+-=+? 03
23444222x x dx πππππ????--- ? ?????==??
???
?。
5、验证()()21x y x y
e e x y y dx e e x y dy ????-+++-+????是某函数(),u x y 的全微分，并求
出这样的一个(),u x y 。
解：这里()()2, 1x y x y
P e e x y y Q e e x y ????=-++=-+????，故
()()11, 11x y x y
P Q e e x y e e x y y
x ??????=-++=-++?????? 因而
P Q
y x
??=??，故知()()21x y x y e e x y y dx e e x y dy ????-+++-+????为某函数(),u x y 的全微分。以下我们用两种方法来求(),u x y 。
方法1（利用曲线积分）：
()()()()
()
,0,0,21x y x y x y
u x y e e x y y dx e e x y dy ????=-+++-+?????
()()0
021x
y
x
x y e
x dx e e x y dy ??=++-+????
()11x y x x y e ye +=-++-
方法2（利用待定函数法）： 因
()2x y
u e e x y y x
???=-++???，故得 ()(),2 x y
u x y e e x y y dx ??=-++???（将y 看作常数）
()()1x y x x y e ye p y +=-+++（其中()p y 为待定函数，与x 无关）
于是，
()()x y x u
x y e e p y y
+?=-++'? 但另一方面，
()1x y u
e e x y y
???=-+???，故 ()()()1x y x x y
x y e e p y e e x y +??-++'=-+??
于是得 ()0p y '=，()p y C =。因此所求函数为
()(),1x y x u x y x y e ye C +=-+++，
其中C 可取任意常数。
6、计算下列对面积的曲面积分： （1）
zdS ∑
??
，其中∑
是锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分。
θ
O
x
第6（1）题
解：
D
zdS ∑
=
??
D
=
2
D
r drd θ=2cos 220
2
d r dr π
θ
πθ-
=?
320
cos 3
d π
θθ=
?
9=
20132cos 23n n n n I d when n is odd n n π
θθ??--==???? ?-??
?
（2）
()
2
ax by cz d dS ∑
+++??，其中∑为球面2222x y z R ++=。
解：()
2
I ax by cz d dS ∑
=
+++??
()2222222222222a x b y c z abxy bcyz cazx adx bdy cdz d dS ∑
=+++++++++??
因∑关于三个坐标面都是对称的，故
()()()2220abxy dS bcyz dS cazx dS ∑
∑
∑
===??????，
()()()2220adx dS bdy dS cdz dS ∑
∑
∑
===??????，
于是
()2222222I a x b y c z d dS ∑
=+++??
利用轮换对称性，
()2222222I a y b z c x d dS ∑
=+++??
()2222222I a z b x c y d dS ∑
=+++??
因此，
()()2222222
33I a b c x y z d dS ∑
??=+++++??
?? ()22222
3a b c R d dS ∑
??=+++???? ()22222
3a b c R d dS ∑
??=+++??
?? ()22222
234a b c R d R π??=+++??
（注意球的表面积为24R π） 于是得
()22222
2433I a b c R d R π??=+++?
? （3）()x y z dS ∑
++??，其中∑为平面5y z +=被柱面22
25x y +=所截下的部分。
解：(5D
I x =
+??
()
5D
x dxdy =+
D
dxdy =
=
第 6（3）题
7、计算下列对坐标的曲面积分： （1）xdydz ∑
??，其中∑是圆柱面2
21x
y +=被平面0z =和2z x =+所截下的部分，取外
侧。
第7（1）题
解：∑被yoz 平面分成1∑和2∑两片，对于x 轴正向而言，1∑取上侧，而2∑取下侧，它们在yoz 平面上的投影区域D 1和D 2如上图所示。于是
12I xdydz xdydz xdydz I I 1
2
∑
∑∑==+=+??????
1
210
D I xdydz 1
1
-∑===???
?
1
2dy -=+?
()(
)1
2
21y dy =-?
43
π=+
(
1
220
D I xdydz dydz 2
2
-∑==-=?????
?
1
2dy -=?
()(
)1
2
21y dy =-?
