直线的参数方程及应用
问题1：（直线由点和方向确定）
求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l
设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点.
1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，
P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，
又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α
即?
??+=+=αα
sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程
∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点
P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；
特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t
x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；
⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；
问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一
对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴，
以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.
问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，
x
x
则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？
P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2
参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？
根据直线l 参数方程t 的几何意义，
P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l
上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |
P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0
一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，
所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝2
21t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，
∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）
总结：
1、 直线参数方程的标准式
(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是
???+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣
(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3
则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t
t +,∣P 0P 3∣=2
21t t +
(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0
2、 直线参数方程的一般式
过点P 0(00,y x )，斜率为a
b
k =的直线的参数方程是
?
??+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）
例题：
1、参数方程与普通方程的互化
x
例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.
解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－3
1=－3
3
设倾斜角为α，tg α=－3
3,α= π65, cos α =－23, sin α=2
1
1l 的参数方程为???
???
?
=
-
=t y t x 2
1
2
31 （t 为参数）
t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由???
???
?
=-
=-(2) 21(1) 2
3
1t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-
∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.
点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.
例2：化直线2l 的参数方程?
??+=+-= t 313y t
x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，
说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为??
?=-=+ (2) t
31
(1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3
π
普通方程为
01333=++-y x
(1)、(2)两式平方相加,得2
2
2
4)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2
)1()3(2
2-++y x
∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.
点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程
为???
????=-=t
y t x 21231即?????=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-2
3)2+(2
1)2=1, t 的几何
意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为???+=+-= t
313y t x 是非标准的形
式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.
你会区分直线参数方程的标准形式吗？
例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3
π
，判断方程???
?
???+=+=t y t x 2332
1
1（t 为参数）
和方程???+=+= t
331y t
x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方
程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.
解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程
0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中
???
???
?
+=+=t y t x 233211 cos α =2
1, sin α=2
3，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的
数量.，而方程?
??+=+= t 331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义.
点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利
用参数t 的几何意义解决有关问题.
问题5：直线的参数方程???+=+= t
331y t
x 能否化为标准形式？
是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)
???+=+= t 331y t x ????
????+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222
222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式???
????'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段 M M 0的数量.
2、直线非标准参数方程的标准化
一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ??
?+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2)
当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.
??
?+=+=bt y y at x x 00可化为???
????+++=+++=)
()(222202
2220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式???
????
'
++='++=t b a b
y y t b a a x x 2202
20 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为
4
3π
的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.
解：直线l 的标准参数方程为??
???
+=+-=π
π43sin 343cos 2t y t x
即???
???
?
+=--=t y t x 2
2322
2（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t, 则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式
当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）. 点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.
例5：直线???-=+=
20
cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34
--x y ＝－ctg20°=tg110°
解法2：化为标准形式： ???-+=-+=
110
sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数） ∴此直线的倾斜角为110°
基础知识测试1：
1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是2
3的直线l 的标准参数方程.
2、 直线l 的方程：???+=-=
25
cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°
3、 直线???
???
?
+-=-=t y t x 52
1511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( ) A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－2
1)
C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21
4、 已知直线??
?+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P
分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 . 5、直线l 的方程： ?
?
?+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数
值t 1、t 2，那么|AB|等于( )
A ∣t 1－t 2∣
B 22b a +∣t 1－t 2∣
C 2
2
21b
a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣
6、 已知直线l ：??
?+-=+= t
351y t
x (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点
M(1,－5)到点P 的距离.
例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为3
4
和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，
设线段AB 的中点为M,求：
(1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|
解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为3
4,设直线的倾斜角为α，tg α=3
4
cos α =5
3, sin α=5
4∴直线l 的标准参数方程为??
???=+=t
y t x 54
53
2（t 为参数）*
∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，
整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个
根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝
815
, t 1t 2＝4
25- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM |＝2
21t t + ＝1615
∵中点M 所对应的参数为t M =
16
15
,将此值代入直线的标准参数方程*， M 点的坐标为??
???=
?==?+=43
16155416
411615532y x 即 M （1641，43） (3)
|AB|＝∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝
738
5
点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两
点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.
例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π，
(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π,∴直线l 的标准参数方
程为?????
+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即???
?
???+-=+=t
y t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：
32-=x y 得032)2
3
33()211(=-+
--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几
何意义可知：|t |=| PQ |,∴| PQ |=4+23. (2)
把直线l 的标准参数方程为???
