新定义题
第I 卷（选择题)
一、单选题
1．定义一种新运
算：??
?<≥=?)
(,)(,b a b b a a b a ，已知函数x x x f 22
)(?=，若函数
k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）
A ．（0,1）
B ．]2,1(
C ．),2[+∞
D ．),2(+∞
【解析】试题分析：由题可知，x
x x f 22)(?=?????
??><<<=)
1(2)10(2)
0(2x x x
x x x ，画出图像如图，当函
数k x f x g -=)()(恰有两个零点，即函数k x f =)(有两个交点时，实数k 的取值范围为),2(+∞；
2．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
(),()(),()K f x f x K f x K f x K
≤?=?>?，取函数||
()2x f x -=，当12K =时，函数()K f x 的单调
递增区间为（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．(,1)-∞-
D ．(1,)+∞ 【解析】试题分析：依题意可知，当||
()2
x f x -=，12
K =
时 ||||||
||1(),1122,22,||12()2,1111,||1,21
2,112
22
x
x x x x K x x x f x x x x ----?≥???≤≥????
?===≤-??????-<
根据指数函数的图象与性质可知，函数()K f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，故选C.
试卷第2页，总18页
考点：1.函数的新定义问题；2.分段函数；3.函数的单调性；4.指数函数的图象与性质. 3．设函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数； ②存在
[],a b D ? ()b a >,使得()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么就称()y f x =是定义
域为D 的“成功函数”.若函数()()
2log (0,1)x a g x a t a a =+>≠是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为 ( ) A ．1,
4?
?-∞ ??? B ．1,14?? ??? C ．10,4?? ??? D ．10,4?? ???
【解析】试题分析：无论01a <<，还是1a >，都有()g x 是增函数， 故()g a a =，
()g b b =，所以方程()g x x =有两个根，即2x x a a t =+有两个根，设x m a =，则直
线y t =与函数2
(0)y m m m =-+>有两个交点，
画出这两个图象可以看出t 的取值范围是10,4?? ???
，显然此时函数定义域为R . 4．定义：对于一个定义域为 的函数 ，若存在两条距离为 的直线 和
，使得 时，恒有 ，则称 在 内有一个宽度为 的通道。下列函数：
① ；② ；
③
；④ . 其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．②③④
【答案】D 【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通道都存在.
5．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)
()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13
++-=x x y ；
②)cos sin (23x x x y --=；③1+=x
e y ；④()ln ||
00
x x f x x ≠?=?
=?，其中“H 函
数”的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【解析】试题分析：：∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)
()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>恒成立，
∴不等式等价为()()()12120x x f x f x -->????恒成立，即函数f （x ）是定义在R 上的
增函数．
①13
++-=x x y ；'
2
31y x =-+，则函数在定义域上不单调．②
)cos sin (23x x x y --=；y'=3-2（cosx+sinx ）sin （x+
4
π
）＞0，函数单调递增，满足条件．③1+=x
e y 为增函数，满足条件． ④()ln ||0
0x x f x x ≠?=?
=?，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，
6．设函数 的定义域为R,若存在常数M>0，使 对 一切实数x 均成 立，则称 为“倍约束函数”，现给出下列函数：① ：② ：③ ；④
⑤ 是定义在实数集R 上的奇函数，且
对一切 均有 ,其中是“倍约束函数”的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【解析】试题分析：解：①对于函数 ，存在 ，使 对 一切实数x 均成 立，所以该函数是“倍约束函数”；
②对于函数 ，当 时， ，故不存在常数M>0，使 对 一切实数x 均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”；
③对于函数 ，当 时， ，故不存在常数M>0，使 对 一切实数x 均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”； ④对于函数
，因为当 时， ；
当 时，
，所以存在常数
，使
对 一切实数x 均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”；
⑤由题设 是定义在实数集R 上的奇函数， ，所以在 中令 ，于是有 ，即存在常数 ，使 对 一切实数x 均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”； 综上可知“倍约束函数”的有①④⑤共三个，所以应选C ． 考点：1、新定义；2、赋值法；3、基本初等函数的性质．
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第II卷（非选择题)
二、填空题
7．若定义在区间上的函数同时满足条件：（1）在上是单调函数；（2）存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数为区间上的闭函数，下列说法正确的是______。
①函数在定义域上是闭函数；②函数不是上的闭函数；③若一个函数是定义域上的闭函数，则满足定义中条件（2）的区间是唯一的；④函数是上的闭函数，且满足定义中的条件（2）的区间为【答案】②④【详解】①不是闭函数，如取x1=2，x2=3，则f（x2）-f（x1）=，如取x1=，x2=，而f（x2）-f（x1）=>0,故f（x）在上不是单调函数，也不是闭函数，故①不正确；
②在上是单调递增函数，若存在b>a,f（a）=2a+1，有f(b)=2b+1>2a+1，即值域为[2a+1,2b+1]，若满足闭函数条件，则a=2a+1，b=2b+1，解得a=b= -1，与b>a不符，故②不是闭函数，②正确；
③如y=x，在R上是单调递增函数，y=x在[1,5]的值域为[1,5],在[2,3]上的值域为[2,3]，故在R上是闭函数，且存在两个，故③不正确；
④根据闭函数的概念，易知是上的闭函数，
∵y= -x3是[a，b]上的减函数，则＝＝
＝＝，解得a= -1，b=1，故④正确.
