第32讲算式谜
一、专题简析：
算式谜一般是指一些含有未知数或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据四则运算的规定，四则运算算式中的数量关系以及数的组成，逐步确定算式中的未知数和运算符号。
解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意：
1、认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；
2、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字；
3、算式谜解出后，务必要验算一遍。
二、精讲精练
例题1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍。求原六位数。
练习一
1、已知六位数1ABCDE，这个六位数的3倍正好是ABCDE1，求这个六位数。
2、下面式子中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请说出各个汉字分别代表什么数字。
2华罗庚金杯×3=华罗庚金杯2
例题2 下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算式写完整。
2 8 5
×□□
1 □
2 □
□□□
□ 9 □□
练习二
1、把下面的算式写完整。
□□□
× 8 9
□□□□
□□□
□□□□
2、在算式的（）里填上合适的数字。
（） 2 （）（）
×（） 6
（）（） 0 4
（）（） 7 （）
（）（）（）（）（）
例题3下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数，请你在其余的三格中也分别填入一个两位数，使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等，并且这五个两位数正好由0～9十个数字组成。
练习三
1、把0～9这十个数字填到圆圈内，每个数字只能用一次，使三个算式成立。○＋○=○○－○=○○×○=○○
2、将1～9九个数字填入下列九个○中，使等式成立。
○○○×○○=○○×○○=5568
例题4 把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字填入下面的小方格中，使三个等式都成立。
□＋□=□
□－□=□
□×□=□□
练习四
1、将1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、9九个不同的数字分别填在○中，使下面的三个算式成立。
○＋○=○○－○=○○×○=○
2、将0、1、2、
3、
4、
5、6填到下面只有一、两位数的算式中，使等式成立。
○×○=○=○÷○
例题5 把2、3、4、5、7、9这六个数字分别填在六个（）里，使乘积最大，应该怎样填？
（）（）（）×（）（）（）
分析（1）7和9应分别放在首位：
（ 9 ）（）（）×（ 7 ）（）（）
（2）5与4分别放在十位上，且5摆在7的后面比4摆在7的后面能多算一个900，反之只能多算一个700；94（）×75（）；
（3）同样道理：3摆在5后面比2摆在5后面能多算一个940，反之只能多算一个750：（ 9 ）（ 4 ）（ 2 ）×（ 7 ）（ 5 ）（ 3 ）积最大。
练习五
1、用9、8、
2、1四个数字组成两个两位数，并且使它们的积最大。
2、用6、1、2、5、9、7组成两个三位数，并且使它们的积最小。
三、课后作业
1、不同的汉字代表不同的数字，请便分析出“我们热爱科学”分别代表什么数字。
我们热爱科学×学=好好好好好好
2、把44、2、11、12、22、33六个数分成两组，使每组中的三个数的积相等。□×□×□=□×□×□
3、把0、1、2、3、
4、
5、6填到下面□里，使等式成立。
□×□□□＋□＋□=□
4、“我喜欢×小数报”表示两个三位数相乘，“我、喜、欢、小、数、报”这六个字分别代表3、4、
5、
6、
7、8这六个数，这个算式的乘积最大是多少？
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涉及分数与小数的各种类型的数字谜问题，包括竖式的补填、算式的构造、小数的舍人与变化等．较为复杂的数字问题，以及其他略有综合性的数字谜问题． 1．有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位数相加，得数是2000．81．求这个四位数是多少? 【分析与解】设四位整数4的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数B，A与B 的和为2000．81，而小数只能由B得到，且0.81为B的小数部分，所以小数点加在A的百位与十位之间，即缩小了100倍． 有A+0.01A=2000.81，所以A=1981． 2．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是12．43．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是什么? 【分析与解】老师说最后一位数字错了，那么前3位数字是正确的，所以正确的平均数在12.40～12.5(不能取12.5)之间，那么这13个数的和在161.2～162.5(不能取162.5)，因为这13个数都是自然数，所以它们的和也应该是自然数． 那么这13个数的和只能是162，它们的平均数应该是162÷13≈12.46． 所以正确的平均数应该是12.46．
3．两个带小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5．这两个数都只有一位小数，且个位数字都是4．这两个数的乘积四舍五入前是多少? 【分析与解】因为这两个带小数均只有一位小数，那么给它们均乘以10，则这两个数均是整数． 开始它们的乘积在22.45～22.55(不能取22.55)之间，所以在这两个数在均乘以10以后再相乘而得到的乘积应该在2245～2255(不能取2255)之间． 一一验证，2245=5×449，2246=2×1123，2247=3×7×107，2248=2×2×2×281，2249=13×173，2250=2×3×3×5×5×5，2251为质数，2252=2×2×563，2253=3×751，2254=2×7×7×23． 其中只有2254可以表达为(2×23)×(7×7)=46×49，两个十位数字均为4的数的乘积． 所以，四舍五人前的乘积应为2254÷10÷10=22.54． 即两个数的乘积四舍五人前是22.54． 4．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷O.04=100 改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少? 【分析与解】我们先把题中左边算式计算一遍，在计算过程中发现问题． [4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04 =[21-(0.4+13) ]÷0.04 =[21-13.4]÷0.04 =7.6÷0.04 =190 注意到在“[21-(0.4+13)]÷O.04”这一步中如果(0.4+13)是(4+13)，那么最终的结果为100． 所以只需将1÷2.5改为1÷0.25，即将2.5改为O.25即可． 5.在算式2÷3÷4÷5÷6中添上若干个括号，使算式的结果是整数，并且尽可能小．试写出添加完括号后的算式．