???
?+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入圆的方程
22y x +＝16，得16)2
333()211(2
2=+
-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12
根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点
A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA |,|t 2|=| PB |, 所以| PA |·| PB |=|t 1 t 2|=12 点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.
例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，
直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.
解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2） 方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①
∵点B (－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a ) a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②
将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2, α为锐角，
cos α =51, sin α=52 得???
???
?
+=+-=t
y t x 525511（t 为参数） ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得：
75
212542--+
t P
t ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2， 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝410
4
35
4]4)212(5[
2?+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48
点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.
例9：已知椭圆13
4)1(2
2=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点， 求| F 2A |·| F 2B |的最大值.
解：由椭圆方程知a ＝2，b=3,c=1, F 1(0,0),F 2(2,0),设过的弦所在直线的
参数方程为???==α
α
sin cos t y t x （t 为参数） 代入椭圆方程整理得
（3＋sin 2α）t 2－6 t cos α－9=0 ，Δ=36cos 2α＋36（3＋sin 2α）>0 此方程的解为t 1、t 2，分别为A 、B 两点
对应的参数，由韦达定理t 1＋t 2=αα2sin 3cos 6+ t 1 t 2＝α
2
sin 39
+- 根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为过点F 1的直线和椭圆的两个交点 A, B 所对应的参数值，| F 1A |＝|t 1| |F 1B |＝|t 2|
|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝α
2sin 312
+
| F 1A |·|F 1B |＝|t 1|·|t 2|=|t 1t 2|
由椭圆的第一定义| F 1A |＋| F 2A |＝2a ＝4， | F 1B |+| F 2B |=2a ＝4 | F 2A |·| F 2B |=(4-| F 1A |)(4-| F 1B |)=16-4|AB|+| F 1A |·|F 1B |
=16-4∣t 2－t 1∣+|t 1t 2|=16-4α2sin 312++α
2sin 39
+
=16-α
2
sin 339
+ 当sin 2α＝1时，| F 2A |·| F 2B |有最大值4
25
点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点F 1(0,0),F 2(2,0),显然F 1坐标简单，因此选择过F 1
的直线的参数方程，利用椭圆的定义将|
F 2A|·| F 2B| 转化为|
F 1A|·|F 1B|.
方法总结：利用直线l 的参数方程?
??+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线
与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法. 一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0,
1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时， l 与C 相交有两个交点；
2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.
3、 定点P 0(00,y x )是弦AB 中点? t 1+t 2=0
4、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点
对应的参数为2
2
1t t +；| P 0M |=221t t +
基础知识测试2：
7、 直线??
?+-=+=t
21y t x (t 为参数)与椭圆822
2=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( )
A 22
B 334
C 2
D 3
6
8、直线??
?+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )
A |t 1+t 2|
B |t 1|＋|t 2|
C |t 1－t 2| D
2
2
1t t +
9、 直线??
??
?
+-=-=t
21
1212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=
10、过点P(6, 27)的直线??
???+=+=t
2
726y t
x (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点， 则点P 到A,B 距离之积为 .
基础知识测试答案
1、 ???
