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高考文科数学真题汇编:导数及应用老师版.doc

2012-2017 年高考文科数学真题汇编:导数及应用老师版

学科教师辅导教案

学员姓名年级高三辅导科目数学

授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日:

—:

历年高考试题汇编(文)——导数及应用

1.(2014 大纲理)曲线y xe x 1在点(1,1)处切线的斜率等于( C )

A .2e B.e C.2D.1

2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( D )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图

象之一,且其导函数 y=f′(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是 ( B )

4.(2012 陕西文)设函数 f(x)= 2x +lnx 则( D )A .x= 1为 f(x) 的极大值点B.x= 1为

f(x) 的极小值点

C.x=2 为 f(x) 的极大值点D.x=2 为 f(x) 的极小值点

5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在,若p : f ( x0 )0 :

q : x x0是 f ( x) 的极值点,则

A .p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是 q 的必要条件

C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件

D. p既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

【答案】 C

6.(2012 广东理)曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为

___________________.

【答案】 2x-y+1=0

7.(2013 广东理)若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于

x 轴,则k

【答案】 -1

8.(2013 广东文)若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴,则 a .

【答案】1 2

9 . ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.

【答案】 5x+y+2=0

10.(2013 江西文)若曲线 y= xα +1(α∈ R)在点( 1,2)处的切线经过坐标原点,则α=。

【答案】 2

11.(2012 新标文 ) 曲线y x(3ln x 1)在点(1,1)处的切线方程为____4x y 3 0 ____

12.(2014 江西理)若曲线y e x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0 ,则点P的坐标是________.

【简解】设 P(x,e-x ),e x =- e x =-2,解得 x=-ln2 ,答案 (-

ln2,2) 13.(2014 江西文)若曲线y x ln x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0, 则点 P 的坐标是_______.

【简解】设 P(x,xlnx), xln x =1+lnx=2,x=e ,答案 (e,e) 14.(2012 辽宁文)函数 y= 12 x2㏑ x 的单调递减区间为( B )

(A)( 1,1](B)(0,1](C.)[1,+∞)

(D)(0,+∞)

15.(2014 新标 2 文) 若函数f x kx lnx 在区间 1,单调递增,则 k 的取值范围是( D )

( A ), 2 ( B), 1 ( C)2, (D)1,

16. (2013 新标 1 文) 函数f ( x) (1 cos x)sin x在[ , ] 的图象大致为()

【简解】y = sin 2 x (1 cos x) cos x =-2cos

2x-cosx+1=(1+cosx)(1-2cosx)>0,-π/3

18.(2015 年陕西文)函数y xe x在其极值点处的切线方程为_____y1e _______.

19. (2015 年天津文)已知函数 f x ax ln x, x 0,, 其中 a

为实数 , f x 为 f x 的导函数,若 f 1 3 ,则a的值为

3.

20、(2017 ·全国Ⅰ文, 14)曲线 y=x2+1

在点 (1,2)处的切x

线方程为 ___x-y+1=0._____.

21、(2017 ·浙江, 7)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象

如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ( D )

22、(2016 年天津高考)已知函数 f ( x) (2 x+1)e x , f ( x) 为 f (x) 的导函数,则 f (0) 的值为_____3_____.

23、(2016 年全国 III卷高考)已知 f x为偶函数,当x 0

时, f ( x) e x 1x ,则曲线y f x 在点(1,2)处的切线方程式

______________y 2x _______________. 24.(2012 福建理)已知函数 f(x)=e x+ax2-ex, a∈R.

(1)若曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间;

【解析】 (1)由于 f′(x)=e x+2ax-e,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率 k=2a= 0,

所以 a=0,即 f(x)=e x-ex.此时 f′(x)=e x-e,由 f′(x) =0 得 x=1.

当x∈(-∞,1)时,有 f′(x)< 0;当 x∈(1,+∞ )时,有 f′(x)>0.

所以 f(x)的单调递减区间为 (-∞, 1),单调递增区间为 (1,+∞ ).

25.(2013 新标 1 文) 已知函数f ( x) e x(ax b) x24x,曲线y f (x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y 4x 4 。(Ⅰ)求 a, b 的值;(Ⅱ)讨

论 f (x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值。

【简解】(1)f ′=(x)e x(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0) =4,f′(0)=4,故 b=4,a+b=8.从而 a=4,b=4. (2)由(1)知, f(x) =4e x(x+1)-x2-4x. f ′(x) =4e x(x+2)

-2x-4=4(x+2) e x-1 2 .

