点和圆的位置关系
一、强化训练
1.已知⊙O 的半径为3.6 cm ，线段OA=
7
25
cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( ) A.A 点在圆外 B.A 点在⊙O 上 C.A 点在⊙O 内 D.不能确定
2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为(0，0)，点P 的坐标为(4，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是( )
A.点P 在⊙O 内
B.点P 在⊙O 上
C.点P 在⊙O 外
D.点P 在⊙O 上或⊙O 外
3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4 cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图24-2-1-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5 cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.
图24-2-1-1
二、巩固训练
1.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是( )
A.a=15，b=12，c=1
B.a=5，b=12，c=12
C.a=5，b=12，c=13
D.a=5，b=12，c=14
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm ，BC=8 cm ，则它的外心与顶点C 的距离为( )
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm
3.如图24-2-1-2，点A 、B 、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.
图24-2-1-2
4.阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.
如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.
图24-2-1-3
回答下列问题：
(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (2)边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;
(3)边长为2 cm ，1 cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ，这两个圆的圆心距是________ cm.
直线和圆的位置关系
一、课中训练
1.如图24－2－2－1,已知∠AOB=30°,M 为OA 边上一点,以M 为圆心、2 cm 为半径作⊙M.若点M 在OA 边上运动,则当OM=_______________ cm 时,⊙M 与OB 相切.
图24－2－2－1
2.⊙O 的半径为R ，直线l 和⊙O 有公共点，若圆心到直线l 的距离是d ，则d 与R 的大小关系是( )
A.d ＞R
B.d ＜R
C.d≥R
D.d≤R
3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为( )
A.8
B.4
C.9.6
D.4.8
4.⊙O 内最长弦长为m ，直线l 与⊙O 相离，设点O 到l 的距离为d ，则d 与m 的关系是( )
A.d=m
B.d ＞m
C.d ＞
2m D.d ＜2
m
5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
6.如图24－2－2－2，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B.如果OP=4，PA=23，那么∠AOB 等于( )
图24－2－2－2
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°
7.已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、D 、B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E(如图24－2－2－3(1)).
在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图24－2－2－3(2))，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系.
图24－2－2－3
观察上述图形，连结图24－2－2－3(2)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE 相等； 证明： 连结_____________________________. 求证：____________=CE.
8.如图24－2－2－4,延长⊙O 的半径OA 到B,使OA=AB,DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线,垂足为点C. 求证:∠ACB=
3
1
∠OAC.
图24－2－2－4
二、课后训练
1.如图24－2－2－5，已知同心圆O ，大圆的弦AB=CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E.求证：CD 是小圆的切线.
图24－2－2－5
2.如图24－2－2－6，是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=25°，求∠APB的度数.
图24－2－2－6
3.已知如图24－2－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB为直径作⊙O，
求证：⊙O和CD相切.
图24－2－2－7
4.如图24－2－2－8所示，已知AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且CD=BD，过D 作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.
图24－2－2－8
5.如图24－2－2－9，已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和C,以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长.
图24－2－2－9
6.如图24－2－2－10所示，已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN
于点E，BE交半圆于点F，AD=3 cm，BE=7 cm，
(1)求⊙O的半径；
(2)求线段DE的长.
图24－2－2－10 圆和圆的位置关系
一、课中训练
1.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个
圆的半径分别为____________.
2.已知关于x的一元二次方程x２－2(R＋r)ｘ＋d２=０没有实数根，其中R、r分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，
ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是( )
A.外离
B.相交
C.外切
D.内切
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是( )
A.相交
B.内含
C.内切
D.外切
4.一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的
位置关系是( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
5.如果两圆的半径分别为3和4,圆心距为5,那么这两个圆的位置关系是( )
A.外离
B.相交
C.外切
D.内切
二、课后训练
1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距O1O2=10 cm，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
2.若两圆外切，圆心距为8 cm，一个圆的半径为3 cm，则另一个圆的半径为__________cm.
3.两圆的半径R、r分别是方程x2－3x＋2=0的两根，且圆心距d=3，则两圆的位置关系为( )
A.外切
B.内切
C.外离
D.相交
4.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的
赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是( )
A.m＞n
B.m＜n
C.m=n
D.不能确定
5.如图24－2－3－1，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，
其最高点到地面的距离是_________.