故答案为②④.
8．设函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数。
如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是。
如果定义域为R的函数是奇函数，当时，，且为R
上的4高调函数，那么实数的取值范围是。
【解析】根据题意可知在[﹣1，+∞）上的任意x（设x＝x+m）有y≥﹣1恒成立，推断出m≥﹣1﹣x恒成立，进而根据x的范围可推知﹣1﹣x最大为0，判断出m的范围，进
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
_
_
_
_
_
_
_
姓
名
：
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
班
级
：
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
考
号
：
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
而根据f（x+m）≥f（x），求得（x+m）2≥x2，化简求得m≥﹣2x恒成立，进而根据x
的范围确定﹣2x的范围，进而求得m的范围．定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0
时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，画出函数图象，可得4≥3a2﹣（﹣a2）得﹣1≤a≤1
9．定义区间长度为，已知函数
的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为___________.
【解析】试题分析：因为的定义域为{x|x0},所以
。函数在区间
上单调递增，则，所以
所以，因为m,n同号，所以
。
，n-m取最大值为
，此时。
10．设函数()
f x的定义域为D，若函数()
y f x
=满足下列两个条件，则称()
y f x
=
在定义域D上是闭函数.①()
y f x
=在D上是单调函数；②存在区间[],a b D
?，使()
f x在[],a b上值域为[],a b.如果函数()
f x k
=为闭函数，则k的取值范围是__________.
【解析】若函数()
f x k
=为闭函数，则存在区间[],a b，
在区间[],a b上，函数()
f x的值域为[],a b，
即{
a k
b k
=
=
，∴a，b是方程x k
=的两个实数根，
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即a ， b 是方程()2212210,2x k x k x x k ??
-++-=≥-
≥ ???
的两个不相等的实数根，
当1
2
k ≤-
时， ()()
()2
2
222410111{2210 242221
22
k k f k k k ???=-+-->??
??-=+++-≥ ???
+>- 解得1
12
k -<≤-
； 当12
k >-
时， ()()
()()2
2
22
22410{
2210 22
2k k f k k k k k k k ???=-+-->??
=-+?+->+< 解得k 无解．综上，可得1
12
k -<≤-．
11．设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使
（为常数）成立。则称函数在上的“均值”为。已知
四个函数： ①
；②；③；④
上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为１的函数
是 ．（填入所有满足条件函数的序号）
解：①对于函数3
y x = ，定义域为R ，设x R ∈ ，由
33
12
x y += ，得332y x =- ，所以y R =，所以函数3
y x =是定义域上的“均值”为１的函数；
②对于函数12x y ??= ??? ，定义域为R ，设x R ∈ ,由
11221,2x y
????
+ ? ?????=得：
11222y
x
????
=- ? ?????
， 当2x =-时 ，2
1222-??-=- ??? ，不存在实数y 的值，使122y
??
=- ???
，所以该函
数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数ln y x = ，定义域是()0,+∞ ，设
l n l n
12
x y
+= ，得l n 2l n y x =- ，
()f x D x D ?∈y D ∈()()
2
f x f y C +=C ()f x D C 3()y x x R =∈1
(2
x y =()x R ∈ln ((0,))y x x =∈+∞2sin 1().y x x R =+∈
……○…………装…………○…………订…………○…………线学校:___________姓名：___________班级：_________考号：__________
……○…………装…………○…………订…………○…………线则2ln x
y e
R -=∈ ，所以该函数是定义域上的均值为1的函数；
④对于函数2sin 1y x =+ ，定义域为R ，设x R ∈ ,由
2sin 12sin 1
12
x y +++= ，
得sin sin y x =- ，因为sin [1,1]x -∈- 所以存在实数y ，使得 sin sin y x =-成立，所以函数2sin 1y x =+在其定义域上是均值为1的函数. 12．函数
的定义域为
，若
且
时总有
，则称
为单函数，例如:函数是单函数．下列命题：
①函数是单函数； ②指数函数
是单函数； ③若
为单函数，
且
，则
；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数； ⑤若
为单函数，则函数
在定义域上具有单调性。
其中的真命题是______．（写出所有真命题的编号）
【解析】试题分析：这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新知识，并加以应用.如①中 ，但 ，故不是单
函数；②指数函数是单调函数， ，是单函数，
②正确；③若为单函数，则命题“
且
，则
”与命
题“若
且
时总有
”是互为逆否命题，同为真，③正确；
对④来讲，根据单调函数的定义， 时一定有 （或 ），故
时总有
，因此④正确；⑤若
为单函数，但函数
在
定义域上不具有单调性，如 是单函数，不是单调函数.故正确的有②③④．
13．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ； ②对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有
，则称函数 为“理想函数”.
