第一章集合与函数概念
§1．1集合
（一）集合的有关概念
⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。
5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.
整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}
⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；
⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；
⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；
⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A.
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“?”符号填空：
⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ⑷2 Q ；
⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 练：5页１题
例2．已知集合P 的元素为2
1,,3m m m --, 若2∈P 且-1?P ，求实数m 的值。
练：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？
①身材高大的人 ②所有的一元二次方程
③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体
⑤比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体
⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题
⑵给出下面四个关系:3∈R,0.7?Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
⑶下面有四个命题:
①若-a ?Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2
③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2} ⑶其中正确命题的个数是(
⑷由实数-a , a , a ,a 2, -5a 5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?
⑸求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?
⑹若t 1t
1+-∈{t},求t 的值. 第二课时
一、集合的表示方法
⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫
列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；
说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；
⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；
⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可
以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能
用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......
例1．用列举法表示下列集合：
(1)小于5的正奇数组成的集合；
(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3)从51到100的所有整数的集合；
(4)小于10的所有自然数组成的集合；
(5)方程2x x
=的所有实数根组成的集合；
⑹由1~20以内的所有质数组成的集合。
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：{}
()
x A p x
∈
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；
说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表
整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意：
１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？
２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
例2．用描述法表示下列集合：
(1)由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;
(2)到定点距离等于定长的点的集合;
(3)方程220
x-=的所有实数根组成的集合
(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练习：5页2题
1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
2．集合A＝{x|
4
3
x-
∈Z，x∈N}，则它的元素是。
3.已知集合A＝{x|-3 列举法表示是 ４.判断下列两组集合是否相等？ （1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数} 二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ∈R ∣0 3. {x ∈R ∣x 2+1=0} 由此可以得到 集合的分类:::() em pty set ?????-?有限集含有有限个元素的集合 无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合 三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： 典型例题 【题型一】 元素与集合的关系 １、设集合A ＝｛１，a ,b ｝,B=｛a ,a ２,ab ｝,且A=B ，求实数a ，b. ２、已知集合A ＝｛a+2，（a+1)２，a ２+3a +3｝若1∈A,求实数a 的值。 【题型二】 元素的特征 １、⑴已知集合M=｛x ∈N ∣x +16∈Z ｝,求M ⑵已知集合C=｛x +16∈Z ∣x ∈N ｝,求C 点拔：要注意M 与C 的区别，集合M 中的元素是自然数 x ，满足x +16是整数，集合 C 是的元素是整数x +16 ，满足条件是x ∈N 练习： １.给出下列四个关系式：①3∈R ；②π?Q ；③0∈N ；④0?φ其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ２.方程组 的解组成的集合是( ) A.｛2,1｝ B.｛-1,2｝ C.（2,1） D.｛（2,1）｝ 3.把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( ) A.｛3,2,1｝ B.｛3,2,1,0｝ C.｛-2,-1,0,1,2｝ D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝ 4.下列说法正确的是( ) ???=-=+1 3y x y x A 表示任意一个集合A 3,9,27 表示{3，9，27} A.｛0｝是空集 B. ｛x ∈Q ∣x 6 ∈Z ｝是有限集 C.｛x ∈Q ∣x 2+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合 二填空题： ５、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个； ６、以实数a ２，2-a .,4为元素组成一个集合A ，A 中含有２个元素，则的a 值为 . ７、集合M=｛y ∈Z ∣y=x +38,x ∈Z ｝,用列举法表示是M ＝ 。 ８、已知集合A ＝｛2a,a 2-a ｝，则a 的取值范围是 。 三、解答题： ９、设A ＝｛x ∣x 2+(b+2)x+b+1=0,b ∈R ｝求A 的所有元素之和。 10.已知集合A ＝｛a,2b-1,a+2b ｝B=｛x ∣x 3-11x 2+30x=0｝,若A=B ，求a,b 的值。 1.1.2 集合间的基本关系 比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =； （2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生； （3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形 观察可得： ⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这 两个 集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：()A B B A ??