算式谜（一） 一、【检查作业与评讲】 二、【课前热身】 三、【内容讲解】 知识点：算式谜 “算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。 解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验， 分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。 例1:在下面算式的括号里填上合适的数。 7 6 （）5 + __________ （）4 7 （）2 1 （） 分析：根据题目特点，先看个位：7+ 5=12，在和的个位（）中填2,并向十位进一；再看十位，（）+4+1的和个位是1,因此，第一个加数的（）中只能填6,并向百位进1;最后来看百位、千位，6+ （）+1的和的个位是2,第二个加数的（）中只能填5，并向千位进1;因此，和的千位（）中应填& 练习 (1)在括号里填上合适的数。（2）在方框里填上合适的数。 6()() □ 0 □ □ + 2()1 5—3()1 7 ()0 9 1 2 8 5 6 (3)下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和 □ □ +□ □ 1 6 9
例2:下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。 腾飞 龙腾飞 + 巨龙腾飞 2 0 0 1 分析：先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1,可推知“飞”代表7;再看十位，3个“腾”相加，再加上个位进来的2,所得的和的个位是0,可推知“腾”代表6;再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的2,所得和的个位是0, “龙”可能是4或9, 考虑到千位上的“巨”不可能为0,所以“龙”只能代表4, “巨”只能代表1。 练习： (1) C D(2)t谜(3) 澳门 A C D填式t谜澳门归 +A B C D+巧填式谜+ 庆澳门归 1 9 8 9 1 9 9 5 1 9 9 9 例3:下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？ 兵炮马卒 +兵炮车卒 车卒马兵卒 分析：这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是0。确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵” + “兵”=“卒”，容易知道“兵”是5, “车”是1;再由十位上的情况可推知“马” 是4,进而推得“炮”是2。 练习： （1）B A （2） A B C （3）炮兵兵炮 A B + C D C _____________________ - 兵马兵
第32讲算式谜 一、专题简析： 算式谜一般是指一些含有未知数或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据四则运算的规定，四则运算算式中的数量关系以及数的组成，逐步确定算式中的未知数和运算符号。 解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意： 1、认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字； 3、算式谜解出后，务必要验算一遍。 二、精讲精练 例题1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍。求原六位数。 练习一 1、已知六位数1ABCDE，这个六位数的3倍正好是ABCDE1，求这个六位数。
2、下面式子中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请说出各个汉字分别代表什么数字。 2华罗庚金杯×3=华罗庚金杯2 例题2 下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算式写完整。 2 8 5 ×□□ 1 □ 2 □ □□□ □ 9 □□ 练习二 1、把下面的算式写完整。 □□□ × 8 9 □□□□ □□□ □□□□
2、在算式的（）里填上合适的数字。 （） 2 （）（） ×（） 6 （）（） 0 4 （）（） 7 （） （）（）（）（）（） 例题3下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数，请你在其余的三格中也分别填入一个两位数，使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等，并且这五个两位数正好由0～9十个数字组成。 练习三 1、把0～9这十个数字填到圆圈内，每个数字只能用一次，使三个算式成立。○＋○=○○－○=○○×○=○○
5-1-1-1.算式谜（一） 教学目标 数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要横式数字谜问题，因此，会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题。 知识点拨 一、基本概念 填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。 算符：指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。 二、解决巧填算符的基本方法 （1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。 （2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。 三、奇数和偶数的简单性质 （一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类 （1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数. （2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数. （二）性质：①奇数≠偶数. ②整数的加法有以下性质： 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数. ③整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数； 奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数. ④整数的乘法有以下性质： 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数； 偶数×偶数=偶数.