给出下列四个函数中： ①
，②
， ③
，④
，
能被称为“理想函数”的有_____________（填相应的序号）.
【解析】由题意，性质①反映了函数 为定义域上的奇函数，性质②反映了函数 为定义域上的单调递减函数，
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①中，函数
为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以不正确； ②中，函数 为定义域上的偶函数，所以不正确； ③中，函数
的定义域为 ，由于 为单调增函数，所
以函数
为定义域上的增函数，所以不正确；
④中，函数
的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为理想函数，综上，答案为④．
14．对于函数)(x f y =的定义域为D,如果存在区间D n m ?],[同时满足下列条件: ①)(x f 在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时, )(x f 的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H 区间”.若函数?
??≤-->-=)0()
0(ln )(x a x x x x a x f 存在“H 区间”,则正数a
的取值范围是____________.
【解析】试题分析：当0x >时，()ln f x a x x =-，'()1a a x
f x x x
-=-=
，'()0f x ≥，得
0a x
x
-≥，得0x a <≤，此时函数()f x 为单调递增，当x n =时，取得最大值，当x m =时，取得最小值，即ln ln a n n n
a m m m
-=??
-=?，即方程ln a x x x -=有两解，即方程
2ln x a x =
有两解，作出2ln x y
x =的图像，由图像及函数的导数可知，
当1x >时，2ln x y x
=在x e =时取得最小值2e ，在x a =
时，2ln a
a ，故方程2ln x a x =有两解，2ln a
a a ≤，即
2a e ≤，故a 的取值范围为2(2,
]e e ；
当x a >时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最
小值，即ln ln a m m n
a n n m
-=??
-=?，两式相减得，ln ln 0a m a n -=，即m n =，不符合；
当0x ≤时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最
小值，即a n
a m
==1=，回带到方程组的第一个
式子得到1a n -=，整理得到1n a -=，由图像可知，方程有两个解，则3(,1]4a ∈综上所述，正数a 的取值范围是23(,1]
(2,]4
e e ．
15．已知函数 ，对函数 ，定义 关于 的“对称函数”为函数 .即 满足对任意 ，两点 关于点
…………线……………………线………… 对称.若 是 关于 的对称函数，且 恒成立，则实数 的取值范围是__________．
【解析】由“对称函数”的定义及中点坐标公式得
所以，
， 恒成立即 ， 恒成立，亦即直线 位于半圆 的上方.在同一坐标系内，画出直线 及半圆
（如图所示），当直线与半圆相
切时，
解得 ，故答案为 .
三、解答题
16．对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n I ?，同时满足： ①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n ，()f x 值域也是[],m n ，则称
[],m n 是函数()y f x =的“好区间”.
（1）设()()()l o g
2l o g
3x
x
a
a
g x a
a a a =-+-（其中0a >且1a ≠）
，判断()g x 是否存在“好区间”，并说明理由； （2）已知函数()
()()2
21,0t t x P x t R t t x
+-=
∈≠有“好区间”[],m n ，当t 变化时，求
n m -的最大值.
【答案】（1）()g x 不存在“好区间”；（2）n m -. 试题解析：（1）由20330
x x
x
a a a a a a ?->??>?->??. 2分 ①当1a >时，log (3)a x a >，此时定义域(log (3),)a D a =+∞，12,x x D ?∈，12x x <， 12x x a a <，12022x x a a a a ∴<-<-，12033x x a a a a <-<-， 12log (2)log (2)x x a a a a a a ∴-<-，12log (3)log (3)x x a a a a a a -<-，
12()()g x g x ∴<，()g x ∴在(log (3),)a D a =+∞内是增函数； 4分
②当01a <<时，log (3)a x a <，此时定义域(,log (3))a D a =-∞， 同理可证()g x 在(,log (3))a D a =-∞内是增函数； 6分
○
…
…
…
…
外
○
…
…
…
…
内()
g x
∴存在“好区间”[],m n,()
m n D m n
??∈<，
()
()
g m m
g n n
=
?
?
=
?
?关于x的方程()
f x x
=在定义域D内有两个不等的实数根.
即(2)(3)
x x x
a a a a a
--=在定义域D内有两个不等的实数根.(*)
设x
t a
=，则(*)?(2)(3)
t a t a t
--=，
即22
(51)60
t a t a
-++=在(3,)
a+∞内有两个不等的实数根，
设22
()(51)6
p t t a t a
=-++，则
22
22
0,1,
(51)240
51
3,
2
(3)9(51)360
a a
a a
a
a
p a a a a a
>≠
?
?