或 读作：A 包含于B ，或B 包含A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A ?B(或B ? A) 用V enn 图表示两个集合间的“包含”关系： ⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。 如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。 ⒊真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。 记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） 4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：φ 用适当的符号填空： φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ} 5.几个重要的结论： ⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ?A 。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集； ⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。 练习：填空： ⑴2 N ； {2} N ； φ A; B A 表示：A B ? ⑵已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则 A B ； A C ； {2} C ； 2 C 说明： ⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系； ⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。 ⑶结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个， 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 （二）例题讲解： 【题型１】集合的子集问题 １、写出集合｛a,b,c ｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。 ２、已知集合M 满足｛2,3｝?M ?｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M ３、已知集合A ＝｛x |x 2-2x-3=0｝,B=｛x |ax=1｝若B A ，则实数a 的值构成的集合是（ ） A.｛-1,0,31｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,31｝ D.｛3 1,0｝ 4.设集合A=｛２，８，a ｝B=｛2,a 2-3a+4｝且B A ，求a 的值。 5.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ?， 求实数m 的取值范围。 （3m ≥） 练习： 1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; (5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y 2-3y+2=0}; (6) A={1,3}，B={x|x 2-3x+2=0}; (7) A={-1,1}，B={x|x 2-1=0}; （8）A={x|x 是两条边相等的三角形}，B={x|x 是等腰三角形}。 2、设A={0，1}，B={x|x ?A}，问A 与B 什么关系？ 3、判断下列说法是否正确？ （1）N ?Z ?Q ?R ； （2）φ?A ?A ； （3）{圆内接梯形}?{等腰梯形}； （4）N ∈Z ； （5）φ∈{φ}； （6）φ?{φ} 4.有三个元素的集合A ，B ，已知A={2，x ，y}，B={2x ，2，2y}，且A=B ，求x ，y 的值。 解答题： 1.已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ?，求实数a 的取值范围。 2.已知三个元素集合A ＝｛x,xy,x-y ｝,B=｛0,∣x ∣,y ｝且A=B ，求x 与y 的值。 1.1.3 集合间的基本运算（共1课时） 考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系： （1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6}, 1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A x x =是有理数，{}{}, B x x C x x ==是无理数是实数； 1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，即A 与B 的所有部分， 记作A ∪B ， 读作：A 并B 即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。 V enn 图表示： 说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？ A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪ B B ∪A A ∪ B ＝A ? , A ∪B ＝B ? . 巩固练习（口答）： ①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ; ②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。 2.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ）， 记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B} Venn 图表示： 常见的五种交集的情况： 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个 集合没有交集 讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？ A ∩A ＝ A ∩φ＝ A ∩ B B ∩A A ∩ B ＝A ? A ∩B ＝B ? 巩固练习（口答）： ①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ; ②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。 3.一些特殊结论 ⑴若A B ?,则A ∩B=A ； ⑵若B A ?,则A ?B=A ； ⑶若A ，B 两集合中，B=φ，,则A ∩φ=φ, A ?φ=A 。 【题型一】 并集与交集的运算 【例1】设A={x|-1 解：A ∪B={x|-1 【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B 。 解：在数轴上作出A 、B 对应部分如图 A ∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2 A B A(B) A B B A B A （阴影部分即为A 与B 的交集） -2 3 -1 1 2 3 【例3】已知集合A ＝｛y |y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,B=｛y |y=-x 2+2x +13,x ∈R ｝求A ∩B 、A ∪B 【题型二】 并集、交集的应用 例：设集合A ＝｛∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a 2+2a,a 2+2a-1}，当A ∩B={２，３}时，求A ∪B 解：∵∣a+1∣＝2 ∴a ＝1或-3 当a ＝1时，集合B 的元素a 2+2a ＝3，2a+1＝3， 由集合的元素应具有互异性的要求可知a ≠1. 当a ＝-3时，集合B={-5，２，３} ∴A ∪B={-5，２，３，5} 练：.已知｛3,4，m 2-3m-1｝∩{２m ，-３}=｛-3｝,则m ＝ 。 练习： １.设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，则A ∩B ＝ 。 {x|x 是等腰直角三角形}。 ２设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A ∪B ＝ 。 ３设A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形}，则A ∪B ＝ 。 4.已知集合M ＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M ∩N 等于 。 ４设A ＝｛不大于20的质数｝，B ＝{x|x ＝2n+1,n ∈N*}，用列举法写出集合A ∩B ＝ 。 6.已知集合M ＝{x|y=x 2-1},N={y|y=x 2-1},那么M ∩N 等于（ ） A.φ B.N C.M D.R 7、若集合A ＝｛1，3，x ｝,B=｛1,x 2｝,A ∪B ＝｛1，3，x ｝,则满足条件的实数x 的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.满足条件M ∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M 的个数是 。 9.已知集合A ＝｛x|-1≤x ≤2｝,B=｛x|2a ＜x ＜a+3｝,且满足A ∩B ＝φ，则实数a 的聚取值啊范 围是 。 集合的基本运算㈡ 思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？ 集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质： ⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集 合A 相对于全集U 的补集, 记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{},U C A x x U x A =∈?且 V enn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集） A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助V enn 图分析 , ,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??== ,U U C U C U =??= 巩固练习（口答）： ①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ； ②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。 【题型1】求补集 【例1】．设全集{}{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，， 求U C A ，U C B ． 【例2】设全集{}{}{}4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ， A B ?，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ?????。 （结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?） 【例3】设全集U 为R ，{}{} 22120,50A x x px B x x x q =++==-+=，若 {}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=，求A B ?。（答案：{}2,3,4） 【例4】设全集U ＝｛x|-1≤x ≤3｝,A=｛x|-1＜x ＜3｝,B=｛x|x 2-2x-3=0｝,求U C A ，并且判断U C A 和集合B 的关系。 【题型1】集合的混合运算 已知全集为R ，集合P=｛x|x ＝a 2+4a+1,a ∈R ｝,Q=｛y|y ＝-b 2+2b+3,b ∈R ｝求P ∩Q 和P ∩R Q C 。 （III ）课堂练习： ⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A={2} ； ⑵若S={三角形}，B={锐角三角形}，则C S B={直角三角形或钝角三角形} ； ⑶若S={1，2，4，8}，A=?，则C S A= S ； ⑷若U={1，3，a 2+2a+1}，A={1，3}，C U A={5}，则a= ；-15± ⑸已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求B={1，4}； ⑹设全集U={2，3，m 2+2m-3}，A={|m+1|，2}，C U A={5}，求m 的值；（m= - 4或m=2） ⑺已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x 2-5x+m=0，x ∈U}，求C U A 、m ；（答案：C U A={2，3}， m=4；C U A={1，4}，m=6） ⑻已知全集U=R,集合A={x|0 ⑼已知M={1}，N={1，2}，设A={（x ，y ）|x ∈M ，y ∈N}，B={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈M}，求 A ∩ B ，A ∪B 。[A ∩B={(1,1)},A ∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}] ⑽已知集合M ?{4,7,8},且M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )； A 3个 B 4个 C 6个 D5个 ⑾设集合A={-1,1}, B={x|x 2-2ax+b=0}, 若B φ≠, 且B A ?, 求a, b 的值 1 (12){|}{|}______22n m A n Z B m Z A B +=∈=∈= 集合，，则 5(13){|42}{|13}{|0}2______________,_____________;A x x B x x C x x x A B C A B C =-≤≤=-≤≤=≤≥ == 集合，，或那么 提高内容： ⑴已知X={x|x 2+px+q=0，p 2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且,X A X B X φ?=?=，试 求p 、q ； ⑵集合A={x|x 2+px-2=0},B={x|x 2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p 、q ； ⑶A={2，3，a 2+4a+2}，B={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B 22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。 集合中元素的个数 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A)表示集合A 中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3. 结论:已知两个有限集合A ，B ，有：card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 解设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}， A∩B={两次运动会都参赛的学生},A ∪B={所有参赛的学生} 因此card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛. １.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则 这个班的学生总人数是 A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定 ２. 给出下列命题： 给出下列命题： ① 若card(A)=card(B)，则A=B ； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A ∪B) , ③ 若A∩B=Φ 则card(A ∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A=Φ ，则ca rd(A∩B)=card(A) ⑤ 若A ?B ，则card(A∩B)=card(A) ， 其中正确的命题的序号是③④ 高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、U ＝｛1，2，3，4，5｝，若A ∩B ＝｛2｝，(C U A )∩B ＝｛4｝，(C U A )∩(C U B )＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .错误！未指定书签。 ①、3 A 且3 B ；②、3A 且3B ； ③、3A 且3B ；④、3A 且3B 。 2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是 4、已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为 5、设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ??+=???? ，，，，，则b a -= 6、设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+= ，则M N 。(选填、、、?、 ＝、N M ?、N M ?) 