例题精讲 模块一、巧填算符 （一）巧填加减运算符号 【例1】在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。88888888=1000 【例2】在等号左边9个数字之间填写6个加号或减号组成等式：1 2 3 4 5 6 7 8 9＝101 【例3】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：1110987654210 □□□□□□□□3□□ = 【巩固】在下面的□中填入“+”、“一”，使算式成立：11109876321 = □□□□□□5□4□□ 【例4】在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号使等式成立。123456789=100 （二）巧填四则混合算符号 【例5】请将四个4用四则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于5、6、7、8、9。 【例6】在下面式子中的W中选择填入+?使等式成立。 1W2W3W4W5W6W7W8W9W10=100 【例7】在下面算式合适的地方添上+-? 、、，使等式成立。12345678=1
第二十讲数字谜综合一 在三四年级，我们学过加减法填空格，破译字母、汉字的竖式谜、横式谜，添算符等数 字谜问题，其中既有加减法，也有乘除法．它们各有一些特定的解题方法和思路，像加减法 的进位、借位、错位，乘除法里面的末位分析、首位及位数的估算等，这些方法我们当然还 要进一步的学习和训练．但在这一讲中，我们将主要运用前一阵刚学过的数论知识来解决相 应的数字谜问题． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1.已知“BAD BAD GOOD +=”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．已知GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？ 「分析」解决数字谜的题目，最关键在于找突破口．本题的突破口在哪里？ 练习1.在算式“+= 路亨路亨刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．已知刘吉吉是8的倍数，那么四位数亨吉刘路是多少？
例题2． 从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立． ?=?= 952 「分析」从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为952．但是把952写成两个两位数的乘积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的．我们不妨先把952分解质因数，通过分析它的构成来选出满足题目条件的填法． 练习2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立． 1026 ?=?= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3． 用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940．另外三个数可能是多少？ 「分析」其中四位数是2940，那么组成另外三个数的6个数字就确定了．这四个数两两互质，那么另外三个数都与2940互质，我们就从2940的质因数构成入手． 练习3． 用1、2、3、4、5、6、7这7个数字恰好组成一个一位数和两个三位数，每个数字只用一次，使得这三个数两两互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，那么其他两个数是多少？ 在前面的例题中，我们通过分解质因数，分析其质因数的构成，从而解决了问题．那如果没有给出具体的数，而是由数字或字母构成的特殊形式又该如何？是否也能分解质因数呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题4． 数数科学学数学． ?= 在上面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？ 「分析」对于乘法数字谜问题，我们一般先考虑个位数字．“数”ד学”的个位数字是“学”，
五年级奥数周周练 第32周算式谜 一、知识要点 算式谜一般是指一些含有未知数或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据四则运算的规定，四则运算算式中的数量关系以及数的组成，逐步确定算式中的未知数和运算符号。 解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意： 1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2.采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字； 3.算式谜解出后，务必要验算一遍。 二、精讲精练 【例题1】有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍。求原六位数。 【思路导航】设原六位数是ABCDE6，则新六位数是6ABCDE，根据题意列成竖式再进行分析： ABCDE6 × 4 6ABCDE （1）由个位6×4＝24可知，E＝4；（2）由十位4×4＋2＝8可知，D＝8；（3）由百位8×4＋1＝33可知，C＝3；（4）由千位3×4＋3＝15可知，B＝5；（5）由万位5×4＋1＝21可知，A＝1。 所以，原六位数是153846。
五年级奥数周周练姓名：__________________ 练习1： 1.已知六位数1ABCDE，这个六位数的3倍正好是ABCDE1，求这个六位数。 2.下面式子中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请说出各个汉字分别代表什么数字。 2华罗庚金杯×3＝华罗庚金杯2
五年级奥数周周练3.不同的汉字代表不同的数字，请便分析出“我们热爱科学”分别代表什么数字。 我们热爱科学×学＝好好好好好好
五年级奥数周周练姓名：__________________ 【例题2】下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算式写完整。 285 ×□□ 1 □ 2 □ □□□ □9 □□ 【思路导航】设乘数为ab，（1）根据285×b＝1□2□，可知，b可以取4、5、6、7四个数字中的一个。因为b取4、6和7时，积的十位都不是2，所以b只能是5。 （2）根据258×a＝□□□可知，a可以取1、2、3三个数字中的一个。因为a取1或2时，这一部分的积与前一部分的积相加时，和的百位得不到9，所以a只能是3。因此，原式写成横式是285×35＝9975。 练习2： 1.把下面的算式写完整。
第32 讲算式谜 一、专题简析： 算式谜一般是指一些含有未知数或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据四则运算的规定，四则运算算式中的数量关系以及数的组成，逐步确定算式中的未知数和运算符号。解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意： 1、认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字； 3、算式谜解出后，务必要验算一遍。 二、精讲精练 例题1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6 移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4 倍。求原六位数。 练习一 1、已知六位数1ABCD，E 这个六位数的3倍正好是ABCDE，1 求这个六位数。
