高考数学专题练习:不等式与线性规划
1.若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ?
???1,43 B.? ????
12,43 C.? ?
???1,74 D.? ??
??12,74 答案 D
解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13×
? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1
2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13×
? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7
4. 综上,12<a <7
4,故选D.
2.已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A.(a -1)(b -1)<0 B.(a -1)(a -b )>0 C.(b -1)(b -a )<0 D.(b -1)(b -a )>0 答案 D
解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D.
3.设函数f (x )=???
x 2-4x +6,x ≥0,
x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A
解析 f (1)=3.由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或???
x <0,
x +6>3,
解得-3
4. 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A.若a >b ,则ac 2>bc 2 B.若a <b <0,则a 2>ab >b 2
C.若a <b <0,则1a <1
b D.若a <b <0,则b a >a
b 答案 B
解析 B 中,∵a <b <0, ∴a 2-ab =a (a -b )>0, ab -b 2=b (a -b )>0. 故a 2>ab >b 2,B 正确.
5.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB =60°,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC 越短越好,则AC 最短为( )
A.?
????
1+32米
B.2米
C.(1+3)米
D.(2+3)米
答案 D
6.已知圆C :(x -a )2+(y -b )2=1,平面区域Ω:???
x +y -7≤0,
x -y +3≥0,
y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相
切,则a 2+b 2的最大值为( )
9.已知a ,b ∈(0,+∞),且a +b +1a +1
b =5,则a +b 的取值范围是( ) A .[1,4] B .[2,+∞) C .(2,4) D .(4,+∞)
解析:因为a+b+1
a+
1
b=(a+b)(1+
1
ab)=5,又a,b∈(0,+∞),所以a+b=
5
1+
1
ab
≤
5
1+
?
?
?
?
?
2
a+b
2
,当且仅当a=b时,等号成立,即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,解得1≤a+b≤4,故选A.
答案:A
10.若x,y满足约束条件
?
?
?x-y+2≥0,
y+2≥0,
x+y+2≥0,
则(x+2)2+(y+3)2的最小值为()
A.1 B.
9
2
C.5 D.9
解析:可行域为如图所示的阴影部分,由题意可知点P(-2,-3)到直线x+y+2=0的距离为|-2-3+2|
2
=
3
2
,所以(x+2)2+(y+3)2的最小值为
?
?
?
?
?
3
2
2=
9
2,故选B.
答案:B
11.已知变量x,y满足约束条件
?
?
?x+y-3≥0,
2x-y-9≤0,
y≤2,
若使z=ax+y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()
A.{-2,0} B.{1,-2}
C.{0,1} D.{-2,0,1}
解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
由z =ax +y 得y =-ax +z .
若a =0,则直线y =-ax +z =z ,此时z 取得最小值的最优解只有一个,不满足题意;
若-a >0,则直线y =-ax +z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y =-ax 与直线2x -y -9=0平行时满足题意,此时-a =2,解得a =-2;
若-a <0,则直线y =-ax +z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y =-ax 与直线x +y -3=0平行时满足题意,此时-a =-1,解得a =1. 综上可知,a =-2或a =1.故选B. 答案:B
12.若不等式组???
x 2-2x -3≤0,
x 2
+4x -1+a ≤0
的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )
A .(-∞,-4]
B .[-4,+∞)
C .[-4,20]
D .[-40,20)
13.已知实数x ,y 满足约束条件???
y ≥0
x -y ≥0
2x -y -2≥0
,则z =
y -1
x +1
的取值范围是( ) A.???
???-1,13 B.??????-12,13 C.????
??-12,+∞ D.????
??-12,1 解析:由题知可行域如图阴影部分所示,∴z =
y -1x +1
的取值范围为[k MA,1),即??????
-12,1.