当x∈(-∞,- 2)∪(-ln 2,+∞ )时,f′(x)>0;当x∈(-2,- ln 2)时, f′ (x)<0.

故f(x) 在(-∞,- 2),(-ln 2,+∞ )上单调递增,在(-2,- ln 2)上单调递减.

当x=- 2 时,函数 f(x) 取得极大值,极大值为 f( -2)=4(1 -e-2) .

26.(2014 新标 1 文 ) 设函数f x a ln x 1 a x2 bx a 1 ,曲线

2

y f x 在点 1,f 1处的切线斜率为0。求 b; ⑵若存在x01,使得a,求a的取值范围。

f x0

a 1

⑴【解析】(I )f'(x)a(1 a) x b,由题设知f'(1) 0,解得b 1.

x

(2)函数 f(x)的定义域为( 0,+∞),由( 1)可知:

f(x)=alnx+,

∴=.

①当 a时,则,则当x>1时,f′(x)>0,∴函数 f(x)在( 1,+∞)单调递增,

∴存在 x0≥1,使得 f(x0)<的充要条件是,即,

解得;

②当a<1 时,则,则当x∈时,f′(x)<0,函数 f(x)在上单调递减;

当 x∈时,f(′x)>0,函数f(x)在上单调递增.

∴存在 x0≥1,使得 f(x0)<的充要条件是,

而=+,不符合题意,应舍去.③若 a>1 时, f(1)=,成立.

综上可得: a 的取值范围是.27.( 2013 新标 2 理) 已知函数 f(x)= e x-ln( x+m).

(1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.

【解析】 (1)f(x)= e x- ln(x+ m)? f′(x)=e x-x+1 m?

f′(0)=e0-

1 =0? m=1,定义域为{x|x>-1},0+m

f′(x)=e x-

1

e x x+1-1

,显然f(x)在(-1,0]上x+m x+1

单调递减,在 [0,+∞)上单调递增.

28.(2013 北京文)已知函数f (x) x2x sin x cos x

(1)若曲线y f ( x)在点(a, f ( a))处与直线y b相切,求a与b的值。

(2)若曲线y f ( x)与直线y b有两个不同的交点,求b的取值范围。

【解析】(1)f '(x) 2x x cos x x(2 cos x),因为曲线y f ( x) 在点 (a, f (a)) 处的切线为y b

所以

f '(a)

,即

2a

2

a cosa 0

,解得

a 0

f ( a) b a

a sin a cosa b

b 1

(2)因为 2

cosx 0

,所以当 x

时 f '( x) 0 , f (x) 单调递增;当 x 0

时 f '( x) 0 , f ( x) 单调递减,

所以当 x 0 时, f ( x) 取得最

小值 f (0) 1,

所以 b 的取值范围是 (1, )

29.(2012 山东)已知函数 f ( x) ln x x

k

(k 为常数,e=2.71828?

e

是自然对数的底数 ),曲线 y f (x)

在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴 平行 .(Ⅰ)求 k 的值;

(Ⅱ)求 f (x) 的单调区间;

1 k

【解析】 (I)

f (x)

ln x

f (1)

0 ,∴ k 1.

x

1 k

e

e

1

ln x 1

1

1

1

(II) 由(I) 知,

f ( x)

x

x

.设

ln x 1 ,则

k ( x)

0 ,即

k( x)

2

k( x)

在 (0,

)

上是减函数,由

k(1) 0

知,当 0

x 1

时 k( x) 0 ,从

而 f ( x) 0 ,当 x 1时 k( x) 0 ,从而 f (x) 0 .

综上可知,

f (x)

的单调递增区间是

(0,1)

,单调递减区间

是 (1, ) .

30. (2017 ·天津文, 10)已知 a ∈R ,设函数 f(x)=ax -ln x

的图象在点 (1,f(1))处的切线为 l ,则 l 在 y 轴上的截距

为 _____1___.

31.(2015 年新课标 2 文)已知 f x

ln x a 1 x

.

(I )讨论f x的单调性;( II )当f x有最大值 ,且最大值大于 2a 2 时,求a的取值范围.

x(e x-a)-a2x.

32.(2017 ·全国Ⅰ文, 21)已知函数 f(x)=e

(1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x) ≥0,求 a 的取值范围.1.解(1)函数 f(x)的定义域为 (-∞,+∞),f′(x)=2e2x -ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).

