山东省高中数学夏令营数学竞赛(及答案)

山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)

1.函数

()f x =的最大值是________________ 。 (王泽阳 供题)

解:()f x =≤,其等号仅当=即

1

2

x =

时成立,

所以,f(x)最大=.

2.如果自然数a 的各位数字之和等于5,那么称a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,…,a n .若a n =2012.则n=_______________. (王继忠 供题)

解:设12

m x x x 为吉祥数,则x 1+x 2+…+x m =5,由x 1≥1和x 2,…,x m ≥0

得

(x 1-1)+x 2+…+x m =4,所以,12m x x x 为第4

3m C +个吉祥数.2

1m x x 为第4

2

m C +个吉祥数.

由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共455C =个,三位吉祥数共

4615C =个,

因以1为首位的四位吉祥数共4615C =个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:

2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.

3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,()1

n

f n n =

+. 则f(2012)=______。 (王

林

供题)

解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有2012个根,

设(x+1)f(x)-x=a x(x -1)(x -2)…(x -2011). 取x=-1,则1=2012!a .故

1

2012!a =

, (1)(2)(2011)()2012!(1)1

x x x x x

f x x x ---=

+

++,

2012!20122013

(2012)12012!201320132013

f =

+==.

4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题)

解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.

5.如图，设O ,I 分别为ABC ?的外心、内心，且60B ∠=，AB ＞BC ，

A ∠的外角平分线交⊙O 于D ，已知18AD =,则OI =_____________

文 供题)

解: 连接BI 并延长交⊙O 于E ,则E 为弧AC 的中点.连

OE 、AE 、CE 、OC ，由60B ∠=，易知AOE ?、COE ?均为

正三角形.由内心的性质得知：AE IE CE ==,所以

A 、O 、I 、C 四点共圆,且圆心为E .再延长AI 交⊙O 于F ,

由题设知D 、O 、F 共线，于是2OEI OAI ∠=∠, 22AOD AFD OAI ∠=∠=∠,

又OA OD OE IE ===, 从而OAD ?≌EOI ?, 故18OI AD ==. 二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)

6.证明:对任给的奇素数p ,总存在无穷多个正整数n 使得p |(n 2n -1).

(陈永

高 供题)

证明:取n =(p -1)k ,则由费尔马小定理知(1)21(mod )p k p -≡,所以, p |(n 2n -1)

(1)(1)21(mod )(1)1(mod )1(mod )p k p k p p k p k p -?-?≡?-≡?≡-.

取k =pr -1(r ∈N *),即n =(p -1)(pr -1),就有(1)(1)21(mod )p k p k p --?≡即p |(n 2n -1).

7.如图，已知P 是矩形ABCD 内任意一点，延长BP 交AD 于E ，延长DP 交AB 于F ，延长CP

(叶中豪 供题)

证法1:设CG 交AD 于Q,由∠GBA ∠AGB ＝∠CGD 知△ABG ∽△QDG 交于R ，由AD ∥BR, AD=BC

得AF BC

FB BR

=① 又由△CPB ∽△QPE 及△RPB ∽△DPE 得BC QE

BR ED

=②

由①,②得AF QE

FB ED

=,表明F,E 是△ABG ,△QDG 的相似对应点,故得

△FBG ∽△EDG .所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE ⊥GF.

证法2:联结GB,GD,令∠GCB=α,∠GCD=β,

由正弦定理得:sin sin sin sin GB BP PBC

GD DP PDC

αβ∠==∠ sin sin sin sin BF BFP PBC BF DE DEP PDC DE

∠∠=?=∠∠, 由∠GBF ＝∠GDE 得△FBG ∽△EDG .

所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE ⊥GF.

8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A 1,A 2,…,A 10满足:

(1)|A i |=36,i=1,2,…,10。 (2)A 1∪A 2∪…∪A 10=A 。

(3)|A i ∩A j |=8,i ≠j.请说明理由. (刘裕文 供题)

解:答案:存在.

考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有3

10120C =个,

每个作为集合A 的一个元素.

对每个j=1,2,…,10,第j 项为1的0,1数列恰有2

936C =个,它

们是集合A j 的36个元素.对每对i,j ∈{1,2,…,10}(i

第j 项均为1的0,1数列恰有1

88C =个,它们是A i ∩A j 的元素.

综上知,存在满足条件的10个子集. 9.求最小的正整数m,n(n ≥2),使得n 个边长为m 的正方形,恰好可以割并成n 个边长分别为1,2,…,n 的正方形.

