微专题45 利用均值不等式求最值
一、基础知识：
1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n
n
H a a a =
+++L
（2）几何平均数：12n
n n G a a a =L
（3）代数平均数：12n
n a a a A n
+++=
L
（4）平方平均数：222
12n
n a a a Q n
+++=L
2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2
a b
ab +≤
即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：
（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）2
2a b ab +??
≤ ???
：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3）2
2
2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈
4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求
23y x x =+
的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2
324y x x x
=+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2
4y x x =+
为了乘积消掉x ，则要将3
x
拆为两个2x
，则2223
342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=
② 乘积的式子→和为定值，例如3
02
x <<
，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2
112329
322322228
x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）
等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求
m n
x y
+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求
32
x y
+的最小值 解：
()3232942366y x x y x y x y x y
??+=++=+++ ???
94121224y x x y =+
+≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值
解：()2
2
21
1222
228
x y x y xy x y ++??=??≤
= ?
?? 所以()()
2
224248
x y x y xy x y +++=?++
≥
即()()2
282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥-，即()min 24x y +=-
注：此类问题还可以通过消元求解：42241
x
x y xy y x -++=?=
+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 二、典型例题：
例1：设1x >-，求函数(5)(2)
1
x x y x ++=+的最小值为_______________
思路：考虑将分式进行分离常数，(5)(2)4
1511
x x y x x x ++==+++++，使用均值不等式可
得：
59y ≥+=，等号成立条件为4
111
x x x +=?=+，所以最小值为9 答案：9
例2：已知0,0x y >>，且11
5x y x y
++
+=，则x y +的最大值是________ 思路：本题观察到所求x y +与
11
x y
+的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即2114
112x y x y x y
x y
+≤
?+≥++，代入方程中可得： ()()
()()2
45540x y x y x y x y ++
≤?+-++≤+，解得：14x y ≤+≤，所以最大值为
4 答案：4
例3：已知实数,m n ，若0,0m n ≥≥，且1m n +=，则22
21
m n m n +++的最小值为（ ） A.
14 B. 415 C. 18 D. 13
思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用
分离常数法将分式进行简化。2241
212121
m n m n m n m n +=-+-++++++，结合分母可将条件1m n +=，变形为()()214m n +++=，进而利用均值不等式求出最值
解：2222441141
21212121
m n m n m n m n m n m n -+-++=+=-++-+++++++
()4141
322121
m n m n m n =+-+
+=+-++++ ()()1214m n m n +=?+++= ()()()41414
1112214121214421n m m n m n m n m n +??+??∴
+=+?+++=+++?? ? ???++++++????
19544
?
≥+= ? 229122144m n m n ∴+≥-=++，即2221m n m n +++的最小值为14
答案：A
例4：已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为__________
思路：本题所求表达式x y +刚好在条件中有所体现，所以考虑将x y +视为一个整体，将等式中的项往x y +的形式进行构造，()()()21xy x y xy x x y x y x y ++=+++=+++，而
()1x y +可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于x y +的不等式，解不等式即
可
解：()()()24414xy x y xy x x y x y x y ++=?+++=?+++=
()()2112x y x y ++??+≤????Q ∴方程变形为：()()2
142x y x y ++??
++≥????
()()2
1416x y x y ∴++++≥????
()()2
6150x y x y ∴+++-
≥
解得：3x y +≥
= 答案：()
x y +的最小值为3 例5：已知20a b >>，则4
(2)
a b a b +
-的最小值为______________
思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为
()2b a b -，所以可将a 构造为()11
2222a a b b ?=?-+???
?，从而三项使用均值不等式即可求
出最小值：
4181(2)3(2)2(2)2a a b b b a b b a b ??+
=-++≥?=??
--?? 思路二：观察到表达式中分式的分母()2b a b -，可想到作和可以消去b ，可得
()()2
222b a b b a b a +-??-≤=????