2、下面式子中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请说出各个汉字分别代表什么数字。 2华罗庚金杯X 3=华罗庚金杯2 例题2下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算式写完整。 2 8 5 X□口 1 □ 2 □ □□口 □9 □□ 练习二 1、把下面的算式写完整。 □□ □ X 8 9 □ □ □ □ □□口 □□ □ □
2、在算式的( )里填上合适的数字。 ()2 ()() X ( )6 ()()0 4 ()()7 () ()()()()() 例题3下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数，请你在其余的三格中也分别填入一个两位数，使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等，并且这五个两位数正好由0?9十个数字组成。 练习三 1、把0?9这十个数字填到圆圈内，每个数字只能用一次，使三个算式成立。 0+0 =0 0-0 =O 0X0 =oo
第三十二周算式谜 例题1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍。求原六位数。 分析设原六位数是ABCDE6，则新六位数是6ABCDE，根据题意列成竖式再进行分析： ABCDE6 × 4 6ABCDE （1）由个位6×4=24可知，E=4；（2）由十位4×4＋2=8可知，D=8；（3）由百位8×4＋1=33可知，C=3；（4）由千位3×4＋3=15可知，B=5；（5）由万位5×4＋1=21可知，A=1。 所以，原六位数是153846。 练习一 1．已知六位数1ABCDE，这个六位数的3倍正好是ABCDE1，求这个六位数。 2．下面式子中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请说出各个汉字分别代表什么数字。 2华罗庚金杯×3=华罗庚金杯2 3．不同的汉字代表不同的数字，请便分析出“我们热爱科学”分别代表什么数字。 我们热爱科学×学=好好好好好好
例题2 下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算式写完整。 2 8 5 ×□□ 1 □ 2 □ □□□□ □ 9 □□ 分析设乘数为ab，（1）根据285×b=1□2□可知，b可以取4、5、6、7四个数字中的一个。因为b取4、6和7时，积的个位都不是2，所以b只能是5。 （2）根据258×a=□□□可知，a可以取1、2、3三个数字中的一个。因为a取1或2时，这一部分的积与前一部分的积相加时，和的百位得不到9，所以a只能是3。因此，原式写成横式是285×35=9975。 练习二 1．把下面的算式写完整。 □□□ × 8 9 □□□□ □□□ □□□□ 2．在算式的（）里填上合适的数字。
数字谜 涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题． 1.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一个三位数).口口口(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好,它是714,求其他两个数． 【分析与解】714=2×3×7×17． 由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5，6中只能选5，也就是说，第三个数只能是5． 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字． 因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质．最后来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质． 显然,263与5也互质． 因此,其他两个数为263和5． 2.如图19-1,4个小三角形的顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等.问这6个质数的积是多少? 【分析与解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4个小三角形的和S相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了3次,所以 4S=2S+20,即S=10． 这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是： 2×2×3×3×5×5=900 3.在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立．
算式谜（一） “算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。 解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。 例1：在下面算式的括号里填上合适的数。 7 6 （） 5 + （） 4 7 （） 2 1 （） 分析：根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（）中填2，并向十位进一；再看十位，（）+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的（）中只能填6，并向百位进1；最后来看百位、千位，6+（）+1的和的个位是2，第二个加数的（）中只能填5，并向千位进1；因此，和的千位（）中应填8。 练习 （1）在括号里填上合适的数。（2）在方框里填上合适的数。 6 （）（）□ 0 □□ + 2 （） 1 5 －3 （） 1 7 （） 0 9 1 2 8 5 6 （3）下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。 □□ + □□ 1 6 9 例2：下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。 腾飞 龙腾飞 +巨龙腾飞 2 0 0 1 分析：先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7；再看十位，3个“腾”相加，再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代表6；再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1。
练习： （1） C D （2）式谜（3）澳门 A C D 填式谜澳门归 +A B C D +巧填式谜 +庆澳门归 1 9 8 9 1 9 9 5 1 9 9 9 例3：下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？ 兵炮马卒 + 兵炮车卒 车卒马兵卒 分析：这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是0。确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“车”是1；再由十位上的情况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。 练习： （1） B A （2） A B C （3）炮兵兵炮 A B + C D C －兵马兵 + A B A B C D 马兵马 C A A 三、【巩固练习】 1、在下面算式的括号里填上合适的数。 （1）（） 6 （）（）（2）（） 0 （）（） + 2 （） 1 5 - 3 （） 1 6 8 0 9 1 4 8 5 7