(邹 明 供题)

解:依题意n 个边长为m 的正方形,恰好可以割并成n 个边长分别为1,2,…,n 的正方形?12+22+…+n 2=nm 2,即6m 2=(n+1)(2n+1),

则(n+1)(2n+1)=2n 2+3n+1≡0(mod6), 由n 2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6). 若6|n+1,设n=6k -1(k ∈N),得m 2=k(12k -1),

因(k,12k -1)=1,所以k 与12k -1都是完全平方数,但12k -1≡3 (mod4)矛盾!

若6|n -1,设n=6k+1(k ∈N),得m 2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,

3k+1=v 2,4k+1=u 2,消去k 得4v 2-3u 2=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n ≥2,故u>1,v>1.

由4v 2-3u 2≡1(mod8)知u,v 为奇数, 直接计算得u min =15,v min =13,k=56,所以, m 最小=15×13=195,n 最小=337.

10.设实系数三次多项式32()p x x ax bx c =+++有三个非零实数根.

求证:33

2

2

610(2)1227a a b ab c +--≥. (李胜宏 供题)

证明:设,,αβγ为p (x)=0的三个根,由根与系数关系

a b c αβγαββγγααβγ++=-??

++=??=-?

得: 22222a b αβγ-=++.原式322

2

6(2)10(2)27a a b a b c ?-+-≥

32222222

6()()10()27αβγαβγαβγαβγ?++++-++≤①.

若222

0αβγ++=,则①成立.

若222

0αβγ++>,不妨设||||||αβγ≤≤,由①的齐次性,不妨设

2229αβγ++=,则23γ≥,222296αβαβγ≤+=-≤. ①2()10αβγαβγ?++-≤.因

22222[2()][2()(2)][4(2)][()]αβγαβγαβαβγαβαβγ++-=++-≤+-++232[84()](92)2()()20()72αβαβαβαβαβαβ=-++=+-+

2(2)(27)100100αβαβ=+-+≤,所以,2()10αβγαβγ++-≤.故原式成立.

山东省及年12月普通高中学业水平考试(会考)数学试题及答案

山东省２0１5年1２月普通高中学业水平考试 数学试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题)两部分，共4页。满分100分，考试限定用时９0分钟。答卷前,考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷(共60分） 注意事项: 每小题选出答案后,用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。 一、选择题(本大题共２0个小题，每小题3分,共60分． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) ｌ． 已知集合{}1,2A =,{}2,3B =，则A B = A. {}2 B ． {}1,2 C. {}2,3 D. {}1,2,3 ２. 图象过点(0,1)的函数是 A. 2 x y = B ． 2log y x = C. 1 2 y x = D. 2y x = 3. 下列函数为偶函数的是 A. sin y x =. B. cos y x = C. tan y x = D ． sin 2y x = ４. 在空间中,下列结论正确的是 A.三角形确定一个平面 B ．四边形确定一个平面 C ．一个点和一条直线确定一个平面 D ．两条直线确定一个平

面 5. 已知向量(1,2),(1,1)a b =-=，则a b = A ． 3 B ．2 C ． 1 D ． 0 ６． 函数()sin cos f x x x =的最大值是 A.14 B.12 C ． 3 D ． 1 7. 某学校用系统抽样的方法,从全校500名学生中抽取50名做问卷调查,现将５00名学生编号为1,２,3,…，500,在1~１０中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号,则从11~20中应抽取的号码是 A. 14 B. 13 C. 12 D ． 11 8． 圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是 Ａ. 22(3)(1)5x y +++= B. 22(3)(1)25x y +++= C ． 22(3)(1)5x y -+-= Ｄ． 22(3)(1)25x y -+-=４ 9. 某校100名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间是： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100], 则该次数学成绩在[50,60)内的人数为 A. 20 Ｂ. 15 C. 10 D ． 6 10. 在等比数列{}n a 中,232,4a a ==,则该数列的前4项和为 A ． 15 B. 12 Ｃ. 10 D. 6 11. 设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A. 22a b > B. 22 ac bc > Ｃ. a c b c +>+ D. 1

24江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)

