第九章 曲线积分与曲面积分
本章所讲的曲线积分于曲面积分都是定积分的推广
9．１ 第一型曲线积分 一．第一型曲线积分的概念和性质
1.金属曲线的质量
设有金属曲线L(如图9－１），L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（x ，ｙ），求这曲线的质量。
把L 分成n 个小弧段：Δs 1，Δｓ2,…，Δs n ，其中Δｓi (i=１，2,…ｎ)也表示这些小弧段的长度。在Δs i 上任取一点（ξi ,ηi )，由于线密度函数是连续的,因此当Δs i 很小时,Δｓi 的质量?m i 便可近似地表示为：?m i ≈ρ(ξi ,ηi )Δs i ,于是整个金属曲线地质量近似于M ≈n
i 1=∑ρ(ξi ，ηi ）Δs i ．记λ＝n
i ≤≤1max ｛Δｓi }，令λ→0取上式和
式的极限，得M ＝0lim →λn
i 1=∑ρ(ξi ,ηi ）Δｓi .
2．第一型曲线积分(对弧长的曲线积分）的定义 定义:设L 为ｘo ｙ平面内的曲线弧，
),(y x f 是Ｌ上的有界函数,把Ｌ分成n 个小弧段： Δｓ1,Δｓ2,…,Δs n ,其中Δs i （i=1,2，…ｎ）也表示第i 个小弧段的弧长. 记
λ＝n
i ≤≤1max {Δs i }，在每个小弧段Δs i 上任取一点（ξi ,ηi ）,作和式n
i 1
=∑
),(i i f ηξΔｓi ,如和式极限0lim →λn
i 1
=∑),(i i f ηξΔs i 存在,且极限值与L 的分法和点（ξi ，ηi )
在Δs i 上的取法无关,则称此极限值为函数?（ｘ,ｙ）在曲线Ｌ上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作
?
L
ds
y x f ),(,即
?
L
i i ds f ),(ηξ=0lim →λn
i 1
=∑),(i i f ηξΔｓi 称),(y x f 为被积函数,L 为积分曲线弧.
注１:同前面一样,并非任一个函数
),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若),(y x f 在L 上连续,则其积分是存在的．故以后在不作特别说明的情况下,总
假定
),(y x f 在Ｌ上连续.
注2:显然物体M 的质量为:Ｍ=
?L
ds y x ),(ρ
注3:类似地,我们可定义
),,(z y x f 对于空间曲线弧Γ的曲线积分：
?
Γ
ds z y x f ),,( =∑=→?n
i i
i i i s f 1
),,(lim ζηξλ
注4:若L 为闭曲线，则
),(y x f 在Ｌ上的对弧长的曲线积分记为?L
ds y x f ),(
性质１.若
?
L
i ds y x f ),(（i=1,２…ｎ）存在,Ｃi (i=１,2,…n ）为常数,则?
∑=
L
n
i i i
ds y x f c
),(=
∑?
=n
i L
i i ds y x f c 1
),(
性质2：如按段光滑曲线Ｌ由曲线Ｌ1，L 2,…，L n 首尾相接而成,且
?
i
L ds y x f ),(（i ＝1,2,…n ）都存在,则?L ds y x f ),(=∑?=n
i L i
ds y x f 1
),(
性质３：若
?
L
ds y x f ),(,?L
ds y x g ),(都存在,且在Ｌ上),(y x f ≤),(y x g ，则?L
ds y x f ),(≤?L
ds y x g ),(
性质4:若
?L
ds y x f ),(存在,则?L
ds y x f ),(也存在,且有?
L
ds y x f ),(≤?L
ds y x f ),(
性质5:若
?
L
ds y x f ),(存在,L 的弧长为S,则存在常数C,使得?L
ds y x f ),(=CS
二．第一型曲线积分的计算法
我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:
定理：设曲线Ｌ的方程为:
)(t x ?=,)(t y φ=,β
α≤≤t ，其中
)(t ?，)(t φ在[]βα,上具有连续的一阶导数, ),(y x f 为
L 上的连续函数,则有
?
L
ds y x f ),(=[][][]?'+'β
α
φ?φ?dt t t t t f 2
2
)()()(),(
证:详细的证明书上有,大家自己看，现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用)(t s s =来表示
L 上的以
[]t ,α为取值区间所对应部分的弧长,则有)(t s s =＝
?'+'t
dt t t α
φ?22)]([)]([．
两边求微分,得dt t t ds 22)]([)]([φ?'+'=
进而:
dt t t t t f ds y x f 22)]([)]([)](),([),(φ?φ?'+'=
又当),
(y x 在L 上变化时,相应地t 在[]βα,上取值,故
?
L
ds y x f ),(=[][][]?'+'β
α
φ?φ?dt t t t t f 2
2
)()()(),( ．
(注:并非严格的证明)
注1:若L 的方程为
)(x y ?=,],[βα∈x 则?L
ds y x f ),(＝?'+β
α
??dx x x x f 2)]([1)](,[
若Ｌ的方程为
)(y x φ=,],[d c y ∈,则?L
ds y x f ),(=dy y y y f d
c
?'+2)]([1]),([φφ
2:若空间曲线
Γ的方程为: )(t x ?=,)(t y φ=,)(t z ω=,],[βα∈t .则有
?