?=+->
??
?+
>
?
?
=-++>
??
无解.
所以函数()
g x不存在“好区间”. 8分
（2）由题设，函数()
()
()
2
2
1
,0
t t x
P x t R t
t x
+-
=∈≠有“好区间”[],m n，
[,](,0)
m n
∴?-∞或[,](0,)
m n?+∞，函数()2
11
t
P x
t t x
+
=-在[],m n上单调递增，()
()
p m m
p n n
=
?
∴?
=
?
，所以,m n是方程()
p x x
=，即方程()
22210
t x t t x
-++=有同号的相
异实数根. 12分
2
1
mn
t
=>，,m n同号，222
()401
t t t t
∴?=+->?>或3
t<-.
n m
∴-==,(,3)(1,)
t∈-∞-+∞.
当3
t=，n m
-取得最大值
3
. 16分
17．（本小题满分12分）
若函数()
f x满足下列两个性质：
①()
f x在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在()
f x的定义域内存在某个区间使得()
f x在[,]
a b上的值域是
11
[,]
22
a b．则我们称
()
f x为“内含函数”．
（1）判断函数()
f x x
=是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数()
f x t
=是“内含函数”，求实数t的取值范围．
试卷第10页，总18页
………：______………【答案】（1）y =0,4a b ==（2）1
02
t <≤ 试题解析：（1）y =
[)0,+∞，所以y =
[)0,+∞上是单调函数，
设y =[],a b 上的值域是，由1212
a b
==解得04a b =??=?，所以y =内含函数，且0,4a b == （2）设()g x ，则()g x 是定义在[)1,+∞上的增函数
()g x 是内含函数∴
存在区间[][),1,a b ?+∞，满足()()11,22
g a a g b b == 即方程x x g 21
)(=
在),1[+∞内有两个不等实根． 方程x t x 2
1
1=+-在),1[+∞内有两个不等实根，令m x =-1则其化为:
)1(2
1
2m t m +=+即0)21(22=-+-t m m 有两个非负的不等实根．
从而有:2100
00
2
121≤
??≥>+>?t x x x x ；
18．设定义在 上的函数 满足：对于任意的 、 ，当 时，都有 . （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 为周期函数，证明： 是常值函数；
（3）设 恒大于零， 是定义在 上、恒大于零的周期函数， 是 的最大值. 函数 . 证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”. 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）解：由f （x 1）≤f （x 2），得f （x 1）﹣f （x 2）＝a （x 13﹣x 23）≤0，
∵x 1＜x 2，∴x 13﹣x 23
＜0，得a ≥0．故a 的范围是[0，+∞）； （2）证明：若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0 R ，则有 f （x 0）＝f （x 0+T k ），
由题意，对任意x [x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+T k ），∴f （x 0）＝f （x ）＝f （x 0+T k ）． 又∵f （x 0）＝f （x 0+nT k ），n Z ，并且
…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…＝R ，∴对任意x R ，f （x ）＝f （x 0）＝C ，为常数；
（3）证明：充分性：若f （x ）是常值函数，记f （x ）＝c 1，设g （x ）的一个周期为
试卷第12页，总18页
T g ，则h （x ）＝c 1?g （x ），则对任意x 0 R ，
h （x 0+T g ）＝c 1?g （x 0+T g ）＝c 1?g （x 0）＝h （x 0），故h （x ）是周期函数； 必要性：若h （x ）是周期函数，记其一个周期为T h ．
若存在x 1，x 2，使得f （x 1）＞0，且f （x 2）＜0，则由题意可知， x 1＞x 2，那么必然存在正整数N 1，使得x 2+N 1T k ＞x 1， ∴f （x 2+N 1T k ）＞f （x 1）＞0，且h （x 2+N 1T k ）＝h （x 2）． 又h （x 2）＝g （x 2）f （x 2）＜0，而
h （x 2+N 1T k ）＝g （x 2+N 1T k ）f （x 2+N 1T k ）＞0≠h （x 2），矛盾． 综上，f （x ）＞0恒成立．
由f （x ）＞0恒成立，任取x 0 A ，则必存在N 2 N ，使得x 0﹣N 2T h ≤x 0﹣T g ， 即[x 0﹣T g ，x 0] [x 0﹣N 2T h ，x 0]，
∵…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…＝R ，
∴…∪[x 0﹣2N 2T h ，x 0﹣N 2T h ]∪[x 0﹣N 2T h ，x 0]∪[x 0，x 0+N 2T h ]∪[x 0+N 2T h ，x 0+2N 2T h ]∪…＝R ．
h （x 0）＝g （x 0）?f （x 0）＝h （x 0﹣N 2T h ）＝g （x 0﹣N 2T h ）?f （x 0﹣N 2T h ）， ∵g （x 0）＝M ≥g （x 0﹣N 2T h ）＞0，f （x 0）≥f （x 0﹣N 2T h ）＞0．
因此若h （x 0）＝h （x 0﹣N 2T h ），必有g （x 0）＝M ＝g （x 0﹣N 2T h ），且f （x 0）＝f （x 0﹣N 2T h ）＝c ．而由（2）证明可知，对任意x R ，f （x ）＝f （x 0）＝C ，为常数． 综上，必要性得证．
19．定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 ，满足
，则称函数 是 上的“平均值函数”， 是它的均值点.