最新高中数学奥数竞赛 练习题 1.在ABC ?中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、 BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营) 证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ． ∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ． 记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得： LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．?NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ； FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CE EA =1． 三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BC AC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ， ∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ． ∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL · LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1． 由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线． 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ， 过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ． 则由?BDP ∽?BAH ，?BH PB =BA BD ，由?CDQ ∽?CAH ，?CQ HC =DC CA ． 由AD 平分∠BAC ，?DC BD =AC AB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，?AP=AQ ． ∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA =1， 据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ， ∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ． 3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。 证明：设AL 交BC 于L ，BM 交CA 于M ，CN 交AB 于N ，则由正弦定理得： CAL AC BAL AB LC BL ∠∠=sin sin PAB AC PAC AB ∠∠=sin sin PBC AB PBA BC MA CM ∠∠=sin sin ，PCA BC PCB AC NB AN ∠∠=sin sin H K Q P D C B A A C B Y X Z M N L E D F G H

2018年全国高中数学联赛山东省预赛(解析版)

2018年全国高中数学联赛山东省预赛 一、填空题 1．若复数满足，则的最小值为______． 【答案】1 【解析】【详解】 设，，，则点的轨迹为线段． 因此为原点到的距离，即． 2．在正四核锥中，已知二面角的正弦值为，则异面直线与所成的角为______． 【答案】 【解析】【详解】 如图，设、的交点为，在上的射影为，则． 又因为面，因此，所以面，则． 因此即为二面角的平面角，从而． 设，，则． 在中，． 由此得，因此，解得． 从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线与所成的角为． 3．函数的值域为______．（其中表示不超过实数 的最大整数）．

【答案】 【解析】【详解】 因为且， 所以以为周期，且图象关于直线对称． 所以只需讨论时，的取值即可． 易得，当时，取得最大值2；当时，取得最小值，所以的值域为． 4．在中，，的平分线交于，且有．若 ，则______． 【答案】 【解析】【详解】 过点作交于点，交于点， 由题设，所以，，． 因此，所以，，因此． 所以 ． 由此得． 5．甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第场的概率为______． 【答案】, 【解析】【详解】 设甲赢得第场的概率为，在每一场先掷的人赢得的概率为 ，

所以，， 由此得，， 因此，． 6．若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______． 【答案】 【解析】【详解】 设，， 由题意的重心为椭圆的右焦点，整理得，． 由，在直线上，得到． 由，在椭圆上，得到，． 两式相减并整理得， 整理得．① 因为，在直线上， 所以有，． 将，代入得， 整理得．② 联立①②，且注意到、为整数，解得，，． 故所求的椭圆方程为． 7．对任意的实数、，的最小值为______． 【答案】

山东省及年月普通高中学业水平考试(会考)数学试题及标准答案

山东省及年月普通高中学业水平考试(会考)数学试题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

山东省2015年12月普通高中学业水平考试 数学试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页。满分100分，考试限定用时90分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（共60分） 注意事项： 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） l. 已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B =U A. {}2 B. {}1,2 C. {}2,3 D. {}1,2,3 2. 图象过点(0,1)的函数是 A. 2 x y = B. 2log y x = C. 12 y x = D. 2y x = 3. 下列函数为偶函数的是 A. sin y x =. B. cos y x = C. tan y x = D. sin 2y x = 4. 在空间中，下列结论正确的是 A.三角形确定一个平面 B.四边形确定一个平面 C.一个点和一条直线确定一个平面 D.两条直线确定一个平面

5. 已知向量(1,2),(1,1)a b =-=，则a b =g A. 3 B.2 C. 1 D. 0 6. 函数()sin cos f x x x =的最大值是 A.1 4 B.12 C. 32 D. 1 7. 某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1~10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11~20中应抽取的号码是 A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. 圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是 A. 22(3)(1)5x y +++= B. 22(3)(1)25x y +++= C. 22(3)(1)5x y -+-= D. 22(3)(1)25x y -+-= 4 9. 某校100名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]， 则该次数学成绩在[50,60)内的人数为 A. 20 B. 15 C. 10 D. 6 10. 在等比数列{}n a 中，232,4a a ==，则该数列的前4项和为 A. 15 B. 12 C. 10 D. 6 11. 设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A. 22a b > B. 22ac bc > C. a c b c +>+ D. 11a b < 1