①若 a=0,则 f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递

增.②若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x=ln a.

当x∈(-∞,ln a)时, f′(x)<0;

当x∈(ln a,+∞)时, f′(x)>0.

故 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递

增.

a

③若 a<0,则由 f ′(x)=0,得 x =ln -2 .

a

当 x ∈ -∞,ln -2 时, f ′(x)<0;

a

当 x ∈ ln -2 ,+ ∞时, f ′(x)>0.

a

a

故 f(x)在 -∞,ln -2 上单调递减,在 ln -2 ,+ ∞上单

调递增.

(2)①若 a =0,则 f(x)=e 2x

,所以 f(x) ≥0.

②若 a>0,则由 (1)知,当 x =ln a 时, f(x)取得最小值,最小值为 f(ln a)=- a 2

ln a ,

从而当且仅当- a 2

ln a ≥0,即 0<a ≤1时, f(x) ≥ 0.

a

③若 a<0,则由 (1)知,当 x =ln -2 时,f(x)取得最小值, 最小值为 f

ln -a

=a 2

3-ln -a

,从而当且仅当

2 4 2

a

2 3 a

3

4-ln -

2 ≥0,即 a ≥-2e 4

时 f(x) ≥ 0.

3

综上, a 的取值范围是 [-2e 4

,1].

33、(2016 年北京高考)设函数 f x x3ax2bx c.

(I )求曲线y f x .在点0, f 0处的切线方程;

(II )设a b 4,若函数f x有三个不同零点,求 c 的取值范围;

解:(I )由f x x3 ax2 bx c ,得 f x 3x2 2ax b .因为 f 0 c , f 0 b ,

所以曲线(II )当y f x

在点 0, f 0 处的切线方程为 y bx c .

a b 4

时, f x x3 4x2 4x c ,所以 f x 3x2 8x 4.

令 f x 0 ,得 3x2 8x 4 0 ,解得x 2 或x 32.f x

与 f x 在区间, 上的情况如下:

x , 2 2

2 2 2 2,

3

,

3 3

f x 0 0

f x Z c ] c 32

Z 27

所以,当 c 0 且c 32 0 时,存在x1 4, 2 , x2 2, 2 ,

27 3

x3 2

,0 ,使得 f x1 f x2 f x3 0 .3

由 f x 的单调性知,当且仅当 c 0, 32 时,函数 f x x3 4x2 4x c

27

有三个不同零点.

34、(2016 年全国 II 卷高考)已知函数 f ( x) ( x 1)ln x a( x 1) .

(I )当a 4 时,求曲线y f ( x) 在1, f (1) 处的切线方程;

(Ⅱ)若当 x 1, 时, f ( x)>0 ,求 a 的取值范围 . 解

析:(I ) f ( x) 的定义域为 (0, ) .当 a 4 时,

1 f ( x) ( x 1)ln x 4( x 1), f ( x)

ln x

3 , f (1)

2, f (1) 0.

x

所以曲线 y f ( x)

在 (1, f (1))处的切线方程为 2 x

y 2

0.

(II )当 x

(1, )

时, f ( x) 0

a( x 1) 0.

等价于 ln x

x 1

令 g(x) ln x

a( x 1)

,则 1

2a

x 2 2(1 a) x 1

0 ,

g (x)

2

x( x 1) 2

, g(1)

x 1

x (x 1)

(i )当 a 2 , x (1, ) 时, x 2

2(1 a) x 1 x 2

2x

1 0

故 g (x) 0, g(x) 在 x (1,

)

上单调递增,因此 g ( x)

(ii )当 a 2 时,令 g (x) 0得 x 1

a 1

( a 1)2 1, x 2 a 1 (a

1)2 1 ,由

x 2 1

和 x 1 x 2 1 得 x 1

1

,故当 x (1,x 2 ) 时, g ( x) 0 , g( x) 在 x

(1,x 2 )

单调

递减,因此 g( x) 0 .综上, a 的取值范围是

,2 .

35.(2017 ·北京文, 20)已知函数 f(x)=e x

cos x -x.

(1)求曲线 y =f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程;

π

(2)求函数 f(x)在区间 0,2 上的最大值和最小值.

4.解

(1)因为 f(x)=e x cos x -x ,所以 f ′(x)=e x

(cos x -

sin x)-1,f ′ (0)=0.

又因为 f(0)=1,所以曲线 y =f(x)在点 (0,f(0))处的切线

方程为 y =1.