答案:D
14.已知函数y =x -4+9
x +1
(x >-1),当x =a 时,y 取得最小值b ,则a +b 等于( ) A .-3 B .2 C .3
D .8
解析:y =x -4+
9x +1=x +1+9x +1-5,因为x >-1,所以x +1>0,9x +1
>0.所以由基本不等式,得y =x +1+9
x +1
-5≥2
x +1
·9x +1-5=1,当且仅当x +1=9
x +1
,即(x +1)2=9,即x +1=3,x =2时取等号,所以a =2,b =1,a +b =3. 答案:C
15.若x ,y 满足约束条件???
x +y ≥1
x -y ≥-1
2x -y ≤2
,且目标函数z =ax +2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的
取值范围是( ) A .[-4,2] B .(-4,2) C .[-4,1] D .(-4,1)
解析:作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线z =ax +2y 的斜率为k =-a
2,从图中可看出,当-1<-a
2
<2,即-4 答案:B 16.若关于x 的不等式x 2+ax -2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.? ????-235,+∞ B.?????? -235,1 C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 解析:x 2+ax -2>0,即ax >2-x 2. ∵x ∈[1,5],∴a >2 x -x 成立. ∴a >? ???? 2x -x min .又函数f (x )=2x -x 在[1,5]上是减函数, ∴? ???? 2x -x min =25-5=-235,∴a >-235.故选A. 答案:A 17.设x ,y 满足约束条件??? x ≥0 y ≥x 4x +3y ≤12 ,则 x +2y +3 x +1 的取值范围是( ) A .[1,5] B .[2,6] C .[2,10] D .[3,11] 解析:设z = x +2y +3x +1=x +1+2y +1 x +1 =1+2·y +1x +1,设z ′=y +1 x +1 ,则z ′的几何意义为动点P (x ,y ) 到定点D (-1,-1)的斜率.画出可行域如图阴影部分所示,则易得z ′∈[k DA ,k DB ],易得z ′∈[1,5],∴z =1+2·z ′∈[3,11]. 答案:D 18.已知函数f (x )=4x -1 4x +1,若x 1>0,x 2>0,且f (x 1)+f (x 2)=1,则f (x 1+x 2)的最小值为( ) A .14 B .45 C .2 D .4 解析:由题意得f (x )=4x -14x +1=1-24x +1,由f (x 1)+f (x 2)=1得2-241x +1-2 42x +1 =1,化简得412 x x + -3=41x +42x ≥2×212x x +,解得2x 1+x 2≥3,所以f (x 1+x 2)=1-2412x x ++1 ≥1- 232+1=45 .故选B. 答案:B 19.已知a ,b 都是正实数,且2a +b =1,则1a +2 b 的最小值是________. 解析:1a +2b =? ????1a +2b (2a +b )=4+4a b +b a ≥4+2 4a b ×b a =8,当且仅当4a b =b a ,即a =14,b =12时,“=” 成立,故1a +2 b 的最小值是8. 答案:8 20.对于实数x ,当且仅当n ≤x 解析:由4[x ]2-36[x ]+45<0得32<[x ]<15 2,又当且仅当n ≤x 21.已知函数f (x )=??? x 2+ax ,x ≥0bx 2-3x ,x <0 为奇函数,则不等式f (x )<4的解集为________. 解析:因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),可得a =-3,b =-1,所以f (x )=??? x 2-3x ,x ≥0 -x 2-3x ,x <0. 当x ≥0时,由x 2-3x <4解得0≤x <4;当x <0时,由-x 2-3x <4解得x <0,所以不等式f (x )<4的解集为(-∞,4). 答案:(-∞,4) 22.设不等式组??? x ≥0 x +2y ≥4 2x +y ≤4 所表示的平面区域为D ,则可行域D 的面积为________. 解析:如图,画出可行域.易得A ? ?? ?? 43,43,B (0,2),C (0,4),∴可行域D 的面积为12×2× 43=43. 答案:4 3 23.已知函数 f( x)= 2x x2+6 . (1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值; (2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围. 24.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- 1 20(1+k 2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 解(1)令y=0,得 kx- 1 20(1+k 2)x2=0, 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 故x= 20k 1+k2 = 20 k+ 1 k ≤ 20 2=10, 当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0,所以炮弹可击中目标存在k>0, 使3.2=ka -1 20(1+k 2)a 2成立 关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64=0有正根 判别式Δ=(-20a )2-4a 2(a 2+64)≥0 a ≤6. 所以当a 不超过6千米时,可击中目标. 25.已知函数f (x )=1 3ax 3-bx 2+(2-b )x +1在x =x 1处取得极大值,在x =x 2处取得极小值,且0<x 1<1<x 2<2. (1)证明:a >0; (2)若z =a +2b ,求z 的取值范围. (1)证明 求函数f (x )的导数 f ′(x )=ax 2-2bx +2-b . 由函数f (x )在x =x 1处取得极大值, 在x =x 2处取得极小值, 知x 1、x 2是f ′(x )=0的两个根, 所以f ′(x )=a (x -x 1)(x -x 2). 当x <x 1时,f (x )为增函数,f ′(x )>0, 由x -x 1<0,x -x 2<0得a >0. (2)解 在题设下,0<x 1<1<x 2<2等价于???f ′(0)>0, f ′(1)<0,f ′(2)>0, 即???2-b >0,a -2b +2-b <0,4a -4b +2-b >0,化简得???2-b >0, a -3 b +2<0,4a -5b +2>0. 此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线: 2-b =0,a -3b +2=0,4a -5b +2=0所围成的△ABC 的内部,其三个顶点分别为A ? ?? ?? 47,67,B (2,2),C (4,2). z 在这三点的值依次为16 7,6,8. 所以z 的取值范围为? ?? ?? 167,8. 26.已知关于x 的不等式(a 2-4)x 2+(a +2)x -1<0对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围. 27.已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称,且f (x )=x 2+2x . (1)求函数g (x )的解析式; (2)解不等式g (x )≥f (x )-|x -1|. 解析:(1)设函数y =f (x )的图象上任意一点Q (x 0,y 0)关于原点的对称点为P (x ,y ), ∵点Q (x 0,y 0)在函数y =f (x )的图象上, ∴-y =x 2-2x ,即y =-x 2+2x ,故g (x )=-x 2+2x . (2)由g (x )≥f (x )-|x -1|,可得2x 2-|x -1|≤0. 