解题技巧专题：共顶点的等腰三角形
——形成精准思维模式，快速解题
◆类型一共顶点的等腰直角三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．
2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证：
(1)AF＝AD；
(2)EF＝BD.
◆类型二共顶点的等边三角形
3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
第3题图第4题图
4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．
5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE .
(2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .
2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD .
(2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD .
3．D
4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°.
5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ，
∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，
∴△DBC ≌△EAC (SAS)．
(2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC
和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，
∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又
∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
共顶点等腰三角形产生相似三角形模型 今天研究一个难度较低但结论还比较有趣的模型。前面研究过两个有点类似的模型，当时起名个人是从模型构造出发分别叫旋转放缩对称直角三角形和互补旋转放缩等腰三角形模型，现在想想既复杂拗口，又没点穿本质，还不如直接叫共顶点直角三角形产生等腰三角形和共顶点等腰三角形产生直角三角形模型好点。所以今天这个就直接叫共顶点等腰三角形产生相似三角形模型了。 模型构造：一：任意作一等腰三角形ABC，∠A为顶角。然后将其绕A旋转180°得△AED。 二：将△AED绕A进行旋转及放缩，得到新的等腰三角形AED 三：连BD，CE（注意对应，不是BE和CD），分别作其中垂线，交于F点。
结论：△DFB∽△EFC，且∠DFB=∠EFC=180°-∠BAC。 证明：由边角边基本全等模型易证△EAB∽△DAC① 则有BE=DC，可推出△EFB≌△CFD②，从而∠EFB=∠CFD即∠DFB=∠CFE，△DFB ∽△EFC。
接下来推为什么产生的两新的相似的等腰三角形顶角和原等腰三角形顶角互补：由①，∠ADG=GEH，则∠GHE=∠DAE；由②，∠ HEI=∠FCI，则∠EHI=∠EFC。又∠EHI+∠GHE=180°，则有∠EFC+∠DAE=∠EFC=∠BAC=180°。 由于等腰△ABC形状可以改变，△ADE可以任意旋转放缩，给出的图形是否以偏概全结论是否任意情况都成立呢？应该是都成立的。尽管形状改变，过程和推导都大同小异，仅再举一情形进行证明。 在此图延长BE和DC交于G。由△AED≌△ADC，可推∠EGD=∠BAC。再由△EBF≌△CDF，可推∠GDF+∠EBF=180°，所以在四边形GBFD中，∠BFD+∠EGD=∠BFD+∠
《1 等腰三角形》教案 第1课时 教学目标 1．知识与技能： 经历观察实验、猜想证明，掌握等腰三角形的性质，会运用性质进行证明和计算． 2．过程与方法： （1）历观察等腰三角形的对称性，发展形象思维． （2）经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力． 3．情感态度与价值观： 经历同学间的合作与交流，体会在解决问题过程中与他人合作的益处． 教学重难点 1．教学重点：等腰三角形性质的发现、证明及应用． 2．教学难点：等腰三角形三线合一的发现、证明及应用． 教学过程 一．提出问题，创设情境 1．①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ 2．满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，?也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． 二．导入新课 1．同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形． A C A B I 作一条直线L ，在L 上取点A ，在L 外取点B ，作出点B 关于直线L 的对称点C ，连结AB 、BC 、CA ，则可得到一个等腰三角形． 思考： (1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． (2)．等腰三角形的两底角有什么关系？ (3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
(4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？?底边上的高所在的直线呢？ 2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．(它的两个底角有什么关系？) 3．等腰三角形的两个底角相等，?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．(这个结论由学生共同探究得出的) 等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、?底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 三．随堂练习 四．课时小结 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． 第2课时 教学目标 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程． 教学重难点 教学重点： 等边三角形判定定理的发现与证明． 教学难点： 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理． 教学过程 一、复习知识要点 1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 2．三角形按边分类：三角形()???????? 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是： 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 二．新课学习
等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ， 则点D 到AB 的距离为（ ） 2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ） 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且 ∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ． 5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ． 6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥ AC ， 垂足分别为 E ，F ，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ． （1）∠E 等于多少度？ （2）△DBE 是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ． 9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ． A ． 5cm B ． 3cm C ． 2cm D ． 不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
| 等腰三角形 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对 2. 如图，AB C ?是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。 C A 1 D B 2 3 3. AB C ?中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证： BC 2 1 DE = 。 A E D O B C 1 2 / 4. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 E 5. 如图，已知：AB C ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D }
6. 已知：如图，AB C ?中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。求证：DCB 2B AC ∠=∠。 C ~ 7、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。求证：AE ＝AF 。 A E F B D C 【 8、如图，AB C ?中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。 求证：B C B D AD =+。 E F C "