????+=+=t y t x 217236 2、D 3、C 4、λ
λ++11
2t t 5、B 6、43 7、 B 8、 C 9、4 10、4
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直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x
椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值
例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ x x
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．
直线的参数方程及应用 问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？ 我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、 问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x
极坐标与参数方程 一、极坐标与直角坐标之间的转换 (,)(cos ,sin )A A r q r q r q ? cos ,sin x y r q r q == 222x y r += a r =：表示半径为a 圆心为原点的圆 r q =：表示顶点在原点，与x 轴的正半轴夹角为q 的射线 2cos ()22 a p p r q q =- ＃表示圆心为(,0)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同） 2sin (0)a r q q p =＃表示圆心为(0,)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同） 二、常见的参数方程 1、直线的参数方程 形式一：（倾斜角） 00cos sin x x t y y t q q ì=+?í=+??（t 为参数） 形式二：（向量式） 00x x mt y y lt ì=+?í=+?? （t 为参数） 过定点00(,)P x y ，直线斜率sin cos l k m q q = = 两种形式的转化方法：0 0x x mt y y lt ì=+?í=+??（t 为参数）00x x y y ì=????í?=??? （t 为参数） 2、圆的参数方程 cos sin x r y r q q ì=?í=??（q 为参数） cos sin x a r y b r q q ì=+?í =+??（q 为参数） 3、椭圆的参数方程 cos sin x a y b q q ì=?í=?? （q 为参数） 00cos sin x x a y y b q q ì=+?í =+?? （q 为参数） 4、双曲线的参数方程 sec tan x a y b q q ì=?í=?? （q 为参数） 00sec tan x x a y y b q q ì=+?í =+?? （q 为参数） 5、抛物线的参数方程 2 2y px =? 2 2t x p y t ì?=?í?=??（t 为参数） 222x pt y pt ì=?í =??（t 为参数）
直线参数方程的应用》 教材说明：人教版选修4-4 《直线的参数方程》 课型：习题课 课时：1 课时 学情分析 （一）学生已有知识基础或学习起点学生刚刚学习了曲线的参数方程,以及直线的参数方程,本班学生具备较好的知识基础对直线的参数方程的一般形式和标准形式都已经了解,并且能够进行标准参数方程和一般参数方程的互化,对参数的几何意义相对也比较熟悉. （二）学生已有生活经验和学习该内容的经验在前面学生已经学过了直线的标准参数方程和一般方程, 具备了把一般参数方程转化为标准参数方程的能力, 能解决一些实际问题, 并能够进行合作 交流,具备合作探究的能力 （三）学生的思维水平以及学习风格 学生的思维系统不够完善, 缺乏逻辑思维能力和发散能力.学生中沉思型的学生少, 在碰到问题时不愿意深思熟虑，不用充足的时间考虑、审视问题，更不会权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳方案;多数是冲动型学习,看到题倾向于很快地检验假设，根据问题的部分信息或未对问题做透彻的分析就仓促作出决定，反应速度较快，但容易发生错误。 （四）学生学习该内容可能的困难学生学习该内容时可能遇到如下困难：不看参数方程的形式是否标准,直接套用,t 的几何意义找不准,欠缺转化能力,数形结合能力和计算能力. （五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和层层设疑的学习方法。授课讲解的时候，应做到帮助学生分析题干，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路并选择简洁的解题方法，并能及时归纳总结. 教学内容分析 （一）教学的主要内容 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习直线参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合
参数方程“考点”面面看 “参数方程”主要内容是直线、圆和椭圆的参数方程，参数方程和普通方程的互化，参数方程的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析： 一、直线、圆和椭圆的参数方程 例1．若直线的参数方程为1223x t y t =+??=-?（t 为参数），则直线的斜率为 . 分析：经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程为x x t y y t t =+=+???00 cos sin αα（为参数） 解：将直线的参数方程为1223x t y t =+??=-? 化为12x y ?=????=?? （t 为参数），则直线的斜率为32 -. 评注：关键是要弄清楚直线的参数方程的形式. 经过定点P(x 0,y 0)的直线的参数方程也可以写成00x x at y y bt =+??=+?(t 为参数)，斜率就是b a . 二、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）. 例2.方程2222 t t t t x t y --?=-??=+??（为参数）表示的曲线是__________________. 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()22 2222224t t t t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支. 评注：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性. 例3．设P 是椭圆22 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 . 分析： 由于研究二元函数x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由x ，y 满足的方程2x 2+3y 2=12表出x 或y ，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y 转化为一元函数呢？