43
π=-
因此122I I I π=+=。 （2）
2yzdzdx dxdy ∑
+??
，其中∑是球面2221x y z ++=，0z ≥的外侧。 解：利用公式y dzdx z dxdy =-得
2I dxdy ∑??
???=+????
?? 22D
D
y dxdy dxdy =+????
21
2
30
sin 2d r dr π
θθπ=+??
22
01sin 24d πθθπ=
+? 94π= （3）
2ydydz xdzdx z dxdy ∑
-+??，其中∑
是锥面z =被1z =，2z =所截部分的外侧。
第 7（3）题
解：利用公式x dydz z dxdy =-，y dzdx z dxdy =-得
2I ydydz xdzdx z dxdy ∑
=-+??
()()2
x y y z x z z dxdy ∑
??=---+????
()22
D y x x y dxdy ???????? =--++ ??????
?? ()22D
x y dxdy =-+??
22
30
1
d r dr πθ=-??
152
π
=-
注：第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）的解题步骤为“一投”、“二代”、“三定号”。上两题中，我们将积分统一化为在xoy 平面投影区域上的二重积分，解题过程得到大大简化。这是在不适合用Gauss 公式（曲面不封闭；或即使可以补成封闭，但计算未能得到简化）时常用的方法。否则，像第（1）小题那样，我们往往必须将曲面分块，分别进行投影。选择最优策略，省出宝贵时间，去做更多事情，不亦乐乎？ 8、利用Gauss 公式计算曲面积分： （1）
xzdxdy xydydz yzdzdx ∑
++??ò，其中∑为平面1x y z ++=，0x =，0y =，0z =所
围立体表面的外侧。
解：I xzdxdy xydydz yzdzdx ∑
=
++??ò
()y z x dxdydz Ω
=++???3xdxdydz Ω
=???1110
3x
x y
xdx dy dz ---=??
?
()110
31x
xdx x y dy -=--??
()
1
2
03
12
x x dx =-?18
=
（2）
xdydz ydzdx zdxdy ∑
++??，其中∑
为下半球面z =
解：补一圆面1∑：2
2
2
x y a +=，取下侧。于是
I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy 1
1
∑+∑∑=
++-++????ò
332dxdydz a πΩ
=-=-???
注意封闭曲面1∑+∑取内侧，与Gauss 公式所要求的外侧相反，故第二个等式右边三重积分前有一个负号！
9、求向量场()()22,,ln 1z
u x y z xy i ye j x z k =+++r r r r 在点()1,1,0P 处的散度 div u r 。
解：22 1z P Q R x
div u y e x y z z
???=++=++???+r ()
1,1,0 1124P Q R div u
x y z
???=
++=++=???r
10、设流体密度为1，流速()2
33,,3v x y z xz i x j z k =++r r r r ，求单位时间内从曲面22z x y =+
()01z ≤≤的下侧流向上侧的流量。
解：将曲面2
2
z x y
=+()01z ≤≤记为
Σ（为旋转抛物面），补一取下侧的圆面1∑：
22
1
z x y z ?=+?
=?。于是 2333Q xz dydz x dzdx z dxdy ∑
=++??
233233
33xz dydz x dzdx z dxdy xz dydz x dzdx z dxdy 1
1∑+∑∑=
++-++????
26D
z dxdydz dxdy Ω
=-+?????221
1
20
6r
d rdr z dz π
θπ=-+???
()1
60
41r r dr ππ=--+?2
π=-
注意封闭曲面1∑+∑取内侧，与Gauss 公式所要求的外侧相反，故第三个等式右边三重积分
前有一个负号！
11、设{}32
,,3A x z x yz xy =-+-u r ，求A u r 的旋度rot A u r ，并计算曲面积分()
n
I rot A dS ∑
=??u r ，
其中∑
为锥面2z =()02z ≤≤，其法向量与z 轴正向夹角为锐角。
解：(){}2232
61, 31, 33i j k rot A x y y x x y z x z
x yz xy ?
??