（1） 是否是 - ， 上的“平均值函数”，如果是请找出它的均值点；如果不是，请说明理由；
（2）现有函数 是 - ， 上的平均值函数，则求实数 的取值范围. 【答案】（1）它的均值点为 ；（2） . 【详解】（1）
，又由于 的解有且只有 ，所以 是 上
的“平均值函数”，且它的均值点为 ；
（2）因为函数 是 - ， 上的平均值函数，所以
，
即关于 的方程 在 内有实数根，即 在 内有实数根，
令 ，则 ，
当 ，即
时，函数 在 有一个零点，满足条件；
当 ，即 时，方程 根为
，满足条件；
当 ，即
时，要使得方程 在 内有实数根，则 ，且函数的对称轴在 上，即
，解得
； 综上： .
20．若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1) 判断函数g(x)=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2) 若函数f(x)=(x –1)2在定义域[m ，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；
(3) 已知函数f(x)=(x –a)2 (a<
43)在定义域[43，4]上为“依赖函数”．若存在实数x ∈[4
3
，4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式f(x)≥–t2+(s –t)x+4都成立，求实数s 的最大值． 【答案】（1）g(x)=2x 是“依赖函数”（2）()4,mn ∈+∞（3）
1
4
试题解析：(1) 对于函数g(x)=2x 的定义域R 内任意的x1，取x2= –x1，则g(x1)g(x2)=1， 且由g(x)=2x 在R 上单调递增，可知x2的取值唯一， 故g(x)=2x 是“依赖函数”；
(2) 因为m>1，f(x)=(x –1)2在[m ，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m –1)2(n –1)2=1， 由n>m>1，得(m –1) (n –1) =1，故1
m
n m =-， 由n>m>1，得1 从而21 1211 m mn m m m = =-++--在()1,2m ∈上单调递减，故()4,mn ∈+∞， (3) 因43a < ，故()()2f x x a =-在4,43?? ???? 上单调递增， 从而()4413f f ???= ???，即()2 24413a a ?? --= ??? ，进而()4413a a ??--= ???， 解得1a =或13 3 a = (舍)， 从而，存在4,43 x ??∈??? ? ，使得对任意的t ∈R ，有不等式()()2 214x t s t x -≥-+-+都 试卷第14页，总18页 成立，即()22 230t xt x s x ++-+-≥恒成立，由()22 4230x x s x ???=--+-≤??， 得()2 42312s x x +≤-，由4,43x ??∈???? ，可得()12 423s x x +≤-， 又123y x x =- 在4,43x ?? ∈????单调递增，故当4x =时， max 1239x x ? ?-= ?? ?， 从而()429s +≤，解得14s ≤ ，故实数s 的最大值为1 4 ． 21．若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为[ a b 1 ,1]，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”．定义在[]2,2-上 的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时， 2()2g x x x =-+． （Ⅰ）求()g x 的解析式； （Ⅱ）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”； （Ⅲ）若函数()g x 在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数y =()h x 的图像，是否存在实数m ，使集合()()()2{,}{,}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素． 【答案】（Ⅰ）()[][)222,0,22,2,0x x x g x x x x ?-+∈?=?+∈-??（Ⅱ）11,2?+??? （Ⅲ）2m =- 【解析】试题解析：（Ⅰ）当[)2,0x ∈-时， ()()()()2 222g x g x x x x x ??=--=---+-=+? ? ()[][)2 22,0,22,2,0x x x g x x x x ?-+∈?=?+ ∈-?? （Ⅱ）设1≤a ＜b ≤2，∵()g x 在[]1,2x ∈上递减， ∴()()221212g b b b b g a a a a ?==-+????==-+??整理得 ()()()()22 110110a a a b b b ?---=??---=??，解得112 a b =?? ?+=??． ∴()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为??? ?． （Ⅲ）∵()g x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11,b a ?????? ，其中,,0a b a b ≠≠ ∴11a b b a ? a ＜ b ≤2或－2 ≤a ＜b ＜0 当0＜a ＜b ≤2时，根据()g x 的图像知，()g x 最大值为1， [)1 1,1,2a a ≤∈， ∴1≤a ＜b ≤2，由（Ⅱ）知()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为1,2???? ； 当－2≤a ＜b ＜ 0时间，()g x 最小值为-1， (]1 1,2,1b b ≥-∈--， ∴21a b - ≤<≤-，同理知()g x 在[]2,1--内的“倒域区间”为112?? -- ? ??? ． ()2 2 12,1,212,12x x x h x x x x ??+-+∈????? =? ??+?+∈--?????? 依题意：抛物线与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程222x m x x +=-+，在??? ?内恰有一个实数根，并且使方程222x m x x +=-+，在1? -??? 内恰有一个实数 由方程2 22x x m -=在???? 内恰有一根知20m -≤≤； 由方程222x m x x +=-+在1,12?? --???? 内恰有一根知12m -≤≤-， 综上：m ＝－2． 22．记函数 的定义域为D . 如果存在实数 、 使得 对任意满足 且 的x 恒成立，则称 为 函数. （1）设函数 ，试判断 是否为 函数，并说明理由； （2）设函数 ，其中常数 ，证明： 是 函数； （3）若 是定义在 上的 函数，且函数 的图象关于直线 （m 为常数）对称，试判断 是否为周期函数？并证明你的结论. 试卷第16页，总18页 ……○……○【答案】(1) 是 函数(2)见解析(3) 函数 为周期函数 解析：（1） 是 函数 理由如下： 的定义域为 ， 只需证明存在实数 ， 使得 对任意 恒成立. 由 ，得 ，即 . 所以 对任意 恒成立. 即 从而存在 ，使 对任意 恒成立. 所以 是 函数. （2）记 的定义域为 ，只需证明存在实数 ， 使得当 且 时， 恒成立，即 恒成立. 所以 ， 化简得， . 所以 , . 因为 ，可得 ， , 即存在实数 ， 满足条件，从而 是 函数. （3）函数 的图象关于直线 （ 为常数）对称， 所以 （1）， 又因为 （2）， 所以当 时， 由（1） 由（2） （3） 所以 （取 由（3）得） 再利用（3）式， . 