数字谜综合（ii） 概述 涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题． 典型问题 1.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一个三位数).口口口(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好,它是714,求其他两个数． 【分析与解】714=2×3×7×17． 由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5，6中只能选5，也就是说，第三个数只能是5． 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字． 因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质．最后来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质． 显然,263与5也互质． 因此,其他两个数为263和5． 2.如图19-1,4个小三角形的顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等.问这6个质数的积是多少? 【分析与解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4个小三角形的和S相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了3次,所以 4S=2S+20,即S=10． 这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是： 2×2×3×3×5×5=900 3.在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立． a b和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7． 【分析与解】记两个乘数为7 由已知条件,b与c相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5或7,
第8讲：算式谜（二） “算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。 解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点： 1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字； 3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的； 4．算式谜解出后，要验算一遍。 【例题1】在下面的方框中填上合适的数字。 □ 7 6 ×□□ 18 □□ □□□□ 3 1 □□ 0 分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。 练习一：在□里填上适当的数。 （1） 6 □（2）□ 2 □□（3） 2 8 5 × 3 5 ×□ 6 ×□□ 3 3 □□□ 0 4 1 □ 2 □ 1 □ 8 □□ 7 0 □□□ □□□□□□□□□□ 9 □□ 【例题2】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。 答案： 【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上） 练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。
【例题3】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？ 【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积想起，5630?=，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为369+=。 练习3：在□里填上适当的数，使算式成立。 【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。 答案： 【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易知道，被除数的十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法（见上页）。 练习3： □里可以填哪些数字？ 【例题5】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。 答案： 【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时3412 , 84=32?=?，因而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法（见上）。 06 5 93003056 61160 6 50300330030解题思路： 5 60 750 （2）（1） 04871 70 7174982882 7173912112 1 4414827 170 （2） 4 2 81 8 （1） 4 4 2 7 7 4 430068 64278232 332 32372428 200 344 7
5-1-1-2.算式谜（二） 教学目标 五年级奥数算式谜（二）教师版知识点拨 一、基本概念 填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号）,从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。 算符：指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。 二、解决巧填算符的基本方法 （1）凑数法：根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立。 （2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想,从而得到等式。 三、奇数和偶数的简单性质 （一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类 （1）我们把1,3,5,7,9和个位数字是1,3,5,7,9的数叫奇数. （2）把0,2,4,6,8和个位数是0,2,4,6,8的数叫偶数. （二）性质：①奇数≠偶数. ②整数的加法有以下性质： 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数. ③整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数； 奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数. ④整数的乘法有以下性质： 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数； 偶数×偶数=偶数.