=
=-+-???-+-r r
u r
可用两种方法来计算()
n
rot A dS ∑
??u r
。
解法1（创造条件，运用Gauss 公式）
()n
I rot A dS ∑=??
u r
()(){}
2
2
61cos 31cos 3cos x y y x
dS αβγ∑
=-++-+??????（第一类曲面积分）
()()22
61313x y dydz y dzdx x dxdy ∑
=-++-+??????（第二类曲面积分） ()()2
261313x y dydz y dzdx x dxdy 1
∑+∑=
-++-+?
?????ò
()()2261313x y dydz y dzdx x dxdy 1
∑--++-+?????? （其中1∑为圆面2
2
4x y +=之下侧，封闭曲面1∑+∑取外侧）
()660y y dxdydz Ω
=-++???23D
x dxdy +??（Gauss 公式）
22
2
30
3cos d r dr π
θθ=??（二重积分之极坐标算法）
12π=
解法2（直接运用Stokes 公式）
∑（上侧）之边界线L 为xoy 平面上半径为2的圆，取逆时针方向，其参数方程为
2cos , 2sin , 0x y z θθ===()02θπ≤≤，于是
()
n
I rot A dS ∑
=??u r
()()323L
x z dx x yz dy xy dz =-++-?
()2402cos 2sin 16cos d π
θθθθ??=-+??? 24016cos d π
θθ=?()22
41cos 212d πθθπ=+=?
12、用Stokes 公式计算
()()()123y dx z dy x dz
Γ
+++++??，其中Γ为圆周
2222x y z R ++=，0x y z ++=，从x 轴正向看，取逆时针方向。
解：记2
2
2
2
x y z R ++=，0x y z ++=所围圆面为∑，取上侧。则
()()()123I y dx z dy x dz Γ
=+++++??
dydz dzdx dxdy ∑
=-++??（转化为第一类曲面积分）
()cos cos cos dS αβγ∑
=-++??
注意到平面0x y z ++=之法向量为()1,1,1
，故cos cos cos αβγ===
333I dS ∑?=-++ ??
??2R = 13、求2221L ds x y z ++??，L 为空间螺线()cos sin 02,0,0x a t
y a t t a b z bt
π=??
=≤≤>>??=?
。 解：2221
L
I ds x y z =
++??
20
π=
?
220
1
1bt d a b t a π
??=
???
??+ ?
??
2arctan b ab a
π??
=
???
14、设函数(),Q x y 在XOY 平面上具有一节连续偏导数，曲线积分()2,xydx Q x y dy +?
与
路径无关，并且对任意t ，恒有
()(
)
()
()()
()
,11,0,00,02,2,t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+??
，求
(),Q x y 。
解：因曲线积分()2,xydx Q x y dy +?
与路径无关，故有
()22Q xy x x y
??
==??。故可设 ()()2,Q x y x p y =+，其中()p y 为与x 无关的待定函数。
于是
()(
)
()
()()()(),1111
220,00
2,,t xydx Q x y dy Q t y dy t p y dy t p y dy +==+=+????
()()()
()()()1,0,00002,1,1t t
t
t
xydx Q x y dy Q y dy p y dy t p y dy +==+=+?
??????? 因
()(
)
()
()()
()
,11,0,00,02,2,t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+??
，故得
()()12
t t p y dy t p y dy +=+??
即
()21
t p y dy t t =-?
，从而得()21p t t =-，或即()21p y y =-。因此
()2,21Q x y x y =+-。
15、确定常数λ，使在右半平面0x >上的向量()()()42242,2A x y xy x y i x x y j
λλ
=+-+u r r r 为某二元函数(),u x y 的梯度，并求(),u x y 。
解：向量()()()42242,2A x y xy x y i x x y j λλ
=+-+u r r r 为某二元函数(),u x y 的梯度，
等价于说：存在某二元函数(),u x y ，使得
()422u
xy x y x
λ?=+?，()242u x x y y λ?=-+? 也就是说，(
)()4
22422xy x y
dx x x y dy λ
λ
+-+为某二元函数(),u x y 的全微分。根据曲线
积分与路径无关的条件，得
()()422422xy x y x x y y x λλ??????+=-+?
