浅谈微积分在高中数学解题中的应用

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1 / 15 微积分在中学数学教学中的应用

摘 要

微积分是高中数学新增加的容,也是大学数学的重要的基础课程,容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础,提供以直代曲,把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式,在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.

在高中阶段开设部分微积分的容,不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求,也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容,在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中,没有得到它应有的体现,难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.

论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书 数学》第三册〔选修2—2〔人民教育 ,从微积分产生的时代背景和历史意义出发,简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义,论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性,通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究,结合现代教育教学理论,归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.

关键词：微积分；导数；应用

目 录

1引言1

2文献综述3

2.1国外研究现状3

2.2国外研究现状评价3

2.3提出问题4

3微积分在中学数学教学中的应用4

3.1微积分与中学数学的联系4

3.2微积分在中学数学中的地位和作用4

3.3微积分在中学数学解题中的应用5 .

2 / 15 导数在求曲线的切线中的应用5

导数在不等式证明中的应用5

导数在恒等式证明中的应用的6

导数法在求函数极值、最大〔小值中的应用7

导数在几何上的应用9

导数在方程解的问题上的应用9

导数在数列问题中的应用9

运用微分学知识研究函数图像[4]10

4定积分在中学数学中的应用10

4.1定积分在求曲边形面积上的应用10

高考数学中的微积分中值定理应用

在高中数学教学中，微积分中值定理是一个十分重要的概念。这个定理不仅是微积分的基石，也是解决许多实际问题的关键。在高考数学中，中值定理应用广泛，掌握这个概念不仅对于考生来说非常重要，对于实际生活中的数学应用也有重要意义。

一、中值定理的基本概念

中值定理是微积分中的一种非常基本的定理，它基于微积分的洛必达法则。中值定理是指在某些条件下，如果一个函数在两个端点位置的值相等，那么这个函数在这两个点之间必然有一点值等于这个函数在两端点位置上的平均值。数学形式为：

若$f(x)$在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，$f(a)=f(b)$，则存在一个$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

二、中值定理的实际应用

中值定理有许多实际的应用。下面我们来看几个典型例子。

1. 速度平均值

假设一个物体在时间$t$内沿着轴线移动$x$的距离，速度$v=x/t$。那么，如果这个物体在$t_1$和$t_2$时刻在同一位置，也就是说，$x(t_1)=x(t_2)$，那么速度$v(t)$在$t_1$和$t_2$时刻之间必然存在一点$v(t_0)$等于$v$的平均值，也就是：

$v(t_0) = \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$

这个式子与中值定理的形式非常相似。只需要令$f(t)=x(t)$，$a=t_1$，$b=t_2$，那么根据中值定理就可以得到上述式子。这是中值定理的一个典型应用，也是物理学中很常见的应用。

2. 单调递增函数与单调递减函数

如果一个函数在一个区间内的导数为正，我们就称这个函数是单调递增的。相反，如果这个函数在这个区间内的导数为负，我们就称这个函数是单调递减的。那么，根据中值定理，一个函数在一个区间内连续且可导的时候，如果导数始终为正，那么这个函数就是单调递增的，如果导数始终为负，那么这个函数就是单调递减的。

高中物理教学中引入微积分方法的必要性

2003年制定的“普通高中物理课程标准”中，强调“在科学探究与学习过程中，应用物理学研究方法、数学工具的能力”。高考的考试能力要求中强调“运用物理规律和数学方法确定物理量之间的定量关系”和“找出物理量之间的关系，利用恰当的数学方法进行分析求解”。但现行的高中物理教材主要讲解物理概念和规律，对解决物理问题所用到的数学方法很少提及。

高中阶段，学生应该采用什么数学方法解决物理问题呢？这取决于高中阶段学生的数学基础。函数概念、基本初等函数、导数及其应用、定积分、空间向量等内容包含在“普通高中数学课程标准”中，也是高中数学教学中要求掌握的知识内容所以高中学生已掌握了较广泛的数学知识和数学方法。遗憾的是这些数学方法没有被有效地利用起来去解决物理问题。

高中物理教材的编写对数学方法的忽视是导致这一现象的首要原因。高中教学中，教师和学生首先要按照课本逐步进行，课堂内容、考试要求、参考书、辅导书都以课本为基础对课本解读。所以，课本对数学方法的忽视，就会导致整个高中教学对数学方法的忽视。高中教师因循守旧、各自为战的教学模式是导致这一现象的另一原因。教师沿袭十几年前的教学模式和题目设置，埋头于本学科教学而不关心数学课程教学内容，竟未发现数学课程已为你准备了更好的工具。

数学方法是物理教育的重要组成部分，物理规律和数学方法本来就是一个整体，二者的教学应当同步进行。目前，高中物理课程中的数学方法

明显落后于高中生的数学水平，学生已熟练掌握的函数、导数、定积分等内容，没有应用在物理课程中，建议在以下几个方面做些改进。

一、高中物理教材中应体现函数的概念和应用

函数可以描述事物运动变化的动态过程，是描述变量之间依赖关系的数学模型。相对于刻画静态现象的数，函数更利于描写现实世界中运动变化的动态现象，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。物理量之间的依赖关系是典型的函数关系，在物理教材中应指出这种函数关系，用数学语言明确表达。明确函数关系有助于学生运用初等函数的性質解决和理解物理问题。

- 1 - 微积分在高中数学教学中的应用

微积分是高中数学教学中的一门重要课程，它对于学生的数学思想和能力的提高有着重要的作用。微积分在高中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面：

1. 函数的极限和导数

微积分中的函数极限和导数是高中数学教学中的重点内容。通过这些概念的学习，学生可以理解函数的增减性、单调性等基本性质，掌握求导的方法和技巧，进一步探究函数的运动规律和变化趋势。

2. 积分的概念和应用

微积分中的积分概念和应用是高中数学教学中的重点内容之一。通过学习积分的基本概念和方法，学生可以掌握曲线下面积的计算方法，进而应用于各种实际问题的求解，如物体的质心、物理学中的力学问题等。

3. 微分方程的解法

微积分中的微分方程及其解法是高中数学教学中的难点内容。通过学习微分方程的基本概念和解法，学生可以理解微分方程的物理意义和应用，掌握常微分方程初值问题的解法，进而应用于各种实际问题的求解，如生物学中的人口增长问题、物理学中的振动问题等。

综上所述，微积分在高中数学教学中的应用是非常重要的。通过学习微积分的相关知识和方法，学生可以进一步提高数学思维能力和解决实际问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的数学基础。