实验用LINDO或LINGO求解线性规划问题
实验目的
1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINDO或LINGO 求解；
2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法.
问题1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？
.
LINDO输入语句：
max 2x1+3x2
st
x1+2x2<=8
4x1<=16
4x2<=12
end
在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：
model:
max=2*x1+3*x2;
x1+2*x2<=8;
4*x1<=16;
4*x2<=12;
end
选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函
数值、列出各变量的计算结果.求解结果：
Global optimal solution found at iteration: 5 Objective value: 14.00000
Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14.00000 1.000000 2 0.000000 1.500000 3 0.000000 0.1250000 4 4.000000 0.000000
该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为124,2==x x .“Reduced Cost ”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost 值等于零）.“Row ”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus ”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“≥”的不等式，左边减的右边差值为Surplus （剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0.
对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO 软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options …命令，选择Gengral Solver ，在Dual Computation 列表框中，选择Prices and Ranges 选项并确定. 法一：打开command window ，输入range ；
法二：LINGO ——options ——General Solver ——DualComputations ——Prices&Ranges ， 运行一遍，然后关掉，然后lingo-----range
问题2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g ，矿物质3g ，维生素8mg ，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg 所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg ，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.
问题3 设有四个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假定等量的化肥在这些地区使用效果相同.已知各化肥厂年产量（单位：吨）、各地区年需要量以及从各化肥厂到各地区单位化肥的运价如表3.2.1所示（表中运价中“—”表示不适合）.试决定总的运费最节省的化肥调运方案.
表3.2.1 化肥供应的平衡表与运价表
问题4 某公司计划在东、西、南、北四个市区建立销售门市部，拟议中有10个位置
(1,2,
,10)j A j =可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，在东区由
123,,A A A 三个点至多选择两个；在西区由45,A A 两个点中至少选一个；在南区由67,A A 两个
点中至少选一个；在北区由8910,,A A A 三个点中至少选两个.j A 各点的设备投资及每年可获利润情况见表3.2.2所示 (单位：万元).但投资总额不能超过72万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立整数规划问题的数学模型，并用LINGO 求解.
表3.2.2 四个市区的10个位置设备投资及每年利润表
问题5 求解整数线性规划问题 12
121212
max 2535
..436
,0,379z x x x x s t x x x x =≤≤≥++??
+???全部为整数 思考题
1.（1988年美国大学生数学建模竞赛试题）有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去.包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（w ，以公斤计）是不同的.表3.
2.4给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量.每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨.由于当地货运的限制，对567,,C C C 类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子在两辆平板车上所占的总空间（厚度）不能超过302.7厘米.
试把包装箱（见表3.2.4）装到平板车上去使得浪费的空间最小.
运筹学实例分析及lingo 求解 一、线性规划 某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表 试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。 解：设 ij x 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。ij c 表示从第i 个仓库到第 j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。 目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束 数学模型为： ∑∑===6 18 1)(min i j ij ij x c x f ????? ??????≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,. .6 1 8 1ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下： model : Sets : Wh/w1..w6/:ai;
Vd/v1..v8/:dj; links(wh,vd):c,x; endsets Data: ai=60,55,51,43,41,52; dj=35,37,22,32,41,32,43,38; c=6,2,6,7,4,2,5,9 4,9,5,3,8,5,8,2 5,2,1,9,7,4,3,3 7,6,7,3,9,2,7,1 2,3,9,5,7,2,6,5 5,5,2,2,8,1,4,3; Enddata Min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i)); @for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j)); end Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost AI( W1) AI( W2) AI( W3) AI( W4) AI( W5) AI( W6) DJ( V1) DJ( V2) DJ( V3) DJ( V4) DJ( V5) DJ( V6) DJ( V7) DJ( V8) C( W1, V1) C( W1, V2) C( W1, V3) C( W1, V4) C( W1, V5) C( W1, V6)
实验用LINDO或LINGO求解线性规划问题 实验目的 1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINDO或LINGO 求解； 2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法. 问题1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？ . LINDO输入语句： max 2x1+3x2 st x1+2x2<=8 4x1<=16 4x2<=12 end 在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型： model: max=2*x1+3*x2; x1+2*x2<=8; 4*x1<=16; 4*x2<=12; end 选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函
数值、列出各变量的计算结果.求解结果： Global optimal solution found at iteration: 5 Objective value: 14.00000 Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14.00000 1.000000 2 0.000000 1.500000 3 0.000000 0.1250000 4 4.000000 0.000000 该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为124,2==x x .“Reduced Cost ”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost 值等于零）.“Row ”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus ”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“≥”的不等式，左边减的右边差值为Surplus （剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0. 对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO 软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options …命令，选择Gengral Solver ，在Dual Computation 列表框中，选择Prices and Ranges 选项并确定. 法一：打开command window ，输入range ； 法二：LINGO ——options ——General Solver ——DualComputations ——Prices&Ranges ， 运行一遍，然后关掉，然后lingo-----range 问题2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g ，矿物质3g ，维生素8mg ，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg 所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg ，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.
