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高考文科数学真题汇编:数列高考题老师版

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学科教师辅导教案 学员姓名 年 级

高三 辅导科目 数 学

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2h

第 次课

授课日期及时段 2018年 月 日 : — :

1.(2013安徽文)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =( ) (A )6- (B )4- (C )2- (D )2 【答案】A 2.(2012福建理)等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( )

A .1

B .2

C .3

D .4 【答案】B

3.(2014福建理)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( )

.8A .10B .12C .14D

【答案】C

4.(2017·全国Ⅰ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8

【解析】设{a n }的公差为d ,由?????

a 4+a 5=24,

S 6=48,得?

?

???

(a 1+3d )+(a 1+4d )=24,

6a 1+6×5

2

d =48,解得d =4.故选C.

5.(2012辽宁文)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=

(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B

6.(2014新标2文) 等差数列{}n a 的公差是2,若248,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( ) A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1)

2

n n - 【答案】A

7.(2012安徽文)公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =( ) ()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 8 【答案】A

历年高考试题集锦——数列

A. 31

B. 32

C. 63

D. 64 【答案】C

9.(2013江西理)等比数列x,3x +3,6x +6,…的第四项等于( ) A .-24 B .0

C .12

D .24

【答案】A

10. (2013新标1文) 设首项为1,公比为

2

3

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) (A )21n n S a =- (B )32n n S a =- (C )43n n S a =- (D )32n n S a =- 【答案】D

11.(2015年新课标2文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ) A .5 B .7 C .9 D .11 【答案】A

12.(2015年新课标2文)已知等比数列{}n a 满足11

4

a =

,()35441a a a =-,则2a =( )

A.2

B.1 1

C.2 1

D.8

【答案】C

13、(2016年全国I 理)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a

(A )100 (B )99 (C )98 (D )97

【答案】C

14.(2014辽宁)设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n

a a 为递减数列,则( )

A .0d <

B .0d >

C .10a d <

D .10a d > 【答案】D

15.(2015年新课标2理)等比数列{a n }满足a 1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( )

(A )21 (B )42 (C )63 (D )84 【答案】B

16.(2012大纲理)已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +??

?

???

的前100项和为 A .

100101 B .99101

C .99100

D .101

100

【简解】由已知,解出a 1与d ,从而a n =n ;

11

1

1

1

(1)1n n a a n n n n +∴==-++ 100111111100

(1)()()1223100101101101S =-+-++-=-=

L 选A

17、(2017·全国Ⅱ理,3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A .1盏

B .3盏

C .5盏

D .9盏

4.【答案】B 【解析】设塔的顶层的灯数为a 1,七层塔的总灯数为S 7,公比为q ,

则由题意知S 7=381,q =2,∴S 7=a 1(1-q 7)1-q =a 1(1-27)

1-2

=381,解得a 1=3.故选B.

18、(2017·全国Ⅲ理,9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的前6项和为( ) A .-24

B .-3

C .3

D .8

5.【答案】A 【解析】由已知条件可得a 1=1,d ≠0,由a 23=a 2a 6,可得(1+2d )2

=(1+d )(1+5d ),

解得d =-2.所以S 6=6×1+

6×5×(-2)

2

=-24.故选A. 19.(2012广东理)已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2

32

4a a =-,则n a =______________. 【答案】2n-1

20.(2013上海文) 在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a += . 【答案】15

21.(2014天津) 设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为__________. 【答案】1

2

-

22.(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n ,已知S 3=74,S 6=63

4

,则a 8=________.

1.【答案】32【解析】设{a n

}的首项为a 1

,公比为q ,则????

?

a 1(1-q 3)1-q

=7

4,a 1

(1-q 6

)1-q =63

4,

解得?????

a 1=14,

q =2,

所以a 8=14×27=25

=32

23.(2014江苏)在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若21a =,8642a a a =+,则6a 的值是 . 【简解】由已知解出q 2=2;a 6=a 2q 4,填结果4

24.(2012新标文) 等比数列{n a }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =_______ 【答案】-2

25.(2012浙江理) 设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }.若2232S a =+,4432S a =+,则q =__. 【答案】3

2

26.(2015年广东理科)在等差数列{}n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则82a a += 【答案】10.