(2)设 h(x)= e x (cos x -sin x)-1,则 h ′(x)=e x

(cos x -sin x

-sin x-cos x)=- 2e x sin x.

当 x∈,π

时, h′(x)<0,所以 h(x)在区间,

π

上单调

2 0 2 递减,

所以对任意 x∈ 0,π

2有 h(x)<h(0)=0,即 f′(x)<0,所π

以函数 f(x)在区间 0,2上单调递减,

ππ因此 f(x)在区间 0,2上的最大值为 f(0)=1,最小值为 f 2 π

=-2.

36.(2017 ·山东文, 20)已知函数 f(x)=1

3x3-2

1

ax2,a∈R.

(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 (3,f(3))处的切线方程;

(2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

6.解(1)由题意 f ′(x)=x2-ax,所以当 a=2 时, f(3) =0,f′(x)=x2-2x,所以 f′(3)=3,

因此曲线 y=f(x)在点 (3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即 3x-y-9=0.

37、

(2016 新课标 1) 已知函数 f(x)=(x -2)e x +a(x -1)2.

(Ⅰ )讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ )若有两个零点,求 a 的取值范围 . 解: (Ⅰ ) f '(x)=(x -1)e x +a(2x -2)=(x -1)(e x +2a). x ∈ R ?2 分 (1)当 a ≥0 时,在 (-∞,1)上, f '(x)<0, f(x)单调递减; ? 分

在(1,+∞)上, f

f(x) 单调递增。

3

'(x)>0

(2)当 a<0 时,令 f ' (x)=0,解得 x =1 或 x=ln(-2 a).

①若 a=

e , ln(-2a) =1,

f ' (x)≥0 恒成立,所以

f(x)在(- ∞ 上单调递增。

2

∞,+ )

②若 a>

e

, ln(-2a)<1,在 (ln(-2 a),1)上, f ' (x)<0,f(x)单调递减;

2

在 (-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上, f '(x)>0, f(x)单调递增。

③若 a<

e

, ln(-2a)>1,在 (1,ln(-2a))上, f ' (x)<0,f(x)单调递减;

2

在(-∞,1)与 (ln(-2 a),+∞)上, f '(x)>0,f(x)单调递增。? 7 分

(Ⅱ ) (1)当 a=0 时, f(x)=( x -2)e x 只有一个零点,不合要求。 ?8 分

(2)当 a>0 时,由 (Ⅰ)知 f(x)在 (-∞,1)上单调递减;在 (1,+∞)上单调递增。 最小值 f(1)=-e<0,又 f(2)= a>0,若取 b<0 且 b

b

a 2 , e < .

2

从而 f(b)> a

(b 2) a(b 1)

2

a(b 2

3

b) 0 ,所以 f(x)有两个零点 . ?10 分

2 2

e

(3)当 a<0 时,在 (-∞,1]上, f(x)<0 恒成立;若 a ≥

,由 (Ⅰ)知 f(x)在(1,+∞)上单调递增,

不存在两个零点。若 a<

e ,

f(x) 在 (1,ln(-2 a)) 上单调递减;在 (ln(-2 a),+ ∞ 上单调递增,也不存

2

)

在两个零点。

综上 a 的取值范围是 (0,1).

? 12 分

38、(2015 年新课标 1 卷 )设函数 f x e 2x

a ln x

.

(I )讨论 f x 的导函数 f x

的零点的个数;

(II )证明:当 a 0 时 f x

2a a ln a 2

.

解:(I ) f x 的定义域为 0,

, f x 2e

2 x

a

( x 0)

.

x

当 a ≤0 时, f x 0,f x 没有零点;

当 a 0 时,因为 e 2 x

单调递增, a x 单调递减,所以 f x 在 0,

单调递增,又

f a 0 ,

当 b 满足 0<b < a 且 b < 1

时, f (b) 0 ,故当 a <0 时 f x 存

4

4

在唯一零点 . ?? 6 分

(II )由(I ),可设 f x 在 0, 的唯一零点为 x 0 ,当 x

0,x 0

时, f x <0;

当 x x 0, 时, f x >0.

故 f x 在 0, 单调递减,在 x 0,

单调递增,所以 x x

时,

f x 取得最小值,最小值为

f x 0 . 由于

2e 2 x 0

a 0 ,所以

x 0

f x 0

a

2ax 0 a1n

2

2a a1n 2

.

2x 0

a

a

故当 a 0时,f x

2a a1n a 2

.

?? 12 分

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