北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题

试卷编号：2126 2018年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题 一、选择题共5小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知√x +1√x =3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)12025 2.在非等腰三角形中,一个内角等于另两个内角的差,且一个内角是另一个内角的2倍.己知该三角形的最小边长等于l cm,则这个三角形的面积是 ( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52 cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( ) (A)6(B)4(C)2(D)0 4.如图,P (x P ,y P )为反比例函数y =2x 在平面直角坐标系xOy 的第一象限图象上一点,过点P 作x 轴、y 轴的平 行线分别交y =10x 在第一象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的面积等于( ) (A)26(B)24(C)22(D)20 5.将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串,第m 个数是2018,则m 是( ) (A)134 (B)143(C)341(D)413 二、填空题共5小题。 6.295的约数中大于1000000的共有＿＿＿＿＿个. 7.若x ,y 都是自然数,关于x ,y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表示不大于x 的最大整数)

8.D为锐角△ABC内一点,满足AD=DC,∠ADC= 2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的面积等 于＿＿＿＿＿. 9.已知x1,x2,···,x n中每一个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取?2,0,l中的一个,且满足 x1+x2+···+x n=?17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿. 10.在1～n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,比如, 正整数1～20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1～20中的“旺数”.在正整数1～100中的所有“旺数”的最小公倍数是＿＿＿＿＿. 三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 11.正整数a,b,c,d满足a2?ab+b2=c2?cd+d2.求证:a+b+c+d是合数. 12.三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC,DPE和 BEC.如图所示,其中AD=CD,DP=EP,BE=CE; ∠ADC=∠DPE=∠BEC=90?,求证:P是线段AB的中 点. 13.求证:在十进制表示中,数29的某个正整数幂的末三位数字是001.

山东省全国高中数学联合竞赛试题(山东卷)

一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分) 1.函数()f x =的最大值是________________ ; (王泽阳 供题) 解:()f x =≤,其等号仅当=即1 2 x = 时成立, 所以,f(x)最大=. 2.如果自然数a 的各位数字之和等于5,那么称a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,…,a n .若a n =2012.则n=_______________. (王继忠 供题) 解:设12m x x x L 为吉祥数,则x 1+x 2+…+x m =5,由x 1≥1和x 2,…,x m ≥0得 (x 1-1)+x 2+…+x m =4,所以,12m x x x L 为第43m C +个吉祥数.21m x x L 为第4 2m C +个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共4 5 5C =个,三位吉祥数共4615C =个, 因以1为首位的四位吉祥数共4 615C =个,以2为首位的前两个四位吉祥数为: 2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38. 3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时, ()1 n f n n = +. 则f(2012)=______; (王 林 供题) 解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有2012个根, 设(x+1)f(x)-x=a x(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a .故1 2012! a = , (1)(2)(2011)()2012!(1)1 x x x x x f x x x ---= + ++L , 2012!20122013 (2012)12012!201320132013 f = +==. 4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点. 5.如图，设O ,I 分别为ABC ?的外心、内心，且60B ∠=o ，AB ＞BC ，A ∠的外角平分线交⊙O 于D ，已知18AD =,则OI =_____________. (李耀文 供题) 解: 连接BI 并延长交⊙O 于E ,则E 为弧AC 的中点.连 OE 、AE 、CE 、OC ，由60B ∠=o ，易知AOE ?、COE ?均为

山东普通高中会考数学真题及答案A

山东普通高中会考数学真题及答案A 一、选择题（每小题3分,共75分） 1．（3分）已知集合A＝{0,1},B＝{﹣1,1,3},那么A∩B等于（） A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{0,1,3} 2．（3分）平面向量,满足＝2,如果＝（1,2）,那么等于（）A．（﹣2,﹣4）B．（﹣2,4）C．（2,﹣4）D．（2,4） 3．（3分）如果直线y＝kx﹣1与直线y＝3x平行,那么实数k的值为（）A．﹣1 B．C．D．3 4．（3分）如图,给出了奇函数f（x）的局部图象,那么f（1）等于（） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 5．（3分）如果函数f（x）＝a x（a＞0,且a≠1）的图象经过点（2,9）,那么实数a等于（）A．2 B．3 6．（3分）某中学现有学生1800人,其中初中学生1200人,高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况,决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本,那么应从高中学生中抽取的人数为（） A．60 B．90 C．100 D．110 （3分）已知直线l经过点O（0,0）,且与直线x﹣y﹣3＝0垂直,那么直线l的方程是（）7． A．x+y﹣3＝0 B．x﹣y+3＝0 C．x+y＝0 D．x﹣y＝0 8．（3分）如图,在矩形ABCD中,E为CD中点,那么向量等于（）

