.
..
共顶点的等腰三角形构造全等
1.如图，四边形ABCD 中，BD=5，BC=2，AD=CD ，
90ADC ∠=o ,45DBC ∠=o ，求AB 的长
2.如图，在 ABC ?中，AB=AC ，90CAB ∠=o
，
45CDA ∠=o ，CD=3，AD=4，求BD 的长
思考：如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=o ，且
1
tan 3
BAC ∠=，D 为ABC ?外一点，且CD=2，
BD 的最大值
变式：如图，四边形ABCD 中，
90ABD ∠=o
135BCD ∠=o ，
，求AC 的长
变式：如图，在 ABC ?中，AB=3，BC=5，60ABC ∠=o 以AC 为边向外作等边ACD ?，求BD 的长
B
A
共顶点等腰三角形产生相似三角形模型 今天研究一个难度较低但结论还比较有趣的模型。前面研究过两个有点类似的模型，当时起名个人是从模型构造出发分别叫旋转放缩对称直角三角形和互补旋转放缩等腰三角形模型，现在想想既复杂拗口，又没点穿本质，还不如直接叫共顶点直角三角形产生等腰三角形和共顶点等腰三角形产生直角三角形模型好点。所以今天这个就直接叫共顶点等腰三角形产生相似三角形模型了。 模型构造：一：任意作一等腰三角形ABC，∠A为顶角。然后将其绕A旋转180°得△AED。 二：将△AED绕A进行旋转及放缩，得到新的等腰三角形AED 三：连BD，CE（注意对应，不是BE和CD），分别作其中垂线，交于F点。
结论：△DFB∽△EFC，且∠DFB=∠EFC=180°-∠BAC。 证明：由边角边基本全等模型易证△EAB∽△DAC① 则有BE=DC，可推出△EFB≌△CFD②，从而∠EFB=∠CFD即∠DFB=∠CFE，△DFB ∽△EFC。
接下来推为什么产生的两新的相似的等腰三角形顶角和原等腰三角形顶角互补：由①，∠ADG=GEH，则∠GHE=∠DAE；由②，∠ HEI=∠FCI，则∠EHI=∠EFC。又∠EHI+∠GHE=180°，则有∠EFC+∠DAE=∠EFC=∠BAC=180°。 由于等腰△ABC形状可以改变，△ADE可以任意旋转放缩，给出的图形是否以偏概全结论是否任意情况都成立呢？应该是都成立的。尽管形状改变，过程和推导都大同小异，仅再举一情形进行证明。 在此图延长BE和DC交于G。由△AED≌△ADC，可推∠EGD=∠BAC。再由△EBF≌△CDF，可推∠GDF+∠EBF=180°，所以在四边形GBFD中，∠BFD+∠EGD=∠BFD+∠
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD. ◆类型二共顶点的等边三角形
3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
共顶点的等腰三角形的旋转探索 学习目标：1.学生能认识平面图形关于旋转中心的旋转； 2.学生熟悉旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等； 3.通过本节课探索，学生掌握具有共顶点的等腰三角形与旋转之间的联系，从而利用旋转来转化线段，求线段的长度. 一、复习引入 二、例题与变式探究 例：如图，ABD ?、AEC ?都是等边三角形，BE 和CD 有什么关系？ 你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（九年级数学上册第63页第10题） 变式一：如图，△ABD 、△ACE 都是等腰直角三角形，求证：BE=CD. 变式二：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长.
三、课堂小结： 四、作业布置： 1..如图，△ABC 中，∠ABC ＝30，AB ＝６，BC ＝８，△ACD 是等边三角形，求BD 的长． 2. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线， ABC ?是等边三角形，30ADC ∠=，3AD =，5BD =，求四边形ABCD 的面积. 五、教学反思：通过本次微课，对于共本课题是学生学会《旋转》的图形的旋转及性质后，通过一个 课后习题引起的探究，意在通过基教材之根本，挖掘教材中典型，即由共顶点的两个等边三角形，通过旋转的性质可以得到线段之间的关系，进而联想到其它共顶点的等腰三角形是不是也可以通过旋转的性质得到呢？特别是在变式二的探究上是创新的，而且本微课通过动画演示，让学生更加清晰的看到旋转的本质，对学生不仅是直观感受颇深，而且对于旋转性质的理解与掌握甚至是灵活运用都起到良好的引导作用，最后的作业设计更是精心设计，第1小题力求达到巩固，第2小题稍有拓展，旨在培养学生深层次综合思维。
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习） 一、内容和内容解析 1．内容 基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用. 2．内容解析 本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想. 二、目标和目标解析 1．目标 （1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形. （2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用. （3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件. 达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题. 达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义. 三、教学问题诊断分析 学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生
北师版八年级数学下册 解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． 2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD.
◆类型二共顶点的等边三角形 3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个 第3题图第4题图 4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________． 5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD . (2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD . 3．D 4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又 ∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
模型构建专题：共顶点的等腰三角形 ◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． ◆类型二共顶点的等边三角形 2．如图①，等边△ABC中，D是AB 边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE. (2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE. 2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)． (2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B ＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC. (3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中， ∵ ?? ? ?? BC＝AC， ∠BCD＝∠ACE， CD＝CE， ∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.