知识目标：使学生较熟练的掌握参数方程在求最值问题方面的应用。 能力目标：培养学生的创新思维，使学生的解题能力得到进一步的提高，为以后的学习奠定基础。 德育目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验 三、教学重点、难点： 重点是掌握直线、圆、椭圆的参数方程； 难点是如何恰当的选择参数解决各种最值 四．授课类型：新授课 五、教学方法与教学手段： 以学生为主体，教师为主导的问题探究式教学。 六、教学过程： 引入：前一阶段我们学习了哪些曲线的参数方程？今天我们就利用已有的知识来更好的理解参数方程，并学会利用曲线 的参数方程解决相关的应用问题。 热身：1.方程?? ?+=+=θ θ sin cos t b y t a x 分别以t 为参数)0(≠t 或θ 为参数，得到两条曲线，则这两条曲线公共点的个数 是 ， 2．当θ在闭区间]2 ,0[π 上变化时，抛物线θ θ2cos sin 42 --=x x y 的顶点 P 的轨迹方程 是 ． 新授： 题型一 利用参数方程求多元函数的最值 【例 1】已知y x ,满足4)2() 1(22 =++-y x ，求y x S -=3的最大值和最小值 变形：已知y x ,满足4)2() 12(22 =++-y x ，求y x S -=3的最大值和最小值 题型二 利用参数方程求距离、长度的最值 【例 2】在椭圆 22 110025 x y +=上求一点P ，使它到已知直线:38720l x y ++=的距离d 为最大 题型三 利用参数方程求多边形周长和面积的最值 【例 3】求圆122 =+y x 内接矩形面积的最大值 面积 的最大值，并求此时M 点的坐标。 思考：将上述第一象限删掉，会有什么结果？ 变形3：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上两个相邻顶点为C A ,，又D B ,为椭圆上的两个动点，且D B ,分别在直线AC 的两 旁，求四边形 ABCD 面积的最大值。 题型四 利用参数方程求角度的最值 【例 4】（备用）已知椭圆 2 2116 x y +=和圆2216x y +=，A 为圆在第一象限上 的点，过A 作AM 垂直于x 轴于点M ，交椭圆于点B ，求AOB 的最大值 七．练习： （1）已知点P 为椭圆13 22 =+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 . （2）已知点P 在曲线? ??=+=θθ sin cos 2y x （θ 为参数）上，点Q 在曲线???=-=t y t x 21 （t 为参数）上，试求PQ 的最小值，并 求出此时Q 点坐标 （3）AB 为过椭圆 116 252 2=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。 （4）椭圆 122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。 八．小结：本节课我们处理的以上几个问题均是利用参数方程来求最值问题。我们发现，利用参数方程求最值把三角函数跟 解析几何很好的结合起来，降低了运算量，是一条很好的解题途径。 九．作业
直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： <2>一般形式 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0 <3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 （3）圆锥曲线的参数方程 <1> <2> 角）。 :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α)t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα)1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且)y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0:t,M M 0故即=2t t t 2 1M +=)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+轴正方向的旋转角的几何意义动半径对于 其中x α其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+
<3> <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式 （6）曲线的极坐标方程 <1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。 <2>直线与圆的极坐标方程。 过极点的直线方程θ=θ0（ρ∈R ） 过点A （a,0），倾角为α的直线方程 以极点为圆心，半径为r 的圆的方程ρ=r 圆心在C （a,0），半径为a 的圆的方程ρ=2acos θ 圆心在（ρ0，θ0），半径为r 的圆的方程 【例题选讲】 例1 ，M 是AB 的中点，求|MF|。 )(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???==)(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????==?????≠==+???==)0x (x y tg y x )2(sin y cos x )1(222θρθρθραθαρsin )sin(a =-220002r )cos(2=+--ρθθρρρ两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B ,A l 45F 116y 9x 2 2 =-
参数方程应用专题 1、圆的参数方程的应用 圆222()()x a y b R -+-=的参数方程为cos sin x a R y b R θ θ =+??=+? （ 为参数 ） 一、求最值 ()y x P ,为圆上一点 （1）求22Cy Bxy Ax ++的最值（2）求By Ax +的最值 （3）A,B 为定点，求2 2 PB PA +的最值。 例1 已知点P （x ，y ）在圆221x y +=上， （1）求2223x xy y ++的最大值和最小值。（2）求y x +2的最值 (3)()()()()2 2 2 2 0,24,10,121PD PC PB PA D C B A +++-求及和和， 点的最值。 练习1、已知实数y x ,满足()()25212 2 =-+-y x ，求y x y x ++2,22的最值。 2、在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 c=10,34 cos cos = =a b B A ，P 为△ABC 的内切圆的动点，求点P 到顶点A 、B 、C 的 距离的平方和的最大值和最小值。