L
ds z y x f ),,(=[][][][]?'+'+'βα
ωφ?ωφ?dt t t t t t t f 2
22)()()()(),(),(
3：定理．注1.2中的定积分的上下限,一定满足:下限
≤上限.这是因为，在这里的Ｌ(或Γ)是无向曲线弧段,因而单从Ｌ的端点看不出上下限究竟是什么.这就要从Ｌ(或
Γ)的方程的形式来考虑.又)(t s '>0?t
s t ??→?0lim
>0
从而当t ?很小时,t s ??/>0．
此时若视s ?为L 上某一段弧的弧长,应有s ?>0?t ?>0.这说明此时t 的变化是由小到大的．而这里s ?正是i s ?的一般形状，故下限
≤上限.
[例1]： 设Ｌ是半园周:??
?==t
a y t a x sin cos
≤≤t π.
计算
?
+L
ds y x )(22
解:
?
+L
ds y x )(22=?+-π0
222)cos ()sin (dt t a t a a =?π
3dt a =π
3a
[例２]： 设
Γ为球面3322a z y x =++被平面0=++z y x 所截的圆周，计算ds x ?Γ
2.
解:根据对称性知
ds x ?Γ
2＝ds y ?Γ
2=ds z ?Γ
2? ds x ?Γ
2
=3
1
ds z y x ?Γ
++)(2
2
2
=31ds a ?Γ2
=Γ.32a 的弧长＝a a π2.32=33
2a π
第二节 第二型曲线积分
一. 第二型曲线积分的概念与性质
这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力),(y x F →
＝),(y x P i ＋),(y x Q j 的作用沿平面曲线L 运动，求当质点从Ｌ的一端点A 移动到另一端点B
时，力),
(y x F →
所做的功W.(这里假设),(y x P ，),(y x Q 在Ｌ上连续)
首先,对有向曲线L 作分割:用点M 1，Ｍ2,…，M 1-n 与M 0=Ａ,M n =B 将L 分成ｎ个小段?
-i i M M 1(i ＝1,２…n ）． 以
i
s ?表示其弧长．记该分割的细度为λ＝
n
i ≤≤1max
｛Δｓi }，当
i
s ?很小时,有向的小弧段
?
-i
i M M 1可用有向的直线段
i
i M M 1-来代替:
?
-i i M M 1≈i i M M 1-=i x ?i +i y ?j,其中i x ?=1--i i x x ,i y ?＝1--i i y y .而),(11--i i y x ,),(i i y x 分别为M 1-i 与M i 点的坐标.又在?
-i
i M M 1上任
取一点（ξi ，ηi )∈
?
-i
i M M 1.当i s ?很小时,由于),
(y x P ,),(y x Q 在L 上连续，故可用在（ξi ,ηi ）点处的力),(i i F ηξ→
=),(i i P ηξi +),(i i Q ηξj 来
近似代替?
-i i M M 1上其它各点的力，因此变力
),(y x F →
在小弧段?
-i
i M M 1上所作的功i W ?，就近似地等于常力),(i i F ηξ→
沿i
i M M 1-所做的功．故有
i W ?≈),(i i F ηξ→
．i i M M 1-=),(i i P ηξi x ?+),(i i Q ηξi y ?
所以 Ｗ=
∑=?n i i
W 1
≈∑=?+?n
i i
i
i
i
i
i
y Q x P 1
]),(),([ηξηξ ．
且当
0→λ时,有Ｗ＝∑=→?+?n
i i i i i i i y Q x P 1
]),(),([lim ηξηξλ.
2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义
定义：设L 是
xoy 面上从点A 到点B 的有向光滑曲线, ),(y x P ，),(y x Q 在L 上有界,把L 分成n 个小弧段Δs 1,Δs 2，…，Δｓn ,其中Δｓi (i=1，2,…ｎ)
也表示第i 个小弧段的弧长.在Δs i （ｉ＝1,2,…n ）上任取一点（ξi ，ηi ),做和式
∑=?+?n
i i
i
i
i
i
i
y Q x P 1
]),(),([ηξηξ，其中i
x ?和i
y ?是i
s ?分别在x 轴和
y 轴上的投影．记λ＝n
i ≤≤1max {Δｓi }，如果极限∑=→?+?n
i i i i i i i y Q x P 1
]),(),([lim ηξηξλ存在,且极限值与L 的分法及点(ξi ，ηi )在Δs i 上的取法无关,则称此
极限值为函数),
(y x P ，),(y x Q 在有向曲线弧L 上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(
即有:
?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=),(y x P ，),(y x Q
其中),(y x P ,),(y x Q 称为被积函数,L 称为积分曲线弧.同理,当),(y x P ,),(y x Q 都在L 上连续时，
上述积分才存在.故今后总假定),(y x P ,),(y x Q 在L 上连续
注1: 完全可以类似地扩到空间曲线
Γ上,得?Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(
2: 当L 为封闭曲线时，常记为:
?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(
3：这两类线积分，除了形式上不同之外，还有一关键性区别在于：第一类线积分与L 的方向无关,而第二类线积分与L 的方向有关.(下见性质２） 性质1:若Ｌ由有限有向曲线弧组成,例如Ｌ=L 1+L 2,则
?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=?
