概率论在等式与不等式中的应用
摘要：概率论的思想已广泛应用于其它学科，用概率论中的方法解决其它学科中的一些问题是一个非常有趣的课题．本文利用概率论中方法证明恒等式和不等式，从中可看出它们之间的联系以及应用概率论方法解题的美妙之处．应用的基本思路是：根据所要解决的问题，首先构造一个适当的概率模型，然后应用概率中的已知结论解决所讨论的问题．如何构造适当的概率模型是解决问题的难点所在，也是关键所在。
关键词：随机变量；数学期望；方差；恒等式；不等式
The applications of probability theory in the proofs of equalities and inequalities
Abstract: The thought of probability theory has already been applied to many other subjects extensively. It is very interesting to solve some problems in other subjects by using probability theory. In th is paper, some methods in probability theory are used to prove several equalities and inequalities in Mathematics. By this, we can see the close relationship between them. It is also very valid to solve problems by using probability theory. Our method is as follows: according to the problem, we first construct their proper probability models, then use some known conclusions in probability theory to solve them. How to construct their probability models is the difficult point as well as the key point.
Key words: random variable; mathematical expectation; variance; equality; inequality
概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科。它在自然科学、技术科学、管理科学中都有着广泛的应用，因此从上个世纪三十年代以来，发展甚为迅速，而且不断有新的分支学科涌出。概率思想广泛应用于其它学科，用概率方法来解决不等式证明的问题，是概率论研究的重要课题之一。概率方法灵活多样，只要概率模型构造恰当，它可以应用于多种数学问题中。不等式证明中一些不太好解决的问题，用概率知识去解是很方便的，这样我们就能在不等式证明中找到概率的应用。这样的探讨对概率论的发展具有很大意义，对教学工作者的
教学也有着一定的作用。针对不同的不等式问题，构造适当的概率模型十分重要，用概率方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以为学习高等属性提供概率论背景，有机结合不同学科之间的关系。
随机变量的相依性概念不仅早已在概率论和数理统计的某些分支中被提了出来(如在马氏链、随机场理论和时间序列分析中)，而且也出现于许多实际问题中。虽然独立性假设在某些时候是合理的，但要验证一个样本的独立性却是很困难的，而在某些实际问题中，样本并非是独立的观察值。由此可见，研究非独立的随机变量序列有着十分深刻的理论和实际意义。关于混合相依变量的经典的极限理论被系统地讨论于陆和林的专著《混合相依变量的极限理论》(1997)中。负(正)象限相依(NQD，PQD)的定义由Lehmann(1966)引入。正相伴(PA)的定义由Esary，Proschan和Walkup(1967)引入，负相伴(NA)的定义首先由Alam和Saxena(1981)引入。线性负(正)象限相依(LNQD，LPQD)的定义由Newman(1984)引入。本文就是对这些相依随机变量的强极限性质进行了深入的研究。
本文第一章主要讨论了相依随机变量的Hájek-Rényi-Chow不等式和：Berry-Esseen不等式。众所周知，Kolmogorov不等式是证明强大数律非常有用的工具。1955年，Hájek和Rényi推广了Kolmogorov不等式，得到了一个更有意思的不等式，并且利用此不等式给出了强大数律的一个简洁证明。Chow在1960年把Hájek和：Rényi的结论推广到下鞅得到了一个被称之为Hájek-Rényi-Chow的不等式：假设{Yn，Fn，n≥1}是非负下鞅，记0≤cn≤cn-1≤…≤c1是常数，则有P(max1≤k≤nckYk≥ε)≤ε-1{n-1∑i=1(ci-ci+1)EYi+cnEYnI{max1≤k≤nYk≥ε}}≤ε-1{cnEYn+n-1∑i=1(ci-vi+1)EYi}(A)ε＞0.在第二节中我们主要讨论了一类比正相伴更广的被称之为Demi-鞅的随机变量的Hájek-Rényi-Chow不等式，同时也获得了正相伴随机场上的Hájek-Rényi不等式。第三、四、五节主要讨论了几类相依随机变量的Berry-Esseen不等式。Berry-Esseen不等式用来表示随机变量序列{Xn，n≥1}前n项的正则化和的分布函数Fn(x)与标准正态分布函数φ(x)之差趋于零的速度，由Berry(1941)和Esseen(1945)最早开始讨论：设{Xn，n≥1}是一零均值的独立同分布的随机变量序列，Ex21=σ2＞0，E|X1|3＜∞，则存在一个正常数C使得supx|Fn(x)-φ(x)|≤CE|X1|3/√nσ3.在第三节中我们获得了渐近负相伴序列的Berry-Esseen不等式，在第四节中我们利用Stein方法获得了负象限相依序列的Berry-Esseen不等式，在第五节中我们获得了负相伴随机场的Berry-Esseen不等式。