实验一线性规划 （一） 实验目的：运用Excel 和LINGO 软件求解线性规划问题 （二） 内容及要求：求解习题2-9、2-10 （三） 实验报告： 2-9已知线性规划问题： 用单纯形法求得最终表如表2-101所示。 表2-101 最优单纯形表 试分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。 （1） 目标函数系数C1或C2分别在什么范围内变化时，最优解不变； （2） 当约束条件右端项b1，b2中一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优 基保持不变； （3） 约束条件右端项目98?? ??? 变为1119?? ???时上述最优解的变化。 解：用lingo 求解，模型代码如下： max =10*x1+5*x2; 3*x1+4*x2<=9; 5*x1+2*x2<=8; 求解模型，结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 17.50000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 0.000000 X2 1.500000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 17.50000 1.000000 2 0.000000 0.3571429 3 0.000000 1.785714 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++≤+≤≥?????
Lingo 与线性规划 线性规划的标准形式是 Min z c 1 x 1 c n x n a 11 x 1 a 1n x n b 1 s..t a m1 x 1 a mn x n (1) b m x i 0, i 1,2, , n 其中 z c 1 x 1 c n x n 称为目标函数， 自变量 x i 称为决策变量 ,不等式组 (1)称为约 束条件 . 满足不等式组 (1)的所有 ( x 1, , x n ) 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值的 ( x 1* , , x n * ) 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。 求解优化模型的主要软件有 Lingo 、Matlab 、Excel 等。其中 Lingo 是一款专 业求解优化模型的软件， 有其他软件不可替代的方便功能。 本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。 一、基本规定 1、目标函数输入格式 max=函数解析式； 或者 min= 函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用： >、<、>=、<=等符号。但是 >与 >=没有区别。 Lingo 软件默认所以自变量都大于等于 0. 3、运算 加 (+), 减(-), 乘(*), 除(/), 乘方 (x^a) ，要注意乘号 (*) 不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过 32 个字符，必须以字母开头。 5、标点符号 每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“ ; ”结束）。但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ， end 尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句 一般程序必须先输入 MODEL ：表示开始输入模型，以“ END ”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量的取值范围 @bin(变量名 ) ； @bnd(a, 变量名 ,b ) ； @free( 变量名 ) ； @gin(变量名 ) ； 例 1 求目标函数 z 2x 1 限制该变量为 0 或 1. 限制该变量介于 a,b 之间 . 允许该变量为负数 . 限制该变量为整数 . 3x 2 的最小值，约束条件为
《管理运筹学》实验报告实验日期： 2016年 04月 21日—— 2016 年 05 月 18 日
3.在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数级约束条件的歌变量的系数和b值，并选择好“≤”、“≥”或“＝”，如图二所示，最后点击解决
4.注意事项： （1）输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数化为小数再输入。（2）输入前要合并同类项。 当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上讲显现线性规划问题的结果，如图所示
5.输出结果如下
5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元. 约束条件： 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？ 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。 . 0,0,6448,120126;240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x
（2）图中的对偶价格13.333的含义是什么？ 答： 对偶价格13.333的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加13.33元。 （3）对图中的常数项围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。 答：当约束条件1的常数项在48~192围变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为15.56；当约束条件2的常数项在40~180围变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为13.333。 （4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变？为什么？ 答：目标函数的最优值会变，因为甲组合柜的利润增加，所以总利润和对偶价格增加；甲、乙的工艺耗时不变，所以甲、乙的生产安排不变。 二、学号题 约束条件： 无约束条件 （学号）学号43214321432143214321 0 0,30 9991285376)(53432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-+≥-+-+=-++-+++=??????????????-≥?-?-?-?-?-7606165060~5154050~414 )30(40~313)20(30~21210 20~11 10~1）（学号）（学号）（学号学号学号）（学号不变学号规则
