-年高考文科数学真题汇编：数列高考题老师版
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学科教师辅导教案 学员姓名 年 级
高三 辅导科目 数 学
授课老师
课时数
2h
第 次课
授课日期及时段 2018年 月 日 ： — ：
1．（2013安徽文）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A 2．（2012福建理）等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
3．（2014福建理）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )
.8A .10B .12C .14D
【答案】C
4．(2017·全国Ⅰ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
【解析】设{a n }的公差为d ，由?????
a 4＋a 5＝24，
S 6＝48，得?
?
???
(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，
6a 1＋6×5
2
d ＝48，解得d ＝4.故选C.
5．（2012辽宁文）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B
6.(2014新标2文) 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1)
2
n n - 【答案】A
7．（2012安徽文）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（ ） ()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 8 【答案】A
历年高考试题集锦——数列
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64 【答案】C
9．（2013江西理）等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0
C ．12
D ．24
【答案】A
10. (2013新标1文) 设首项为1，公比为
2
3
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 【答案】D
11.（2015年新课标2文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A
12.（2015年新课标2文）已知等比数列{}n a 满足11
4
a =
,()35441a a a =-,则2a =（ ）
A.2
B.1 1
C.2 1
D.8
【答案】C
13、（2016年全国I 理）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a
（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97
【答案】C
14．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n
a a 为递减数列，则（ ）
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d > 【答案】D
15.（2015年新课标2理）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 【答案】B
16．（2012大纲理）已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则数列11n n a a +??
?
???
的前100项和为 A ．
100101 B ．99101
C ．99100
D ．101
100
【简解】由已知，解出a 1与d ，从而a n =n ；
11
1
1
1
(1)1n n a a n n n n +∴==-++ 100111111100
(1)()()1223100101101101S =-+-++-=-=
L 选A
17、(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4．【答案】B 【解析】设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，
则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)
1－2
＝381，解得a 1＝3.故选B.
18、(2017·全国Ⅲ理，9)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24
B ．－3
C ．3
D ．8
5．【答案】A 【解析】由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2
＝(1＋d )(1＋5d )，
解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋
6×5×(－2)
2
＝－24.故选A. 19．（2012广东理）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2
32
4a a =-，则n a =______________. 【答案】2n-1
20．(2013上海文) 在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ． 【答案】15
21.(2014天津) 设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】1
2
-
22．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝63
4
，则a 8＝________.
1．【答案】32【解析】设{a n
}的首项为a 1
，公比为q ，则????
?
a 1(1－q 3)1－q
＝7
4，a 1
(1－q 6
)1－q ＝63
4，
解得?????
a 1＝14，
q ＝2，
所以a 8＝14×27＝25
＝32
23．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ． 【简解】由已知解出q 2=2;a 6=a 2q 4，填结果4
24.(2012新标文) 等比数列{n a }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 【答案】-2
25.(2012浙江理) 设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝__． 【答案】3
2
26.（2015年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．
27.（2015年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，2
1
1+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 。 【答案】27
28.（2015年江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1
{
n
a 的前10项和为 【答案】
2011
29、（2016年江苏）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 . 【答案】20.
30、(2017·全国Ⅲ理)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.
3．【答案】－8【解析】设等比数列{a n }的公比为q .∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，∴a 1(1＋q )＝－1，① a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.
31、(2017·北京理)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2
b 2＝________.
4．【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ， 得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.
∴a 2b 2＝a 1＋d
b 1q ＝－1＋3－1×(－2)
＝1. 32.(2014新标1文) 已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根。
（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求数列2n n a ??
?
???
的前n 项和.
【答案】（I ）112n a n =
+；(Ⅱ)14
22
n n n S ++=- 33．（2013湖北文）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 【简解】（Ⅰ）13(2)n n a -=-.
34.(2013天津文) 已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
【简解】(1)设等比数列{a n }的公比为q ， S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝
a 4
a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×????－12n －1＝(－1)n －1·32
n . 35、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（I ）求数列{}n b 的通项公式； 【解析】（Ⅰ）由题意得??
?+=+=3
222
11b b a b b a ，解得3,41==d b ，得到13+=n b n 。
36.（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d.因为432a a -=，所以2d =.