1969年，Philipp曾经指出“对于任何随机变量，如果有：Borel-Cantelli引理，一个合适的中心极限定理的收敛速度和一个最大值概率不等式，则重对数律成立。”于(1986)和邵和苏(1999)遵循这个规则分别得到了正相伴和负相伴随机变量的重对数律．众所周知，Levy 型最大值不等式或者最大值指数不等式是证明重对数律的关键，那么对于没有此类不等式(或者说至今尚未获得此类不等式)的随机变量，到底有没有重对数律?最大值矩不等式是证明强大数律和弱不变原理的核心工具，那么，它是不是也可以用来证明重对数律呢?在第二章中，我们给出了肯定的回答。我们在第二章第一节中获得了渐近负相伴序列的重对数律，在第二节中获得了线性正象限相依序列的重对数律，在第三节中获得了正相伴随机变量的函数列的非经典的重对数律，在第四节中进一步讨论了线性负象限相依随机场的重对数律。
在第三章中，我们主要讨论了相伴随机变量的几乎处处极限定理。几乎处处极限定理是近十年来概率论研究的一个热门话题。由Brosamler(1988)和Schatte(1988)最早开始研究，而仅要求二阶矩存在的独立同分布序列的几乎处处中心极限定理由Lacey和Philipp(1990)给
出：设{Xn ，n ≥1}是一独立同分布的随机变量列，EX1=0，EX21=1，记Sn=∑ni=1Xi ，那么有(A)xlimn →∞1/lognn ∑k=11/kI{Sk/√k ≤x}=φ(x)a.s.之后，不少学者讨论了非独立随机变量的几乎处处中心极限定理：Peligrad 和邵(1995)针对严平稳的混合序列以及正相伴序列，证明了上式成立，董和杨(2004)针对严平稳的负相伴序列和线性负象限相依序列，证明了上式成立．关于相依和混合序列的几乎处处极限定理的很多结论也可以参见Khurelbaatar(2001)的博士论文。
1998年，Arnold 和Villase(n)or 两位学者在研究记录值的部分和的极限性质时，首先得到了关于数学期望为1且服从指数分布的独立同分布序列的部分和乘积的渐近结果。后来，Rempata 和Wesolowski(2002)去掉了随机变量服从指数分布的限制条件，得到了：设{Xn ，n ≥1}是一独立同分布的正随机变量列，且EX1=μ＞0，Xar(X1)=σ2＜∞，那么有(∏nj=1Sj/n!μn)1/(γ√n)D →√e2N ，其中γ=σ/μ是标准差系数，N 是标准正态随机变量。最近，Kharelbaatar 和Rempata(2006)进一步讨论了独立同分布序列部分和乘积的几乎处处极限定理，他们得到了(A)xlimn →∞1/lognn ∑k=11/kI{(∏kj=1Sj/k!μk)1/(γ√k)≤x}=F(x)a.s.,其中F(x)是e √2N 的分布函数。在第三章第二节中，我们进一步推广了Kharelbaatar 和Rempala(2006)的结论，得到了关于负(正)相伴和混合序列部分和乘积的几乎处处极限定理，在第三节中，我们讨论了负(正)相伴随机场的几乎处处中心极限定理。
在第四章中，我们主要讨论了自正则部分和的重对数律的精确渐近性。假设{X ，Xn ，n ≥1}是一非退化的零均值的独立同分布序列。记σ2=EX2，Sn=∑ni=1Xi ，V2n=∑ni=1X2i ，n ≥1.经典极限理论的研究对象往往是标准的正则化和Sn/√n σ2，现在我们用Vn 代替√n σ2作正则化因子，构成一个新的统计量Sn/Vn ，我们称Sn/Vn 为自正则和。对自正则和的研究是当今概率极限理论发展的一个新的热门方向，我们称之为自正则的极限理论。从统计学的观点来看，用Vn 代替√n σ2作正则化因子是自然而有道理的，因为随机变量的数字特征(如期望，方差)往往是未知的。因此，从某种意义上说，在统计实践中应用Sn/Vn 的结论得到的结果相比较于Sn/√n σ2更为精确。更重要的是，自正则和与学生化t-统计量有着密切的联系。定义一个学生化t-统计量为Tn=√n-Xn/sn,其中-Xn=Sn/n 和s2n=∑ni=1(Xi--Xn)2/(n-1).我们可以写Tn=Sn/Vn(n-1/n-(Sn/Vn)2)1/2,从上式可以得到，对任意的x ＞0{Tn ≥x}={Sn/Vn ≥x(n/(n+x2-1))1/2}.过去的十几年里，很多学者对自正则的极限理论的研究一直充满兴趣和激情，得到了很多漂亮的结论：Griffin 和Kuelbs(1989)得到了重对数律，邵(1997)在没有矩条件的假设下，得到了大偏差结果，Gin é，G(o)tze 和Mason(1997)得到了中心极限定理的充要条件，Cs(o)rg(o)，Szyszkowicz 和王(2003a ，2003b)得到了Darling-Erd(o)s 定理和Donsker 定理，荆，邵和王(2003)得到了指数界的非一致Berry-Esseen 不等式和cram ér 型大偏差结果。庞(2005)得到了部分和的随机乘积的渐近结果。
数学期望的定义
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞
=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为
E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞
=1=∞，则数学期望不存在。[]1
定义2 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为()x P , 若积分?+∞
∞
-dx x xP )(是一个
有限值，则称积分?+∞∞-dx x xP )(为ξ的数学期望，记作E ξ，即=
ξE ?+∞∞-dx x xP )(。[]1
2数学期望的基本性质
设C 、a 、b 为常数，ξ为随机变量，则有如下性质
性质1 常数C 的数学期望等于本身：C EC =.
证明：以离散随机变量为例来证明，对于连续随机变量可类似地证明。下同， 把常数C 视为概率1取本身值的离散随机变量，即得 C EC =.