A．B．C．D． 9．（3分）实数的值等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）函数y＝x2,y＝x3,,y＝lgx中,在区间（0,+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2B．y＝x3C．D．y＝lgx 11．（3分）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为（） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.7 12．（3分）如果正△ABC的边长为1,那么?等于（） A．B．C．1 D．2 13．（3分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a＝10,A＝45°,B＝30°,那么b等于（） A．B．C．D． 14．（3分）已知圆C：x2+y2﹣2x＝0,那么圆心C到坐标原点O的距离是（）A．B．C．1 D． 15．（3分）如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,A1A⊥底面ABCD,A1A＝2,AB ＝1,那么该四棱柱的体积为（） A．1 B．2 C．4 D．8

全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛山东省预赛 试 题 一、选择题（每小题6分，共60分） 1．已知集合 {|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}M x x x x x N x x x x x = ---< ∈ = ---> ∈ ． R R M N =I （ ） . (A) (2,3) (B) (3,4) (C) (4,5) (D) (5,6) 2 ．已知3)n z i =, 若z 为实数，则最小的正整数n 的值为（ ） . (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 3．已知p ：,,,a b c d 成等比数列，q:ad bc =， 则p 是q 的（ ） . (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则 22x y x y x y +++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 2 3 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω?? ???? 上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35 ,n=22m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35 ,n=22 m > （D ）3,2m n >= 7．有6名同学咨询成绩．老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差 的，而且6人的成绩各不相同．那么他们6人的成绩不同的可能排序共有 （ ） . (A) 120种 (B) 216 种 (C) 384 种 (D) 504种 8．若点P 在曲线2 1y x =--上,点Q 在曲线2 1x y =+上，则PQ 的最小值是（ ） .

山东省年12月普通高中学业水平考试(会考)数学试题

山东省2015年１2月普通高中学业水平考试 数学试题 本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷(非选择题）两部分,共4页。满分１00分,考试限定用时90分钟。答卷前,考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（共60分） 注意事项： 每小题选出答案后,用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上无效。 一、选择题(本大题共20个小题,每小题3分，共６０分． 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) l. 已知集合{}1,2A =,{}2,3B =，则A B = Ａ. {}2 Ｂ. {}1,2 C ． {}2,3 Ｄ. {}1,2,3 2． 图象过点(0,1)的函数是 Ａ． 2x y = B. 2log y x = C. 12y x = D. 2y x = 3. 下列函数为偶函数的是 A. sin y x =. B. cos y x = C ． tan y x = D. sin 2y x = 4. 在空间中,下列结论正确的是

A.三角形确定一个平面 B.四边形确定一个平面 C.一个点和一条直线确定一个平面 D.两条直线确定一个平面 5． 已知向量(1,2),(1,1)a b =-=,则a b = Ａ． 3 B ．2 Ｃ. 1 D ． 0 6. 函数()sin cos f x x x =的最大值是 A.14 B ．12 C. 3 D ． 1 7． 某学校用系统抽样的方法,从全校５0０名学生中抽取50名做问卷 调查,现将5０0名学生编号为1，2,3，…,500,在1~10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号,则从11～20中应抽取的号码是 A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8． 圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是 A. 22(3)(1)5x y +++= Ｂ. 22(3)(1)25x y +++= C ． 22(3)(1)5x y -+-= D. 22(3)(1)25x y -+-= 4 9. 某校100名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]， 则该次数学成绩在[50,60)内的人数为 A. 20 B ． 15 C. 10 D ． 6 10． 在等比数列{}n a 中,232,4a a ==,则该数列的前4项和为 1

山东省高中数学夏令营数学竞赛(及答案)

山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分) 1.函数 ()f x =的最大值是________________ 。 (王泽阳 供题) 解:()f x =≤,其等号仅当=即 1 2 x = 时成立, 所以,f(x)最大=. 2.如果自然数a 的各位数字之和等于5,那么称a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,…,a n .若a n =2012.则n=_______________. (王继忠 供题) 解:设12 m x x x 为吉祥数,则x 1+x 2+…+x m =5,由x 1≥1和x 2,…,x m ≥0 得 (x 1-1)+x 2+…+x m =4,所以,12m x x x 为第4 3m C +个吉祥数.2 1m x x 为第4 2 m C +个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共455C =个,三位吉祥数共 4615C =个, 因以1为首位的四位吉祥数共4615C =个,以2为首位的前两个四位吉祥数为: 2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38. 3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,()1 n f n n = +. 则f(2012)=______。 (王 林