，从而244(2)a a b a b a +≥+-，设()2
4f a a a =+，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：
()24322a a f a a =
++≥= 答案：3
小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解 （2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元
（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 例6：设二次函数()()24f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞，则19
19
c a +
++的最大值为__________
思路：由二次函数的值域可判定0a >，且04ac ?=?=，从而利用定值化简所求表达式：
199189185
11999913913
a c a c c a ac a c a c a c +++++====+
+++++++++，则只需确定9a c +的范围即可求出19
19
c a +
++的最值。由均值不等式可得：912a c +≥，进而解出最值 解：Q 二次函数()()2
4f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞
16404
0ac ac a ?=-=?=?∴?
>?
()()()991199189185
1191999913913
a c a c a c c a c a ac a c a c a c ++++++++====+
+++++++++++
912a c +≥=Q
1956
11912135
c a ∴
+≤+=+++ 答案：65
例7：已知,,x y z R +
∈，则222
xy yz
x y z
μ+=
++的最大值是________ 思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为,xy yz 均含y ，故考虑将分母中的2
y 拆分与2
2
,x z 搭配，即222
22221122xy yz xy yz
x y z x y y z μ++=
=++????+++ ? ?
????
，而222211,22x y z y +
≥=+≥=
，所以μ≤
=
答案：
2
小炼有话说：本题在拆分2
y 时还有一个细节，因为分子,xy yz 的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中,xy yz 也要相同，从而在拆分2
y 的时候要平均地进行拆分（因为2
2
,x z 系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。 例8：已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有
2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为________
思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，()1
a x y x y
≤++
+。进而只需求得()1
x y x y
++
+的最小值。将x y +视为一个整体，将3x y xy ++=中的xy 利用均值不等式换成x y +，然后解出x y +的范围再求最小值即可 解：()2
1
()()10x y a x y a x y x y
+-++≥?≤++
+ ,0x y >Q 2
2x y xy +??
∴≤ ???
2
32x y x y xy +??
∴++=≤ ?
??
()()2412x y x y ∴++≤+ 解得：6x y +≥或2x y +≤-（舍）
()min 1137666x y x y ??∴++=+=??+?? （在6x y +=时取得） 37
6
a ∴≤
例9：已知1,0,0x y y x +=>≠，则
1
21
x x y +
+的最小值是___________ 思路：观察到所求
1
21
x x y +
+的两项中x 部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形
1
2x
的分子。因为1x y +=，所以()12y x ++=，则()1111
22244x y x y x x x x
+++=?=+
，所以原式1144144x x y x x
x x y x x +=
++≥+=++，因为要求得最小值，所以0x <时，min
144x
x ??=- ? ??
?，故1
21x x y ++最小值为34 答案：
34
小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的x 互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造 例10：已知,,,,25,9,m n
m n s t R m n n m s t
+∈+=+=>，且,m n 是常数，又2s t +的最小值是1，则3m n +=________
思路：条件中有
9m n
s t
+=，且有()min 21s t +=，进而联想到求()2s t +最小值的过程中达到的最值条件与,m n 相关：
()(
)(1
12122229
99m n mt sn s t s t m n m n s t s t ????+=++=+++≥++
? ????
?，即2s t
+
的最小值为(1
29m n ++
，所以(1
21925m n m n n m
?++=??+=??>??
，解得12m n =??=?，所以
37m n +=
答案：7
三、历年好题精选
1、(2016，天津河西一模）如图所示，在ABC ?中，DB AD =，点F 在线段CD 上，设AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ，AF xa yb =+u u u r r r ，则1
41++y x 的最小值为（ ） A.226+ B.36 C.246+ D.223+ 2、（2016，南昌二中四月考）已知,a b 都是负实数，则
2a b
a b a b
+
++的最小值是（ ） A. 5
6
B.
)21 C.
1- D.
)
2
1+
3、（2016，重庆万州二中）已知,a b 为正实数，且2a b +=，则22
221
a b a b ++-+的最小值为________
4、（扬州市2016届高三上期末）已知1a b >>且2log 3log 7a b b a +=，则2
1
1
a b +-的最小值为________
5、已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a
14a =，则
14
m n +的最小值为（ ） A. 32 B. 53 C. 256 D. 不存在
6、设()()()1,2,,1,,0,0,0OA OB a OC b a b =-=-=->>u u u r u u u r u u u r
，O 为坐标原点。若,,A B C 三点
共线，则
12
a b
+的最小值是_________ 7、已知(),0,a b ∈+∞，且21a b +=
，则2
2
4s a b =-的最大值是（ ）
A.