当x ≥1时,2x 2-x +1≤0,此时不等式无解. 当x <1时,2x 2+x -1≤0,解得-1≤x ≤12.因此原不等式的解集为??? ? ??-1,12. 28.若对一切x >2均有不等式x 2-2x -8≥(m +2)x -m -15成立,求实数m 的取值范围. 解析:由x 2-2x -8≥(m +2)x -m -15, 得x 2-4x +7≥m (x -1), ∴对一切x >2均有不等式x 2-4x +7 x -1≥m 成立. ∴m 应小于或等于f (x )=x 2-4x +7 x -1(x >2)的最小值. 又f (x )=x 2-4x +7x -1=(x -1)+4 x -1-2≥ 2 (x -1)·4x -1 -2=2, 当且仅当x -1= 4 x -1 ,即x =3时等号成立. ∴f (x )min =f (3)=2. 故m 的取值范围为(-∞,2]. 29.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的,是面积为200平方米的十字形地带.计划在正方MNPQ 上建一座花坛,造价是每平方米4 200元,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪,造价是每平方米210元,再在四个空角上铺上草坪,造价是每平方米80元. (1)设总造价是S 元,AD 长为x 米,试建立S 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,S 最小?并求出最小值. 解析:(1)设AM =y ,则x 2+4xy =200. ∴y =50x -x 4. ∴S =4 200x 2+210×4×xy +80×4×12y 2=4 000x 2+4×105×1x 2+38 000(x >0). (2)S =4 000x 2+4×105× 1 x 2+38 000≥ 2 4 000x 2×400 000 x 2+38 000=118 000, 当且仅当x =10时等号成立, 即x =10米时,S 有最小值118 000元. 30.在平面直角坐标系中,不等式组??? x +y ≤0, x -y ≤0, x 2+y 2≤r 2, (r 为常数)表示的平面区域的面积为π,若x ,y 满足上述约束条件,则z = x +y +1 x +3 的最小值为________. 解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由题意,知1 4πr 2=π,解得r =2.z =x +y +1x +3=1+y -2 x +3,表示可行域内的点与点P (-3,2)连线的斜率加上1,由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小.设切线方程为y -2=k (x +3),即kx -y +3k +2=0,则有|3k +2|k 2+1 =2,解得k =-125或k =0(舍去),所以z min =1-125=-7 5. 答案:-7 5 31.不等式组??? x +y -1≥0, x -y -1≤0, y ≤m ,m >1 所表示的平面区域的面积为S ,则当不等式S +3 m -1 ≥a 恒成立时,实数 a 的取值范围是______________. 答案 (-∞,6] 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 高考数学线性规划专题练习 1. “截距”型考题 在线性约束条件下,求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题,通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知,目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1.【20xx 年高考·广东卷 理5】已知变量满足约束条件,则 的最大值为( ) 2. (20xx 年高考·辽宁卷 理8)设变量满足,则的最大 值为 A .20 B .35 C .45 D .55 3.(20xx 年高考·全国大纲卷 理13) 若满足约束条件,则 的最小值为 。 4.【20xx 年高考·陕西卷 理14】 设函数,是由轴 和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为 . 5.【20xx 年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50计,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 ,x y 241y x y x y ≤?? +≥??-≤? 3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? 2+3x y ,x y 1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??3z x y =-ln ,0 ()21,0x x f x x x >?=?--≤?D x ()y f x =(1,0)2z x y =-D 和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ) A .50,0 B .30,20 C .20,30 D .0,50 6. (20xx 年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克; 生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元, 每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、 3100元 7. (20xx 年高考·安徽卷 理11) 若满足约束条件:;则的 取值范围为. 8.(20xx 年高考·山东卷 理5)的约束条件24 41x y x y +≤??-≥-?,则目标函数z=3x -y 的取值范围是 A . [32-,6] B .[3 2 -,-1] C .[-1,6] D .[-6, 3 2 ] 9.(20xx 年高考·新课标卷 理14) 设满足约束条件:; 则的取值范围为 . 2 . “距离”型考题 10.【2010年高考·福建卷 理8】 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥?? ≥??≥?所表示的平面区域是 1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A. 285 B.4 C. 12 5 D.2 11.( 20xx 年高考·北京卷 理2) 设不等式组,表示平面区域为D , 在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A B A B A B ,x y 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? x y -_____,x y ,013x y x y x y ≥?? -≥-??+≤? 2z x y =-???≤≤≤≤20, 20y x 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ (Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像; (Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+,其中0 f x x a x a>. (I)当a=1时,求不等式()32 ≥+的解集. f x x (II)若不等式()0 x≤-,求a的值. f x≤的解集为{x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|. (Ⅰ)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集; (Ⅱ)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. (Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集; (Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12 )时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明: (1)ab +bc +ac ≤13; (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 (I )求33b a +的最小值; (II )是否存在b a ,,使得632=+b a ?