所以 为周期函数，其一个周期为 . 当 时，即 ，又 ， 所以 为常数. 所以函数 为常数函数， ， 是一个周期函数. 综上，函数 为周期函数 23．定义在定义域 内的函数 ，若对任意的 都有 ………订…………○…………线…………○……___________考号：___________ ………订…………○…………线…………○……，则称函数 为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数,（ )是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如 果不是，请说明理由. 【答案】函数,（)是“妈祖函数”. 【解析】因为 ， 是“妈祖函数”.（2分） 24．定义：若对定义域内任意x ，都有 （a 为正常数），则称函数 为“a 距”增函数． （1）若 ， (0， )，试判断 是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若 ， R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （3）若 ， (﹣1， )，其中k R ，且为“2距”增函数，求 的最 小值． 【答案】（1）见解析； （2） ； （3） . 【解析】（1）任意 , , 因为 , , 所以 ，所以 ，即 是“1距”增函数。 （2） . 因为 是“ 距”增函数，所以 恒成立， 因为 ,所以 在 上恒成立， 所以 ，解得 ，因为 ,所以 . （3）因为 ， ，且为“2距”增函数， 试卷第18页，总18页 所以 时， 恒成立，即 时， 恒成立， 所以 ， 当 时， ，即 恒成立， 所以 , 得 ; 当 时， - ，得 恒成立， 所以 ,得 ,综上所述，得 . 又 ，因为 ,所以 ， 当 时，若 ， 取最小值为 ； 当 时，若 ， 取最小值. 因为 在R 上是单调递增函数， 所以当 ， 的最小值为 ；当 时 的最小值为 ， 即 . 函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ． 高一数学常用公式及结论 必修1： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集， 记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集， 记为U C A 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m ? a n = a m + n ，（2）n m n m a a a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( a b ) n = a n ? b n （5） n n n b a b a =??? ??（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=- （8）m n m n a a =（9）m n m n a a 1=- 2、根式的性质 （1）()n n a a =. （2）当n 为奇数时，n n a a =； 当n 为偶数时，,0 ||,0 n n a a a a a a ≥?==? - 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????????=∈∈???=??=?=???????????=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. 数学定义 一.集合与函数 1. 的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特和殊情况，不要忘记了借助数轴文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法 11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求 参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 二.不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b 三.数列 高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质 （1）当n a =； 高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。 高中数学概念课教学 摘要培养创新精神和实践能力是目前我国教育改革，实施素质教育的重要任务之一，它要求我们在日常教学中持之以恒地认真钻研教材，合理创设问题情景，加强思维训练，并积极探索规律，改进教学方法，优化教学过程。笔者在高中数学概念教学中，发现教师若能充分重视数学概念的教学，在概念教学中恰当的把握好传授知识与增长能力的关系，充分尊重学生在学习过程中的主体体验、主动积极的思维和情感活动，才能循序渐进地引导学生在体验中感悟、在体验中创造、在体验中提高数学素养，帮助学生认识、理解、体验和掌握数学概念，促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题。发展学生学会学习、学会思考、学会提问和开拓创新的能力。 关键词数学概念认识掌握拓展应用 数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明确概念——应用概念—— 形成认知。传统的教法教师经常包办到家，口若悬河，常使学生感到枯燥无味，对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。数学概念是学习数学知识的基础，是 培养数学能力的前提。如何搞好数学概念课的教学呢? 一、让学生在亲自感知、体验教学中认识概念 学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。我们着重谈一下从实际问题引入，通过创设实验活动，培养学生动手操作能力，让他们在亲自体验实践中形成数学概念。如在椭圆概念教学中，可要求学生事先准备两个小图钉和一条长度为定长细线，将细线两端分别固定在图板上不同两点a 和b ，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动所得图形。提问思考讨论：(1)椭圆上的点有何特征？(2)当细线长等于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(3)当细线长小于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(4)请同学总结，完善椭圆定义。这样的设计，不是教师机械的讲解、学生被动的接受的过程，而是学生通过数学实验，在不断思考和探索中得到新发现，获得新知识，从而体验数学概念的发生、形成和发展的过程，，一方面有利于增强学生上数学课兴趣，感受过程给他们带来的快乐，另一方面有利于学生充分了解概念由来，方便记忆。 二、寻找新旧概念之间联系，形成系统化，进一步掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、映射与函数、平行线段与平行向量、等差数列与等比数列等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。 第一章集合与函数 1．1.1集合的含义与表示 第一课时集合的含义 一、元素与集合的概念 1、元素的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写的拉丁字母或数学表示。 