27.(2015年安徽文科)已知数列}{n a 中,11=a ,2

1

1+=-n n a a (2≥n ),则数列}{n a 的前9项和等于 。 【答案】27

28.(2015年江苏)数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1

{

n

a 的前10项和为 【答案】

2011

29、(2016年江苏)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是 . 【答案】20.

30、(2017·全国Ⅲ理)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4=________.

3.【答案】-8【解析】设等比数列{a n }的公比为q .∵a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,∴a 1(1+q )=-1,① a 1(1-q 2)=-3.②②÷①,得1-q =3,∴q =-2.∴a 1=1,∴a 4=a 1q 3=1×(-2)3=-8.

31、(2017·北京理)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a 2

b 2=________.

4.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,则由a 4=a 1+3d , 得d =a 4-a 13=8-(-1)3=3,由b 4=b 1q 3,得q 3=b 4b 1=8-1=-8,∴q =-2.

∴a 2b 2=a 1+d

b 1q =-1+3-1×(-2)

=1. 32.(2014新标1文) 已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2

560x x -+=的根。

(I )求{}n a 的通项公式;(II )求数列2n n a ??

?

???

的前n 项和.

【答案】(I )112n a n =

+;(Ⅱ)14

22

n n n S ++=- 33.(2013湖北文)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,4S ,2S ,3S 成等差数列,且23418a a a ++=-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; 【简解】(Ⅰ)13(2)n n a -=-.

34.(2013天津文) 已知首项为3

2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式;

【简解】(1)设等比数列{a n }的公比为q , S 3+2S 2=4S 4-S 3,即S 4-S 3=S 2-S 4,可得2a 4=-a 3,于是q =

a 4

a 3=-12.又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为a n =32×????-12n -1=(-1)n -1·32

n . 35、(2016年山东高考)已知数列{}n a 的前n 项和2

38n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+.

(I )求数列{}n b 的通项公式; 【解析】(Ⅰ)由题意得??

?+=+=3

222

11b b a b b a ,解得3,41==d b ,得到13+=n b n 。

36.(2015北京文)已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a -=. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足23b a =,37b a =,问:6b 与数列{}n a 的第几项相等? 【答案】(1)42(1)22n a n n =+-=+;(2)6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】

试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ,解方程得到1a 和d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值,再利用等比数列的通项公式,将2b 和3b 转化为1b 和q ,解出1b 和q 的值,得到6b 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出n 的值,即项数.

试题解析:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d.因为432a a -=,所以2d =.

又因为1210a a +=,所以1210a d +=,故14a =.所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L . (Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q .因为238b a ==,3716b a ==,所以2q =,14b =.

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所以61

6

42128

b-

=?=.由12822

n

=+,得63

n=.所以

6

b与数列{}n a的第63项相等.

37、(2016年全国I卷)已知{}n a是公差为3的等差数列,数列{}n b满足1211

1

==

3n n n n

b b a b b nb

++

+=

1,,. (I)求{}n a的通项公式;(II)求{}n b的前n项和.

解:(I)由已知,

122112

1

,1,,

3

a b b b b b

+===得

122112

1

,1,,

3

a b b b b b

+===得

1

2

a=,所以数列{}n a是首

项为2,公差为3的等差数列,通项公式为31

n

a n

=-.

(II)由(I)和

11

n n n n

a b b nb

++

+=,得

13

n

n

b

b

+

=,因此{}n b是首项为1,公比为1

3

的等比数列.记{}n b的前n项和为n S,则1

1

1()31

3.

1223

1

3

n

n n

S

-

-

==-

?

-

38、(2016年全国III卷)已知各项都为正数的数列{}n a满足11

a=,2

11

(21)20

n n n n

a a a a

++

---=.