图24－2－3－1
6.两圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
7.已知两圆相交,小圆半径为6,大圆半径为8,那么这两个圆的圆心距d的取值范围是( )
A.d>2
B.d<14
C.0 D.2 8.(1)如图24－2－3－2(1),两个半径为r的等圆⊙O1与⊙O2外切于点P.将三角板的直角顶点放在点P，再将 三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1相交于A，另一边PB与⊙O2相交于点B(转动中直角边与两圆都不相切)，在转动过程中线段AB的长与半径r之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论. (2)如图24－2－3－2(2)，设⊙O1和⊙O2外切于点P，半径分别为r1、r2 (r1＞r2)，重复(1)中的操作过程， 观察线段AB的长度与r1、r2之间有怎样的关系，并说明理由. 图24－2－3－2 9.正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O 为原点建立平面直角坐标系.圆心为A(3，0)的⊙A 被y 轴截得的弦长BC=8，如图24－2－3－3所示.解答下列问题： (1)⊙A 的半径为__________; (2)请在图24－2－3－3中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形知⊙D 的圆心D 点的坐标是__________,⊙D 与x 轴的位置关系是__________,⊙D 与y 轴的位置关系是__________,⊙D 与⊙A 的位置关系是__________; (3)画出以点E(—8，0)为位似中心，将⊙D 缩小为原来的 2 1 的⊙F. 图24－2－3－3 参考答案 一、课前预习(5分钟训练) 1.圆和圆有五种不同的位置关系，它们是__________、__________、__________、__________、__________. 思路解析：圆和圆的五种位置关系的意义. 答案：外离相交外切内切内含 2.两圆相切是指这两个圆__________或__________两种. 答案：相内切外切 3.已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有__________个. 思路解析：要全面分析所有的情况，包括都外切，都内切，一内一外切.这样的圆共有5个，如图，它们是⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E. 答案：5 4.已知⊙O的半径为5 cm，⊙O1的半径为3 cm，两圆的圆心距为7 cm，则它们的位置关系是( ) A.相交 B.外切 C.相离 D.内切 思路解析：根据圆和圆的位置关系的意义判定.因为5－3＜7＜5+3，所以两圆的位置关系是相交. 答案：A 5.下列命题中正确的是( ) A.如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角一定相等 B.如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形一定是菱形 C.如果两个圆的圆心距等于它们的半径之和,那么这两个圆一定有三条公切线 D.如果两个等圆不相交,那么这两个等圆一定外离 思路解析:A没有平行条件;B四边不知相等;D可能外切.∴选C. 答案:C 二、课中强化(10分钟训练) 1.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为 ____________. 思路解析：三个圆两两外切，利用外切两圆的性质，d=R ＋r ，列方程,设三个圆半径分别是x 厘米，y 厘米，z 厘米，由 题意，得) 3()2()1(.12, 13,5??? ??=+=+=+z x z y y x 解得?? ? ??===.10,3,2z y x 答案：2厘米，3厘米，10厘米. 2.已知关于x 的一元二次方程x ２ －2(R ＋r)ｘ＋d ２ =０没有实数根，其中R 、r 分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 思路解析：因为关于x 的一元二次方程x 2－2(Ｒ＋ｒ)ｘ＋ｄ2＝０没有实数根，所以Δ＜0，即［2(R+r)］2－4d 2＜0，所以(R+r+d)(R+r －d)<0，因为Ｒ、ｒ分别为⊙Ｏ1、⊙Ｏ2的半径，d 为两圆的圆心距，所以R+r+d ＞0.所以R+r －d ＜0，即R+r 3.(经典回放)已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是( ) A.相交 B.内含 C.内切 D.外切 思路解析：内切、外切分别对应d=R ＋r ，d=R －r ，它们起着分界作用.在⊙O 1和⊙O 2相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算d ＋r 和d －r ，因为圆心距d=3＜R －r ，所以“内含”. 答案：B 4.一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 思路解析：两个圆心都在梯形的两底上，并且是两底中点，故梯形的高恰好是圆心距.梯形中位线= 2 下底 上底+，故 d=R＋r.这是等腰梯形与两圆位置关系的综合题，合理准确地绘图有利于思路的发现. 答案：C 5.如果两圆的半径分别为3和4,圆心距为5,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 思路解析:两圆心距4－3 答案:B 三、课后巩固(30分钟训练) 1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距O1O2=10 cm，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 思路解析：因为两圆的半径分别为3 cm和4 cm，半径的和为3+4=7(cm)，而圆心距O1O2=10 cm，所以⊙O1和⊙O2的位置关系是外离. 答案：D 2.若两圆外切，圆心距为8 cm，一个圆的半径为3 cm，则另一个圆的半径为__________cm. 思路解析：两圆外切，圆心距等于两圆半径的和.因为这两圆的圆心距为8 cm，一个圆的半径为3 cm，所以另一个圆的半径为8－3=5(cm) 答案：5 3.两圆的半径R、r分别是方程x2－3x＋2=0的两根，且圆心距d=3，则两圆的位置关系为( ) A.外切 B.内切 C.外离 D.相交 思路解析：因为两圆的半径R、r分别是方程x2－3x＋2=0的两根，所以解方程得R=2，r=1，又因为两圆的圆心距为3，所以这两圆的位置关系为外切. 答案：A 4.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是( ) A.m＞n B.m＜n C.m=n D.不能确定 思路解析：设地球仪的半径为r，地球的半径为R，在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，增加的铁丝m=2π(r+1)－2πr=2π(米).地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，增加的铁丝n=2π(R+1)－2πR=2π(米).所以m＝n. 答案：C 5.如图24－2－3－1，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是_________. 图24－2－3－1 思路解析：由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长为2 m 的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径. 等边三角形的高是1×sin60°= 2 3 ×1= 2 3 ，故最高点到地面的距离是(1＋ 2 3) m. 答案：(1+ 2 3) m 6.两圆的圆心坐标分别是( 3，0)和(0，1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 思路解析：这是一道坐标系与两圆位置关系的综合题，它还综合了勾股定理的应用以及两圆相切的性质.由勾股定理求得圆心距为2，恰好是两圆半径之差，所以内切. 答案：D 7.