+1
),(),(L dy y x Q dx y x P +?+2
),(),(L dy y x Q dx y x P
性质2:设–Ｌ是L 的反向曲线弧，则
?
-+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=?+-L
dy y x Q dx y x P ),(),(
二. 第二型曲线积分的计算法
同前面一样,我们可以将对坐标的曲线积分转化为定积分来计算，有下列定理: 定理：
),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续，L 的方程为: )(t x ?=,)(t y φ=． 当t 由α
变动到
β时,对应L 上的动点),(y x M 从L 的起点A
变到终点B ，
)(t ?',)(t φ'在],[βα上连续且不全为零，则
?
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=?'+'βα
φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{ （证明略)
注1：若L 的方程为
)(x y ?=，x 在a ,b 之间.且ｘ=a 且x ＝b 分别为Ｌ的起点和终点,则有
?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=?'+b
a
dx x x x Q x x P )())](,())(,([???
同理,若L 的方程为
)(y x ?=,也有类似的结果.
2:设空间曲线
Γ的方程为: )(t x ?=,)(t y φ=,)(t z ω=,],[βα∈t ，且α=t ,β=t 分别对应于
Γ
的起点和终点，则有
?Γ
++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(＝
?'+'+'β
αωωφ?φωφ??ωφ?dt t t t t R t t t t Q t t t t P )}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{
３:定理及注1,２中的定积分的上下限分别时参数所对应的参数值,起点对应的值为下限,终点对应的值为上限. [例３] 计算
?
L
xydx ．其中L 为抛物线x y =2上的点A(-１，１)到Ｂ(4,-２）的一段.
解法一:由题知L 的方程为 2y x =, y 从-１到-2,故
∴
?
L
xydx =?--2
1
22..ydy y y =?--21
42dy y =
2155
2--y =
5
62-
解法二: L 的方程可写为
x y -=, x 从１到4
∴?L
xydx ＝?-4
1
).(dx x x =dx x ?
-4
1
2
3=412
5
5
2x -＝
5
62-
［例４] 求在力),,(z y x x y F ++
-→
的作用下:
(1)
质点由点A(ａ,0,０)沿螺旋线L 1到点B(0,0,2πb)所作的功. L 1:
t a x cos =, t a y sin =, bt z = )2(π≤≤t o
(2)
质点由A （a,0，0)沿直线L 2到点Ｂ(0，０,２πb)所作的功．
解: Ｗ=
?
π
20
ds =?+++-L
dz z y x xdy ydx )(
(1)
W=
?
+++--π
20
])sin cos (cos .cos )sin .(sin [dt b bt t a t a t a t a t a t a
=
?
+++-π
20
22])cos (sin [dt t b t t ab a =)(222a b -ππ
(2) L 2： x=a ， y=0,z=ｔ (0≤t ≤２πb ) 则
W ＝
?
+++?-?b
dt t a a π20
)]0(000[=?
+b
dt t a π20
)(=)(2b a b ππ+.
三. 两类线积分之间的关系
直到现在为止,我们已学过两种曲线积分:
?
L
ds y x f ),(和?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(.两者都是转化为定积分计算.那么两者有何联系呢?这两种曲线积
分来源于不同的物理原型,有着不同的特性，但在一定的条件下,我们可建立它们之间的联系.
设有向曲线弧L 表示成以弧长ｓ为参数的参数方程: x=x(s),y=y(s), 0≤ｓ≤?,这里L 由点Ａ到点Ｂ的方向就是ｓ增大的方向.又设α,β依次为从x 轴正向，ｙ轴正向到曲线L 的切线的正向的夹角,则
a ds dx cos =, βcos sin ==a ds
dy
(ｃos α,ｃos β也称为有向曲线L 上点(x,y)处的切向量的方向余弦，切向量的指向与曲线L 的方向一致)．因此,得
?
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=ds s y s x Q s y s x P l
}cos )](),([cos )](),([{0
?+βα
? ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+L ds y x Q y x P ]cos ),(cos ),([βα
注1: 上式可推广到空间曲线的曲线积分上去,有
?++L
dz
z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(
=
?++L
ds z y x R z y x Q z y x P ]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα
其中cos α,cos β,co ｓγ 是L 上点（x,y,z ）处的切向量的方向余弦. ［例５] 把第二型曲线积分
?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一型曲线积分，其中Ｌ:x y =
上从(0,0）到(1,1）的一段弧.
解:
x
y 21=
' ，L 的切向量T={１,
x
21}
2
2111
cos ?
?