并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a (Ⅰ)证明:() f<,求a的取值范围. f x≥2 (Ⅱ)若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D 2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1,文7】设x ,y 满足约束条件33,1, 0,x y x y y +≤??-≥??≥?则z =x +y 的最大值为 A .0 B .1 C .2 D .3 2.【2017全国2,文7】设,x y 满足约束条件2+330 233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3,文5】设x ,y 满足约束条件3260 0x y x y +-≤??≥??≥? ,则z x y =-的取值范围是 A .[–3,0] B .[–3,2] C .[0,2] D .[0,3] 4.(2016全国1,文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 5.(2016全国2,文14)若x ,y 满足约束条件?????x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0, 则z =x -2y 的最小值为________. 6.(2016全国3,文13)设x ,y 满足约束条件?????2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 7.(2015全国1,文15)若x ,y 满足约束条件20 210220x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ,则z =3x +y 的最大值为 . 8.(2015全国2,文14)设x ,y 满足约束条件50 210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤?,则2 z x y =+的最大值为__________. 9.(2014全国1,文11)设x ,y 满足约束条件, 1,x y a x y +≥??-≤-?且z x a y =+的最小值为7,则a = A .-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络 其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时, 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理(附答案解析) x 3y 3, 1. ( 17 全国卷 I ,文数 )设 x ,y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为( ) 7 y 0, A . 0 B . 1 C .2 D .3 答案: D 解析:如图,由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 (即 x 轴)的交点 A(3,0) 时, z 能取到最大值,把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ,故选 D. x 2 y 1 2.(17 全国卷 I, 理数 14 题)设 x ,y 满足约束条件 2x y 1,则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案: 5 x 2 y 1 解析:不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值, 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图,易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时,纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ,此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ,解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5. 2x+3y 30 3. (17 全国卷Ⅱ,文数 7、理数 5)设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是() A.-15 C.1D9 答案: A 2x+3y 30 解析:不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示, y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ,3 时,目标函数 z2x y 取到最小值,此时有 z min 26315 ,故所求z 最小值为15. )设,满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. (17 全国卷Ⅲ,文数 5 x0,则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案: B 解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 (即x 轴)的交点A0,3处取得最小值, 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值,此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.(17 全国卷Ⅲ,理数13)若 x,y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________. 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, . 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<?? x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得: ①当1-x ≤时显然不满足题意; ②当12x -<<时,211-x ≥,解得1x ≥; ③当2x ≥时,()31=f x ≥恒成立.综上,()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. (2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥, 1.(2018?卷Ⅱ)设函数 (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围 2.(2013?辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.3.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 4.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 5.(2017?新课标Ⅰ卷)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分) (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 6.