— 等腰三角形答案： 1. B 2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为AB C ?是等边三角形 所以 60ABC BC AB =∠=， 因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠ 在AB D ?中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠ ] 3.分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC 的中点。 证明：过点A 作BC 边的垂线AF ，垂足为F 。 4、分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝2 1 ∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝ 2 1 ∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一） 5、分析：题中所要求的BAC ∠在AB C ?中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。因此需要考虑DB A D =和CA DC =在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 因为DB A D =，所以C DAB B ∠=∠=∠； 因为CD CA =，所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角） 而 DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22， ~ 所以B 3B AC ∠=∠ 又因为 180=∠+∠+∠BAC C B 即 180B 3C B =∠+∠+∠ 所以 36B =∠ 即求得 108BAC =∠ 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 6、分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。 证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB = 所以BAC 2 1 21∠= ∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠ 又AB CD ⊥，所以 90CDB =∠ 所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余） 所以31∠=∠（同角的余角相等） 即DCB 2B AC ∠=∠ 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB ∠的等角等。 》 7、证明：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 又因为AC DF AB DE ⊥⊥，
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD. ◆类型二共顶点的等边三角形
3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
北师大版八年级下册等腰三角形练习题进门考试 一、选择题 1.下列式子正确的是（） A ．9 =-B 5 =± 2. 3. ①任何正数的两个平方根的和等于0； ②任何实数都有一个立方根； ③无限小数都是无理数； ④实数和数轴上的点一一对应． A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC 上的点F处．若AE=5，BF=3，则CF的长是（） A．9 B．10 C．12 D．15 5.在平面直角坐标系中，点M(-3，2)向右平移2个单位，向下平移3个单位后得点N，则点N的坐 标是（） A．(1，1) B．(-1，1) C．(-1，-1) D．(1，-1) 6.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目 标地点240m，他在水中实际游了510m，那么该河的宽度为（） A．450m B．350m C ． 270m D．650m 7.关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能是（） A．B．C．D． 8.如图，直线y1=kx+b与两坐标轴的正半轴相交，与直线y2=x-1相交于点M，且点M的横坐标为2， 则下列结论：①k<0； ②kb<0；③当x<2时，y1 y2=x-1 y1=kx+b 2 y x O M 1.等腰三角形 一、主要知识点 1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质 是对应边相等，对应角相等。 2、等腰三角形的有关知识点。 等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 3、等边三角形的有关知识点。 判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个叫是60°的三角形是等边三角形。 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而 证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 二、重点例题分析 例1:如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA. 例2 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 例3：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足, 求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。 等腰三角形典型例题练习 等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且 在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N． 给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点， DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之 比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上 的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC， 分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上， 第一章三角形的证明检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（） A.15 7 B. 12 5 C. 20 7 D. 21 5 3. 如图，在△ABC 中，，点D在AC 边上，且，则∠A的度数为（） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 5.如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④△≌△． 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（） A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm 7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（） A. B. C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（） A.5 B.2 C. 4 5 D.1 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E ，如果cm ，那么△的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 . 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形. 13.（2015?四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 14.如图，在△ABC 中，，AM 平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________. 15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则 _________，_________. 16.(2015?江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线， 则△ABD与△ACD的面积之比是. 17. 如图，已知 的垂直平分线交 于点 ，则 . 18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜 边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度. 等腰三角形的性质 一、基础能力平台 1．选择题： （1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（） A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角 C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角 （2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（） A．40°，40°B．100°，20° C．50°，50°D．40°，40°或100°，20° （3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20° C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20° （4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（） A．45°B．40°C．55°D．50° （5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（） A．顶角B．顶角的一半 C．顶角的2倍D．底角的一半 （6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（） A．30°B．45°C．36°D．72° （1）（2）（3）2．