实验一：线性规划 班级 姓名 学号 一、实验目的：学会用matlab 、lingo 软件求解线性规划问题。 二、实验要求： 1.熟悉线性规划问题的数学建模； 2.会用matlab 、 lingo 软件求解线性规划问题； 3.掌握线性规划的灵敏度分析。 三、实验内容： 1、求解下列线性规划问题： ????? ? ?≥≤+≤+≤++=0 ,13119241171289..68max 2121212121x x x x x x x x t s x x z (1) 给出lingo 原始代码； lingo 程序代码： model: max =8*x1+6*x2; 9*x1+8*x2<=12; 7*x1+11*x2<=24; 9*x1+11*x2<=13; end (2) 计算结果(包括灵敏度分析，求解结果粘贴)；
(3) 回答下列问题： a) 最优解及最优目标函数值是多少； （x1，x2）=(1.333333,0) Z=10.66667 b) 资源的对偶价格各为多少，并说明对偶价格的含义； 第一、二、三种资源的对偶价格分别0.8888889,0,0; 表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。当“9x1+8x2<=12”改为“9x1+8x2<=13”时，目标函数的值为10.66667+0.8888889=11.55556。对于非紧约束，DUAL PRICE 的值为0,，表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。 c) 为了使目标函数值增加最多，让你选择一个约束条件，将它的常数项增加一 个单位，你将选择哪一个约束条件？这时目标函数值将是多少？ 第一个约束条件：因为它是紧约束，即原料没有剩余。
实验指导书《管理决策模型与方法》
实验1 EXCEL 线性规划实验 一、实验目的 1、掌握应用Excel软件求解线性规划问题； 2、掌握应用Excel软件对线性规划问题进行灵敏度分析； 3、掌握应用Excel软件求解整数规划问题； 4、掌握应用Excel软件求解0-1整数规划问题。 二、实验设备、仪器及所需材料 配置在Pentium Ⅲ，内存128M以上的电脑；装有Microsoft Windows操作系统及Microsoft Office 2003工作软件。 三、实验原理 “规划求解”是Microsoft Excel 中的一个加载宏，借助它可以求解许多运筹学中的数学规划问题。 安装Office 2003 的时候，系统默认的安装方式不会安装该宏程序，需要用户自己选择安装。安装方法为：从Excel 菜单中选择“工具”→“加载宏”，打开如下对话框： 选择其中的“规划求解”后单击“确定”按钮，会出现提示：“这项功能目前尚未安装，是否现在安装?”，选择“是”，系统要你插入Office 的安装光盘，准备好后单击确定，很快就会安装完毕。于是，你会发现在“工具”菜单下多出一个名为“规划求解”的子菜单，说明“规划求解”功能已经成功安装。 在EXCEl2007版本中，通过点击“office按钮”，“EXCEL选项”→“加载项”→转到“EXCEL
加载项”，然后加载【规划求解加载项】便可以加载规划求解的宏。 在EXCEl2010版本中，通过点击“文件”选项卡打开“Excel选项”对话框，单击左侧 “加载项”标签，在右侧单击“转到”按钮，打开“加载宏”对话框，勾选“规划求解加载项”复选框，单击“确定”按钮，即可在工具栏的“数据”选项卡中出现 “分析”选项组，上面就有了“规划求解”按钮。 利用“规划求解”功能，就可以进行线性规划问题的求解。 例如：用EXCEL 求解数学规划问题 12121212maxZ 2328416..4120, 0 x x x x x s t x x x =++≤??≤?? ≤??≥≥? 步骤： 1． 将模型中的目标函数和约束条件的系数输入到单元格中；为了使我们在操作过程中看得 更清楚，可以附带输入相应的标识符，并给表格加上边框。如下图所示：
数学建模：运用Lindolingo软件求解线性规划 1、实验内容: 对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Lindo/lingo对模型进行求解。 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.名今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 数学建模论文 运用lindo/lingo软件求解线性规划 运用lindo/lingo软件求解线性规划 一、摘要 本文要解决的问题是如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。 首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对符号做简要的说明。 然后，对问题进行分析，根据题目的要求，建立合适的数学模型。 最后，运用lindo/lingo软件求出题目的解。 【关键词】最优解 lindo/lingo软件 第二、问题的重述 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原
料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。 第三、模型的基本假设 1、每一箱饮料消耗的人力、物力相同。 2、每个人的能力相等。 3、生产设备对生产没有影响。 第四、符号说明 1、x.....甲饮料 2、y.....乙饮料 3、z.....增加的原材料 第五、问题分析 根据题目要求:如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大，可知本题所求的是利润的最大值。我们可以先建立数学模型，然后用lindo/lingo软件包求解模型的最大值。 第六、模型的建立及求解根据题目建立如下3个模型: 模型1: max=0.1*x+0.09*y; 0.06*x+0.05*y<=60; 0.1*x+0.2*y<=150; x+y<=800; 结果:x=800;y=0;max=80 模型2:
数学与信息科学学院 Excel求解线性规划问题实 验教程 二零一三零八月
目录 1.关于“规划求解” (1) 2.如何加载“规划求解” (2) 3.“规划求解”各参数解释和设置 (3) 4.“规划求解”的步骤 (6) 5.Excel求解线性规划问题 (8) 6.Excel求解运输问题 (14) 7.Excel求解目标规划问题 (18) 8.Excel求解整数规划问题 (22)