模块一、填横式数字谜 【例 1】 将数字1~9填入下面方框,每个数字恰用一次,使得下列等式成立； ()200724=+÷+-★□□□□□□□ 现在“2”、“4”已经填入,当把其它数字都填入后,算式中唯一的减数（★处）是 ． 【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初赛,3试题 【解析】 方法一：首先可以估算四位数的取值范围：四位数不大于 ()2007913428010+-?-=,不小于()2007198427638+-?-=．显然四位数的千 位数字只能是7．再由四位数与2的和能被4整除,可以确定四位数的个位数字一定是偶数,只能是6或8．若为6,由个位是8而能被4整除的数其十位数字是偶数,可知四位数只能为7986,而()7986241997+÷=,故只需利用剩下的数凑出10即可．剩下的数字是1,3,5,不能凑出10．所以四位数的个位数字不是6．四位数的个位数字是8时,由个位是0而能被4整除的数其十位数字是偶数,故四位数的十位数字是1、3、7或9．当四位数的十位数字是1时,四位数只可能是7918,而()7918241980+÷=,故只需利用剩下的数凑出27即可．剩下的数字是3,5,6,不能凑出27；当四位数的十位数字是3时,四位数只可能是7938,而()7938241985+÷=,故只需利用用剩下的数凑出22即可．剩下的数字是1,5,6,不能凑出22；当四位数的十位数字是5时,四位数只可能是7658或7958,若为7958,则由()7958241990+÷=,需利用剩下的数凑出17即可．剩下的数字是1,3,6,不能凑出17；若为7658,有()7658249312007+÷+-=；当四位数的十位数字是9时,四位数只可能是7698,而()7968241925+÷=,故只需利用剩下的数凑出82即可．剩下的数字是3,5,6,不能凑出82；故此题只有惟一答案：()7658249312007+÷+-=．算 式中唯一的减数是1． 方法二：根据弃九法,7□□□+2+4+□□+★被9整除,而(7□□□+2)÷4+□□-★也被9整除。所以,后一式乘以4得到7□□□+2+4×□□-4×★被9整除,减去前一式得到3×□□-4-5×★被9整除。所以,★被3除余1,而4和7都已用,则★=1。 【答案】1 【例 2】 将1～9这九个数字分别填入下面算式的空格内,其中有一个数字已经知道,每个空 格内只许填一个数字,使算式成立：==7÷--□□□□□□□□ 【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察此横式,共三个算式,÷□□□□□、-□□、7-□,要使这三个算式的运算结果 相同.由于第三个算式的减数已经知道,所以选择第三个算式7-□的差作为解题的突破口.因为7-□中被减数可填8和9,所以7-□,的差就可以为1和2这两种情况. （1）若第三个算式为87-,由于第一个算式÷□□□□□,不论这五个空格内填什么数字,都不能出现商为1,因此第三个算式不可能为87-. （2）若第三个算式为97-,那么第一个算式为：=÷□□□□□2,即=2?□□□□□,从而积的百位数为1,此时还有2,3,4,5,6,8可填,由数字不重复出现可得两位乘数只能为86、83、82、64、62五种取值。 若乘数为86,积为86×2＝172,7已出现,不行； 若乘数为83,积为83×2＝166,6重复出现,不行； 例题精讲
四年级奥数解析（四）算式谜（下） 《奥赛天天练》第3讲，巩固训练，习题1 【题目】： 下面算式中同一个汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数。问每个汉字各代表什么数？ （1）优优优优优优÷学=学习再学习； （2）认认×真真=踏踏实实。 【解析】： 第（1）题，由原式可得： 学习再学习 ×学 ———————— 优优优优优优 从低位算起，“学”和第一个“习”相乘积的个位上数字是“优”，“学”和第二个“习”相乘积的个位上数字还是“优”，即：“学”和第二个“习”相乘的前一步计算没有进位。所以，两位数“学习”和“学”的积就是三位数“优优优”，“再”是0。 可以从“学”入手，列举出“学”可能取的值：3、4、5、6、7、8、9，一一试算，筛选出符合题意的数字，也可以“优”入手列举出可能值，再筛选出答案。 通过计算可得本题只有一组解：37037×3=111111。 第（2）题，两位数“认认”和“真真”分别是11的“认”倍和“真”倍，四位数“踏踏实实”等于11乘以三位数“踏0实”，因此三位数“踏0实”肯
