等腰三角形应用（讲义）
?课前预习
1.直角三角形全等的判定定理：_________________________．
2.线段垂直平分线上的点到_____________________________．
3.角平分线上的点到___________________________________．
4.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l
上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．
?知识点睛
1.垂直平分线相关定理：
①________________________________________________；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，P A=PB．
P
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证明：
A
B
2.角平分线相关定理：
①________________________________________________；
②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
已知：如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD．求证：点P在∠AOB的平分线上．Array证明：
3.在等腰三角形中，_________________，________________，______________
重合（也称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角
形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________．
? 精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ．
求证：直线AO 垂直平分线段BC ．
2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ．
∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小．
M
N
P C
B
O
A
C
B
O A
3.如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．
求证：AE平分∠F AC．F
A
E
D
C
4. 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的
高．
求证：AD 垂直平分EF ．
5. 如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，AE =AC ，连接CE ，点G 为EC 的中点，
连接AG 并延长交BC 于D ，连接ED ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于F ．求证：EC 平分∠DEF ．
G
F E
D
B
A
O
F E
D
C
B A
6. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，
CD ，BE 交于点O ．
求证：AB =AC ．
O
E
D C B
A
7.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交
BD的延长线于E，若CE=5 cm，求BD的长．
8.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CE平分∠ACB，
交AB于E，且AE=BE．
A
求证：BC=CD．
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或AC上取一点P，使
△ABP是等腰三角形，符合条件的点P有________个．
B
C
10.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，
若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C 有________个．
【参考答案】
?课前预习
1．SAS，SSS，ASA，AAS，HL
2．这条线段的两个端点的距离相等
3．这个角的两边的距离相等
4．这样的点有4个
?知识点睛
1．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
3．顶角的平分线底边上的中线底边上的高三线合一
等腰三角形
?精讲精练
1.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”）
2.55°，证明略
3.证明略（提示：过点E作EM⊥BF于M，EN⊥BD于N，EP⊥AC于P，证EP=EM）
4.证明略（提示：利用等腰△DEF“三线合一”，证明AD垂直平分EF）
5.证明略
6.证明略（提示：连接BC，证△ABC是等边三角形）
7.BD=10 cm（提示：延长BA交CE的延长线于F，先证△BCF是等腰三角形，
再证△ADB≌△AFC）
8.证明略（提示：过点E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，证明
△ABC是等腰三角形）
9.6个，作图略（两圆一线）
10.8个，作图略（两圆一线）
等腰三角形 专题一 与等腰三角形有关的探究题 1. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3……在射线 OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014 的边长为（ ） A.2013 B. 2014 C.20122 D. 20132 3. 如图,在△AB 1A 中, ∠B ＝20°,AB ＝1A B ，在1A B 上取一点C,延长1AA 到2A ,使得12A A ＝1A C ; 在2A C 上取一点D,延长12A A 到3A ,使得23A A ＝2A D ;……，按此做法进行下去,求∠n A 的度数. 4. 如图，点O 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC ，连接OD ． （1）试说明△COD 是等腰直角三角形； （2）当α=95°时，试判断△BOD 的形状，并说明理由．
5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 专题二等腰（边）三角形中的动点问题 6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN 与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论. 测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______. 7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
等腰三角形应用（讲义） ?课前预习 1.直角三角形全等的判定定理：_________________________． 2.线段垂直平分线上的点到_____________________________． 3.角平分线上的点到___________________________________． 4.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l 上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点． ?知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①________________________________________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，P A=PB． P 求证：点P在线段AB的垂直平分线上． 证明： A B
2.角平分线相关定理： ①________________________________________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 已知：如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD．求证：点P在∠AOB的平分线上．Array证明： 3.在等腰三角形中，_________________，________________，______________ 重合（也称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角