已知两圆相交,小圆半径为6,大圆半径为8,那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是( ) A.d>2 B.d<14 C.0 D.2 8.(1)如图24－2－3－2(1),两个半径为r 的等圆⊙O 1与⊙O 2外切于点P.将三角板的直角顶点放在点P ，再将三角板绕点P 旋转，使三角板的两直角边中的一边PA 与⊙O 1相交于A ，另一边PB 与⊙O 2相交于点B(转动中直角边与两圆都不相切)，在转动过程中线段AB 的长与半径r 之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论. 图24－2－3－2 (2)如图24－2－3－2(2)，设⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，半径分别为r 1、r 2 (r 1＞r 2)，重复(1)中的操作过程，观察线段AB 的长度与r 1、r 2之间有怎样的关系，并说明理由. 思路分析：两圆相切连心线必过切点在本题中起重要作用. 解：(1)AB与半径r的关系为AB=2r. 证明如下：连结O1A、O2B、O1O2. ∵⊙O1与⊙O2切于点P， ∴点P在O1O2上. ∴∠APB=90°. ∴∠O1PA＋∠O2PB=90°. ∵∠O1PA=∠O1AP，∠O2PB=∠O2BP， ∴∠O1＋∠O2=180°. ∴O1A∥O2B. ∵O1A=O2B=r， ∴四边形O1ABO2为平行四边形. ∴AB=O1O2=2r. (2)AB与r1和r2的关系为2r2＜AB＜2r1. 证明：连结O1A、O2B、O1O2，同(1)中可证明O1A∥O2B. 过B作BC∥O1O2交O1A于C，则四边形O1CBO2为平行四边形， ∴O2B=O1C=r2，O1O2=BC=r1＋r2，AC=r1－r2. 在△ABC中，由三角形三边关系定理，得BC－AC＜AB＜AC＋BC， 即r1＋r2－(r1－r2)＜AB＜r1＋r2＋(r1－r2)，2r2＜AB＜2r1. ∴AB与两圆半径的关系为2r2＜AB＜2r1. 9.正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系.圆心为A(3，0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8，如图24－2－3－3所示.解答下列问题： (1)⊙A的半径为__________; (2)请在图24－2－3－3中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，观察你所画的图形知⊙D的圆心 D点的坐标是__________,⊙D与x轴的位置关系是__________,⊙D与y轴的位置关系是__________,⊙D与⊙A的位置关系是__________; (3)画出以点E(—8，0)为位似中心，将⊙D 缩小为原来的 2 1 的⊙F. 图24－2－3－3 思路解析：本题是综合运用直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系及平面直角坐标系位似变换等相关知识的一道好题. 答案：(1)5 (2)如图(1) (－5，6) 相离 相切 外切 (3)如图(2).[来源:学科网ZXXK] (1) (2) 参考答案点和圆的位置关系 一、课前预习 (5分钟训练) 1.已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由. 思路分析：利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较. 解：（1）当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∴点P 在圆内； （2）当d=5 cm 时，∵d=r ，∴点P 在圆上； （3）当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外. 2.点A 在以O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是________. 思路解析：根据点和圆的位置关系判定. 答案：0≤d ＜3 3.若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为(3，4)，点P 的坐标为(5，8)，则点P 的位置为( ) A.在⊙A 内 B.在⊙A 上 C.在⊙A 外 D.不确定 思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算AP 的长,再与半径进行比较. ∵AP= 2 2)48()35(-+-= 2 242+= 20＜5，所以点P 在圆内. 答案：A 4.两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( ) A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外 思路解析：点A 在两圆组成的圆环内. 答案：C 二、课中强化(10分钟训练) 1.已知⊙O 的半径为3.6 cm ，线段OA= 7 25 cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( ) A.A 点在圆外 B.A 点在⊙O 上 C.A 点在⊙O 内 D.不能确定 思路解析：用“点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系”来判定点与圆的位置关系. 答案：C 2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为(0，0)，点P 的坐标为(4，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是( ) A.点P 在⊙O 内 B.点P 在⊙O 上 C.点P 在⊙O 外 D.点P 在⊙O 上或⊙O 外 思路解析：比较OP 与半径r 的关系.∵OP=2 224+=2 5，OP 2=20,r 2=25， ∴OP ＜r. ∴点P 在⊙O 内. 答案：A 3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4 cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 思路解析：如图，连结CD.∵D 为AB 的中点， ∴CD= 2 1 AB. ∵AB= 2 2BC AC +=4 2，∴CD=22＜4. ∵AC=BC=4，∴点C 和点D 在以C 为圆心，4 cm 为半径的圆的内部. 答案：B 4.如图24-2-1-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5 cm 为半径作圆，则A 、 B 、 C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________. 图24-2-1-1 思路解析：AB=2 5 cm ，CM=5 cm. 答案：点B 点M 点A 、C 三、课后巩固(30分钟训练) 1.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是( ) A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12 C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14 思路解析：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）. 答案：C 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm ，BC=8 cm ，则它的外心与顶点C 的距离为( ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 思路解析：AB=2 286+=10，它的外心是斜边中点，外心与顶点C 的距离是斜边的中线长为 2 1 AB=5 cm. 答案：A 3.如图24-2-1-2，点A 、B 、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由. 图24-2-1-2 思路分析：设水泵站处为O ，则O 到A 、B 、C 三点的距离相等，可得点O 为△ABC 的外心. 作法：连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线l 、l′，直线l 与l′相交于O ，则水泵站建在点O 处，由以上作法知，点O 为△ABC 的外心，则有OA=OB=OC. 4.阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖. 如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖. 图24-2-1-3 回答下列问题： (1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (2)边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (3)边长为2 cm ，1 cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ，这两个圆的圆心距是________ cm. 思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径. （1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是 2 2 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的 3 2 ，故r 的最小值是 33 cm. （3）r 的最小值是 22 cm ，圆心距是1 cm. 答案:(1) 2 2 (2)3 3 (3) 2 2 1 点拨：注意应用“90°的圆周角所对的弦是直径”和勾股定理解题. 5.已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a 、b 是方程x 2-3x ＋1=0的两根，求Rt △ABC 的外接圆面积. 思路分析：由a 、b 是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是 2 2b a +，这样就得外接圆半径.根据直角三角形 的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的斜边.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 解：设Rt △ABC 的斜边为c ，∵a 、b 为方程x 2－3x ＋1=0的两根，∴a ＋b=3，ab=1. 由勾股定理，得c 2=a 2＋b 2=（a ＋b ）2－2ab=9－2=7. ∴△ABC 的外接圆面积S=π·（2 c ）2=π42c = 4π c 2= 4π ×7=4 7π. 6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 图24-2-1-4 思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90°的圆周角，由此可得直径.再画一个90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心. 作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC=90°，∠EFH=90°. (2)连结BC 、EH ，它们交于点O. 则BC 为直径，点O 为圆心. 7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限. (1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图; 图24-2-1-5 (2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图; (3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由. 思路分析：过A 、B 、C 三点画圆，以△ABC 为平行四边形的一半，画出另一半，得平行四边形.[来源:Z+xx+https://www.doczj.com/doc/0d18325536.html,] 解：（1）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一圆上,图(1). (2)作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上,图(2). （3）如图(3)，∵r=OB= 3 3 4， ∴S ⊙O =πr 2= 3 16 ≈16.75， 又S 平行四边形=2S △ABC =2× 2 1×4×2× 23=8 3≈13.86, ∵S ⊙O >S 平行四边形,∴选择建圆形花坛面积较大. 8.电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1 cm 的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm ，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗) 图24-2-1-6 解：可以切割出66个小正方形. 方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 m 的圆内.如图中的矩形ABCD. ∵AB=1，BC=10，∴对角线AC2=100＋1=101＜（10.05）2. （2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形. ∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH， 矩形EFGH的长为9，高为3，对角线EG2=92＋32=81＋9＜（10.05）2，但是新加入的这两排小正方形不能每排10个，因为：102＋32=100＋9＞（10.05）2. （3）同理，∵82＋52=64＋25＜（10.05）2，92＋52=81＋25=106＞（10.05）2，∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层. （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排可以是7个，但不能是8个. ∵72＋72=49＋49=98＜（10.05）2，82＋72=64＋49=113＞（10.05）2. （5）在第7层的基础上，上下再加一层，新矩形的高可以看成是9，这两层每排可以是4个，但不能是5个. ∵42＋92=16＋81=97＜（10.05）2，52＋92=25＋81=106＞（10.05）2. 现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5 cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.所以10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4=66（个）. 方法二：可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内.然后 （1）上下再加一层，每层8个，现在共6层. （2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层. （3）最后上下还可加一层，但每层只能有一个，共10层，这样共有 4×9＋2×8＋2×6＋2×1=66（个）. 参考答案直线和圆的位置关系 一、课前预习(5分钟训练) 1.已知Rt△ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm. (1)以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________； (2)以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________； (3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________. 思路解析：由勾股定理知此直角三角形斜边上的高是 23 3 cm，因此当圆与AB相切时，半径为 23 3 cm. 答案：（1）相离（2）相交（3） 23 3 cm 2.三角形的内心是三角形_______________的交点. 思路解析：由三角形的内心即内切圆圆心到三角形三边相等. 答案：三个内角平分线 3.