7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ??????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于 9、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =? ，则实数a 的取值范围是 10、设集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A =A b ，其中k 为I +j 被4除的余数，I ，j =0，1，2，3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 11、集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+?≠?，b 的取值范围是 . 12、定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 13、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真．子集．． 的个数是 14、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知 参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人， 同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 二、解答题(本大题包括6小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 15、(13分)已知全集U={}22,3,23a a +-，若A={},2b ，{}5U C A =，求实数的a ，b 值。 16、(14分)若集合S ={}23 ,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1，P =S ∪T ，求集合P 的所有子集 17、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2 (1) 求A ∪B ，(C R A )∩B ； (2) 如果A ∩C ≠，求a 的取值范围。 18、(18分)已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则 11a A a +∈-。 (1)若3a =-，求出A 中其它所有元素； (2)0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？ (3)根据(1)(2)，你能得出什么结论 19、(14分)集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,A B φ≠ ，,A C φ= 求实数a 的值。 练习：11页习题１.１ 高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅱ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 2、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈ 是空集中，错误的个数是 3、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 4、集合A={x| x 2+x -6=0}, B ={x | ax +1=0}, 若B ?A ，则a =__________ 5、设全集U ={} 22,3,23a a +-，A ={}2,b ，C U A ={}5，则a = ，b = 。 6、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 7、已知集合A ={x |20x x m ++=}, 若A∩R =?，则实数m 的取值范围是 8、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确 得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 9、某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不 爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 10、设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|1 2--x y =3}，则C U A = . 11、集合M =｛y ∣y = x 2 +1，x ∈ R ｝，N =｛y ∣ y =5- x 2，x ∈ R ｝，则M ∪N = ． 12、集合M ={a | a -56 ∈N ，且a ∈Z }，用列举法表示集合M =｛ ｝ 13、已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围 。 14、已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元 素，若至少有一个元素，则a 的取值范围 。 二、解答题(本大题包括6小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 15、(15分)已知集合A ={}2320,.x ax x a R -+=∈ (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。 16、(13分)已知全集U=R ，集合A ={},022=++px x x {},052 =+-=q x x x B {}2=?B A C U 若，试用列举法表示集合A 。 17、(14分)设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果 A B B = ，求实数a 的取值范围。 18、(16分)已知集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ， (1)若}2{=B A ，求实数a 的值；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围； 19、(14 分)已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，B ={x|2 20、(18分)已知方程02 =++q px x 的两个不相等实根为βα,。集合},{βα=A ，=B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ，求q p ,的值？ 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元 数学综合试卷 一、 选择题（共10题，每题3分，总计30分） 1、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ D ） A. [6,2]-- B. [5,1]-- C. [4,5]- D. [3,6]- 2、一台机床有 的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工A 时，停机的概率是，加工零件B 时，停机的概率为 ，则这台机床 停机的概率为（ A ） A. B. C. D. 3、设集合{|32}M m m =∈-< 高一数学必修一（集合、函数）知识点归纳 1、集合三要素（三大特性） 确定性 无异性 无序性 2、元素与集合之间的关系 属于∈与不属于? 例如：N ∈0 ， *0N ?。 3、集合与集合之间的关系 包含? 真包含?≠ 例如：{}{}10范围A ，A 为B 的真子集。 4、集合的运算 交集 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合 例如：B A 并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合 例如：B A 补集 设S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合 例如：S= {}1 课题：§1.1 集合 1 2 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学3 的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基4 础上。此外，集合理论的应用也变得更加广泛。 5 课型：新授课 6 课时：1课时 7 教学目标：1.知识与技能 8 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属9 于”关系； 10 （2）牢记常用的数集及其专用的记号。 11 （3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 12 （4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述13 法）描述不同的问题。 14 2.