形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________． ? 精讲精练 1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ． 求证：直线AO 垂直平分线段BC ． 2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ． ∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小． M N P C B O A C B O A
等腰三角形培优专题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习 1．如图，已知△ A．7．5°ABC中， AB B．10° ＝AC ，AD ＝ C．12.5 ° AE ，∠ BAE D．18° ＝ 30 °，则 ∠ DEC 等于（）． 2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝ AB ＝ B′Ｂ，A′、 B 、 3．如图，则∠ BDC 等腰三角形 ＝ ________ ABC ． 中，AB ＝AC ，∠ A ＝20 °． D 是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连 结 CD ， 例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由． E
C A B D
练习 线交1．已知如图，在△ CA 的延长线于点 ABC中，AB＝CD，D是 F ，判断AD 与 AF 相等吗？ AB 上一点，DE⊥BC ， E 为垂足，ED? 的延长 2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与 A ． BD>BA 是等腰直角三角形，∠ BA 的大小关系是（ B ． BD八年级上册数学等腰三角形优秀教案
新人教版八年级上册《13.3.1等腰三角形》教学设计 一、教学内容解析 1.教材的地位和作用 等腰三角形的性质是人教版义务教育课程，八年级数学上册，第十三章第三节《等腰三角形》第一课时的内容。本节是在探究了两个三角形全等的条件及轴对称性质的基础上进一步认识特殊的轴对称图形——等腰三角形。主要是探究等腰三角形两个底角相等和等腰三角形底边上的高、中线及顶角的角平分线互相重合这两个性质，本节内容不仅为线段相等、角相等及两直线垂直的证明提供了新的依据，也是后续学习等边三角形、菱形、正方形等内容的基础。另一方面提高了学生的推理论证水平，使初中的推理证明学习进入严格的论证阶段。一些重要的思想和方法，如归纳、类比、方程等也将在本节课进一步强化和渗透，因此本节内容具有承上启下的重要作用。 2.教学目标设置 根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用性质。 （2）通过实践，观察，证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。 （3）引导学生观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的喜悦，建立学习的自信心。 3，教学重点和难点： 重点：等腰三角形性质的探究和应用 难点：等腰三角形性质的推理证明 二，学生学情分析 我所带的八年级学生来自农牧区，基础知识薄弱，虽然具有一定的独立思考、实践操作的能力，能进行简单的推理论证，但归纳概括表达能力欠缺。因此，在本节课的教学中，我让学生从已有的知识出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索的过程中先让学生小组交流得出结论后再和全班同学分享，逐渐锻炼学生敢于表达的意识，增强其自信心，让每个学生在数学上得到不同的发展。三，教学策略分析
初中数学人教版八年级上册实用资料 等腰三角形（讲义） ? 课前预习 1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ． （1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）； （2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）； （3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）． D C B A 2 1 2. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________． ? 知识点睛
1. ______________的三角形叫做等腰三角形． 2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________． 3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________． 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________． 4. 三边都______的三角形是等边三角形． 等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写： 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ． 证明： ? 精讲精练 1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应 的图上． C B C B C B A A A 108° 60° 2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____． D C B A
CD = BC ．求证：∠ACD =∠B ． ∴ BE = BC ∵ CD = BC B E ?BE = CD （已证） 等腰三角形（习题） 例题示范 例 1：如图，在△ ABC 中，AB =AC ，点 D 在△ABC 外， C D ⊥AD 于点 D ， 1 2 【思路分析】 A ① 读题标注： A B ② 梳理思路： 由条件 CD = 1 2 D C B D C BC ，可尝试取 BC 的中点 E ，此时结合等腰构造三线合一的线 AE ，如图所示． 要证∠ACD =∠△B ，可以证明 ABE ≌△ACD ． 【过程书写】 证明：如图，取 BC 的中点 E ，连接 AE ． A 过程规划： 1．辅助线描述 ∵E 是 BC 的中点 1 2 1 2 C D 2．说明三线合一 3．证明△ABE ≌△ACD 4．根据全等性质得结论 ∠ACD =∠B ∴BE =CD ∵AB =AC ，E 是 BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90° ∴∠AEB =∠D =90° 在 Rt △ABE 和 Rt △ACD 中 ? A B = AC （已知） ? ∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B 例 2：等腰三角形的周长为 12cm ，其中一边长为 5cm ，则该等腰三角形的底边 长为__________cm ．
【思路分析】 等腰三角形一边长为5cm，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ①如果5cm为底，则根据周长为12cm，可知腰长为3.5cm．此时两边之和大于 第三边，这个三角形存在． ②如果5cm为腰，则根据周长为12cm，可知底边长为2cm．此时两边之和大 于第三边，这个三角形存在． 综上，该等腰三角形的底边长为5cm或2cm． 巩固练习 1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠C的度数． A B C 2.如图，在△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°， ∠BAD=70°，则∠E=______． A A B D E C D B C 第2题图第3题图 3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，若CD=AD=BC，则 ∠A=_________． 4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点E，过点E 作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=9，则线段MN的长为（）