定是11的倍数。所以三位数“踏0实”与11的商是“认”和“真”的积，且“踏”与“实”的和为11（根据能被11整除的数的特征可知）。 列举出三位数“踏0实”可能的取值有： 209=11×19；308=11×28；407=11×37 …… 其中只有308符合题意，它与11的商28可以写成两个一位数4和7的积，其它各数与11的商都不合题意。 所以，此题有唯一一组解：44×77=3388。 《奥赛天天练》第3讲，巩固训练，习题2 【题目】： 下式中不同的汉字代表不同的数字，“□”代表一个一位自然数。你知道每个汉字各代表多少吗？ 开放的中国盼奥运 ×□ ——————————————— 盼盼盼盼盼盼盼盼盼 【解析】： ①这一题中第一个乘数是8个数字各不相同的八位数，积是9个相同的数字“盼”9个相同数字组成的九位数，唯有除以9才能得到8个数字各不相同的八位数商（只有除以9才有8个不同的余数，余数不重复才能保证商的数字各不相同），因此“□”代表的数字是9。 ②本题的积是111111111的“盼”倍，其中：111111111÷9=12345679，“盼”不可能是1，因为原式中第一个乘数里，“盼”不是排在最高位的，而是排在百位上。
数字谜综合 涉及分数与小数的各种类型的数字谜问题，包括竖式的补填、算式的构造、小数的舍人与变化等．较为复杂的数字问题，以及其他略有综合性的数字谜问题． 1．有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位数相加，得数是2000．81．求这个四位数是多少? 【分析与解】设四位整数4的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数B，A与B 的和为2000．81，而小数只能由B得到，且0.81为B的小数部分，所以小数点加在A的百位与十位之间，即缩小了100倍． 有A+0.01A=2000.81，所以A=1981． 2．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是12．43．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是什么? 【分析与解】老师说最后一位数字错了，那么前3位数字是正确的，所以正确的平均数在12.40～12.5(不能取12.5)之间，那么这13个数的和在161.2～162.5(不能取162.5)，因为这13个数都是自然数，所以它们的和也应该是自然数． 那么这13个数的和只能是162，它们的平均数应该是162÷13≈12.46． 所以正确的平均数应该是12.46． 3．两个带小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5．这两个数都只有一位小数，且个位数字都是4．这两个数的乘积四舍五入前是多少?
数均是整数． 开始它们的乘积在22.45～22.55(不能取22.55)之间，所以在这两个数在均乘以10以后再相乘而得到的乘积应该在2245～2255(不能取2255)之间． 一一验证，2245=5×449，2246=2×1123，2247=3×7×107，2248=2×2×2×281，2249=13×173，2250=2×3×3×5×5×5，2251为质数，2252=2×2×563，2253=3×751，2254=2×7×7×23． 其中只有2254可以表达为(2×23)×(7×7)=46×49，两个十位数字均为4的数的乘积． 所以，四舍五人前的乘积应为2254÷10÷10=22.54． 即两个数的乘积四舍五人前是22.54． 4．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷O.04=100 改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少? 【分析与解】我们先把题中左边算式计算一遍，在计算过程中发现问题． [4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04 =[21-(0.4+13) ]÷0.04 =[21-13.4]÷0.04 =7.6÷0.04 =190 注意到在“[21-(0.4+13)]÷O.04”这一步中如果(0.4+13)是(4+13)，那么最终的结果为100． 所以只需将1÷2.5改为1÷0.25，即将2.5改为O.25即可． 5.在算式2÷3÷4÷5÷6中添上若干个括号，使算式的结果是整数，并且尽可能小．试写出添加完括号后的算式． 【分析与解】注意到将除号前加一个括号，可以使括号内的除号在脱括号之后变为乘号．