⊙O 的半径r=5 cm ，点P 在直线l 上，若OP=5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 思路解析：点P 也可能不是切点，而是直线与圆的交点. 答案：D 4.设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( ) A.d=3 B.d≤3 C.d ＜3 D.d ＞3 思路解析：直线l 可能和圆相交或相切. 答案：B 二、课中强化(10分钟训练) 1.如图24－2－2－1,已知∠AOB=30°,M 为OA 边上一点,以M 为圆心、2 cm 为半径作⊙M.若点M 在OA 边上运动,则当OM= cm 时,⊙M 与OB 相切. 图24－2－2－1 思路解析：根据切线的定义,可得OM=2×2=4. 答案：4 2.⊙O 的半径为R ，直线l 和⊙O 有公共点，若圆心到直线l 的距离是d ，则d 与R 的大小关系是( ) A.d ＞R B.d ＜R C.d≥R D.d≤R 思路解析：直线l 与⊙O 有公共点，则l 与直线相切或相交，所以d≤R. 答案：D 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为( ) A.8 B.4 C.9.6 D.4.8 思路解析：作CD ⊥AB 于D ，则CD 为⊙C 的半径，BC=2 2AC AB -= 2 2610-=8，由面积相等，得 AB·CD=AC·BC. ∴CD= 10 8 6?=4.8. 答案：D 4.⊙O 内最长弦长为m ，直线l 与⊙O 相离，设点O 到l 的距离为d ，则d 与m 的关系是( ) 圆与圆的位置关系学案 活动1，请以点o 为起始点，移动你手上的硬币，观察归纳两个圆的位置关系有几种情况？用铅笔刻描画出你得出的情况。 课堂练习：【A 组】 1、右图中有两圆的位置关系有 ， 未出现的位置关系是 2、判断对错 1）、若两圆有两个公共点，则两圆相交( ) 2）、如果两圆没有交点，所以这两圆的位置关系是外离。（ ） 3）若两圆只有一个交点,则这两圆外切. （ ） 4）、当O 1O 2=0时,两圆是同心圆. （ ） 3、⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和5cm,在下列情况下，分别求出两圆的圆心距d 的取值范围： （1）外离________ （2）外切________ （3）相交____________（4）内切________ （5）内含___________ 4、⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，求⊙O1和⊙O2的位置关系.设: (1)O1O2=8cm______ (2)O1O2=7cm _______ (3)O1O2=5cm ______ (4)O1O2=1cm _________ (5)O1O2=0cm _______ 5：如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点， OP=8cm。若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？ 【B组】 6：如图，在网格图中，（每个小正方形的边长均为1个单位）⊙A的半径为1，⊙B的半径为2， 1）、使⊙A与静止的⊙B外切，那么⊙A 由图示位置需向右平移个单位。 2）、使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移个单位。 A B 【C组】 7在ABC中，AB=3，BC=5，AC=6，分别以顶点A,B,C为圆心的三个圆两两外切，求这三个圆的半径分别是多少? 8、分别以1厘米、2厘米、4厘米为半径，用圆规画圆，使他们两两外切。如何画最快？ 直线与圆的位置关系 教学目标 1、使学生理解直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征。 2、指导学生从观察直线与圆的相对运动中归纳直线与圆的位置关系，培养学生分类思想。 3、通过点与圆的位置关系类比研究直线与圆位置关系中的数量问题, 培养学生联想、类比、推理能力以及化归，数形结合等数学思想。 4、指导学生从图形运动中揭示直线与圆的不同位置关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 教学重、难点 重点：直线与圆的三种位置的性质和判定。 难点：直线与圆的三种位置关系的研究及运用。 教学过程 一、导入新课 海上日出是非常壮美的景象，那么太阳在升起的过程中它与海平线有几种不同的位置关系呢？ 二、新授新课 1、基本概念 我们对刚才的景象进行数学的抽象不难发现，直线和圆在相对运动过程中会有三种不同的位置关系．请大家观察直线与圆处在不同位置关系时有哪些不同点（引导学生观察图形，发现问题） 发现：直线与圆处在不同位置关系时直线与圆的公共点个数不同．（将公共点个数确立为直线和圆位置关系分类的原则，对三种分类进行定义） 直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离 2、数量特征： 直线与圆的相对运动会产生不同的位置关系，那么我们可以通过数量来刻画这些位置关系吗？（指导学生体会位置关系与数量关系的联系，从中感受数与形的相互结合与转化） （１）点与圆的三种位置关系取决于哪两个数据？ 点与圆的三种位置关系取决于点到圆心的距离ＯＰ和圆的半径r．将二者进行比较得: 点P在圆Ｏ外＜＝＞ＯＰ﹥r 点P在圆Ｏ上＜＝＞ＯＰ= r 点P在圆Ｏ内＜＝＞ＯＰ< r （２）与上述结论进行类比，直线与圆的位置关系取决于哪几个数据？ （3）、猜想直线与圆的三种位置关系中r和d满足的关系： 直线与圆相离＜＝＞ d﹥r 直线（切线）与圆相切＜＝＞ d﹦r 直线（割线）与圆相交＜＝＞ d﹤r 3．证明： 观察多媒体演示找出证明的突破口：直线与圆的位置关系可转化为点（垂足） 与圆的位置关系来研究数量特征（指导学生把握知识间的联系与发展，培养学生 的化归思想，使其形成严谨，求实的学习习惯） （1）直线与圆相离＜＝＞垂足Ｐ在圆Ｏ外＜＝＞ d﹥r （2）直线与圆相切＜＝＞垂足Ｐ在圆Ｏ上＜＝＞ d﹦r （3）直线与圆相交＜＝＞垂足Ｐ在圆Ｏ内＜＝＞ d﹤r 4、直线与圆的位置关系的判断方法 练习１．已知圆的半径是7.5cm，圆心到直线的距离为d，当d=10 cm时，直线 与圆有个公共点，当d=5 cm时，直线与圆有个公共 点，当d=7.5cm时直线与圆有个公共点。 练习2、已知⊙A的半径为3.5 ，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位 置关系是_____,⊙O与Y轴的位置关系是______。 练习3．如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d=5，若⊙O与直线l 至少有一个公共点，则r需满足的条件是。 三、例题讲解 例1．在RT△ABC中，, AC = = ∠以C为圆心，r为半径的圆 cm C o= , BC 3 , 90cm 4 与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm 分析：（1）直线与圆的位置关系,取决于哪两个数据？ 答：d与r，题目已给出半径r，我们需求出直线到圆心的距离d，即点C到AB CD⊥,垂足为D，则CD为圆心到线段AB的距离。 的距离。过点C作AB （2）怎样求CD？ 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k 《直线和圆地位置关系》教学设计 （课时：第一课时撰稿人：范立琰） 【课标分析】理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系：了解切线地概念. 【教材分析】这部分内容包括直线和圆地三种关系，探索圆地切线地性质，探索圆地切线地判定方法，以及作三角形内切圆地方法.探索并证明切线长定理，并运用切线长定理进行有关地论证和计算. 本节课主要研究直线和圆地三种位置关系. 【学生分析】首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系地现象，然后让学生动手操作，在这一过程中引导学生归纳出直线与圆地几种位置关系，进一步归纳出直线与圆地不同位置关系中d与r地大小关系，然后对d=r地情形特别关注，这就是圆和直线地相切关系，从而讨论得出切线地性质，再通过旋转实验地办法探索切线地判定条件.在此基础上能做出三角形地内切圆.在教学中主要让学生探索归纳，当遇到困难时教师给予适当指导，这样可以充分发挥学生地主观能动性，还能增进同学们地友谊，培养学生地合作能力. 