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 7.(2018?卷Ⅰ)已知 (1)当时,求不等式的解集 (2)若时,不等式成立,求的取值范围 8.(2018?卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1| (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 10.(2014?新课标II)设函数f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 11.(2015·福建)选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为4.(1)求的值; 线性规划高考题 1.[2013.全国卷 2.T3]设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥??+-≥??≤? ,则23z x y =-的最小值是( ) A.7- B.6- C.5- D.3- 2.[2014.全国卷2.T9]设x ,y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? ,则2z x y =+的最大值为( ) A.8 B.7 C.2 D.1 3.[201 4.全国卷1.T11]设1,y 满足约束条件,1, x y a x y +≥??-≤-?且z x ay =+的最小值为7,则a =( ) A .-5 B. 3 C .-5或3 D. 5或-3 4. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z=-x+y 的取值范围是( ) A.(1-3,2) B.(0,2) C.(3-1,2) D.(0,1+3) 5.[2010.全国卷.T11]已知 Y ABCD 的三个顶点为A (-1,2),B (3,4),C (4,-2),点(x ,y )在 Y ABCD 的内部,则z=2x-5y 的取值范围是( ) A.(-14,16) B.(-14,20) C.(-12,18) D.(-12,20) 6. [2016.全国卷3.T13]设x ,y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??--≤??≤? 则z =2x +3y –5的最小值为 7.[2016.全国卷2.T14]若x ,y 满足约束条件103030x y x y x -+≥??+-≥??-≤? ,则z =x -2y 的最小值为 8.[2015.全国卷2.T14]若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤? ,则2z x y =+的最大值为 2012高考真题分类汇编:不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即12 1 <<-x 或1=x ,所以不等式的解为12 1 ≤<- x ,选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0,b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ,则a >b B.若2a +2a=2b +3b ,则a >b C.若2a -2a=2b-3b ,则a >b D.若2a -2a=a b -3b ,则a <b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其 余选项用同样方法排除.故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品,y 桶乙产品,总利润为Z , 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+, 高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-3 高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析:双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围 成一个三角形区域(如图4所示)时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2:在平面直角坐标系中,不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是() (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为: 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选B。 点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件,探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式,斜率——商的形式)目标关系最值问题(重点) 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则 ①y x 32+的最大值为 。(截距) 解析:如图1,画出可行域,得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处,目标函数z 最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2-(m +1)x -m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ=[(m +1)]2+4m >0.即m 2+6m +1>0, 解得m >-3+22或m <-3-2 2. 答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???x -y +1≥0, x +y -3≥0,x -3≤0, 则 z =x -2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x =3与直线x -y +1=0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z =x -2y 得到-5. 答案 -5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件???2x -y +1≥0, x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知, 当直线y =-23x +53+z 3过点A (-1,-1)时,z 取得最小值,即z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10. (2017·西安检测)已知变量x ,y 满足???2x -y ≤0, x -2y +3≥0,x ≥0, 则z =(2)2x +y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m =2x +y ,由图象可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线y =-2x +m 的纵截距最大,此时m 最大,故z 最大.由?????2x -y =0,x -2y +3=0,解得?????x =1,y =2, 即A (1,2).代入目标函数z =(2)2x +y 得,z =(2)2×1+2=4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ,y 满足???2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0, 则2x +y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域,如图中阴影部分所示, 令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ,y 满足???x +y ≤2, 2x -3y ≤9,x ≥0, 则x 2+y 2的最大值是( ) 2010年高考线性规划归类解析 线性规划问题是解析几何的重点,每年高考必有一道小题。 