1
2
B. 1
C. 1
D.
1
2
A
8、设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y
a b a b ==+=，则
11
x y
+的最大值为 9、已知a b >，且1ab =，则22
a b a b
+-的最小值是
习题答案： 1、答案：D
解析：2AF x AB y AC x AD y AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，因为,,C F D 三点共线，所以21x y +=，根据
所
求
表
达
式
构
造
等
式
为
()212
x y ++=，所以有：
()14114118212412121y x
x y x y x y x y ????++=+++=+++?? ? ???+++????
，由均值不等式可得：
181y x x y ++≥=+
，所以(
1416312x y +
≥+=++2、答案：B
解析：222222
221
112232323a b a ab b ab a b a b a b a ab b a ab b b a
+++==-=-++++++++ ,0a b b a ∴是正实数 2a b b a ∴+≥= ( 11322a b a b a b +≥-=--=-++ 3 、答案： 3 解析：2222121211a b a b a b a b ++-=++-+-++()21 31 a b a b =++++-+ 21 11 a b =-+ + + 2a b +=Q ()13a b ∴++= ()2222112121111131a b a b a b a b a b +??∴+-=-++=-++++?? ?? ?+++?? ()()2121111213131b b a a a b a b ++? ??? =-+++ + =+ ? ?++? ??? 133 ≥?= 4、答案：3 解析：()2 32log 72log 7log 30log a a a a b b b b + =?-+= ()()2log 1log 30a a b b ∴--= 1 log 2 a b ∴= 或log 3a b = 1a b >>Q 1 log log 2 a a b ∴= = 2b a = 2111 1113111 a a a b a a ∴+ =+=-++≥+=--- 5、答案：A 解析：22 765555222a a a q a qa a q q =+?=+?=+ 解得：2q =或1q =-（舍） 1144a a =?= 22166m n m n +-∴=?+=(),m n N *∈ ()14114141466n m m n m n m n m n ???? +=++=+++ ? ????? 而44n m m n + ≥= 1493 62 m n ∴ +≥= 下面验证等号成立条件：224426n m n m n m m n m n ?= ?=?=???+=? 解得：24m n =?? =? 所以等号成立，14m n ∴ +的最小值为3 2 注：本题要注意到,m n N * ∈，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件 6、答案：8 解析：,,A B C Q 三点共线 AB AC ∴u u u r u u u r ∥ ()()1,1,1,2AB a AC b =-=--u u u r u u u r Q ()21121a b a b ∴-=--?+= ()121242228b a a b a b a b a b ??∴+=++=+++≥ ??? 7、 答案：A 解析：222a b +? = ≤=? ? ()2 2 2 2 2 2142222 a b a b a b +??+=+≥= ??? ()22 142a b ∴-+≤- 1 2 s ∴≤ 8、答案：1 解析：3x y a b ==Q log 3,log 3a b x y ∴== 3331111log log log log 3log 3 a b a b ab x y ∴+=+=+= 2 2 32a b ab +??≤= = ??? Q 311 log 31x y ∴+≤= 9、答案： 解析： 2222222 a b a ab b a b a b a b a b +-++==-+≥--- 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 竞赛中常用的重要不等式 【内容综述】 本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用 【要点讲解】 目录§1 柯西不等式 §2 排序不等式 §3 切比雪夫不等式 ★ ★ ★ §1。柯西不等式 定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即 等式当且仅当时成立。 本不等式称为柯西不等式。 思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1 ∴右-左= 当且仅当定值时，等式成立。 思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。 证明2 当时等式成立；当时，注意到 =1 故 当且仅当 且 （两次放缩等式成立条件要一致） 即同号且常数， 亦即 思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。 证明3 构造函数 。 由于恒非负，故其判别式 即有 等式当且仅当常数时成立。 若柯西不等式显然成立。 例1 证明均值不等式链： 调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。 证设本题即是欲证： 本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法 (1)先证① 注意到欲证①,即需证 ② 此即 由柯西不等式,易知②成立,从而①真 1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于 121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 学习必备欢迎下载 不等式的证明方法 一、比较法 1. 求证： x2 + 3 > 3 x 证：∵ (x2 + 3) 3x = x2 3x ( 3 ) 2 ( 3 )2 3 (x 3 ) 2 3 0 2 2 2 4 ∴x2 + 3 > 3 x 2. 已知 a, b, m 都是正数，并且 a < b，求证：a m a b m b a m a b(a m) a( b m) m(b a) 证： m b b(b m) b(b m) b ∵ a,b,m 都是正数，并且a 运用均值不等式的八类拼凑方法 利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。 一、 拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ? ?? 。 当且仅当 112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。故max 32 27 y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系， 求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y == 因()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当()2212x x =-，即3 x =时，上式取“= ”。故max 9y =。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 解：() ()()2 2 2 222236418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-???≤=???? 。 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 基本不等式 1．均值定理：如果a ， b +∈R （+R 表示正实数），那么 2 a b +，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式． 2 2a b +2 a b +需要前提条件,a b +∈R ． 2 a b +叫做a ，b a ，b 3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值． 考点1：常规基本不等式问题 例1.（1）已知0x >，则1 82x x +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当1 82x x =即14x =时取等号， 故选：C ． （2）已知3 05 x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ． 