过程与方法 15 （1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过16 程，深入理解集合的含义。 17 （2）学生自己归纳本节所学的知识点。 18 3.情感态度价值观 19 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数20 学学习的兴趣。 教学重点：集合的概念与表示方法。 教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。 21 教学过程： 22 一、引入课题 23 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试24 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 25 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是26 高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习27 一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 28 阅读课本P 2-P 3 内容 29 二、新课教学 30 （一）集合的有关概念 31 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全32 体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个33 总体。 34 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素35 组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 36 3.关于集合的元素的特征 37 （第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 高一数学必修1综合复习试题 一、填空题 1．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(?R B )＝ ． 2．已知函数20()10x x f x x x ?=?->?，≤，，，若1()2f a =，则实数a = ． 3．方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为 ． 4．函数23 )(-=x x f 的定义域为 ． 5．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则0x <时，函数()f x 的表达式为()f x = ． 6．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为 ． 7．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+则)6(f =_________. 8．若2()2(1)2f x ax a x =+-+在(3,3)-为单调函数，则a 的取值范围是 ． 9 ．函数y 的单调递减区间为 ． 10．函数)86lg()(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 11．若关于x 的方程a a x -+= 523)43(有负实数解，则实数a 的取值范围为 ． 12．如果函数()223f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的范围是 ． 13．已知定义域为()(),00,-∞+∞U 的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则 不等式()0x f x ?>的解集为 ． 14．不等式012 ≥+-ax x 对所有]2,1[∈x 都成立，则实数a 的取值范围 ． 二、解答题 15．设集合{}2|lg(2)A x y x x ==--，集合{}|3||B y y x ==-． ⑴ 求B A ?和A B U ； ⑵ 若{}|40C x x p =+<，C A ?，求实数p 的取值范围． 16．计算下列各式的值： （1）3212833)21() 32(??? ??--+-- ； (2) 2lg 2lg3111lg 0.36lg823 +++． 高中数学必修一——集合 一、填空题 1．集合{1，2，3}的真子集共有______________。 （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 2．已知集合A={022≥-x x } B={0342≤+-x x x }则A B ?=______________。 3．已知A={1，2，a 2-3a-1},B={1,3},A =?B {3,1}则a =______________。 （A ）-4或1 （B ）-1或4 （C ）-1 （D ）4 4.设U={0，1，2，3，4}，A ={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（C U A ）?（C U B ）=_____________。 5．设S 、T 是两个非空集合，且S ?T ，T ?S ，令X=S ,T ?那么S ?X=____________。 6．设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},A 、B 分别为____________。 7．设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042 =-=?ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为____________。 8．若M={Z n x n x ∈=,2 }，N={∈+=n x n x ,21Z}，则M ?N=________________。 9．已知U=N ，A={0302>--x x x }，则C U A 等于_______________。 10．二次函数132 +++-=m mx x y 的图像与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_______________。 11．不等式652+-x x 高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020. 『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）—————————————— 2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； 高一数学必修1综合测试题 1．集合{|1,}A y y x x R ==+∈，{|2,},x B y y x R ==∈则A B 为（ ） A ．{(0,1),(1,2)} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．(0,)+∞ 2．已知集合{ } 1| 1242 x N x x +=∈< 人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时） §2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3） 第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培 老梁试卷高一数学必修一综合 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（5.00分）已知集合A={x|x2＜16}，B={x|4﹣2x＞0}，则A∩B=（） A．（﹣4，2） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，4） 2．（5.00分）函数f（x）=ln||的大致图象是（） A．B．C．D． 3．（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（） A．B．3 C．或3 D．或3 4．（5.00分）已知奇函数f（x），当x＞0时单调递增，且f（1）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围为（） A．{x|0＜x＜1或x＞2}B．{x|x＜0或x＞2} C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|x＜﹣1或x＞1} 5．（5.00分）已知函数f（x）=log a x（0＜a＜1）的导函数为f'（x），记A=f'（a），B=f（a+1）﹣f （a），C=f'（a+1），则（） A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A 6．（5.00分）已知函数，若x，y满足，则的取值范围是（） A．B．C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 7．