性质2 ()C E C E +=+ξξ
证明：设随机变量ξ的概率分布为)(i x P =ξ=)(i x P ,（i =1,2,…）则
()C E x P C x P x x P C x C E i
i i i i i i i +=+=+=+∑∑∑ξξ)()()()(.
性质3 ξξCE C E =)(.
证明：∑∑===i i i
i i i CE x P x C x P Cx C E ξξ)()()(.
性质4 ξξbE a b a E +=+)(.
证明：利用前三个性质得ξξξbE a Eb Ea b a E +=+=+)(
3.数学期望的计算
计算随机变量的数学期望时，我们必须先分析已知条件，根据不同的条件寻求不同计算方法。（1）分布已知时，求随机变量的数学期望，一般只需依公式计算，所要注意的是要验证级数或积分的绝对收敛性，并尽量利用级数求和技巧和积分的性质；（2）分布未知时，求随机变量的数学期望，可以先求出分布，再计算，但这比较麻烦，一般利用其性质便可解决。
1 分布已知时，数学期望的计算
例1 设随机变量（X,Y ）的概率密度为：2(2)01,12(,)70x y x y f x y ?+ <<<
其他且
23X Z x y Y
=+求()E Z 解 利用随机变量函数的数学期望公式：
()E Z =23()X E X Y Y +=23()(,)x x y f x y dxdy y +∞+∞-∞-∞+??=2123102()(2)7
x dy x y x y dx y ++?? =22
1
32232102(2)x x dy x y x y dx y y +++??=4663 2 分布列未知时，数学期望的计算
例2 民航客车载有40人从机场开出，有12哥车站旅客可以下车，如到一站没有下车的旅客就不停车，X 表示停车的次数，求()E X 。
（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，是否下车是相互独立的）
解 引入随机变量101X ?=? ?
第i 站没有人下车第i 站有人下车 1212
X X X X =+++… 由题意知，某一旅客在第i 站不下车的概率为
1112
，40位旅客均不再第i 站下车的概率为401112（），在第i 站有旅客下车的概率为40111-12
（），即4040i i 1111(=0=(=1)=1-i 1212P X P X (=1,2,3,,12)）（），（）… 于是40i 11()1()(i 1,2,3,,12)12
E X =- =… 则401212121211()()()()()12[1()]12
E X E X X X E X E X E X =+++=+++=- …… 该问题解法具有典型性，求解时并没有直接可利用的概率分部，仅利用数学期望的性质。当然，也可以先求X 的概率分布，然后再根据定义求数学期望。然而，求概率分部需要相当复杂的计算，并且由此概率分部求期望并非易事。
4.数学期望在实际生活中的应用
数学期望在实际中有许多应用。例如，商店的进货量与需求量服从某些概率
分布，我们关心的利润的数学期望。又如车站乘客到达时间服从某些概率分布，车每固定时间一班，我们关心的是乘客平均等待时间。解决这一类问题关键在建立利润（时间）T 与进货量X ，需求量Y（乘客到达的时间X）的函数关系，然后利用已知分布计算相应函数的数学期望，即可求解。因此，遇到此类问题时，首先要分清哪个是基本的随机变量，其分布是什么，再寻找要求的变量与上述随机变量的函数关系，再求数学期望。
1 求职决策问题
有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C，每家公司都可提供极好、好喝一般三种职位。每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位。按规定，双方在面试后要立即做出决定提供，接受或拒绝某种职位，且不许毁约。咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2、0.3和0.4.三家公司的工资承诺如表：
公司极好好一般
A3500 3000 2200
B3900 2950 2500
C4000 3000 2500
如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？
分析：由于面试从A公司开始，甲在选择A公司三种职位是必须考虑后面B、C 公司提供的工资待遇，同样在B公司面试后，也必须考虑C公司的待遇。因此我
X期望值为：
们先从C公司开始讨论。由于C公司工资
3
X）=4000?0.2+3000?0.3+2500?0.4=2700元
E（
3
再考虑B公司，由于B公司一般职位工资只有2500，低于C公司的平均工资，因此甲在面对B公司时，只接受极好和好两种职位，否则去C公司。如此决策时X的期望值为：
加工资
2
X）=3900?0.2+2950?0.3+2700?0.5=3015元
E（
2
最后考虑A公司，A公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受A公司的极好职位。否则去B公司。
甲的整体决策应该如此：先去A公司应聘，若A公司提供极好职位就接受之。否则去B公司，若B公司提供极好或好的职位就接受之，否则去C公司应聘任意
X的期望值为：
一种职位。在这一决策下，甲工资
1
X）=3500?0.2+3015?0.8=3112元
E（
1
大学生的就业问题已引起社会的广泛关注。随着社会生产力水平的不断提高，各行各业的就业岗位已经远远不能满足即将从业者的需求。对于一名即将毕业的大学生，面对强手如林的竞争场面，除了刻苦学习必备的基础知识，努力训练从业的基本技能以外，在求职过程中，应该如何进行决策，使自己的求职更顺利一些，已是一个摆在大学生面前不容忽视的问题。