供题) 解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有2012个根, 设(x+1)f(x)-x=a x(x -1)(x -2)…(x -2011). 取x=-1,则1=2012!a .故 1 2012!a = , (1)(2)(2011)()2012!(1)1 x x x x x f x x x ---= + ++, 2012!20122013 (2012)12012!201320132013 f = +==. 4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点. 5.如图，设O ,I 分别为ABC ?的外心、内心，且60B ∠=，AB ＞BC ， A ∠的外角平分线交⊙O 于D ，已知18AD =,则OI =_____________ 文 供题) 解: 连接BI 并延长交⊙O 于E ,则E 为弧AC 的中点.连 OE 、AE 、CE 、OC ，由60B ∠=，易知AOE ?、COE ?均为 正三角形.由内心的性质得知：AE IE CE ==,所以

-初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)

初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002

各省高中数学会考试题

河北省高中数学会考试题 一．选择题 （共12题，每题3分，共36分） 在每小题给出的四个备选答案中，总有一个正确答案，请把所选答案的字母填在相应的位置上 1.已知集合A={1，2，3}，B={2,3,4},则AUB= A {2,3} B {1,4} C{1,2,3,4} D{1,3,4} 2. = A 2 1 B - 2 1 C 23 D - 2 3 3.函数y=sinx 是 A 偶函数，最大值为1 B 奇函数，最大值为1 C 偶函数，最小值为1 D 奇函数，最小值为1 4.已知△ABC 中，cosA=2 1 ,则A= A 600 B 1200 C300 或1500 D 600或1200 5. 如果a,b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 A a=b B a 2=b 2 C a ·b=1 D ∣a ∣≠∣b ∣ 6. 已知a=（1,1），b=（2,2），则a – b = A (1,1) B (1，-1) C D (-1，1) 7. 已知△ABC 中，a=6,b=8,c=10,则 cosA= A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 8.已知等差数列{a n },a 1=1,a 3=5,则a n =

A 2n-1 B n C n+2 D 2n+1 9.已知等比数列{a n },a 1=2,q=3,则a 3 = A 8 B 12 C 16 D 18 10.已知ab 0，则 A ac ﹥bc B -a ﹤-b C a 1﹥b 1 D a c ﹥a c 11.不等式x 2-x-2﹥0的解集为 A （-1,2） B （-∞，-1）U （2，+∞） C （-1,2〕 D 〔-1,2〕 12.已知sinx=1,则cosx= A -1 B 1 C 不存在 D 0 二．填空题，（共4题，每题5分） 13.已知x,y 满足约束条 件 y ≤x ，则z=2x+y 的最大值是 x+y ≤1 y ≥-1 14.已知口袋里有5个红球，15个白球，则从口袋里任取一个球，取到的是红球的 概率为 15.已知函数y=Acosx 最大值为2，则A= 16.已知四边形ABCD 中，=,则四边形ABCD 的形状为 三．解答题，（共4题，第17，18题每题10分，第19,20每题12分） 17.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求 （1）A ∪B,A ∩B (2)已知全集I={1,2,3,4,5,6,7},求C I A,C I B. 18. 解不等式组 x 2-x-6≤0 的解集。 x-1＞0 19. 在等差数列{a n }中，（1）已知a 1=3，a n =21，d=2,求n.

2014年北京市中学生数学竞赛(初二)

2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 32 2 4 224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 2 5 5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则 S A =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 2 3 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ） A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998 4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 = 在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分） 1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2. =?+++] 2015[]2014[] 2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实 数x 的最大整数）. 3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则

山东省2018年12月份普通高中学业水平考试数学试题Word版含答案

山东省2018年12月份普通高中学业水平考试 数学试题 本试卷分第I卷选择题和第II卷非选择题两部分，共4页满分100分考试限定用时90分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（共60分） 注意事项： 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不涂在答题卡上，只答在试卷上无效 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分） 1.已知全集，集合，则 A. B. C. D. 2.已知，，那么的终边在 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.若实数第，，成等差数列，则的值是 A. B. C. D. 4.图像不经过第二象限的函数是 A. B. C. D. 5.数列，，，，，…的一个通项公式是 A. B. C. D. 6.已知点,，则线段的长度是 A. B. C. D. 7.在区间内随机取一个实数，则该实数为负数的概率是

A. B. C. D. 8.过点，且斜率为的直线方程式 A. B. C. D. 9.不等式的解集是 A. B. C. D. 10.已知圆：，则圆的圆心坐标和半径分别为 A. ，16 B. ，16 C. ，4 D. ，4 11.在不等式表示的平面区域内的点是 A. B. C. D. 12.某工厂生产了类产品2000件，类产品3000件，用分层抽样法从中抽取50件进行产品质量检验，则应抽取类产品的件数为 A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 13.已知，，则的值为 A. B. C. D. 14.在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则 的值是 A. B. C. D.