1.关于“规划求解” “规划求解”是Excel中的一个加载宏，借助“规划求解”，可求得工作表上某个单元格（被称为目标单元格）中公式（公式:单元格中的一系列值、单元格引用、名称或运算符的组合，可生成新的值。公式总是以等号（=）开始）的最优值。“规划求解”将对直接或间接目标单元格中公式相关联的一组单元格中的数值进行调整，最终在目标单元格公式中求得期望的结果。“规划求解”通过调整所指定的可更改的单元格（可变单元格）中的值，从目标单元格公式中求得所需的结果。在创建模型过程中，可以对“规划求解”中的可变单元格数值应用约束条件（约束条件：“规划求解”中设置的限制条件。可以将约束条件应用于可变单元格、目标单元格或其它与目标单元格直接或间接相关的单元格。而且约束条件可以引用其它影响目标单元格公式的单元格。使用“规划求解”可通过更改其它单元格来确定某个单元格的最大值或最小值。） Microsoft Excel的“规划求解”工具取自德克萨斯大学奥斯汀分校的Leon Lasdon 和克里夫兰州立大学的Allan Waren共同开发的Generalized Reduced Gradient(GRG2)非线性最优化代码。线性和整数规划问题取自Frontline Systems公司的John Watson 和Dan Fylstra提供的有界变量单纯形法和分支边界法。
Lingo 与线性规划 线性规划的标准形式是 1111111..0,1,2,,n n m mn n m i a x a x b s t a x a x b x i n +≤????+≤??≥= ? (1) 其中11n n z c x c x =++称为目标函数，自变量i x 称为决策变量,不等式组(1)称为约束条件. 满足不等式组(1)的所有1(,,)n x x 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值 的**1(,,)n x x 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。 求解优化模型的主要软件有Lingo 、Matlab 、Excel 等。其中Lingo 是一款专业求解优化模型的软件，有其他软件不可替代的方便功能。本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。 一、基本规定 1、目标函数输入格式 max=函数解析式； 或者 min=函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用：>、<、>=、<=等符号。但是>与>=没有区别。Lingo 软件默认所以自变量都大于等于0. 3、运算 加(+),减(-),乘(*),除(/),乘方(x^a)，要注意乘号(*)不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。 5、标点符号 每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”结束）。但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ，end 尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句 一般程序必须先输入MODEL ：表示开始输入模型，以“END”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量的取值范围 @bin(变量名)； 限制该变量为0或1. @bnd(a,变量名,b )； 限制该变量介于a,b 之间. @free(变量名)； 允许该变量为负数. @gin(变量名)； 限制该变量为整数. 例1 求目标函数1 223z x x =+的最小值，约束条件为 输入Lingo 程序： min = 2*x1 + 3*x2; x1 + x2 >= 350; x1 >= 100; 2*x1 + x2 <= 600; 有两种运行方式：
Lingo12软件培训教案 Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。 例1 一个简单的线性规划问题 0 , 600 2 100 350 st. 3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z ! 源程序 max = 2*x+3*y; [st_1] x+y<350; [st_2] x<100; 2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分 当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets : r1/1..3/:a; r2 : b; r3 : c; link2(r1,r2): x; link3(r1,r2,r3): y; endsets data : ALPHA = ; a=11 12 13 ; r2 = 1..3; b = 11 12 13; c = 11 12 13; enddata
例2 运输问题 解： 设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m; j =1,2,…n 记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8. 设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。 于是形成如下规划问题： n j m i x n j d x m i s x x c ij j n i ij i m j ij m i n j ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1, ,...,2,1, st. z min 11 11==>=<==<==∑∑∑∑==== 把上述程序翻译成LINGO 语言，编制程序如下： ! 源程序
数学模型实验报告 投资规划问题 姓名田璐璐 学号 1112123067 专业及班级统计1102
1某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证券至少要购进400万元； （2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）所购证券的平均到期年限不超过5年。 问题： （1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