八年级上数学等腰三角形培优经典练习 A经典例题 例1、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线 OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，求∠AOB的度数。 例2已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证 2CE=BD． B、扎实基础 1 、已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________． 2、在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个 数是___________ A O C B E D A Q C P B
3、如图，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是___________ 4. 如图，O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E 点，若BC =10cm ，那么△ODE 的周长为___________ 5、如图，已知: P ，Q 是△ABC 边上BC 上的两点，且BP =PQ =QC =AP =AQ ，∠BAC 的度数___________． 6、 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______． 7、等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________． 8、 如图5，AB =AC ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若∠AFD=145°，则∠EDF =______． 9、下列命题正确的个数是（ ） ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距 离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10、 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A ．42° B ．60° C ． 36° D ． 46° 11、如图，∠ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ， ∠BAD =30°，且AD =AE ，则∠EDC 等于__________． 12、 如图，△ABC 中，点D 在AC 上，且AB =AD ， ∠ABC =∠C +30°，则∠CBD 等于__________． 13. 如图△ABC 中，∠ACB =90°，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ∶∠CAB =1∶3，则∠B 等于_______度． A F E D B D B A E C A D C B E
13.3.1 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 教学目标 （一）教学知识点 1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质． 3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求 1．经历作（画）出等腰三角形的过程，?从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 教学重点 1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用． 教学难点 等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学过程 提出问题，创设情境 在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，?并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，?还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ 导入新课 同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
A C A B I 作一条直线L ，在L 上取点A ，在L 外取点B ，作出点B 关于直线L 的对称点C ，连结AB 、BC 、CA ，则可得到一个等腰三角形． 提问： 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？ 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？?底边上的高所在的直线呢？ 等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． [例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数． 分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到
八年级上册等腰三角形练习题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.已知一个等腰三角形内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A ．20° B ．120° C ．20°或120° D ．36° 2.在等腰三角形中，腰上的高在三角形的外部，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在 3．在△ABC 中，如果只给出条件∠A ＝60°，还不能判定△ABC 是等边三角形，给出下面三种说法：（1）如果再加上条件“AB ＝AC ”，那么△ABC 是等边三角形；（2）如果再加上条件“D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ”，则△ABC 是等边三角形；（3）如果再加上条件“AB 、AC 边上的高相等”，那么△ABC 是等边三角形．其中正确的说法有（ ） A ．0 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上任一点，连接AD 并作等边△ADE ，若DE ⊥AB ，则 BD CD 的值是（ ） A.12 B.23 C ．1 D.32 5．如图1所示，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 图1 图2 6．如图2所示，AB ＝AC ，∠BAD ＝α，且AE ＝AD ，则∠EDC 等于（ ） A.12α B.13α C.14α D.23α 二、填空题（每小题6分，共24分） 7．等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为________cm. 8. 请你仔细观察图3中等边三角形图形的变换规律，写出你所发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：____________.
八年级数学上册专题练习：等腰三角形 基础训练 1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为(A) A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 9或7 2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D) A. 1,2,3 B. 1,1, 2 C. 1,1, 3 D. 1,2, 3 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角度数为(D) A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形； ③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 (第5题图) 5．如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论： ①EF＝BE＋CF； ②∠BOC＝90°＋1 2 ∠A； ③点O到△ABC各边的距离相等； ④设OD＝m,AE＋AF＝n,则S△AEF＝mn. 其中正确的结论是( A)