（5.00分）已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）x n的图象上，设 ，则a，b，c的大小关系为（） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 8．（5.00分）已知函数f（x）=，g（x）=e x（e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x））﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值为（） A．（1﹣ln2）B．+ln2 C．1﹣ln2 D．（1+ln2） 9．（5.00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（） A．y=+2 B．y= C．y=+D．y=4lgx﹣3 10．（5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（） A．B．C．D． 二．填空题（共4小题） 11．已知log2x=log3y=log5z＜0，则、、由小到大排序为． 12．已知函数（a＞0，且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为． 13．函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为． 14．已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是． 三．解答题（共6小题） 15．已知定义域为R的函数f（x）=﹣+是奇函数 （1）求a的值； （2）判断函数f（x）的单调性并证明； （3）若对于任意的t∈（1，2），不等式f（﹣2t2+t+1）+f（t2﹣2mt）≤0有解，求m的取值范围． 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、 2019级高一数学必修一综合1 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知幂函数的图象与轴无公共点，则的值的取值范围是 A. B. C. D. 2.函数是指数函数，则a的值为( ) A. B. 1 C. D. 1或 3.已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则A∩B＝() A. [－2，－1] B. [－1,2) C. [－1,1] D. [1,2) 4.已知a=log2，b=5-3，c=2，则a，b，c的大小关系为（） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜b＜a D. c＜a＜b 5.已知函数g（x）＝f（x）＋x，若g（x）有且仅有一个零点，则a 的取值范围是（） A. （－∞，－1） B. [－1，＋∞） C. （－∞，0） D. [0，＋∞） 6.已知函数f（x）=，方程f（x）=k恰有两个解，则实数k的取值范 围是（） A. （，1） B. [，1） C. [，1] D. （0，1） 7.已知f（x）=，则方程f（f（x））=1的实数根的个数是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（） A. B. C. D. 9.已知f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，那么 a的取值范围是（） A. （0，] B. [,1） C. [,] D. [，1） 10.已知函数若均不相等，且，则的 取值范围是 A. （0,9） B. （2,9） C. （2,11） D. （9,11） 11.已知函数，若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 12.已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，则函数的零点个数（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.计算= ______ ． 14.函数的单调递减区间为______________. 15.已知函数的定义域为，对任意，有，且， 则不等式的解集为__________. 16.函数的值域为________________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17.设集合，． （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求实数组成的集合． 高一数学必修一教案（北师大版） 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标： 1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质，掌握常用数集及其专用符号。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标：（投影） 二、自学指导： 师：同学们，如何完成本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。（投影） 自学指导： 请认真看课本P3-P5的内容，弄清以下几个问题： 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测，比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促，使每一位学生紧张自学，注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合？ ○3A={2，2，4}表示是否准确？ ○4做练习题P5，1、2、3 2、指名学生板演，其他学生认真做在练习本上。 五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容，能够发现问题并能更正的同学请举手。（指名更正） 2、讨论 先看第①题，举的例子正确吗？为什么？引导学生总结集合的定义 ②题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：确定性 ③题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：互异性 【集合的元素的基本性质】 （1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． (3) 无序性：集合中的元素没有顺序。 ④题第一题，这道题都是运用了课本中的哪个知识点？引导学生回答：运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题，运用的方法恰当、正确吗？为什么？并规范集合的表示。 第三题，结果正确吗？为什么？纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结，识记概念。 六、当堂训练 师：请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业：P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系，加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标：（投影） 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作，增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法：观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1. 教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平 高一数学必修1综合测试题（四） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若{{} |0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A B ?=（ ） A {}|0x x ≤ B {}|2x x ≥ C {0x ≤≤ D {}|02x x << 2、下面各组函数中为相同函数的是（ ） A ．x x g x x f ==)(,)(2 B ．x x g x x f ==)(,)(33 C ．2 2 )(,)()(x x g x x f == D ．x x g x x x f ==)(,)(2 3．若a<1 2 ，则化简4(2a －1)2的结果是 ( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 4 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得 ()()(),025.1,05.1,01<> A 、{y|0高中数学必修一集合的基本运算教案
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