? ??+=
x α=
x
x
412+
2
21121
cos ?
?
? ??+=
x x β=
x
411
+
于是
?
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=ds x
y x Q x x y x P L
]411
),(412)
,([?+++
＝
ds x
y x Q x y x P L
?++41)
,(2),(.
第三节
格林公式
格林(Gr ｅen)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系．下面我们来规定L 的正向:设区域D 是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线Ｌ的正
向规定为:当人沿着L 行走时，区域D 总在他的左边.若与Ｌ的正向相反,就称为负方向.记作–L.
定理1 设闭区域D 由分段光滑的闭曲线Ｌ围成,函数),
(y x P ,),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数,则
?+L Qdy Pdx ＝??????
?
???-??D dxdy y P x Q
(１)
其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L 的正方向.公式(１）称为格林公式．
证:（i)首先我们证明一个特殊情况:Ｄ既可表示为X-型区域,也可表示为Y －型区域.由Ｄ可表示为X 型区域,不妨设 D={(x,y) : ａ≤x ≤b ，
)(1x ?≤y ≤)(2x ?}
(如图）
则
????D
dxdy y P
=?b a dx dy y
y x P x x ???)
()
(21)
,(??
＝
?-b
a
dx
x x P x x P )]}(,[)](,[{1
2
??
又
?L
Pdx =?1
L Pdx +?2
L Pdx ＝?b
a
dx x x P )](,[1? +?b
a
dx x x P )](,[2?
=
?--b
a
dx x x P x x P )]}(,[)](,[{12??
因此有
?L
Pdx =??
??-D
dxdy y
P
同理,Ｄ可表示为Ｙ-型区域,不难证明:
?
L
Qdy =??
??D
dxdy x
Q
将上面两式相加得
?+L Qdy Pdx =?????? ?
???-??D dxdy y P x Q .
(ii)对于一般的区域D ，即如果闭区域Ｄ不满足上述条件(既可表示为Ｘ－型区域,也可表示为Y-型区域)，则可以在D 内引进若干条辅助线把Ｄ分成有限个部分闭区域,使每个部分满足上述条件．在每快小区域上分别运用Ｇreen 公式,然后相加即成.
如图中D的边界曲线Ｌ,通过作辅助线ＡＥ将L分为L1,L2,同时将区域D分为D1，D2,它们都满足上述条件,于是
?→++
EA
L Qdy
Pdx 1=?????
?
?
?
?
?
-
?
?
1
D
dxdy
y
P
x
Q
, ?→++
AE
L
Qdy
Pdx
2
=?????
?
?
?
?
?
-
?
?
D
dxdy
y
P
x
Q
上面两式相加,并注意到?→+EA
L1
=?1L＋?→EA,?→+AE
L2
=?2L+?→AE, ?→AE=?→-EA.
又L=L1＋L2, D= D1+D2, 于是?+
L
Qdy
Pdx=????
?
?
?
?
?
?
-
?
?
D
dxdy
y
P
x
Q
．
注:在Greｅn公式中,当x
Q=, y
P-
=时,有
y
P
x
Q
?
?
-
?
?
＝1–(–１）=2, 代入公式,得
?+
-
L
xdy
ydx=??
D
dxdy
2=A
2(其中A为D的面积)
于是?-
=
L
ydx
xdy
A
2
1
. (2）
[例５] 计算椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
围成的面积．
解: 椭圆的参数方程为t
a
x cos
=, t
a
y sin
=, π2
0≤
≤t．
由式(2) , 得Ａ＝?-
-
π2
)]
sin
(
sin
sin
.
cos
[dt
t
a
t
b
t
b t
a
＝?+
π2
2
2)
sin
(cos
2
dt
t
t
ab
=ab
π.
［例6］求I=?+
-
L y
x
ydx
xdy
2
2
, 其中L的为任一不含原点的闭区域D的边界．
解:
2
2y
x
y
P
+
-
=,
2
2y
x
x
Q
+
=. 不难验证
2
2
2
2
2
)
(y
x
x
y
y
P
x
Q
+
-
=
?
?
=
?
?
,
且P,Q在D上连续,故由Greeｎ公式,得
????
?
?
?
?
?
?
-
?
?
=
D
dxdy
y
P
x
Q
I=0
0=
??
D
dxdy
[例７] 计算?+
-
=
L y
x
ydx
xdy
I
2
2
, 其中Ｌ是包围原点在内的区域D的正向边界曲线(如图)
解:
2
2y x y P +-
=，
2
2y x x Q +=
． 因
P , Q 在原点（0,0)处不连续，故不能直接利用格林公式.
选取充分小的半径r >0,在D 内部作圆周 :
222r y x =+．记L 与 之间的区域为
D 1, D 1的边界曲线为
)(1 -+=L L ，这时
D 1内不含原点,
P , Q 在Ｄ1上连续,应用格林公式.
由
2
222
2)(y x x y y P x Q +-=
??=??,
?
0=??-??y
P x Q ?
1
L =
?
?
-
L
=
001
=??D dxdy ? ?