2 经济决策中的运用
例1 设某一超市经销的某种商品，每周的需求量X 在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值（每周只在周前进一次货）超市每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可获利300元。试测算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值。 分析：由于该商品的需求量（销售量）X 是一个随机变量，它在区间[]10,30上均匀分布，而销售该商品的利润值Y 也是随机变量，它是X 的函数，称为随机变量的函数。本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大值。因此，本问题的解算过程是先确定Y 与X 的函数关系，再求出Y 的期望EY 。最后利用极值法求出EY 的极大值点及最大值。
先假设每周的进货量为a ，则
Y =500300(),500100(),a x a x a x a x x a
+-≥??--
+≥??-
EY =
1(600100)1020a x a dx -?+301(300200)20x a dx a +? =-7.52a +350a +5250
da
dEY =-15a +350=0 a =35015
≈23.33 EY 的最大值EY max =-7.5?270()3+350?703
+5250≈9333.3元 由计算结果可知，周最佳进货量为23.33（单位），最大利润的期望值为9333.3元。
例2 某工厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产前的各项准销路0.3、0.5和0.2，若按大、中、小三种不同生产批量投产，今后5年不同销售状态下的益损值如下所示：
销路好 销路一般 销路差 0.3
0.5 0.2 大批量益损1ζ
20 14 -2 状 态
概
率 益 损 方
案
中批量益损2ζ
12 17 12 小批量益损3ζ 8 10 10
试做出分析，以确定最佳生产批量。
解：比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损：
E （1ζ）=0.3 ? 20 + 0.5 ? 14 + 0.2 ?（-2）=12.6
E （2ζ）=0.3 ? 12 + 0.5 ? 17 + 0.2 ? 12 =14.5
E （3ζ）=0.3 ? 8 + 0.5 ? 10 + 0.2 ? 10 =9.4
E （2ζ）比E （1ζ）和E （3ζ）均大，所以认为选择中批量生产方案为优。
在日常生活和经济活动中, 无论单位或个人都应该具有合理的决策能力，如个人的采购、求职、投资，企业的生产或经营方案等， 经常需要对事物的进展情况作出经济决策，以便用最有利的方式采取行动。由于受随机因素的影响，使得决策带有风险性。因此，人们常把数学期望作为决策参考的重要依据。实践证明，当经济决策问题较为复杂时， 决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，经济决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具， 以帮助决策者做出决策。数学期望在经济决策方面的运用会进一步的发展，以期获得最大的经济效益。
3影响农户购买政策性农业保险决策因素分析
1数学期望理论与农户农业保险决策行为
假定农户服从“理性经济人”假设，农户购买政策性农业保险的行为属于一种经济决策行为，农业自然灾害的发生也是一个随机发生的事件，因此，可以用数学期望理论来分析农户购买农业保险的行为，进而分析出影响农户决策的因素。我们假设某一农户目前的财富储蓄为S ，不发生自然灾害可获得的收入为L ，发生自然灾害的概率为P ，造成的损失为－ D ，投保费率为V ，发生灾害后保险公司的赔偿金为K ，相应的投保费用为VK 。那么农户是否购买农业保险主要是看投保后的期望收入( E') 与投保前的期望收入( E) 的差额，若差额比较大农户就会考虑购买保险，若差额很小或根本没有差别，则不会购买保险。其次就是农户的收入水平与保险费用的高低，若农户的收入无法支付高额的保险费用，当然不会购买保险，若农户的收入可以承担保险费用，则会考虑购买保险。则有: E = L × ( 1 － P) － L × D ( 1)
E' =( L － { VK) × ( 1 － P) + ( K － VK － D) × P VK ＜ S ( 2) 那么，两者的差额M = E' － E = K( P － V) ( 3) 所以，决定农户购买保险的因素有自然灾害发生的概率P ，投保费率V ，保险赔偿金K 以及财富储蓄S 。
2 自然灾害发生的概率P
由公式( 3) 可知，P 与M 成正相关关系，即自然灾害发生的概率越大的地方，农户购买农业保险的可能性就越大。在几十年都难得发生一次自然灾害的地方，农户自然是不会或几乎很少去购买农业保险。如果农业保险投保的范围不仅仅局限于自然灾害，还涉及到市场风险，那么不发生自然灾害的地方的农户也有可能
购买农业保险。实际上，我国政策性农业保险的投保范围不只是涉及自然灾害损失保险，还包括病虫害损失保险、疾病死亡保险、意外事故损失保险等，但本文只从自然灾害的角度考虑农业保险，因为自然灾害对农业造成的损失最大。我国自然灾害发生的种类多，受灾区域广，全年旱灾、洪涝、滑坡泥石流、风雹、台风、风暴潮、海浪、赤潮、地震、低温冷冻和雪灾、森林草原火灾、病虫害等各类自然灾害均不同程度发生，并于黄海海域出现新型的绿潮( 浒苔) 灾害。全国所有省份均不同程度遭受自然灾害袭击，其中四川、甘肃、湖南、贵州、广西、云南、江西、陕西、湖北、安徽等地受自然灾害的袭击概率较大，因此，这些地方的政策性农业保险的需求市场更大。
3 投保费率V