【教学过程】 d 它们分别是相交、相切、相离． (1)当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． (2)当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆地切线．这个唯一地公共点叫做切点. 当直线与圆相交时当直线与圆相切时当直线与圆相离时 作AB地垂线段CD． 点在圆内r.-------------------- d 直线与圆的位置关系 教学目标： 1.从具体的事例中认识和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义．会用定义来判断直线与圆的位置关系． 2.使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力. 3.使学生了解切线长的概念和切线长定理.会根据切线长的知识解决简单的问题. 教学重、难点： 重点： 1.直线和圆的三种位置关系. 2.切线的性质定理和判定定理概念. 3.切线长定理概念. 难点： 1.直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用. 2.理解运用切线的判定定理解决问题. 3.切线长定理的应用. 教学过程： 一、直线和圆的三种位置关系 1.复习导入、回顾旧知 点和圆的位置关系有哪几种？ 如何判定点和圆的位置关系？ 2.创设情境，提出问题 首先利用唐诗中的“大漠孤烟直，长河落日圆”体会这里蕴涵的数学意境，再让学生观察太阳升起的过程，我们能发现什么？引出课题. 3.探究发现，建构知识 练习一 让学生动手在纸上画一个圆，把直尺的一边看作直线，移动直尺．通过实验，观察直线和圆的位置关系会有哪几种情况？公共点最少时有几个？最多时有几个？引导学生说直线与圆的公共点个数的变化情况，由此给出相离、相切、相交的定义． 设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； (2)当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； (3)当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； (4)当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； (5)当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含. 利用刚学过的知识判断直线与圆的位置关系 (1)直线与圆最多有两个公共点．( ) (2)若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内．( ) (3)若A.B 是⊙O 外两点，则直线AB 与⊙O 相离．( ) 根据例题引出“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样类比迁移进行数量分析？ 接下来复习提问什么叫点到直线的距离，连结直线外一点与直线上所有点的线段中，最短的是垂线段． 思考问题：设⊙o 的半径为r ，直线a 到圆心o 的距离为d ，在直线和圆的不同位置关系中，d 与r 具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d 与r 的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？ 4.例题解析 例1如图24-43，.Rt △ABC 的斜边AB=10cm ，.∠A=30°. 高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． 28.2.4《圆与圆的位置关系》 学案 教学目标： 1.使学生了解圆与圆位置关系的定义， 2.掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。 重点难点： 用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。 研讨过程： 一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形 在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示： 圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。 二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。 上图（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中 又叫做外离， 又叫做内含。 中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，上图（4）、（5）所示．其中 又叫做外切， 又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图 所示。 （填写序号） 奥运会五环 三、用数量关系识别两圆的位置关系 思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d 为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？ 利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。 （1）两圆外离 d R r ?> +； （2）两圆外切d R r ?=+； （3）两圆外离R r d R r ?-<<+； （4）两圆外离d R r ?=-； （5）两圆外离0d R r ?≤<-； （填<、=、>号） 两圆的位置关系可表示成下列数轴的形式。 要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆 ，等于两圆的半径差时，两圆 。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆 ，大于两圆半径和时，两圆 ，小于两圆半径差时，两圆 。 四、例题与练习 例1、已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10 cm ，其中⊙A 的半径为4 cm ，求⊙B 的半径。（提示：分两种情况讨论） 解：设⊙B 的半径为R ． （1） 如果两圆外切，那么 （2） 如果两圆内切，那么 所以⊙B 的半径为 cm 或 cm 。 例2、两圆的半径的比为2:3，内切时的圆心距等于8c m ，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？ 解： 练习：课本Ｐ54 练习1、2、3 五、小结 这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会更容易。 六、作业 Ｐ55 习题8、9 教学反思： 0R-r R+r 外离相交外切内切内含d 点与圆的位置关系 肖海霞 学习目标：1、理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定； 2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念 学习过程 一、点与圆的位置三种位置关系 生活现象：阅读课本P53页，这一现象体现了平面内．．．点与圆的位置关系． 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA r B 点在圆上，OB r C 点在圆外，OC r 反之，在同一平面上．．．．．，已知的半径为r ⊙O ，和A ，B ，C 三点： 若OA ＞r ，则A 点在圆 ； 若OB ＜r ，则B 点在圆 ； 若OC=r ，则C 点在圆 。 二、多少个点可以确定一个圆 问题：在圆上的点有 多个，那么究竟多少个点就可以确定一个圆呢？ 试一试 画图准备： 1、圆的 确定圆的大小，圆 确定圆的位置； 也就是说，若如果圆的 和 确定了， 那么，这个圆就确定了。 2、如图2，点O 是线段AB 的垂直平分线 上的任意一点，则有OA OB 图2 画图： 1、画过一个点的圆。 右图，已知一个点A ，画过A 点的圆． 小结：经过一定点的圆可以画 个。 图 1 o B A A 2、画过两个点的圆。 右图，已知两个点A 、B ，画经过A 、B 两点的圆． 