(I)求

23

,

a a;(II)求{}n a的通项公式.

39、(2016年全国II卷)等差数列{

n

a}中,

3457

4,6

a a a a

+=+=.

(Ⅰ)求{

n

a}的通项公式;解析:(Ⅰ)设数列{}n a的公差为d,由题意有11

254,53

a d a d

-=-=,解得1

2

1,

5

a d

==,所以{}n a的通项公式为23

5

n

n

a

+

=.

40.(2015年福建文科)等差数列{}n a中,24

a=,

47

15

a a

+=.

(Ⅰ)求数列{}n a的通项公式;

(Ⅱ)设2

2n a

n

b n

-

=+,求

12310

b b b b

+++???+的值.

【答案】(Ⅰ)2

n

a n

=+;(Ⅱ)2101.

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【解析】试题分析:(Ⅰ)利用基本量法可求得

1

,a d,进而求{}n a的通项公式;(Ⅱ)求数列前n项和,首

先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题2n

n

b n

=+,故可采取分组求和法求其前10项和.

试题解析:(I)设等差数列{}n a的公差为d.由已知得()()

1

11

4

3615

a d

a d a d

+=

??

?

+++=

??

,解得1

3

1

a

d

=

?

?

=

?

所以()

1

12

n

a a n d n

=+-=+.

考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法.

41、(2016年北京高考)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设c n= a n+ b n,求数列{c n}的前n项和.

解:(I)等比数列{}n b的公比3

2

9

3

3

b

q

b

===,所以2

1

1

b

b

q

==,

43

27

b b q

==.

设等差数列{}n a的公差为d.因为111

a b

==,

144

27

a b

==,所以11327

d

+=,即2

d=.

所以21

n

a n

=-(1

n=,2,3,???).

(II)由(I)知,21

n

a n

=-,1

3n

n

b-

=.因此1

213n

n n n

c a b n-

=+=-+.

从而数列{}n c的前n项和()1

1321133n

n

S n-

=++???+-+++???+

()

12113

213

n

n n

+--

=+

-

学科网

2

31

2

n

n

-

=+.

42.(2014北京文)已知{}n a 是等差数列,满足13a =,412a =,数列{}n b 满足14b =,420b =,且{}

n n b a -是等比数列.

(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n b 的前n 项和.

【答案】(I )3n a n =,1

32(1,2,)n n b n n -=+=L .(II )

3

(1)212

n n n ++-. 43.(2013新标1文) 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-。 (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列2121

1

{

}n n a a -+的前n 项和。

【答案】 (1) a n =2-n ;(2) n

1-2n

.

44、(2017·全国Ⅰ文)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.

1.解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设可得?

????

a 1(1+q )=2,

a 1(1+q +q 2)=-6,解得q =-2,a 1=-2.

故{a n }的通项公式为a n =(-2)n .

(2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q

=-23+(-1)n

2n +

13.

由于S n +2+S n +1=-43+(-1)n 2n +

3-2n +

23=2????-23+(-1)n

2n +

13=2S n ,故S n +1,S n ,S n +2成等差数列.

45、(2017·全国Ⅱ文)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.

(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式;(2)若T 3=21,求S 3.

2.解 设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则a n =-1+(n -1)·d ,b n =q n -

1.由a 2+b 2=2得d +q =3.①

(1)由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.②联立①和②解得????? d =3q =0(舍去),?

???

?

d =1,q =2.

因此{b n }的通项公式为b n =2n -

1.

(2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q -20=0.解得q =-5或q =4.

当q =-5时,由①得d =8,则S 3=21.当q =4时,由①得d =-1,则S 3=-6. 46、(2017·全国Ⅲ文)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n .

(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列?

???

??

a n 2n +1的前n 项和.

3.解 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n -3)a n -1=2(n -1), 两式相减,得(2n -1)a n =2,所以a n =2

2n -1

(n ≥2).又由题设可得a 1=2,满足上式,

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