由公式( 3) 可知，V 与M 成负相关关系，即投保费率V 越高，农户购买农业保险的可能性就越小。理性的农户都希望用最小的成本获得最大的收益，投保费率高，就意味着购买农业保险的成本高。但商业保险公司为了自身的利益也不会把投保费率定得很低。如何在农户与保险公司之间寻找到各自的利益平衡点，一直是我国农业保险研究的重点，也是阻碍我国农业保险发展的重要原因之一。很多观点都认为需要加大政府的支持力度，才能使各方的利益平衡。据张胜，万小兵［1］等《基于农民理性角度政策性农业保险的调查与分析》一文中调查数据显示，对农业保险实行政府补贴后，82． 4%的调查户愿意参加政府进行补贴的政策性农业保险，比在没有政府补贴的外力作用下愿意参加的比重高出69 个百分点。黄正军、黄亚丽［2］利用冯诺曼———摩根斯顿效用模型分析无政府补贴时农民的投保行为与有政府补贴时农民的投保行为，可以得出结论: 在政府一定的政策支持下，农民对待风险的态度有两方面的转变: 一方面是当农民购买农业保险商品以后所拥有的稳定财产量大于风险条件下的财产期望值时，农民会扩大自己的投保对象、投保面积，从而，有效改变对待风险的态度; 另一方面，不管自然灾害是否发生，农民都可以确定地保持更多的货币财产量，消除风险，提高效用，把对保险的潜在需求转变为现实需求( 2008，69) 。可见，在利益的驱动下，农户和商业保险公司都想从保险中获利，为了能使双方处于共赢的状态，只有加大政府的投资力度了。
4 保险赔偿金K
由公式( 3) 可知，K 与M 成正相关关系，即保险赔偿金越多，农户参保的意愿就越大。保险赔偿金与农户的投保范围或称投保规模有关，如果农户投保的规模越大，在发生自然灾害遭受损失后，得到的保险赔偿金就越多，即多投多得，少投少得。因此，在我国，生产规模大的农户( 如种田大户、农业公司、农民合作经济组织等) 参保的意愿更强。而我国目前农业生产经营形式主要以家庭为单位，生产规模小，这也是我国农业保险始终没有成为大多数农户的风险管理方式的原因之一［3］。
5财富储蓄S
财富储蓄在一定程度上代表了农户的收入水平，如果农户收入水平低，对农业保险的需求就小。需要说明的是本文指的收入水平仅指农业收入水平。随着人均收入的增加，农户愿意购买农业保险的比重呈上升的趋势。如果一个农户的主要收入来源不是农业而是其他副业，那么他购买农业保险的意愿就不是随着收入的增加而增强了，很有可能正好相反，因为他主要的收入来源不是农业，那么他的农业生产规模就很小，购买农业保险的意愿就小。其次，农业收入水平高的农户更有能力承受投保费用，如果农户的收入水平无法支付高额的保费，即S ＜ VK，
他当然是不会购买农业保险的［4］。
6结论与建议
农业保险在我国开展二十多年以来，一直没有取得令人满意的成绩，其原因主要是还不能适应我国农业发展的实际情况。我国是个农业大国，自然灾害发生多，政府的财力不足，补贴力度不够，农业生产规模小，农民收入水平低，而通过本文分析政府补贴多、农业收入水平高、农业生产规模大的农户才更有意愿购买农业保险。因此，为了使农业保险能真正发挥其作用，就必须符合我国农业发展的实际情况。如何符合呢? 笔者认为应做好以下几个方面:一是因地制宜地开展农业保险，要根据不同地区产业结构特点，灵活调整保险种类，科学合理确定保险费率，加快新险种的普及和推广，努力使农业保险的功能与农民的需要有机结合起来，并向经济相对落后地区倾斜。在具体实施方案上力求做到保费低廉，保障适度，保单通俗，投保简便，以便更好地为广大农民服务。在自然灾害发生多的地方大力推广农业保险，或强制推行农业保险。根据国外农业保险的发展经验，不参加保险计划的农户不能享受到政府其它福利，如农产品贷款、农产品价格补贴和保护等等。其目的是提高农户的参保率。二是政府要加快发展政策性农业保险，加大农业保险的补贴力度。由于农业自身的特点———地域性、季节性、周期性，使农业保险的政策性经营与商业性运作之间存在很大的矛盾，农业保险产品具有高风险、高成本与低收益的不对称性特征，高赔付和高保费使得农业保险不受保险双方当事人即商业性保险公司和农民的青睐，为充分发挥农业保险的“外在利益”，政府必须加大政策支持的力度。比如，由于各地区经济发展水平、地区结构等存在较大差异，政府可以分级对待农民的保费补贴，对保险公司的营业税和个人所得税可以实施优惠等等。三是组织农户加入农业合作组织，扩大农业生产规模。把分散经营、小规模经营的农户组织起来，建立合作组织或成立农业企业，发挥农村经济合作组织和龙头企业的作用，实现统保、共保等经营。通过农村经济合作组织和龙头企业灵活多样的组合形式，解决分散农业中保险业务难开展的问题，依靠农村经济合作组织和龙头企业增加农业保险覆盖面，降低保险公司日常运营成本。四是鼓励农户多元化经营，增加收入来源，提高收入水平。多元化的生产，既可以分散农业风险，又可以增加农户获得经济收入的途径。收入水平的提高，增强了农户购买政策性农业保险的能力。
面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，富于创新，既要学习数学知识，更应该重视对所学知识的应用。本文从数学期望的来由、定义及其性质介绍了数学期望，然后利用数学期望解决了生活中的一些问题，比如抽奖问题、经济决策问题、生产批量方面的一些问题等，当然这只是数学期望应用中的一部分而已，还有更多的应用等待我们去发现。
在实验过程中，通常会得到大量的原始数据。本文简要介绍了如何使用概率论与数理统计学中的方差以及协方差的概念，对数据进行初步的分析，以从纷乱繁杂的原始数据中，得到相对重要的，低冗余的，可供进一步使用的数据。
在科学实验中，一般情况下，我们会得到大量的复杂的数据。这些数据中来自多个方面，既包含有用的信息，也有噪音和冗余。如何从大量的数据中取出对我们而言有用的信息，从复杂数据中分析出其中隐含的规律和结论，是极其重要的。在下文中，我们使用概率论和数理统计中方差和协方差的概念，分别对噪音和冗余进行简要的分析和讨论。