2、集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示。 3、准确认识集合的含义 (1)：集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与 我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)：集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到 的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集 合中的元素. 二、元素与集合的关系及常用数集的记法 1．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A. (2)如果a不是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A 2、常用的数集及其记法 （1）自然数集：N（2）正整数集：N*或N（3）整数集：Z（4）有理数集：Q （5）实数集：R 3、对∈和?的理解 (1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果． (2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 题型一、集合的基本概念 [例1](1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到 点a的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集 合的组数是(B) A．2B．3 C．4 D．5 [解析](1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合． [活学活用] 下列说法正确的是(D) A．小明身高 1.78 m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素 C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线 必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 我的模式我的课 ——浅谈高中数学概念课教学概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。数学概念则是客观事物中数与形的本质属性的反映。数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念有效教学是“四基”教学的核心。 在数学教学中最难，也是最重要的是数学概念课的教学。数学概念课较为抽象，使人费解，教师经常包办到家，口若悬河，津津乐道，常使学生感到索然无味，对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。在新课程理念下，要以学生为主体，改变以往单调枯燥的学习数学概念方法，而是要研究学生，充分调动学生积极性，让学生自主学习，探索研究，运用运动变化，联想等辨证观点来加强对数学概念的理解和教学。 而在高中数学教学调研中，注意到很多教师在课堂上重视考试、练习而轻视概念教学的现象，教师对概念的呈现、形成、运用等环节缺乏精心设计，特别是在学生对一些核心概念缺乏深入理解的情况下就投入高强度的训练。这种现象的存在，极大地影响了教学的有效性，最典型特征是我们发现在高三模拟题中涉及到的新定义题型，概念题型，应用题型学生得分率特别低，很多学生觉得读不懂，不知道怎么下手，根本就没有相应的概括能力和分析能力。 数学概念是学习数学知识的基石，是培养数学能力的前提，本文将就在新课程理念下我们应该如何上好数学概念课做浅显研究。 一、为了更好的研究高中数学概念课的课堂现状，首先针对不同教师群体做以下调查问卷。 （一）问卷调查目的 关注概念课的课堂现状，关注学生对概念课的学习兴趣，关注教师对概念课的教学态度，分析目前状况下概念课对学生的短时影响和长远影响，分析概念课对提高教学有效性的影响。 （二）问卷调查对象 调查对象：市重点中学、区重点中学、普通中学的高中数学教师，便于区别不同学校教师之间的教学理念差异，使所得结果更加客观，具有一定的参考价值。 （三）调查问卷及结果 第1题您的教龄（）[单选题] 选项小计比例 A. 5年及以下47.55% B. 6~10年916.98% C. 11~20年2343.4% D. 20年以上1732.08%本题有效填写人次53 第2题您对概念教学的重视程度是（）[单选题] 选项小计比例 高中数学学考常用公式及结论 必修1： 一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系： 子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ， 偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 数学课的基本课型 一、关于数学基本课型 （一）数学概念课 概念具有确定研究对象和任务的作用。数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁形成学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节，同时也是提高解决问题的前提。因此，概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。它是以“事实学习”为中心内容的课型。 我们认为，通过概念教学，力求让学生明了以下几点： 第一，这个概念讨论的对象是什么？有何背景？其来龙去脉如何？学习这个概念有什么意义？它们与过去学过的概念有什么联系？ 第二，概念中有哪些补充规定或限制条件？这些规定和限制条件的确切含义又是什么？ 第三，概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？与日常生活用语比较，与其他概念、术语比较，有没有容易混淆的地方？应当如何强调这些区别？ 第四，这个概念有没有重要的等价说法？为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？第五，根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？由于数学概念是抽象的，因此在教学时要研究引入概念的途径和方法。一定要坚持从学生的认识水平出发，通过一定数量日常生活或生产实际的感性材料来引入，力求做到从感知到理解。还要注意在引用实例时一定要抓住概念的本质特征，着力揭示概念的本质属性。 人类的认识活动是一个特殊的心理过程，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学时要从面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方式，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的外延和内涵；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动。抓住概念之间的联系与区别来形成正确的概念。有些存在种属关系的概念，常分散在各单元出现，在教学进行到一定阶段，应适时归类整理，形成系统和网络，以求巩固、深化、发展和运用。 （二）数学命题课 表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称为数学命题。定义、公理、定理、推论、公式都是符合客观实际的真命题。数学命题的教学是获得新知的必由之路，也是提高数学素养的基础。