???
?????? 即
()()
()()
42242425422424x x y xy x y x x y x x y λ
λ-1
λ
λ-1
++λ+=-+-λ+
整理得
()()42410x x y λ
+λ+=
故得1λ=-。
由
422u xy x x y
?=?+得
()()22
242
221
,arctan 1xy
x x u x y dx d p y x y
y y x y ??===+ ?+????+ ???
?? 从而
()()22
224221
1u x x p y p y y
y x y x y ???=-+'=-+' ??+????
+ ???
另一方面，2
42u x y x y
?=-?+。故得()0p y '=，()p y C =。因此 ()2
,arctan x u x y C y
=+。
16、求
()2
22cos cos cos x
y z dS αβγ∑
++??ò，其中∑为由222x y z +=及z h =()0h >围
成的封闭曲面的外侧，cos , cos , cos αβγ是此曲面外法线的方向余弦。
解：()2
22cos cos cos I x
y z dS αβγ∑=
++??ò
222
x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++??
ò（化为第二类曲面积分，封闭曲面∑取外侧） ()222x y z dxdydz Ω
=++???（Gauss 公式）
2zdxdydz Ω
=???（利用三重积分之对称性）
20
2h h
r
d rdr zdz πθ=???（利用柱面坐标）
()220
2h
h r rdr π=-?
41
2
h π=
如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！
定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头
{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=
第一型曲线积分与曲面积分的一些问题 第1型曲线积分与曲面积分的1些问 题摘要本文归纳研究了第1型曲线积分与曲面积分的物理背景，定义，性质及计算方法，并在此基础上给出了它们在特殊坐标变换下的计算公式及证明。并且利用这个公式，推导出了当第1型曲线积分或曲面积分的被积函数为奇函数或偶函数，积分曲线或曲面是对称的时的几个重要的推论及证明。关键字：第1型曲线积分与曲面积分；坐标变换；奇偶性；对称性。 Some questions about curve integral and surface integral of the first kind A bstract In this article we induce and study the physical background ,definition, quality ,and calculating method of the curve and surface integral of the first kind ,and at the base of these , calculate formula and providence was proposed in the special coordinate transformation. Using this formula ,we get several important inference and prove that when the curve and surface integral of the first kin d’s integrand is odd function or even function and the integral curve or surface is symmetry.Key word: Curve integral and surface integral of the first kind; coordinate transformation; odevity; symmetry
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：
从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 基本内容要求 1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、 面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法； 3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重 积分； 5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数， 注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭 区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（ ） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定
积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)， 则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（ ） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、 填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1
十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分 1. 计算ds y x L ?+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 320 32 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L ππ π==++=+???. 2. 计算ds x L ?，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界. 解 )12655(12 1 4121 021 0-+= ++=???dx x x dx x ds x L . 3．计算?L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ?L yds ＝dy y y dy y y ??+=+2 22 2421)2(1 )122(3 4)4(4412202-=++= ?y d y . 4．计算?+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ?+L ds y x )(＝23 2 11)(1 0= ++?x x . 5．计算?L xyzds ，其中L 是曲线232 1 ,232,t z t y t x == =)10(≤≤t 的一段. 解 ?L xyzds ＝??+=++1 31 02223)1(232 )2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143 216. 6．计算L ?，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第 一象限所围成的扇形的整个边界.