噪音：
噪音对数据的影响是巨大的，如果不能对噪音进行区分，就不可能抽取数据中有用的信息。如何衡量一个数据是否是噪音呢？根据相关知识，我们不妨假设，变化较大的信息被认为是信号，变化较小的则是噪音。而一个信息可视作一个随机变量，因此，一个信息的变化程度的大小，即可以转化为对其对应的随机变量的稳定性分析。
由在本学期修读的“概率论与数理统计”课中我学习到，“要进一步的研究问题的实质（分析信息的稳定性），必须了解它（随机变量）的取值与平均值的偏离程度。”
那么，使用什么来表示偏离程度比较合适呢？在这里，我们使用课件中使用的“储蓄所吸收存款额”的例子（具体内容不再列出）：
“若用随机变量与其数学期望的偏差的期望值来表示这偏离程度”“从计算的结果上看，由于诸偏差的正负抵消，这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差的期望值均为“0”，这样就掩盖了实际偏差的的大小。”
因此，“为了克服诸偏差的正负抵消，真正反映出实际偏差的大小程度，通常采用偏差平方的数学期望来描述随机变量的取值与平均值的偏离程度。” “从计算的结果上看，由于克服了诸偏差的正负抵消，这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差平方的期望值就真正反映出实际偏差的大小程度：甲储蓄所的月吸收存款额比乙储蓄所的月吸收存款额来得“稳定”。”
“通常称用偏差平方的数学期望来描述随机变量的取值与平均值的偏离程度为“方差”。”
到这里可以得出，衡量一个信号是否是噪音，可通过计算其对应随机变量的方差并与其余信号比较得到。显然的，方差较大，是主信号或主要分量；而方差较小的分布则被认为是噪音或次要分量。
在数据分析中，噪音的衡量有多种方式，最常见的定义是信噪比 (signal-to-noise ratio ， SNR)，即方差比 ：2
noise 2signal
σσ。比较大的信噪比表示数
据的准确度高，而信噪比低则说明数据中的噪音成分比较多。至此，滤除噪音的问题可以简化为，找出一组代表数据，使得其信噪比尽可能大。
冗余
有时在实验中引入了一些不必要的变量，可能会使两种情况：1）该变量对结果没有影响；2）该变量可以用其它变量表示，从而造成数据冗余。从统计学上说，如果两个观测变量是相互独立的，那么可以得到，它们之间的信息没有冗余。但如果两个观测变量相关，那么他们之间肯定存在冗余的信息。剔除高度冗余的信息，对数据的分析是至关重要的一步。而如何判断信息是否存在冗余，以及如何衡量信息之间的冗余程度，使我们接下来要讨论的问题。
在概率论与数理统计课程中，我们引入了协方差的概念：“随机变量的数学期望及方差都只刻画了一个随机变量的某一方面的特征，而协方差与相关系数是刻画两个随机变量之间关系的数字特征。E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.称为随机变量X 与 Y 的协方差，记为：Cov(X,Y)。”显然，Cov(X,Y)=0，当且仅当X,Y 相对独立。
从协方差的定义中可以打得到，协方差可以表示信息间冗余度的。而在实验中，我们得到的数据往往数量巨大，查阅相关统计学书籍，可得到大量数据协方差的组织表示方法：协方差矩阵。
对于一组具有m 个观测变量，n 个采样时间点的采样数据，将每个观测变量的值写为行向量，可以得到一个m ×n 的矩阵X 。定义协方差矩阵为：
T x XX n C 1
1-=。 对协方差矩阵进行分析，容易发现协方差矩阵性质如下：
1．x C 是一个m ×m 的平方对称矩阵。
2．x C 对角线上的元素是对应的观测变量的方差。
3．非对角线上的元素是对应的观测变量之间的协方差。
协方差矩阵包含了所有观测变量之间的相关性度量。更重要的是，这些相关性度量反映了数据的噪音和冗余的程度。x C 在对角线上的元素越大，表明信号越强，变量的重要性越高；元素越小则表明可能是存在的噪音或是次要变量。x C 在非对角线上的元素大小则对应于相关观测变量对之间冗余程度的大小。 结论
至此，大量信号的分析，通过使用概率论与数理统计中的随机变量，方差，协方差以及矩阵，已经转化成为了对协方差矩阵的优化与分析。
附录
实际上，通过基变换对协方差矩阵进行优化，找到相关“主元”，得到新的基向量所对应“主元排序”，是PCA （Principal component analysis ，主元分析）的主要内容，可以方便的对数据进行光顺、简化处理或是压缩，已有较成熟的理论体系。本文的相关概念，绝大部分来自概率论与数理统计和数据分析课程。事实上，PCA 中的许多相关概念（例如对信号要求为正态分布等）都与概率论与数理统计有密不可分的关系。这进一步表明了概率论与数理统计是日后多种专业学科的不可或缺的一部分。
概率思想广泛应用于其它学科，用概率方法来解决不等式证明的问题，是概率论研究的重要课题之一。概率方法灵活多样，只要概率模型构造恰当，它可以应用于多种数学问题中。不等式证明中一些不太好解决的问题用概率知识去解是很方便的，这样我们就能在不等式证明中找到概率的应用。这样的探讨对概率论的发展具有很大意义，对教学工作者的教学也有着一定的作用。针对不同的不等式问题，构造适当的概率模型十分重要，用概率方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以为学习高等属性提供概率论背景，有机结合不同学科之间的关系。概率方法在不等式证明中的应用一直为众多学者所关注，许多学者在这方面做了大量的研究工作，本文在前人研究工作的基础上对此进行归纳总结。
有些不等式的证明往往比较复杂, 而且具体的直观含义也比较抽象. 如果能够建立起适当的概率模型, 赋以一些随机事件或随机变量的具体含义,再利用概率论的理论加以证明, 则常常能使证明过程得到简化. 同时还可以为抽象的数学问题提供具体的概率背景, 沟通各数学分支之间的联系.