模型构建专题：共顶点的等腰三角形 ——明模型，悉结论 ◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由． ◆类型二共顶点的等边三角形 2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由； (2)试说明AE∥BC的理由； (3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ， ∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE (SAS)，∴AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE . 2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)． (2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC . (3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中， ∵?????BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .
专题 利用共顶点的等腰三角形证全等 一、共顶点的等边三角形： 01．已知△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点A 、E 在BC 的同侧． ⑴如图1,点D 在BC 上,写出线段AC 、CD 、CE 之间的数量关系,并证明; ⑵如图2,若点D 在BC 的延长线上,其它条件不变,直接写出AC 、CD 、CE 之间的数量关系． 【解答】：解：⑴CD ＋CE ＝AC ，证△ABD ≌△ACE （SAS )，BD ＝CE ．⑵CD －CE ＝ AC ，证法同⑴． 点评：由等边△ABC 和等边△ADE 共顶点A ，证三角形全等． 二、共直角顶点的等腰直角三角形： 02．如图，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠BAC ＝∠EAF ＝90°，BE 、CF 交于M ，连AM ． ⑴求证：BE ＝CF ；⑵求证：BE ⊥CF ；⑶求∠AMC 的度数． 【解答】：解：⑴证△BEA ≌△CF A ． ⑵∠ABE ＝∠ACF ，∴∠CMB ＝∠CAB ＝90°． ⑶作AG ⊥BE 于G ，AH ⊥CF 于H ，证△AGB ≌△AHC ，AG ＝AH ，∠ AMG ＝45°，∴∠AMC ＝135°． 点评：由共直角顶点A 的两个等腰直角三角形证三角形全等． A B E C F M G H A B E C F M A B D C E 图2 A B D C E 图1
三、构造共顶角顶点的等腰三角形： 03．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB ＝AC ，DA ＝DE ，∠BAC ＝∠ADE ＝120°， 求∠BCE 的度数． 【解答】：解：作∠CDM ＝120°，交CA 的延长线于M ，△ADM ≌△EDC （SAS )， ∠DCE ＝∠M ＝30°． 点评：图中有两个等腰△ABC 和△ADE ，但不共顶角顶点，故构造两个共顶角顶点等 腰△MDC 和△ADE ． A B E C D M A B E C D
学好数学的秘密 1、学完多思考 要想学好数学一定要多思考。主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。独立思考是学习数学必须具备的能力。同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成 自己的知识。 2、多做练习题 要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以 加强、推广等等。 3、善于总结规律
我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利 用总结的规律和方法去解决。 模型构建专题：共顶点的等腰三角形 ◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC和△DBE均为等 腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直， 请说明理由；若不垂直，则只要写出结论， 不用写理由． ◆类型二共顶点的等边三角形 2．如图①，等边△ABC中，D是AB 边上的动点，以CD为一边，向上作等边 △EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明 理由； (2)试说明AE∥BC的理由；
共顶点等腰直角三角形 一以直角顶点为共顶点的两个等腰三角形 1.基本图形： 问题1：如图1（或图2），已知△ABC,△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=o 90,连结BE,AD, 证明：(1) BE=AD (2)BE⊥AD 图1 图2 2.迁移图形 变式：如图3.分别以△ABC的边AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG和BG,EC,且BG,EC相交于O. 证明: (1) BG=EC,BG⊥EC (2) 若连结AO,则AO平分∠EOG (3) △ABC与△AEG的面积相等 (4)若在△ABC中，边BC上的高线存在，则高线平分线段EG,反之也成立. 图3 3.中考链接 90，点F是例（2013年辽宁营口）如图4，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=o AC边上的一个动点(点F与点A，C不重合)，以CF为一边在△ABC外作正方形CDEF,链接BF,AD (1)①猜想图4中线段BF,AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图4中的正方形CDEF,绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图5，如图6所示的情形.图5中BF 交AC 于H,交AD 于O,试判断第①问中得到的结论是否仍然成立，并选取图5证明你的判断. 图4 图5 图6 图7 (2)将原题中的等腰直角△ABC 改为Rt △ABC ，∠ACB=o 90，正方形CDEF,如图7，且AC=4,BC=3,CD= 3 4,CF=1,BF 交AC 于H ，交AD 于O ，连结BD,AF ，求22AF BD 的值.
二 以底角顶点为共顶点的两个等腰三角形 1.基本图形 问题：已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △AED, ∠AED=∠ACB=o 90,点D 在AB 上(如图9)或将题目中的等腰Rt △AED 绕点A 逆时针旋转α(如图10)，点E 在△ABC 外部，连结EC,点M,N 分别为DB,EC 的中点. 证明：(1)CE MN 2 1 (2) MN ⊥EC 图8 图9 图10 2.迁移图形 变式：已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，∠AED=∠ACB=o 90，点M 是BD 的中点(如图11)，连结MC 和ME,证明： (1) MC=ME (2) MC ⊥ME