一、摘要 本文针对证券投资问题，采用线性规划模型，用Lingo软件求解得到了不同限制条件下的最佳投资方案。 对于问题一，该经理有1000万元资金，进行投资。即在一定的约束条件下，建立线性规划模型，使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。可得A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为736.3636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。 对于问题二，涉及到借款的问题，收益就会因借款而减小。同样运用线性规划的方法，对整体求最优解。在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资策略在不改变。证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。在此情况下，获益最大为29.424万元 对于问题三，在问题一的基础上，进行灵敏度分析，当变量在一定范围里变动时，不改变投资计划。用LINGO求解，若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。 关键词：线性规划、LINGO、灵敏度分析 二、问题的复述 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，为了实现证券投资的有效组合（降低风险和收益最大化），投资者要有正确的投资决策。可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证券至少要购进400万元； （2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3
Ling o与线性规划 线性规划得标准形式就是 (1) 其中称为口标函数，自变量称为决策变量，不等式组(1)称为约束条件、 满足不等式组(1)得所有得集合称为可行域，在可行域里面使得Z取最小值得称为最优解，最优解对应得函数值称为最优值。 求解优化模型得主要软件有L i ng o、Ma t 1 a b＞ Ex c el等。其中Lingo 就是一款专业求解优化模型得软件，有其她软件不可替代得方便功能。本文将简要介绍其在线性规划领域得应用。 —、基本规定 1、目标函数输入格式 ma x二函数解析式；或者min二函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用：＞、V、〉=、〈二等符号。但就是＞与＞二没有区别。L ingo软件默认所以自变量都大于等于0、 3、运算 加(+),减(-)，乘(*),除(/),乘方(x A a),要注意乘号(*)不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。 5、标点符号 每个语句以分号“；”结束,感叹号“！”开始得就是说明语句(说明语句也需要以分号"；”结束)o但就是,mo d el, s e t s, data以"：”结尾。endsets, e n ddata, e n d尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句
一般程序必须先输入MODEL：表示开始输入模型，以“END”结束。对简单 (1)
例1求目标函数得最小值，约束条件为 输入Ling o 程序: min = 2*x1 + 3*x2； x I + x2 >= 350?x1 >= 1 0 0;2A *X 1 + x2 <= 600; 有两种运行方式： 1、点击工具条上得按钮 即可。 2、点击菜单:LINGO —Solve 运行结果如下： 下面对其各个部分进行说明： Gl o bal o p tima 1 solution f oun d :表示已找到全局最优解。 Ob j e ctive value ：表示最优值得大小。可见本题函数最小值8 00。 Rov Slack or Surplus Dual Price 1 800.0000 -1.000000 2 CLOOCICICICI -4?00 OOOCI 3 150.0CICICI O ?000000 4 CLOOCICICICI 1?000000 Global optimal solution found ? Objective value: 800.0000 Infeasibilities: 0 ? OOOCICICI Total solver iterations: 2 Variable 得模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量得取值范围 bin （变量名）; bnd （a,变量名,b ）; free （变量名）； gin （变量名）； 限制该变量为0或1、 限制该变量介于a, b 之间、 允许该变量为负数、 限制该变量为整数、 Value 250.0000 ?dodo Reduced Cost o ?000000 o ?000000
《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计 一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法． 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识. （二）教学目标解析 1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量(,) x y表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性
. Word 文档 Lingo 与线性规划 线性规划的标准形式是 11n n Min z c x c x =++L 1111111..0,1,2,,n n m mn n m i a x a x b s t a x a x b x i n +≤??? ? +≤??≥=?L M L L (1) 其中11n n z c x c x =++L 称为目标函数，自变量i x 称为决策变量,不等式组(1)称为约束条件. 满足不等式组(1)的所有1(,,)n x x L 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值的**1 (,,)n x x L 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。 求解优化模型的主要软件有Lingo 、Matlab 、Excel 等。其中Lingo 是一款专业求解优化模型的软件，有其他软件不可替代的方便功能。本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。 一、基本规定 1、目标函数输入格式 max=函数解析式； 或者 min=函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用：>、<、>=、<=等符号。但是>与>=没有区别。Lingo 软件默认所以自变量都大于等于0. 3、运算 加(+),减(-),乘(*),除(/),乘方(x^a)，要注意乘号(*)不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。 5、标点符号 每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”结束）。但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ，end 尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句 一般程序必须先输入MODEL ：表示开始输入模型，以“END ”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量的取值范围 bin(变量名)； 限制该变量为0或1. bnd(a,变量名,b )； 限制该变量介于a,b 之间. free(变量名)； 允许该变量为负数. gin(变量名)； 限制该变量为整数. 例1 求目标函数1223z x x =+的最小值，约束条件为