填空题： （1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______； ②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______． （2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______． （3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______． （4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________． （5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______． 3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数． 4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC?以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ c a 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm. 第2题图第3题图 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60° 4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF. 第2课时等腰三角形的判定 1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．钝角三角形 2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________． 第3题图第4题图 4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形． 5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC. 6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G. 求证：△EFG是等腰三角形． 共顶点的等腰三角形的旋转探索 学习目标：1.学生能认识平面图形关于旋转中心的旋转； 2.学生熟悉旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等； 3.通过本节课探索，学生掌握具有共顶点的等腰三角形与旋转之间的联系，从而利用旋转来转化线段，求线段的长度. 一、复习引入 二、例题与变式探究 例：如图，ABD ?、AEC ?都是等边三角形，BE 和CD 有什么关系？ 你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（九年级数学上册第63页第10题） 变式一：如图，△ABD 、△ACE 都是等腰直角三角形，求证：BE=CD. 变式二：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长. 三、课堂小结： 四、作业布置： 1..如图，△ABC 中，∠ABC ＝30，AB ＝６，BC ＝８，△ACD 是等边三角形，求BD 的长． 2. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线， ABC ?是等边三角形，30ADC ∠=，3AD =，5BD =，求四边形ABCD 的面积. 五、教学反思：通过本次微课，对于共本课题是学生学会《旋转》的图形的旋转及性质后，通过一个 课后习题引起的探究，意在通过基教材之根本，挖掘教材中典型，即由共顶点的两个等边三角形，通过旋转的性质可以得到线段之间的关系，进而联想到其它共顶点的等腰三角形是不是也可以通过旋转的性质得到呢？特别是在变式二的探究上是创新的，而且本微课通过动画演示，让学生更加清晰的看到旋转的本质，对学生不仅是直观感受颇深，而且对于旋转性质的理解与掌握甚至是灵活运用都起到良好的引导作用，最后的作业设计更是精心设计，第1小题力求达到巩固，第2小题稍有拓展，旨在培养学生深层次综合思维。 北师版八年级数学下册 解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD. ◆类型二共顶点的等边三角形 3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . 八年级数学下册《等腰三角形》知识点 苏教版 知识点 等腰三角形的性质 1.有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等; 定理：等腰三角形的两个底角相等。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2.定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3.等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 初中数学试卷 桑水出品 解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E， 且BE＝1 2 BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝ __________. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E， F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)？ 3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC交BC 于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形 4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC 的平分线BP于P，则△PBC的面积为 ( ) A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm2 5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE. ◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等 6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC ＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF. ◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 7．如图，已知AB＝AC，∠A ＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD. 8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长． 共顶点的等腰三角形与全等（专题复习） 一、内容和内容解析 1．内容 基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用. 2．内容解析 本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想. 二、目标和目标解析 1．目标 （1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形. （2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用. （3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件. 达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题. 达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义. 三、教学问题诊断分析 学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生 .. 教案课时 等腰三角形的存在性问题解题策略专题一课题目授 教师日年3月72015课日期授娜柳 学生 1 时 00 分时学课授 学科组长复习课型课娜柳 师生活动一、要点归纳等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 二、课前热身厘米的等腰三角形？这样的等腰三角形有多少个？怎样画腰长为5 厘米的等腰三角形？这样的等腰三角形有多少个？怎样画底边长为5 三、例题讲解 轴（如//x），4，直线CM0为原点，点A的坐标为（1，），点C的坐标为（01.在平面直角坐标系内，O，DCM相交于点经过点b为常数）B，且与直线by与点所示）图1．点BA关于原点对称，直线＝x＋（OD．联结的坐标；的值和点）求bD（1 的坐标；是等腰三角形，求点x轴的正半轴上，若△PODP在）设点（2P 1 图 ;. .. 、不与DAAB、AC上的两个动点（，BC＝6，D、E分别是边＝如图2.1，在△ABC中，AB＝ AC5 DEFG．DE为边，在点A的异侧作正方形B重合），且保持DE//BC，以ABC的面积；（1）试求△DEFG的边长；与BC重合时，求正方形（2）当边FG的函数关系式，并写x，试求y 关于，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y3（）设AD＝x 出定义域；的长．是等腰三角形时，请直接写出AD（4）当△BDG 1 图 )m的中点．P(0,、y轴的正半轴上，M是BCxA的边长为3.如图，已知正方形OABC2，顶点、C 分别在D．PM交AB的延长线于点点除外）是线段OC上一动点（C，直线；m的代数式表示）D（1）求点的坐标（用含的值；APD是等腰三角形时，求m）当△（2 ;. .. 并延长交射上，联结EME在线段AB4，M是AD的中点，动点4.如图1，正方形ABCD的边长为．EG、FGEF的垂线交射线BC于G，联结F线CD于，过M作是等腰三角形；1）求证：△GEF（的取值范围；x的函数关系式，并写出自变量xGEF的面积为y，求y关于（2）设AE＝x，△能否成为等边三角形？请说明理由．E运动的过程中，△GEF（3）在点等腰三角形单元测试题(含答案)
八年级下册第一章等腰三角形的证明测试题
等腰三角形的性质练习(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)
共顶点的等腰三角形的旋转探索
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形
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