又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L . （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =.
所以61
6
42128
b-
=?=.由12822
n
=+，得63
n=.所以
6
b与数列{}n a的第63项相等.
37、（2016年全国I卷）已知{}n a是公差为3的等差数列，数列{}n b满足1211
1
==
3n n n n
b b a b b nb
++
+=
1，，. （I）求{}n a的通项公式；（II）求{}n b的前n项和.
解：（I）由已知，
122112
1
,1,,
3
a b b b b b
+===得
122112
1
,1,,
3
a b b b b b
+===得
1
2
a=，所以数列{}n a是首
项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31
n
a n
=-.
（II）由（I）和
11
n n n n
a b b nb
++
+=，得
13
n
n
b
b
+
=，因此{}n b是首项为1，公比为1
3
的等比数列.记{}n b的前n项和为n S，则1
1
1()31
3.
1223
1
3
n
n n
S
-
-
==-
?
-
38、（2016年全国III卷）已知各项都为正数的数列{}n a满足11
a=，2
11
(21)20
n n n n
a a a a
++
---=.
（I）求
23
,
a a；（II）求{}n a的通项公式.
39、（2016年全国II卷）等差数列{
n
a}中，
3457
4,6
a a a a
+=+=.
（Ⅰ）求{
n
a}的通项公式；解析：(Ⅰ)设数列{}n a的公差为d，由题意有11
254,53
a d a d
-=-=，解得1
2
1,
5
a d
==，所以{}n a的通项公式为23
5
n
n
a
+
=.
40.（2015年福建文科）等差数列{}n a中，24
a=，
47
15
a a
+=．
（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；
（Ⅱ）设2
2n a
n
b n
-
=+，求
12310
b b b b
+++???+的值．
【答案】（Ⅰ）2
n
a n
=+；（Ⅱ）2101．
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得
1
,a d，进而求{}n a的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首
先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2n
n
b n
=+，故可采取分组求和法求其前10项和．
试题解析：（I）设等差数列{}n a的公差为d．由已知得()()
1
11
4
3615
a d
a d a d
+=
??
?
+++=
??
，解得1
3
1
a
d
=
?
?
=
?
．
所以()
1
12
n
a a n d n
=+-=+．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
41、（2016年北京高考）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n= a n+ b n，求数列{c n}的前n项和.
解：（I）等比数列{}n b的公比3
2
9
3
3
b
q
b
===，所以2
1
1
b
b
q
==，
43
27
b b q
==．
设等差数列{}n a的公差为d．因为111
a b
==，
144
27
a b
==，所以11327
d
+=，即2
d=．
所以21
n
a n
=-（1
n=，2，3，???）．
（II）由（I）知，21
n
a n
=-，1
3n
n
b-
=．因此1
213n
n n n
c a b n-
=+=-+．
从而数列{}n c的前n项和()1
1321133n
n
S n-
=++???+-+++???+
()
12113
213
n
n n
+--
=+
-
学科网
2
31
2
n
n
-
=+．
42．（2014北京文）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}
n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.
【答案】（I ）3n a n =，1
32(1,2,)n n b n n -=+=L .（II ）
3
(1)212
n n n ++-. 43.(2013新标1文) 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列2121
1
{
}n n a a -+的前n 项和。
【答案】 (1) a n ＝2－n ；(2) n
1－2n
.
44、(2017·全国Ⅰ文)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．
1．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得?
????
a 1(1＋q )＝2，
a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得q ＝－2，a 1＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .
(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝－23＋(－1)n
2n ＋
13.
由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋
3－2n ＋
23＝2????－23＋(－1)n
2n ＋
13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
45、(2017·全国Ⅱ文)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.
(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.
2．解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)·d ，b n ＝q n －
1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.①
(1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得????? d ＝3q ＝0(舍去)，?
???
?
d ＝1，q ＝2.
因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －
1.
(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0.解得q ＝－5或q ＝4.
当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6. 46、(2017·全国Ⅲ文)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .
(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列?
???
??
a n 2n ＋1的前n 项和．
3．解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 两式相减，得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2
2n －1
(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式，