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是 ),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有 不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =- + 。因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=+ +-- =+= l j j kj j kj q k k d w d w p z 1 1 );( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1 l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。 在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。 此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211+ +-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ - d d x x 14x 1633=-++ -d d
实验二：Lingo求解线性规划问题 学时：4学时 实验目的：掌握用Lingo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lingo结果报告。 实验内容： 1、求解书本上P130的习题1： 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制： 1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元； 2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）； 3）所购证券的平均到期年限不超过5年。 表 1 （1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 列出线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。 2、指派问题：6个人计划做6项工作，其效益如下表（”-”表示某人无法完成某项工作）， 3、有限制的运输问题：6个发点6个收点，其供应量、接收量和运费如下表1（”-”表示某个发电无法向某个收点运输货物），如果某个发点向某个收点运输货物，则运输量不得低
使用Lingo 的一些注意事项 1. “>”与“>=”功能相同。 2. 变量与系数间相乘必须用”*”号，每行用”;”结束。 3. 变量以字母开头，不能超过8个字符。 4. 变量名不区分大小写（包括关键字）。 5. 目标函数用min=3*x1+2*x2或max=3*x1+2*x2的格式表示。 6. “!”后为注释。 7. 变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种： @bin(x) 限制x 为0或1 @bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U @free(x) 取消对变量x 的默认下界为0的限制，即x 可以取任意实数 @gin(x) 限制x 为整数 其他可见“Lingo 教程.doc ” 如书上85页的Lindo 代码可改为如下Lingo 代码： max =72*x1+64*x2; x1+x2<50; 12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; 例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题： ,6002100 350. .32min 21211 212 1≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x 在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮 即可。 例1.2 使用LINGO 软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如
加工奶制品的生产计划 问题 品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A 。根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶 牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 问题分析 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A ，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的工作能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。 基本模型 决策变量：设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A 。 目标函数：设每天获利Z 元。1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利1324x ?，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利2416x ?，故Z=216472x x +. 约束条件 原料供应：生产1A ，2A 的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间：生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时； 设备能力：1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100； 非负：1x ，2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0。 综上可得 Max Z=216472x x + (1) s.t. 1x +2x ≤50 (2)