第32讲算式谜 专题简析： 算式谜一般是指一些含有未知数或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据四则运算的规定，四则运算算式中的数量关系以及数的组成，逐步确定算式中的未知数和运算符号。 解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意： 1，认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2，采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字； 3，算式谜解出后，务必要验算一遍。 例题1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍。求原六位数。 分析设原六位数是ABCDE6，则新六位数是6ABCDE，根据题意列成竖式再进行分析： ABCDE6 × 4 6ABCDE （1）由个位6×4=24可知，E=4；（2）由十位4×4＋2=8可知，D=8；（3）由百位8×4＋1=33可知，C=3；（4）由千位3×4＋3=15可知，B=5；（5）由万位5×4＋1=21可知，A=1。所以，原六位数是153846。 练习一 1，已知六位数1ABCDE，这个六位数的3倍正好是ABCDE1，求这个六位数。 2，下面式子中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请说出各个汉字分别代表什么数字。 2华罗庚金杯×3=华罗庚金杯2 3，不同的汉字代表不同的数字，请便分析出“我们热爱科学”分别代表什么数字。 我们热爱科学×学=好好好好好好 例题2 下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算式写完整。 2 8 5 ×□□
1 □ 2 □ □□□□ □ 9 □□ 分析设乘数为ab，（1）根据285×b=1□2□可知，b可以取4、5、6、7四个数字中的一个。因为b取4、6和7时，积的个位都不是2，所以b只能是5。 （2）根据258×a=□□□可知，a可以取1、2、3三个数字中的一个。因为a取1或2时，这一部分的积与前一部分的积相加时，和的百位得不到9，所以a只能是3。因此，原式写成横式是285×35=9975。 练习二 1，把下面的算式写完整。 □□□ × 8 9 □□□□ □□□ □□□□ 2，在算式的（）里填上合适的数字。 （） 2 （）（） ×（） 6 （）（） 0 4 （）（） 7 （） （）（）（）（）（） 3，在□里填上合适的数字。 □□ 6□□□□□ 1 □□ 7 □□□□ □□ 6 1 例题3 下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数，请你在其余的三格中也分
五年级奥数训练——算式谜 姓名： 例题1 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍。求原六位数。 练习一 已知六位数1ABCDE，这个六位数的3倍正好是ABCDE1，求这个六位数。 例题2下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算式写完整。 2 8 5 ×□□ 1 □ 2 □ □□□ □ 9 □□ 练习二 把下面的算式写完整。 □□□ × 8 9 □□□□ □□□ □□□□ 例题3下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数，请你在其余的三格中也分别填入一个两位数，使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等，并且这五个两位数正好由0～9十个数字组成。
练习三 把0～9这十个数字填到圆圈内，每个数字只能用一次，使三个算式成立。 ○＋○=○○－○=○○×○=○○ 例题4 把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字填入下面的小方格中，使三个等式都成立。 □＋□=□ □－□=□ □×□=□□ 练习四 将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个不同的数字分别填在○中，使下面的三个算式成立。 ○＋○=○○－○=○○×○=○ 例题5把2、3、4、5、7、9这六个数字分别填在六个（）里，使乘积最大，应该怎样填？ （）（）（）×（）（）（） 练习五 用9、8、2、1四个数字组成两个两位数，并且使它们的积最大。
课堂练习 1、不同的汉字代表不同的数字，请便分析出“我们热爱科学”分别代表什么数字。 我们热爱科学×学=好好好好好好 2、在□里填上合适的数字。 □□ ) 6□□□□□ 1 □□ 7 □□□□ □□ 6 1 3、把4 4、2、11、12、22、33六个数分成三组，使每组中的两个数的积相等。 □×□=□×□=□×□ 4、把0、1、2、3、4、 5、6填到下面□里，使等式成立。 □×□□□＋□＋□=□ 5、“我喜欢×小数报”表示两个三位数相乘，“我、喜、欢、小、数、报”这六个字分别代表3、4、5、 6、 7、8这六个数，这个算式的乘积最大是多少？ 课外练习 1、下面式子中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，请说出各个汉字分别代表什么数字。 2华罗庚金杯×3=华罗庚金杯2