+-=L y x ydx xdy I 2
2＝
?+- 22y x ydx
xdy 其中 的参数方程为: t r x cos =, t r y sin =， π20≤≤t .
I ＝??==+ππ
π2020
222222sin cos dt dt r
t
r t r .
第四节 平面曲线积分与路径无关的条件
从第二节的讨论,我们看到第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它的数值一般与积分曲线有关.如:
?-++L
dy x y dx y x )()(中，当L 的端点固定
在(１，１)点和(4,2）点时,若L 取不同的路径，所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积分路径有关.然而,存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关,只与起点和终点有关.亦即对任意两条以Ａ为起点，B 为终点的曲线1L 和2L ，有
?
+1
L Qdy Pdx =?+2
L Qdy Pdx .
本段将讨论曲线积分在什么条件下,其值与路径无关．
首先,介绍单连通区域的概念：若对于平面开区域D 内任一条封闭曲线Ｌ,均可以D 以外的点而连续收缩于D 中某一点，即L 所围的点全属于D ，那么就称D 为单连通区域,通俗地说D 是没有“洞”的区域．否则,称为复（多)连通区域．(如图）．
定理: 设Ｇ是一个单连通的开区域,函数),
(y x P ,),(y x Q 在G 内具有一阶连续偏导数,则下述命题是等价的
1)
y
P
x Q ??=??在D 内恒成立；
2)
0=+?L
Qdy Pdx
对G 内任意闭曲线L 成立;
3）
?+L
Qdy Pdx
在Ｇ内与积分路径无关;
4） 存在可微函数),(y x u u =，使得Qdy Pdx du +=在G 内恒成立.
证 1)
?2)．
已知
y
P
x Q ??=??在G 内恒成立,对G 内任意闭曲线L,设其所包围的闭区域为Ｄ,由格林公式
=
+?
L
Qdy Pdx ?????? ?
???-??D dxdy y P x Q 00==??D dxdy
2)
?3).
已知对Ｇ内任一条闭曲线L,
=+?L
Qdy Pdx .
对G 内任意两点A 和B ，设
1L 和2L 是
G 内从点Ａ到点B 的任意两条曲线（如图)，则
-+=21L L L 是G 内一条封闭曲线,从而有
?+=L
Qdy Pdx 0=?+1
L Qdy Pdx +?-+2
L Qdy Pdx 。
于是
=+?
1
L Qdy Pdx ?-+-2
L Qdy Pdx ?+=2
L Qdy Pdx
即曲线积分?+L
Qdy Pdx 与路径无关,其中L 位于G 内.
3)
?4)．
已知起点为),
(000y x M ,终点为),(y x M 的曲线积分在区域G 内与路径无关,故可记此积分为
?
+)
,()
,(00),(),(y x y x dy y x Q dx y x P ．
当),
(000y x M 固定时，积分值仅取决于动点),(y x M ,因此上式是y x ,的函数,极为),(y x u ，即
),(y x u ?
+=)
,()
,(00),(),(y x y x dy y x Q dx y x P
下面证明),
(y x u 在G 内可微,且 dy y x Q dx y x P du ),(),(+=
由于),(),,(y x Q y x P 都是连续函数,故只需证
),(y x P x
u
=??,
),(y x Q y u =??. 不难证明
x u ??=x
y x u y x x u x ?-?+→?)
,(),(lim 0＝),(y x P
y u ??=y
y x u y y x u y ?-?+→?),(),(lim 0＝),(y x Q (详细过程见P １57） 故),(y x u 的全微分存在,且dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=.
4)
?1)．
已知存在一个函数),(y x u u =,使得
dy y x Q dx y x P du ),(),(+=
从而
),(y x P x u =??, ),(y x Q y u =???y P
y x u ??=???2，
x
Q
x y u ??=
???2
由于),(),,(y x Q y x P 具有一阶连续偏导数,所以混合偏导数y x u ???2,x y u ???2连续,故y x u ???2=x
y u
???2,即
y
P
x Q ??=??
[例８] 证明
?
--)
1,1()
0,0())((dy dx y x 与路径无关.
证:
?
--)
1,1()
0,0()
)((dy dx y x =
?
---)
1,1()
0,0()()(dy y x dx y x
?
--)
1,1()
0,0())((dy dx y x 与路径无关．, y x P -=
,
x y Q -=
1-=??x
Q
,
1-=??y P 在整个平面上连续,且y P x Q ??=??,由定理,得
?
--)
1,1()
0,0())((dy dx y x
与路径无关.
［例9] 讨论dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数．
解:
y x P sin 2+= , y x Q cos = ,
y y P cos =?? , y x
Q
cos =?? 在整个平面上连续,且有y P x Q ??=??, 即定理中的1)成立，所以4)成立.
即dy y x dx y x )cos ()sin 2(++为某个函数的全微分．
且
?
++=)
,()
0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u , 由于曲
线积分与路径无关，可取先从点Ｏ(0，0）到点A(x ,０)的直线段O Ａ: 0=y )0(=dy ,再沿从点A 到点M ),(y x 的平行于y 轴的直线段AM )0(=dx ，所
以有
???