310 B ．910 C ． 95 D ． 12 【解答】解：305 x << Q ， 则2115359 (35)5(35)()5 5220 x x x x x x +--=?-?= ?， 当且仅当535x x =-即3 10 x =时取最大值 故选：A ． （3）已知函数9 4(1)1 y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>， 99 41511 y x x x x ∴=-+ =++-++ 5… 1=， 当且仅当9 11 x x += +，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=． 故选：B ． （4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( ) A ． 12 B C ．1 D 【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21 121(2)()2 222 a b ab a b +=??=g ? ， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值1 2 ． 故选：A ． 考点2：基本不等式易错点 例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1 x x y ++的最小值是( ) A ． 1 2 B ． 14 C ． 34 D ． 54 【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121 x x x y x y +=+++， 122242x x x x x x x x +-=+=+ --， 12115()2442424 x x x x -= +++?=-…， 当且仅当 242x x x x -= -即23x =时取等号； ②当0x <时， 1||1()2||121 x x x y x y +=-+++， 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 112 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 一、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 (2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ? ?? 。 当且仅当 112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。故max 32 27 y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系， 求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y ==。 因()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当()2212x x =- ，即x =时，上式取“= ”。故max y =。 高中数学不等式的解法 复习目标 1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法． 2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力． 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b （1）当 a 0 时，解集为 { x | } （2）当 a 0时，解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解，具体见下表： 2 0 0 0 a 0 ， b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注：1．解一元二次不等式的步骤： （1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系 数变为正） 1 （2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”． 三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2．含绝对值不等式的解： （1）| x | a(a 0) a x a （2）| x | a(a 0) x a或x a （3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a （4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数； （2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）： a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成 ' g ( x) g'( x) 均值不等式题型归纳 一、拼凑求最值 1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4 有( ) A ．最大值54 B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1 ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 二、“1”的代换 1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 三、实际应用 1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓 储时间为x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元． 3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见， 两列火车的间距不得小于(v 20 )2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h. 4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求： (1)仓库面积S 的取值范围是多少？ (2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？ 不等式 要求层次 重难点 基本不等式： 2 a b ab +≥（,0a b ≥） C 用基本不等式解决简单的最大（小）值 问题 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 版块一．不等式的性质 1．用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式． 2．对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中，有且仅有一种关系成立． 知识内容 高考要求 模块框架 不等式 3．两个实数的大小比较： 对于任意两个实数,a b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大． 作差比较法：0a b a b ->?>；0a b a b -，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等 式的一边移到另一边． 推论2：如果,a b c d >>，则a c b d +>+． 我们把a b >和c d >（或a b <和c d <）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式． 推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1a b >，且0b <， 则a b <． 推论1：如果0,0a b c d >>>>，则ac bd >． 推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 推论2：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 推论3：如果0a b >>,1)n n +>∈>N <教师备案>1． 对于任意两个实数,a b ，有0a b a b ->?>；0a b a b -
3.均值不等式(全国卷1)
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