引理
1：Jensen 不等式
若()f x 在[],a b 为凹函
数，则对于任意(),1,2,,i i a b i n = ,0i λ>()1,2,,i n = ,11n i i λ==∑,则有()11
n n
i i i i i i f x f x λλ==??≥ ???∑∑，
()1,2,,i n =
用Jensen 不等式证明H?lde 不等式
令()ln f x x =，则()210f x x
''=-<，所以()f x 在()0,+∞为凹函数，则对于任意(),01,2,,i i x y i n >= ,111p q
+=由Jensen 不等式可知 11ln ln ln i i i i x y x y p q p
q ??+≥+ ??? 两边取e 为底的对数可得
11p q i i i i x y x y p q
+≥ 令11,p
q i i i i n n p q i i
i i a b x y a
b ====∑∑ 则11111111111n i i n n p q i i i i i i n n p q p q i i i i a b x y x y p q a b =====+=≥=???? ? ?????
∑∑∑∑∑
整理后即得到H?lder 不等式：111111n n n p q
p q i i i i i i a b a b ===????≤ ? ?????∑∑∑
推广的证明：设0(1,2,,ij a i n >= 1,2,,)j s = 则有11111j
j n n s s p p ij ij j j i i a a ====??∏≤∏ ???∑∑，其中111s j j p ==∑（ 证明
令()ln f x x =，则()2
10f x x ''=-<，所以()f x 在()0,+∞为凹函数，则对于任意()()01,2,,1,2,,ij a i n j s >== ,111s
j j
p ==∑由Jensen 不等式可知
(
)11ln ln 1,2,,s s ij ij j j j j x x i n p p ==??≥= ? ??
?∑∑ 两边取e 为底的对数可得
()1111,2,,j s s p ij ij j j j x x i n p ==≥∏=∑ 令1j j p
ij ij n p ij
i a x a
==∑可以得到 1111111111111j j j n s ij s n n s n s j p ij ij i ij j j i i j i n j j s p p ij j i a x x x p p a ==========∏==≥∏=
??∏ ???
∑∑∑∑∑∑∑ 整理后得到11111j
j n n s s p p ij ij j j i i a
a ====??∏≤∏ ???∑∑ 取等条件1(n ik
i aik
c c a
==∑为常数，1,2,,)k s =
上证明阐述了概率方法在不等式证明中的中的应用,显示了概率应用的巧妙性和优越性，通过对以上归纳的不等式的证明,可以看出,要利用概率论的方法对不等式进行证明,关键在于针对不等式的具体形式,构造相应的概率模型,再利用概率论的相关性质、定理加以证明,从而可以使一些不等式的证明大大简化。
致谢：
本论文的撰写是在概率论老师的指导下完成的，倾注了老师大量的心血。在此，谨向老师表示崇高的敬意和衷心的感谢，感谢大学里老师的教育和关心。
初一下数学不等式应用题汇总 例1、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？ 首先考虑一下： 甲商店优惠方案的起点为购物款达元后； 乙商店优惠方案的起点为购物款达元后 （1）现在有4个人，准备分别消费40元、80元、140元、160元，那么去哪家商店更合算？为什么？ （2）如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？（3）累计购物超过100元而不到150元时，在哪个店购物花费小？累计购物恰好是150元时，在哪个店购物花费小？ （4）根据甲乙商店的销售方案，顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？你能为消费者设计一套方案吗？ 解：设累计购物Ｘ元（Ｘ＞１００），如果在甲店购物花费小，则 50+0.95(X-50)>100+0.9(X-100) 得 X>150 答:累计购物超过150元时在甲店购物花费小 例2、某班同学外出春游，需拍照合影留念；若一张底片需0.57元，冲印一张需0.35元，每人预定得到一张而且出钱不超过0.45元，问参加合影的同学至少有几人？ 答案（不是唯一的，仅作参考）及评分标准： 解：设参加合影的同学至少有X人，根据题意，得：………1分 0.57 + 0.35 X ≧ 0.45X……… 2分 解这个不等式，得：X≧5.7 因为参加的人数只能是整数,所以参加的人数至少是6人。……… 1分 答：参加合影的同学至少有6人。……… 1分 例3、某服装厂现有A种布料70米、B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需要用A种布料0．6米、B种布料0．9 米，可获利润45元，做一套N型号的时装需要用A种布 料1．1米、B种布料0．4米，可获利润50元，请你设 计最佳方案。 分析：我们可以将问题转化为一元一次不等式组 的问题来求解。 (参考解：设生产N型号的时装套数为x，用这批 布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元，根 据题意 0.6(80-x)+1.1x≤70, 0.9(80-x)+0.4x≤52 ∴40≤x≤44； ∵x的取值范围是40、41、42、43、44，又 y=50x+45(80-x)，即y=5x+3600。 由观察知：当x=44时，y有最大值，最大值为 5x44+3600=3820，即当N型号的时装为44套时，所获利 润最大，最大利润为3820元 例4、某学校需刻录一批教学用的VCD光盘，若电脑公 司刻录，每张需9元(包括空白VCD光盘费)；若学校自 刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元(包括 空白VCD光盘费)。问刻录这批VCD光盘，到电脑公司刻 录费用省，还是自刻费用省?请说明理由。 教师：同学们仍然分组讨论交流。 设需刻录x张VCD光盘，则到电脑公司刻录需9x元， 自刻需要(120+4x)元。 