?
+=+=x y
AM
OA
dy y x Q dx x P y x u 0
),()0,(),(
y x x ydy x xdx y
x
sin cos 220
+=+=??
∴ 所求原函数为
C y x x =+sin 2 (C 为任意常数）．
第五节
第一型曲面积分
一 第一型曲面积分的概念和性质
考虑这样一个实际问题:设某一物体占有空间曲面
∑，
其面密度函数为),,(z y x ρ,求该物体的质量Ｍ.我们仍用以前惯用的方法,先分割∑为若干小块,再作和
式:
i i
i
n
n
i i
S ??∑=),,(ζ
ηξρ．最后取极限,得
Ｍ=i
i
i
n
n
i i
S ??∑=→),,(lim 0
ζηξρλ其中 λ为各小块面直径的最大值.这就是曲面积分的思想．下面我们给出定
义：
定义 设函数
),,(z y x f 在曲面∑上有界,把∑分成n 个小片1S ?,2S ?,…,n S ?，其中i S ?(i=1,2，…,n)也表示第i 小片的面积，在i S ?上任取一点
),,(i i i ζηξ,作和式i
i i n
n
i i S f ??∑=),,(ζηξ，若当此n 个小曲面片的直径的最大值
0→λ时,上述和式极限存在,且此极限值与∑的分法及点
),,(i i i ζηξ在i S ?上的取法无关,则称此极限值为函数),,(z y x f 在曲面∑上的第一型曲面积分或称为对面积的曲面积分,记作??∑
dS z y x f ),,(,即
??∑
dS z y x f ),,(=i
i
i
n
n
i i
S f ??∑=→),,(lim 0
ζηξλ
（1) 其中
),,(z y x f 称为被积函数, ∑称为积分曲面．
注１： 同以前一样，今后总假定),,(z y x f 在曲面∑上连续..
2: 由定义知, 物体的质量M ＝
??∑
dS z y x ),,(ρ, 其中),,(z y x ρ为面密度函数.
3： 对面积的曲面积分，同样具有被积函数的可加性与积分曲面的可加性,即
??∑
+dS z y x bg z y x af )],,(),,([=??∑
dS z y x f a ),,(+??∑
dS z y x g b ),,(
??∑+∑2
1),,(dS z y x f =??∑1
),,(dS z y x f +??∑2
),,(dS z y x f
二 第一型曲面积分的计算法
设曲面
∑的方程为),(y x z z =,∑在xy 平面上的投影区域为xy D ，),(y x z z =在xy D 上具有连续的偏导数, ),,(z y x f 在∑上连续.下面来求
??∑
dS z y x f ),,(.
由定义，
??∑
dS
z y x f ),,(=
i
i i n
n
i i S f ??∑=→),,(lim 0
ζηξλ ，将
i
S ?往
xy
平面上投影,其投影区域为
xy
i )(σ?
?
i S ?=
dxdy y x z y x z xy
i y x ??
?++)(2
2),(),(1σ
利用二重积分的中值定理:∈''?),(i i ηξ xy i )(σ?， 得 i S ?=xy i i i y i i x z z )(),(),(12
2σηξηξ??''+''+
又),,
(i i i ζηξ为i S ?上任一点，故不妨令i i ξξ'=, i i ηη'=, ),(i i i i z ηξζζ='=
?
??
∑
dS z y x f ),,(＝xy i i i y i i x
i i i n
i i z z z f )(),(),(1)],(,,[lim 2
21
σηξηξηξηξλ??''+''+''''∑=→ ＝
dxdy y x z y x z y x z y x f y x D xy
),(),(1)]
,(,,[2
2++??
事实上,由dxdy y x z y x z dS y x ),(),
(12
2++= 也很快能得到上式.
[例1] 设
∑为圆锥面222y x z +=介于0=z 与1=z 之间得部分,求??∑
+=dS y x I )(22
解:
2
2y x z +=,
2
2
y
x x x
z
+=??,
2
2
y
x y y
z +=??
又
∑在xy 平面上的投影区域为}1),{(22≤+=y x y x D
∴
??????
????+??? ????+?+=D
dxdy y z x z y x I 2
2
221)(
??+=D
dxdy y x )(222dr r d ??=1
320
2πθ
4
122?
?=ππ22=.
[例2]
??∑
+dS y x )(22 ∑是22y x z +=与
1=z 围成的闭曲面.
解:
∑在xoy 面的投影区域为
}1),{(:22≤+y x y x D xy
??∑
+dS y x )(22=??∑+1
)(22dS y x +??∑+2
)(22dS y x =
dxdy z z y x
xy
D y x ??+++2
222
1)(+dxdy y x xy
D ??+++2222001)(
=
??+xy
D dxdy y x )(222+??+xy
D dxdy y x )(22
＝dr r d ??+1
320
)12(πθ=
)12(2
+π
[例３］
??