提示：画这个圆的关键是找到圆心， 画出来的圆要同时经过A 、B 两点， 那么圆心到这两点距离 ，可见， 圆心在线段AB 的 上。 小结：经过两定点的圆可以画 个，但这些圆的圆心在线段的 上 3、画过三个点（不在同一直线）的圆。 提示：如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上， 而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在 线段BC 的垂直平分线上，此时，这 两条垂直平分线一定相交，设交点为O ， 则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心， OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆． 小结：不在同一条直线．．．．．上的三个点确定 个圆． 三、概括 我们已经知道，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点． 如图：如果⊙O 经过△ABC 的三个顶点， 则⊙O 叫做△ABC 的 ，圆心O 叫 做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做 ⊙O 的 。 △ABC 的外心就是AC 、BC 、AB 边的 交点。 四、分组练习 A B C B 圆与直线的基本性质 一、定义 [例1]在ABC Rt?中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？ （1）r=2cm； （2）r=2.4cm； （3）r=3cm。 [例2]在ABC ?中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？ [变式题]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【】 A．相切B．相离C．相离或相切 D．相切或相交 二、性质 例1：如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A．40°B．50°C．60°D．70°变式1：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】 A． 30B． 45 C． 60D．67.5 例3：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】 A．80° B．110° C．120° D．140° 变式2：如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝°． 例5：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是． 变式3：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为cm2．例7：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N． （1）求证：OM=AN； （2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．变式4：如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF 于点H，交⊙O于点C，连接BD． (1)求证：BD平分∠ABH； (2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离． 三、切线的判定定理： 例1：如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条 切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC=2，BC=3，求AB的长． 必修2 第四章 §4-3 圆与圆的位置关系 【课前预习】阅读教材P 129-132完成下面填空 1. 两圆的的位置关系 (1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d 若两圆相外离，则 ，公切线条数为 若两圆相外切,则 ，公切线条数为 若两圆相交,则 ， 公切线条数为 若两圆内切，则 ，公切线条数为 若两圆内含，则 ，公切线条数为 (2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 2.圆系方程 ①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为 ②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为 ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为 （不表示圆2C ） 【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1. 已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A.2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=1 2．两个圆1C ：2222x y x y +++-2=0与2C ：2242x y x y +--+1=0的公切线有 且仅有（ ）. A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 3．圆1C ：22()(2)x m y -++=9与圆2C ：2(1)x ++2()y m -=4外切，则m 的值 为（ ）. A. 2 B. －5 C. 2或－5 D. 不确定 4．两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5. 已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=②（1）试判 断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程. 第2课时 教学内容 24.2.1点和圆的位置关系（2）． 教学目标 1．了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 2．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．3．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆． 教学过程 一、导入新课 我们知道经过一点、两点可以作无数个圆，那么，经过三点可以作多少个圆？本节课我们将进行有关探索． 二、新课教学 1．思考：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 教师指导学生分析、作图． 对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离要相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上． （1）连结AB、BC． （2）分别作线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设交点为O，则OA＝OB＝OC．（3）以O为圆心，OA（或OB，OC）为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆． 因为过A，B，C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2．有关定义． 由右上图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角 形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角 形的外心． 3．思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 如右图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆．设这个圆 的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法． 反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立． 