因此，它是数学课的又一重要基本课型。通过命题教学，使学生学会判断命题的真伪，学会推理论证的方法，从中加深学生对数学思想方法的理解和运用。培养数学语言能力、逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，培养数学思维的特有品质。 在进行命题教学时，首先要重视指导学生区分命题的条件与结论。其次要引导学生探索由条件到结论转化的证明思路。由于数学证明常会用证明一个等效的命题来代替原命题的真实性，因而还要注意引导学生在证明过程中如何进行命题的转换，一定要展示完整的思维过程，并要注意命题转换时的等价性。特别通过一个阶段的教学后，要及时归纳和小结证明的手段和方法。使学生掌握演绎法的原理和步骤，逐步掌握综合法、分析法、反证法等证明方法（高中还有数学归纳法）。 命题课教学还要注意： 第一，对基本问题，要详细讲解，认真作图，教学语言要准确，论证要严格，书写要规范， 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或 )A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?，则A C ? (4)若B A ?且B A ?，则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B （或B ≠ ?A ） B A ?，且 B 中至 少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?，则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素都属 于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集. 龙正中学05级高中数学公式总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是???? ??--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式） c bx ax x f ++=2 )(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 二、 三角函数 1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、 同角三角函数的关系中， 平方关系是：1cos sin 2 2=+αα，αα2 2 sec 1=+tg ，αα2 2 csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是 πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?? ? ?? ?+ - 222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ? + -22 πππ πk k ，)(Z k ∈ 6、和角、差角公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos( βαβαβαsin sin cos cos = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 课 题：1.1集合 教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初 步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国 数学家）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子。 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的，我们说， 每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集 合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集合记作N *或N +，如{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合，记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{} 数数轴上所有点所对应的 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 《新课标下高中数学概念教学的实践与研究》 课题开题报告 浙江温州第二十二中学高洪武325000 一、课题提出的背景及现实意义 新一轮课程改革已经在全国部分省市如火如荼地开展，为了进一步扩大普通高中新课程实验范围，教育部决定从2006年秋季起，福建、浙江、辽宁和安徽4省将全面进入普通高中新课程实验。这将意味着我省教师将真正意义上进入新课程教学的实践与研究了。作为高中数学教师，理所当然将在这一实验过程中扮演着重要的角色。在新课程理念下，对构建数学理论大厦的数学概念如何实施教学是摆在每一位老师面前的一个严峻的课题。 高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师重解题、轻概念造成数学解题与概念脱节、学生对概念含混不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念。数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所；而学生成了解题的机器，整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作。严重影响了学生思维的发展，能力的提高。这与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已严重背离。那么在新课标下如何才能帮助学生更好、更加深刻地理解数学概念；如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题，我想关键的环节还是在于教师如何实施数学概念教学，为此“新课标下高中数学概念教学的实践与研究”课题在这样的背景下应运而生。 二、国内外关于同类课题的研究综述和课题研究的理论依据 1.国内外关于同类课题的研究综述： 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物；而对于今天所推进的新课程实验（特别是在我国刚刚开始实施阶段），高中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 2. 课题研究的理论依据: 2-1 一般来说，数学概念要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论： （1）联结理论、媒介理论：联结理论把概念的掌握过程解释为各种特征的重叠过程，尤如用照相机拍摄下来的事物在底片上的重叠，能够冲洗出照片一样。即接受外界刺激然后做出相应的反应。而媒介理论认为内部过程存在一种媒介因素，并用它来解释复杂的人类行动。 （2）同化、顺应理论：皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。 （3）假设理论：假设理论不同于联结理论把概念掌握的过程看成是一个消极被动的过程，并认为学生掌握概念是一个积极制造概念的过程。所谓积极制造概念的过程，就是根据事实进行抽象、推理、概括、提出假设，并将这一假设应用于日后遇到的事例中加以检验的高中数学函数概念
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