∑
++dS zx yz xy )( ∑是2
2y x z +=被
x y x 222=+所截下的一块曲面．
定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头
{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。
1 2 1 2 2 5 L L ? ? ? 第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题 10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1） I = ? L xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B ( , - ) 之间的一段劣弧； 解: (1 + ) ． （2） ? L (x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0) 及 B (0,1) 所成三角形的边界； 解: ?L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ． （3） ? x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ； 解: ? x 2 + y 2 ds = 2 ． （4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2), L D (1, 2, 3) ； 解: ? L x 2 yzds = 8 ． 3 z B (0, 0, 2) D (1, 2,3) C (1, 0, 2) 2 求八分之一球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密 度 = 1 。 解 故所求重心坐标为? 4 , 4 , 4 ? ． A (0, 0, 0) y x 3 3 3? 习题 10—2 1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明 1 2 y A C o x B
? ? ?L x - y + z = 2 , ? 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： ?L Q (x , y )dy = 0 。 （1） ? L xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2 4 解 : ? L xydx = 5 。 （2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到 L x = 2 时的点的一段弧； 解 (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy = 4 ． L 3 （3） ? L ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧； 解 ?L ydx + xdy = 0. （4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L 到终点 B (0, -a ) 的路径； 解 ?L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4 。 4 （5） ? L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3 2 2 0 3 87 解 ? x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87? t dt = - 。 L 1 4 ?x 2 + y 2 = 1 , （6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周? 且从 z 轴 ? 正方向看去， L 取顺时针方向。 解: = -2 。 习题 10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：
从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
第十章 曲线积分与曲面积分 （第三部分）曲线积分习题解答 一、对弧长的曲线积分 1．计算? = L yds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱 )20 ,0(π≤≤>t a ． 解 由于? ??-=-=)c o s 1()s i n (:t a y t t a x L , )20 (π≤≤t ；而 dt t a dt y x ds 2 1 2 2)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t 故 ? ? π -?-= = 2 0 2 1 )c o s 1(2)c o s 1(dt t a t a yds I L ? π =2 0 3 22 sin 4dt t a ?π= 0 32sin 8udu a ? π=2 0 32 sin 16udu a 2 2 32a = . 2．计算曲线积分? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22． 解 圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρc o s a )2 2(π ≤θ≤π- ，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故 ? +L ds y x 22 ? π π-?ρ=2 2 ads ? ππ-θ?θ=2 2 cos ad a ? πθθ=2 0 2 cos 2d a 22a =. 3． 计算?+=L y x ds e I 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内 所围成的扇形的整个边界． 解 积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中 )0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==； )4 0( , :2π ≤ θ≤==a r AB L ；
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 基本内容要求 1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、 面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法； 3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重 积分； 5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数， 注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭 区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（ ） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定
积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)， 则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（ ） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、 填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第十章 曲线积分与曲面积分 10.01 填 空 (1) 第二类曲线积分 ?Γ Rdz +Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是 ?Γ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切 向量 的方向角。 (2) 第二类曲面积分 ??∑ Rdxdy +Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是 ??∑ γ+β+α)ds Rcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法 向 量的方向角 10.02 计算下列曲线积分： (1) ds y x L 22?+,其中L 为圆周 ax y x 22=+ 解： Θ L:x y ax 22+= 表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +? ??? ?≤≤θθ θπ() 02 有 θ'θ-='θ θcos 2a =y ,sin 2a x x y a 4a 2''2θθ2 2 +== ) cos 1(2a =ax y x 222θ+=+ θ?θ=+∴ ?? πd 2a cos +12 a ds y x 20L 22θθ ?πd 2cos 2a 42= 202 ??? ? ?θθ-θθ=??πππ022d 2cos d 2cos 2a =-?? ? ? ??=a a 2 2 20222sin sin θπθππ (2) ?Γ zds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0t t 0≤≤ 解： ΘΓ:cos sin () x t t y t t z t t t ===??? ??≤≤0 0 ∴++=+x y z t t t t '''2 2 2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L I xds = ? ，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到( ,)22 B -之间的一段劣弧； 解: (1)2 +． （2）(1)L x y ds ++? ?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及 (0,1)B 所成三角形的边界； 解:(1)322L x y ds -+=+??． （3） 22L x y ds +? ?，其中L 为圆周22x y x +=； 解:22 2L x y ds +=??． （4） 2 L x yzds ? ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ； 解: 2 853 L x yzds =?． 2 求八分之一球面222 1(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。 解 故所求重心坐标为444,,333πππ?? ??? ． 习题10—2 1 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明 x y z (0,0,0) A (0,0,2) B (1,0,2) C (1,2,3) D x y o A B C