二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3 π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。 三、求范围 例3 已知点P （x ，y ）是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+c ≥0恒成立，求c 的取值范围。 四、求斜率 例4 求函数sin 1 ()cos 2 f θθθ-=-的最大值和最 小值。 C x y O A B 图 1 O x y (2,1) 图2
直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x
直线的参数方程及其应用 摘要：解析几何是高考考查的重要内容，主要有：直线与圆、直线与椭圆、直 线与双曲线、直线与抛物线的位置关系，相交求交点坐标及弦长等。直线作为解 析几何的重要组成部分，直线的参数方程在解析几何中有着较为广泛的应用，且 在具体题目中有着较强的的综合性与灵活性。学生对直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式较为熟悉，能够熟练运用。但对直线的参 数方程较为陌生，应用起来有着一定的难度。直线的参数方程作为选修4-4第二 章参数方程的重要内容，近几年高考对直线的参数方程的考查力度有所加大，其 中以参数方程中参数t的几何意义最为突出。如何准确理解直线参数方程中参数t 的几何意义，并能熟练运用直线的参数方程解题，对学生综合能力的提高及数学 核心素养的培养有着十分重要的意义。因此，本文主要从直线参数方程t的几何 意义及其应用几个方面作较为详细的阐述，为直线的参数方程教学提供参考。 关键词：参数方程；倾斜角；普通方程；几何意义； 一、直线的普通方程与参数方程 北师大版必修二中，学生已经学习过直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，并且掌握了这五种方程的应用条件，能够正确根据题 目中的已知条件选择适当的方程形式求出直线的方程，并能够相互转化。直线方 程的这五种形式中，尤以点斜式、斜截式、一般式用的最多，也是高考考查的重 要内容。如：已知直线上点P的坐标及直线的斜率k（倾斜角α），常选用点斜式；已知直线斜率和直线在y轴上的截距及判断两直线的位置关系，常选用截距式；求与已知直线平行或垂直的直线方程，点到直线的距离公式，常选用一般式。与直线的参数方程相对应，我们称直线方程的这五种形式为直线的普通方程。 普通方程是直接给出曲线上点的横纵坐标x和y之间的关系，参数方程是曲线上点的横纵坐标x和y之间引入一个参数。在平面直角坐标系中，如果曲线上任意 一点的坐标x和y都是某个变量t的函数，即，叫作曲线的参数方程。过点，倾 斜角为的直线的参数方程为。直线的参数方程相比较于普通方程，由于横纵坐标 之间引入了中间变量，所以学生理解起来有一定的难度，要是不能正确理解参数 方程中参数的几何意义，学生在运用参数方程解题就会更加困难。因此，准确理 解直线的参数方程中参数的几何意义就显得尤为重要。 二、直线的参数方程中参数的几何意义 1、直线参数方程的标准式 （1）过点，倾斜角为的直线的参数方程为。设为直线上任意一点，的几何意义是：表示有向线段的数量，= 因为为直线上任意一点（规定向上的方向为正方向），不妨设，则，所以==。 当时，点在的上方；当时，点与重合；当时，点在的下方。 （2）若、是直线上两点，所对应的参数分别为、，则 因为、是直线上两点，所对应的参数分别为、，不妨设，，则，所以 == （3）、是直线上两点，所对应的参数分别为、，则、的中点对应的参数为。若为、的中点，则，反之亦成立。 因为为、的中点，所以，则，因为、位于两侧（取向上方向为正方向），所以， 所以。 若为、的中点，则,则，且，异号，所以，即。
参数方程的应用 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数。 （2）三角法：利用三角恒等式消去参数 （3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。 化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。 2、常见曲线的参数方程 （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x （t 为参数） （2）圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x （θ为参数） （3）圆2 2 2 00()()x x y y r -+-=参数方程为：? ??+=+=θθ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） （4）椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ?? ?==θθ s i n c o s b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y 22 =参数方程? ??==Pt y Pt x 222 （t 为参数） 7．已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为 3 4，直线l 和抛物线x y 22 =相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离。（2）M 点的坐标。（3）线段AB 的长AB 。 解：由34tan =α得：53cos ,54sin ==αα，所以直线的参数方程为()为参数t t y t x ?? ?? ? =+=54532，代入x y 22=化简得：045625162=--t t ，4 25 ,8152121-==+t t t t （1）4 15221 =+=t t PM （2）?? ??? =?==?+=341554417415532y x 所以??? ??3,417M （3）()8 65 542 1221= -+= t t t t AB 10 (1) 写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程； (2) 利用这个参数方程，求这条直线l 与直线032=--y x 的交点到点M 0的距离。 (3) 求这条直线l 和圆1622=+y x 的两个交点到点M 0的距离的和与积。 解：(1)()为参数t t y t x ??? ??? ? +=+=235211 (2)3610+ (3)把()为参数t t y t x ??? ??? ?+=+=235211代入1622=+y x 化简得：() 0103512=+++t t ()3103642 122121+=-+= -t t t t t t ，1021=t t 1. 设是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值是。P x y x y 2312222+=+ 分析一：注意到变量（x ，y ）的几何意义，故研究二元函数x+2y 的最值时，可转化为几何问题。若 设x+2y=t ，则方程x+2y=t 表示一组直线（t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x ，y ）既满足2x 2+3y 2=12，又满足x+2y=t ，故点（x ，y ）是方程组的公共解。依题意，可知直线与椭圆总有公共点。从而转化为 研究消元后的一元二次方程的判别式。 231222022x y x y t x y t +=+=???+=≥? 解法一：