(完整版)高中数学会考知识点总结(超级经典)

数学学业水平复习知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、 集合 （1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。 （2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）； （3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作φ，φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ?A ； （5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N ；整数集：Z ；整数：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。 2、子集 （1）、定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ?B ， 注意：A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ （2）、性质：①、A A A ??φ,；②、若C B B A ??,，则C A ?；③、若A B B A ??,则A =B ； 3、真子集 （1）、定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ?； （2）、性质：①、A A ?≠φφ,；②、若C B B A ??,，则C A ?； 4、补集 ①、定义：记作：},|{A x U x x A C U ?∈=且； ②、性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，，Y I φ； 5、交集与并集 （1）、交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且I 性质：①、φφ==I I A A A A , ②、若B B A =I ，则A B ? （2）、并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或Y 性质：①、A A A A A ==φY Y , ②、若B B A =Y ，则B A ? 6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系） A B B A

关于举办第十届高中数学夏令营暨

关于举办第十届高中数学夏令营暨 第三十一期中学数学讲习班第一次通知 为了培养中学生的数学兴趣，开发智力潜能，提高参加高考以及数学竞赛的应试能力和竞赛成绩，拓展个性才能的空间，提高中学数学奥林匹克教练水平，中国科学技术大学数学科学学院今年暑假在中国科学技术大学举办第十届高中数学夏令营暨第三十一期中学数学（教练员）讲习班。 中国科学技术大学党委副书记叶向东教授、安徽省数学会秘书长陈发来教授任本届夏令营营长。 中国科学技术大学数学科学学院在校本部举办过九届全国中学生数学夏令营，连续举办了30期暑期中学数学讲习班，已有500余所中学的教师和学生参加过夏令营和讲习班。 本期讲习班由陈永高（南京师范大学）、余红兵（苏州大学）、李建泉(天津师范大学) 、陈计（宁波大学）、陈发来（中国科学技术大学）、李思敏（中国科学技术大学）、王建伟（中国科学技术大学）、王新茂（中国科学技术大学）等专家主讲（主讲教师以第二次通知为准）。 主讲专家具有丰富的数学授课及竞赛培训经验，历年来他们严谨生动的讲解受到讲习班师生的欢迎和好评。 现将本次活动的有关事宜通知如下： 一．参加人员 各省市高中学生和数学教师，请携带学生证和教师资格证。 二．活动时间和地点 2016年7月24日报到，7月25日－7月30日上课。 报到地点：安徽省合肥市金寨路96号中国科学技术大学东区五教一楼5104教室，时间:：2016年7月24日8：00 -18.00。 三．培训内容 1．本次培训分为普通班、高级班。普通班注重高中数学基础，提高数学兴趣与修养，增强理解问题、解决问题的能力，为学员提高高考成绩打下基础(建议高一学生参加)；高级班在高中数学的基础上进一步提高解题技巧，开拓数学视野，提高数学竞赛的应试能力(建议高二或已经全部学习完成高中数学知识成绩突出的高一学生参加)，同时培养数学竞赛教练员。 2．邀请国内著名数学家做数学科普知识及近代前沿数学知识讲座。 四.关于教练员证 1．凡参加本期讲习班学习，经考核合格的教师将授予中国数学奥林匹克二级教练员证书。申请者需带两张二寸彩色照片。 2.凡申报一级教练员证书的老师，必须是已获得二级教练员证书者，同时又必须是培养过获得全国联赛一等奖选手，或联赛二等奖并在国内外正式刊物上发表过有关数学竞赛研究论文者，申报者请携证书及证明原件，报到时验原件，收复印件。 教练员申报表在附后的网页中下载，自行打印填写，加盖单位公章，报到时需提交。 五．关于报名 为了便于安排食宿、教室、以及掌握办班规模等，请各位务于2016年5月25日前将报名表填好发送下面信箱。我们将根据报名情况于6月15日前后发第二次通知。报名时一律预交报名费100元，开班后统一结算。