(,)0L Q x y dy =?。 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）L xydx ? ，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。 解 : 45 L xydx = ? 。 （2） ? -++L dy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到 2=x 时的点的一段弧； 解 3 4)()( 2222= -++? L dy y x dx y x ． （3） ,L ydx xdy +? L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧； 解 0.L ydx xdy +=? （4）22L xy dy x ydx -?，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0) C a 到终点(0,)B a -的路径； 解 22L xy dy x ydx -? 44 a π =- 。 （5）3223L x dx zy dy x ydz +-? ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ； 解 3223L x dx zy dy x ydz +-? 31 87 874 t dt ==- ?。 （6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-??，L 为椭圆周22 1 , 2 ,x y x y z ?+=?-+=? 且从z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。 解: 2π=-。 习题10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1
第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 必作习题 P158 1；2；3（1）（3）（5）（7） 必交习题 一、计算? +L y x ds e 2 2， 其中L 为圆周2 22a y x =+，直线x y =及x 轴在第一卦限内所围成的扇形的整个边界。 二、计算 ds z y x L ? ++2 221，其中L 为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 在相应于t 从0到2的这段弧。
三、计算? +L ds y x )(，L 为以（0，0），（1，0）和（0，1）为顶点的三角形边界。 四、设物质曲线32x x y = 在点M 处的线密度μ与点M 到原点的弧长s 成正比，求该曲线从点)0,0(到)3 16 ,4(的一段弧的质量。
§2 对坐标的曲线积分 必作习题 P170 1；2；3（1）（3）（5）（7）；4（2）（4） 必交习题 一、把对坐标的曲线积分 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分，其中L 为： 在xoy 平面内 1、 沿直线从点（0，0）到点（1，1）； 2、 沿抛物线2 x y =从点（0，0）到点（1，1）； 3、 沿上半圆周x y x 22 2=+从点（0，0）到点（1，1）。 二、计算? +--+L y x dy y x dx y x 2 2)()(，其中L 为圆周2 22a y x =+（按逆时针方向绕行）。
三、在力},,2{22z x y xy F = 的作用下，质点从)0,0,0(沿L ：?? ? ??===22t z t y t x 移至)1,2,1(， 求力F 所做的功。 四、计算曲线积分? +++L x x dy e x dx ye )()1(，其中L 为：沿21x y -=从点A(1，0） 到点B （-1，0）。
十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分 1. 计算ds y x L ?+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 320 32 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L ππ π==++=+???. 2. 计算ds x L ?，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界. 解 )12655(12 1 4121 021 0-+= ++=???dx x x dx x ds x L . 3．计算?L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ?L yds ＝dy y y dy y y ??+=+2 22 2421)2(1 )122(3 4)4(4412202-=++= ?y d y . 4．计算?+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ?+L ds y x )(＝23 2 11)(1 0= ++?x x . 5．计算?L xyzds ，其中L 是曲线232 1 ,232,t z t y t x == =)10(≤≤t 的一段. 解 ?L xyzds ＝??+=++1 31 02223)1(232 )2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143 216. 6．计算L ?，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第 一象限所围成的扇形的整个边界.
第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e
对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。
第八章曲线积分与曲面积分 本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分 问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关， 则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。 其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。 对弧长曲线积分的存在性： 设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。 对弧长曲线积分的性质：
1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法： 在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。 定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。 若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。 若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x
第十章 曲线积分与曲面积分 一．第一型曲线积分的概念和性质 1．金属曲线的质量 设有金属曲线L （如图9－1），L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。 把L 分成n 个小弧段：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示这些小弧段的长度。在Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ），由于线密度函数是连续的，因此当Δs i 很小时，Δs i 的质量?m i 便可近似地表示为：?m i ≈ρ（ξi ，ηi ）Δs i ，于是整个金属曲线地质量近似于M ≈n i 1=∑ρ(ξi ，ηi )Δs i .记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },令λ→0取上式和式的极限，得M ＝0lim →λn i 1 =∑ρ(ξi ， ηi )Δs i . 2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义 定义：设L 为xoy 平面内的曲线弧，),(y x f 是L 上的有界函数,把L 分成n 个小弧段: Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示第i 个小弧段的弧长. 记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },在每 个小弧段Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ）,作和式n i 1 =∑),(i i f ηξΔs i ,如和式极限0lim →λn i 1 =∑),(i i f ηξΔs i 存在,且极限值与L 的分法和点（ξi ，ηi ）在Δs i 上的取法无关,则称此极限值为函数?(x,y)在曲线L 上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作 ? L ds y x f ),(,即 ? L i i ds f ),(ηξ=0lim →λn i 1 =∑),(i i f ηξΔs i 称),(y x f 为被积函数,L 为积分曲线弧. 注1:同前面一样,并非任一个函数),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若 ),(y x f 在L 上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定),(y x f 在L 上连续. 注2:显然物体M 的质量为:M=?L ds y x ),(ρ 注3:类似地,我们可定义),,(z y x f 对于空间曲线弧Γ的曲线积分: ? Γ ds z y x f ),,( =∑ =→?n i i i i i s f 1 ),,(lim ζηξλ 注4:若L 为闭曲线,则),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分记为?L ds y x f ),(
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分 1、 当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、 当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、 当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????
曲线积分： 在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。 分类： 曲线积分分为： （1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） （2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。 曲面积分： 定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。 第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。 第一型曲面积分：
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。 第二型曲面积分： 第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。