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ (第6题图) 6．如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中,哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③． 7．在△ABC中,AB＝22,BC＝1,∠ABC＝45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD＝90°,连结CD,则线段CD的长为__5或13__． (第8题图) 8．如图,在△ABC中,AB＝AC,D为CA延长线上一点,DE⊥BC,交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB＝AC除外)并加以证明． 解：AD＝AF.证明如下： ∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∵DE⊥BC, ∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°, ∴∠BFE＝∠D. ∵∠BFE＝∠DFA, ∴∠DFA＝∠D, ∴AF＝AD. 拓展提高
13．3 等腰三角形(第1课时) 教学目标 1．探索并证明等腰三角形的性质，体会数学中的转化思想． 2．能运用等腰三角形的性质进行证明和计算． 教学重点 等腰三角形的性质． 教学难点 性质的证明(辅助线的添加)及性质的应用． 一、创设情景，明确目标 请同学们拿出一张长方形纸片，按照老师要求对折，然后用剪刀或小刀裁去阴影部分，再把裁剪后的直角三角形展开．得到的三角形有什么是什么三角形呢？ 1．从折剪的过程可知，△ABC是什么三角形呢？ 2．在上述△ABC中，AB、AC、BC，∠B、∠C的名称是什么呢？ 3．上面剪出的等腰△ABC是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么(借助图中的线表示)? (1)由折叠和对称可知，在△ABC中，∠B与∠C的大小关系如何； (2)由折叠和对称又可知：∠BAD与∠DAC，BD与DC大小关系如何，AD与BC 的位置关系是什么？ 二、自主学习，指向目标 1．自学教材第75至77页． 2．请完成“《学生用书》”相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一等腰三角形性质的导出 活动一：由教材P 两个“探究”栏目，可以发现等腰三角形具有以下性质： 75 (1)等腰三角形的两个底角________； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边平分线、底边上的高________． 展示点评：1.请画出图形用符号语言表示性质1，并写出证明过程． 2．由性质的证明过程还可以得到哪些结论？ 3．等腰三角形是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？ 小组讨论：证明等腰三角形性质的思路是什么？ 反思小结：通过作底边上的高，证明三角形全等的方法得到等腰三角形的性质． 探究点二等腰三角形性质的应用 活动二：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD. 求△ABC各角的度数．
人教版八年级数学上册《等腰三角形》专题练习 基础训练 1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A ) A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 9或7 2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D ) A. 1，2，3 B. 1，1，2 C. 1，1，3 D. 1，2，3 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D ) A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 (第5题图) 5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论： ①EF ＝BE ＋CF ； ②∠BOC ＝90°＋1 2 ∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn . 其中正确的结论是( A ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ (第6题图) 6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交于点O .给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD .上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③． 7．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ ABC ＝45ABD ，使∠ABD ＝90°，连结CD ，则线段CD 的长为__5或13__．
第十二章等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 秦军强濮阳县第二实验中学 一、学习目标 （一）知识 1、理解掌握等腰三角形的性质。 2、运用等腰三角形的性质进行证明运算。 （二）方法 1.通过实践、观摩、证明等腰三角形的性质，发展学生推理能力。 2.运用等腰三角形的性质解决有关问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。 （三）情感 引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中对学生适时激励，帮助学生建立信心，体验成功乐趣。 学习重点：等腰三角形的性质定理的证明与应用 学习难点：辅助线的添加方法和推理性质定理的分析思路与证明 二、教学过程 ●课前激励：对上节课在同学们的优秀表现进行鼓励，从而激发同学们的信心。 ●创设生活情境，导入新课： 学生欣赏生活中的等腰三角形 （放映过程中引导学生：大家可以发现我们生活中处处存在数学。） 然后拿出一等腰三角形，请同学们说出腰、底、顶角、底角（正确的给予认可） 师：今天我们继续研究等腰三角形（板书：§12.3.1等腰三角形） 【阅读质疑自主探究】 教师：等腰三角形不仅在生活中应用广泛。在初中数学中也占有非常重要的位置，那它有什么性质呢？下面我们就共同走进愉快的探索之旅。请同学们自学课本第49页，解决以下问题： 活动探究：每个小组都有一张长方形纸，一把剪刀，请按照课本P49探究图示顺序剪出一个三角形，观察并思考下列几个问题：
问题1：你如何说明剪出的三角形是等腰三角形，它是轴对称图形吗？对称轴是什么？（学生 回答时，幻灯片显示，过程中要及时纠正学生“对称轴是折痕”的错误观念。 并加深等腰三角形概念的理解） 问题2：通过刚才的操作：你能猜想等腰三角形有什么性质吗？请小组内交流。 （ 学生回答过程中，老师启发：把手中的等腰三角形沿着折痕折叠再展开，你有什么发现？怎 样验证你的猜想？）如果学生有困难老师要启发：前面我门学过证明两角相等一种重要的思想，证它们所在的三角形全等。进而引导学生怎样作辅助线构造两个三角形， 引导要点：过哪一点作什么辅助线？ 请同学们讨论1分钟 ，之后由小组表述自己的观点。（按 中等生回答，优等生补充，总结，） ① 作AD ⊥ BC ② 作∠BAC 的平分线AD ③ 师：作底边上的中线可以吗？ （这个过程一定要把学生调动起来，讨论、交流、归纳。然后让学生发言）最后得出结论：等腰三角形的两个底角相等，即性质 1 【多元互动 合作探究】 1、得出性质1后，老师继续引导同学门再仔细观察两个全等的三角形，除了得到线段相等，还能得到什么相等？ A D 和B C 又有什么位置关系？你还有什么猜想?请同学们以小组为单位，共同探究。 2、学生探究过程中，老师巡视指导学困组的学生，（最后由小组同学回答，得出结论 ：等腰三 角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线重合。即性质2 ） 3、最后由小组的同学能证明，写出推理过程 已知：△ABC 中，AB=AC AD ⊥ BC 于D 求证：AD 为∠BAC 的平分线 BD=DC （学生写证明过程，一同学上黑板做） A C B A D C