北京市初中生第21届迎春杯数学竞赛试题及答案

B A 第21届“迎春杯”数学科普活动日 北京市初中一年级解题能力展示初赛试卷 注意事项 1．本试卷共十二道题，共1页. 2．请把每道题的答案填写在下表中的相应位置上.祝你成功！ 问题一.计算:212)56 15 4213301120912731(3??-+-+ -的值为多少? 问题二.已知多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a 是关于x 的二次多项式,当2=x 时,多项式的值为-17,那么当2-=x 时,多项式的值为多少? 问题三.下面是一个按照某种规律排列的数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … … … 根据你猜想的规律,2005应该排在 :① 多少行? ② 在该行上从左向右数的第几个数? 问题四.已知:有理数x 、y 、z 、满足xy ＜0，yz ＞0，并且3=x ，2=y ，21=+z . 求z y x ++的值. 问题五.现有规格一样的一些圆环,已知圆环的内直径为6厘米,外直径为8厘米.如果将100个这样的圆环一个接一个地环套环连成一条链子,那么这条链子拉直后的长度为多少米? 问题六.右图是某地区的路线示意图,问从A 点到B 点最近的路线共有多少条?

问题七.如果整数m 、n 满足n m =64,那么n m +的所有可能的值共有多少个? 问题八.已知:+-+-+-=222222654321S (222) 200320022001+-+. 求S 被2005除得的余数. 问题九.如图,在△ABC 中,DC =2BD ,AF =FD . 如果△ABC 的面积等于a , 问题十.某中学生“暑期社会调查团”共17人到外地考察，事先预算住宿费平均每天每人不超过x 元.到达某县城后找到A 、B 两处招待所.“A 招待所”有甲级床位8个、乙级床位11个；“B 招待所”有甲级床位10个、乙级床位4个、丙级床位6个.已知甲、乙、丙三级床位每天每人分别为14元、8元、5元.如果全团集中住在一个招待所里一天,按预算只能住“B 招待所”,那么整数x 的值为多少? 问题十一.甲、乙、丙三个容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的3 1 倒 入乙容器，再把乙容器中的酒精的31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的3 1 倒入甲容器,那 么三个容器中各有酒精3 1 千克.问甲容器中原来有酒精多少千克? 问题十二.三轮摩托车(前面一个轮,后面并排两个轮)的三个轮胎从新安装到报废所行驶的千米数不同.安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的轮胎分别只能行驶15000千米和10000千米.为了使某摩托车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2个轮胎对调的方法,如果最多可对调2次,那么该摩托车用三条新轮胎最多可以行驶多少千米? 参考答案及评分标准

2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析

2018年全国高中数学联赛 山东预赛试题解析 一、填空题(每小题8分，共80分) 1.若复数z 满足|z －1|+|z －3－2i|=22，则|z |的最小值为 . 【解析】答案：1. 设z =x +y i ，则|z －1|+|z －3－2i|=22的几何意义为点P (x ，y )到点A (1，0)，B (3，2)的距离之和为22，因为|AB |=22，从而点P 在线段AB 上，从而：|OP |≥1.即当z =1时有最小值|z |=1. 2.在正三棱锥S —ABCD 中，已知二面角A —SB —D 的正弦值为 63 ，则异面直线SA 与BC 所成的角为 . 【解析】答案：60°. A —S B —D 的二面角等于A —SD —B 的二面角，设底面的中心为O ，取AD 的中点M ，连接SO 、SM 、OM ，过点O 作OE ⊥SM 于E ，易证OE ⊥平面SAD ，过点E 作EP ⊥SD 于点P ，连接OP ，从而：A —SD —B 的二面角为∠EPO . 设底面边长为2a ，侧棱长为2b ，于是：OM =a ，SO =4b 2－2a 2，OD =2a ， 所以：OE =a 4b 2－2a 24b 2－a 2，OP =2a ·4b 2－2a 2 2b ， 所以：sin ∠OPE =OE OP =2b 4b 2－a 2=63 ，解得：a =b . 于是：△SAD 为正三角形，从而：直线SA 与BC 所成的角为60°. O P M D E C S A 3.函数f (x )=[2sin x ·cos x ]+[sin x +cos x ]的值域为 (其中[x ]表示不超过x 的最大整数). 答案：{－1，0，1，2}. 【解析】 f (x )=[sin2x ]+??? ?2sin ????x +π4，