三、巩固练习 1．已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？ 解：如下图．O为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部． 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 4.2.2 圆与圆的位置关系（学案） 姓名： 一、复习引入：圆与圆的位置关系 设两圆1C 与2C 的半径分别为R r ，，圆心距为12=C C d 。 （二）自主探究：如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？ 类比回顾： 典例（教材P129页例3）已知圆2212880C x y x y +++-=：， 2224420C x y x y +---=：，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系？ （三）形成方法： 典例变式1：判定圆221210240C x y x y ++--=：，222440C x y x y +--=：的位置关系？ （四）问题再探： 思考1：在典例中，设两圆相交于A 、B 两点，如何求相交弦AB 的直线方程？你有什么发现？ 思考2：在典例中，怎么求公共弦AB 的长？ （五）提升练习： 典例变式2：已知圆2212880C x y x y +++-=：， 2222108410(0)C x y x y r r +---+=>：，当r 为何值时，两圆的位置关系为外切？ 相交？内含？ （六）课堂小结： 绵中精品小练习及两个思考探究题： 探究1：对比直线的交点系方程，当圆2211110C x y D x E y F ++++=：与圆 2222220C x y D x E y F ++++=：相交时，方程 ()2222111222+0x y D x E y F x y D x E y F λ++++++++=可以表示什么曲线？ 探究2：已知两圆2211110C x y D x E y F ++++=：与2222220C x y D x E y F ++++=： 当1C 与2C 相交时，直线()()()1212120l D D x E E y F F -+-+-=：表示两圆的公共弦方程。那么，当两圆相切或是相离时，直线l 是否有一定的几何特征呢？ 点与圆的位置关系导学案 学习目标：1 ?理解并掌握设。O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有: 点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d 初中数学《点和圆的位置关系》教案_答题技巧 点和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 第一张：(记作3．4A) 第二张：(记作3．4B) 第三张：(记作3．4C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索． Ⅰ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段A B的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等． [师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？ [生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定． 2．做一做(投影片3．4B) (1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ 圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。 说明： 1 、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程 将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题：形如的方程的曲线是不是圆 将方程左边配方得： (1)当〉0时，方程(1 )与标准方程比较，方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当〉0时，方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点： ( 1 )和的系数相同,不等于零； ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离；(2) 相切--- 求切线；( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d = r时，直线与圆相切；当d 新苏科版九年级数学上册：2.5 直线与圆的位置关系（1）学案 时间 学习目标1．经历探索直线与圆的位置关系的过程； 2．理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离；3．能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系． 学习重点用“圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系”来描述“直线与圆的位置关系”的方法． 学习难点直线和圆相切：“直线和圆有唯一公共点”的含义. 学习过程： 【预习·导学】 我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆： （1）点和圆有哪几种位置关系？ （2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系） 【预习检测】 【教学内容】 实践探索一：直线和圆的位置关系 在纸上画一个圆，上下移动直尺．把直尺看作直线，在移动的过程中观察直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？ 直线与圆的三种不同位置关系与直线与圆的公共点个数有关．(1)直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交． (2)直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点． (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 【小组合作探究】 实践探索二：探究直线与圆的位置关系的数量特征 1．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样，也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢？1．学生自己画图探究，并进行全班交流研讨. (1)直线与圆相交 d ＜r ； (2)直线与圆相切 d ＝r ； (3)直线与圆相离 d ＞r ． 【大班交流，师生互动】 例1 在△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝4，以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r ＝2；（2）r ＝22；（3）r ＝3． d O (1)相交 r d .(2)相切 r d .(3)相离 r O O 24.2.1 点和圆的位置关系(第一课时)学案 一、学习目标：掌握点和圆的三种位置关系及其应用。 二、重点和难点： 重点：点和圆的三种位置关系； 难点：点和圆的三种位置关系的应用 三、学习过程： 探究：如图，平面上的一个圆，把平面上的点分成三类： ________的点，_________的点，_______的点。 设⊙O 的半径为r ，由图知：点A 在圆内，OA ____r; 点B 在圆上,OB____r; 点C 在圆外,OC______r . 结论：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 则有：点P 在圆外?d>r d>r ?____________. 点P 在圆上?d=r 反之 d=r ?____________. 点P 在圆内?d圆与圆的位置关系 学案
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