直线的参数方程及应用 基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1， ∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4： 一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝2 21t t + 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线2l 的参数方程? ??+=+-= t 313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式？ 例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为 3 π ，判断方程??? ? ???+=+=t y t x 2332 1 1（t 为参数）和方 程? ??+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出 方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题. x y ,) x x
参数方程极坐标系解答题 一、圆上的点到直线的距离最大值 1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos， ∴ y+1=0 （ d=， 的距离的最大值． ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为 ，利用三角形的面积计算公式即可得出．
的极坐标方程为，把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0） （Ⅰ）求圆心C的极坐标； （Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3． += 得：圆心（﹣，﹣ ， 的圆心到直线
∴ ﹣ 时，圆 4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲 线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点． （1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程； （2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．
] 5．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）． （Ⅰ）求圆心C的直角坐标； （Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值． ，∴， 的直角坐标方程为 即，∴圆心直角坐标为 距离是 二、椭圆上的点到直线的距离的最大值 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
《直线参数方程的应用》 教材说明：人教版选修4-4《直线的参数方程》 课型：习题课 课时：1课时 学情分析 （一）学生已有知识基础或学习起点 学生刚刚学习了曲线的参数方程,以及直线的参数方程,本班学生具备较好的知识基础,对直线的参数方程的一般形式和标准形式都已经了解,并且能够进行标准参数方程和一般参数方程的互化,对参数的几何意义相对也比较熟悉. （二）学生已有生活经验和学习该内容的经验 在前面学生已经学过了直线的标准参数方程和一般方程,具备了把一般参数方程转化为标准参数方程的能力,能解决一些实际问题,并能够进行合作交流,具备合作探究的能力. （三）学生的思维水平以及学习风格 学生的思维系统不够完善,缺乏逻辑思维能力和发散能力.学生中沉思型的学生少, 在碰到问题时不愿意深思熟虑，不用充足的时间考虑、审视问题，更不会权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳方案;多数是冲动型学习,看到题倾向于很快地检验假设，根据问题的部分信息或未对问题做透彻的分析就仓促作出决定，反应速度较快，但容易发生错误。 （四）学生学习该内容可能的困难 学生学习该内容时可能遇到如下困难：不看参数方程的形式是否标准,直接套用,t 的几何意义找不准,欠缺转化能力,数形结合能力和计算能力. （五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析 由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和层层设疑的学习方法。授课讲解的时候，应做到帮助学生分析题干，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路并选择简洁的解题方法，并能及时归纳总结. 教学内容分析 （一）教学的主要内容
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习直线参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。学习直线的参数方程为接下来的圆等复杂曲线的参数方程打下基础,通过对本专题的学习，学生将掌握直线参数方程的基本应用，了解直线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。 （二）教材编写的特点和设计意图 1、教材特点： 直线参数方程的意义,以及参数的几何的意义的应用,让学生了解参数方程的作用. 2、设计意图： 通过具体题让学生明白为何引进参数,以及参数方程的真正用处河意义,培养学生转 化的能力和灵活解决问题的能力. 教学目标 （一）知识与技能： 应用直线的参数方程中t的几何意义解决求距离，求线段长度、与中点有关的问题。 （二）过程与方法： 通过学生联系已有的知识，采用学生探究，观察，讨论的方式，引导学生分析思路，体验解题方法。（三）情感态度与价值观： 通过对教学思维的转变，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，勇于探索的思维品质，培养学生积极探索，勇于钻研的科学精神、严谨求实的科学态度。 教学重点 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求与中点有关等问题. 教学难点 对t的几何意义的理解和应用。 教学策略的选择与设计 为了教给学生学习思路，训练科学方法，发展学生应用知识的能力，以更好地培养他们分析问题