重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练三
——二次函数与面积问题
班级______姓名_______等级________
题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）．
例1、定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．
（1）直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标；
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1,3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q（异于点P）的坐标．
图1图2
练习1. 如图，已知抛物线322
++-=x x y 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D 是抛物线的顶点．
（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标，并求出S △ABD ；
（2）求出直线BC 的解析式；
（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP ＝4S △COE ，求P 点坐标．
题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大
例2.如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(-1,0)，C点坐标是(-4,-3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求△ACE的最大面积及E点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使S△PAC＝S△EAC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式：在抛物线上是否存在点P，使S△PAC＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
A
B
C
x y
O
A
B
C
x y
O