第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e
对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。
第八章曲线积分与曲面积分 本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分 问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关， 则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。 其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。 对弧长曲线积分的存在性： 设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。 对弧长曲线积分的性质：
1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法： 在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。 定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。 若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。 若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x
第8章 曲线积分与曲面积分 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分 概念与形式 恒力沿直线方向做功 → →→ → ?=?=l F l F w θcos |||| 变力沿曲线运动?取微元 Qdy Pdx ds F dw +=?=→ ||，则?+ += L Qdy Pdx W 。 平面曲线?+ +L Qdy Pdx ，空间曲线?+ ++L Rdz Qdy Pdx ，性质??- +=L L 一、计算方法 1．设参数，化定积分 ?L dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10 ? '+' 2．平面闭曲线上积分－用格林公式 ???+=???? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ?上有连续一阶偏导数。 ~ 3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关 ),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ?上连续。下列四个命题等价 （1）? +C Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C . （2） ?+L Qdy Pdx 积分与路径无关 （3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L L u du Qdy Pdx |==+??? （4）x Q y P ??=?? 在D 内恒成立. 常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题 1．基础题目，设参数，化定积分 , （1） 计算? -=L ydx xdy I ，: L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法 ?∑? ==L i L i 5 1 于1L 上 设t x cos =，t y sin = ?? -= +=-0 2 222 )sin (cos 1 ππ dt t t ydx xdy L 于2L 上 设t x cos =，t y sin 2= ?? =?+?=-20 )sin sin 2cos 2(cos 2 π πdt t t t t ydx xdy L 于3L 上 以x 为参数，xdx dy 2-=
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 (,,) ((),()L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式= ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 22 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===??? 22 =2(0)L x y y +≥为上半圆周
二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z d x Q x y z d y R x y z d z ++? () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,P x y d x Q x y d y d U x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积
曲线积分： 在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。 分类： 曲线积分分为： （1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） （2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。 曲面积分： 定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。 第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。 第一型曲面积分：
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。 第二型曲面积分： 第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。
第十一章 曲线积分与曲面积分 第三节 Green 公式及其应用 1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1) ? -L ydx x dy xy 2 2，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得 23 222230 81()22 L D xy dy x ydx x y dxdy d r dr ππ θ-=+== ? ????， 其中D 为2 2 9x y +≤。 (2) ?-++L y y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得 ()(2)(1)1y y y y L D D e y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==?????。 *(3) ? +-L dy xy ydx x 2 2，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ； 解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得 6cos 2222 22 320 3cos 44 4620()0 1515353cos 334442264 L D BA x ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d π θ θ π θπθθπ-+=+- -+=-= =???=???????? ? *(4) ? +-L y x xdy ydx 2 2，其中L 为正向圆周4)1(2 2=++y x . 解：因为222 22 () x y P Q y x x y -??==??+，(,)(0,0)x y ≠。作足够小的圆周l :222 x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得 22 0L l ydx xdy x y +-=+? ，故 22222 2 2 2 2 22 sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdy x y x y r r r d r π θθ θπ ---+=-=++--==-? ?? ?
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0
曲线积分与曲面积分 测试题B 一、选择（每题6分，共2４分) 1、曲线弧 上的曲线积分和 上的曲线积分有关系（ ） ２、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则 Ｉ=?=?+++c dy y x dx y x 222)()(2( ) （A ）??--x x dy y x dx 421 )( (B)??--x x dy y x dx 421 )(2 （C)[ ] ???++-+++1 . 321 2 2 22 1 2 2)1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x （D){}[]?? ?+++-+-++1 . 321 2222 1 2)1()4()4(28dy y dx x x x x dx x ３、C 为沿222R y x =+逆时针方向一周,则I ＝?+?-σ dy xy dx y x 22用格林公式计算得 ( ) (Ａ）??R dr r d 0 3 20πθ (B ）?? R dr r d 0220 πθ （C ） ?? -R dr r d 0 320 cos sin 4θθπ (D ）?? R dr r d 0 320 cos sin 4θθπ 4、 ∑为)(222y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则??∑ dS = （ ） （A ）rdr r d r ?? +πθ20 2 41 （B)rdr r d ? ? +πθ20 20241 (C)rdr r r d ? ?+-πθ20 20 2 2 41)2( （D ）rdr r d ? ? +π θ20 2 241 二、填空（每题６分,共24分) 1、设 是M （1，３)沿圆(x -2）2+（y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分 。 2、设f （x )有连续导数，Ｌ是单连通域上任意简单闭曲线，且 则f （x )= ． 3、由物质沿曲线10,3 ,2,:3 2≤≤===t t z t y t x C 分布,其密度为y 2=γ，则它的质量=M 。 (化为定积分形式即可不必积出）