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-112 2y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处,目标函数z 最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1, 10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?则22x y +的最小值是 . 解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A (1,2)是满足条 件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件00 24x y y x s y x ≥??≥?? +≤??+≤?下,当35s ≤≤时,目标函数 32z x y =+的最大值的变化范围是() A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析:画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是() (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0 003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解析:双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x = 围 图 2 图1 C 2015-2019高考数学全国卷真题(不等式选讲) 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. (1)求()()()222111x y z -++++的最小值; (2)()()()2221213x y z a -+-+-≥成立,证明:3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- (1)当1a =时,求不等式()0f x <的解集; (2)若(,1)x ∈-∞时,()0f x <,求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ,b ,c 为正数,且满足1=abc .证明: (1)22211 1 a b c a b c ++≤++; (2)333()()()24a b b c c a +++≥++. 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像; (2)当[)0,x ∈+∞时,()f x ax b ≤+,求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--. (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. (1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集; (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f . (1)求不等式1)(≥x f 的解集; (2)若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空,求m 的取值范围. 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质,能利用不等式的性质,特殊值法等判断不等式的正误; 2、熟练的解一元二次不等式,分式不等式,绝对值不等式,对数不等式,指数不等式,含根式的不等式; 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式; 4、掌握恒成立问题,存在性问题; 5、掌握利用基本不等式求最值的方法; 6、掌握线性规划解决最优化问题; 7、掌握利用线性规划,基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中,不等式无处不在,不论是不等式解法还是线性规划,基本不等式,一般单独出现的是线性规划或基本不等式,而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且,则下列不等式恒成立的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知:当时,为正确选项,故选C. 2、已知,,则() A. B. C. D. 【答案】A 3、,设,则下列判断中正确的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令,则,故选B 4、若,且,则下列不等式成立的是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个,黑球个().从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个,此时从中任取个球是红球的概率记为;若将红球、黑球个数各减少个,此时从中任取个球是红球的概率记为,则() A. B. C. D. 【答案】D 6、若,,则下列不等式错误的是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为,,所以,,故A、B正确;由已知得, ,所以,所以C错误;由,得,,所以 成立,所以D正确.故选C. 线性规划 基础知识: 一、知识梳理 1. 目标函数: P =2x+y是一个含有两个变 量 x 和y 的 函数,称为目标函数. 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点. 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 二:积储知识: 一. 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,则点P 坐标适合方程,即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方(左上或右上),则当B>0时,Ax 0+By 0+C>0;当B<0时,Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方(左下或右下),当B>0时,Ax 0+By 0+C<0;当B<0时,Ax 0+By 0+C>0 注意:(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, (2)在直线Ax+By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即:1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax 1+By 1+C )( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧,则有(Ax 1+By 1+C )( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不. 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。 例题: 1. 如图1所示,已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -,点(,)P x y 在ABC ?内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题:若目标函数是1y z x -=或z =你知道其几何意义吗?你能否借助其几何意义求得min z 和max z ?高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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