当9x>120+4x时，即x>24时，自刻费用省。 当9x=120+4x时，即x=24时，到电脑公司与自刻费 用一样。 当9x<120+4x时，即x<24时，到电脑公司刻录费用 省。 例5、一个长方形足球场的长为xm，宽为70m；如果它 的周长大于350m，面积小于75602 m，求x的取值范围， 并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛o (注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之 间，宽在64m到75m之间) 参考解：依据长方形的周长和面积公式，得 2(x+70)>350，① 70x < 7560 ② 解：①得x>105，解②得x<108． ∴105 高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用 拉格朗日MJ 兰三中 摘要：从凸函数出发证明cauchy不等式、radon不等式等一系列常用不等式，并举例应用。 关键词：cauchy不等式、radon不等式。 一、不等式的引入 数学教育的理论研究在近二十年中经历了非常重要的转变。自90年代以来，数学教育的现代研究明显表现出多样化、多方位的新特点，而且还表现出多学科的相互渗透与整合这一趋势，与国际教育界的现代发展潮流也完全吻合。其中不等式的学习也变得尤为重要。近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。对于不等式的证明问题，由于各类题型非常多变，而方法又十分灵活多样，具有极强的技巧性，通常也没有固定的程序可循，这不是单单用一种方法就可以解决的，它需要多种方法的巧妙应用。不等式的概念和性质是证明不等式和解决不等式问题的主要依据，同时也是各类数学思想方法的集中体现。要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式并能灵活运用不等式的各种常用的证明方法。还有一些大学中相对比较常用的不等式，如Radon不等式，Jensen不等式等等。在实际的问题解决过程中，综合法和分析法往往是交织起来使用的，利用分析法试误证明思路和方法，用综合法整理或形成证明过程。有时候，上述的各种方法往往相互结合起来，再配上一些特殊技巧和策略来证明不等式的相关问题。 二、不等式在数学问题中求解的重要性 不等式这个知识模块是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已经举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式。 不等式一直是非常活跃而又有吸引力的研究领域，其研究的深度和广度都在迅速扩大。高等数学中又接触了各式各样的“穿马甲”的不等式。从数学分析到初等数学研究，从竞赛数学到相似微积分，我们都能看到不等式的身影。其中较常用的不等式有均值不等式、Jensen不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Radon 不等式、伯努利不等式、young不等式、加权幂平均不等式等等。 不等式一直是非常活跃的研究领域，这里我主要选了Jensen不等式、Cauchy 不等式、Radon不等式这三类不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。从凸函数的性质我们知道Jensen不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。而Cauchy不等式的推导从简单的初等数学中得来又应用到初等数学中解决了许多用普通几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的问题。Radon不等式则是指数函数的Jensen不等式的特例而已。利用凸函数的jensen不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。 精心整理 中考复习之方程与不等式的应用 【一元一次方程的应用】 1、互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，人科获利20元，则这件商品的进价为元。 2、商店销售意见商品，按照成本价提高40%后作为标价出售，节日期间促销，按标价打8折后售价为1232元，则这件商品的成本为元。 请你 （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应交水费多少元？ 10、居民用电实行阶梯式递增电价，可以提高能源效率，某市居民阶梯电价：第一档为年用电量再2700及以下部分，每度0.53元；第二档为年用电量在2700至4800度，超出2700度的部分，每度0.58元；第三档为年用电量4800度，超过4800度的部分，每度0.83元。（1）小明家2016年用电量为2000度，则他家2016年的电费为多少元?(2)若小明家2017年电费为2815元，则他家2017年用电量为多少度？ 【分式方程】 1、某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，可列方程 2、某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知A类器材比B类器材的单价低10元，用150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同，则B类器材的单价为元． 3、某工厂现在平均每天比原价计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，请问原计划平均每天生产多少台机器？ 4、某机械加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件。已知每名工人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保能够同时完成两种零件的加工任务（每名工人只能加工一种零件）？ 5 乙班高6%。求乙班的达标率。 6 料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400 打印，这份资料的总质量为160克，。 7、A、B两地相距48其纳米，一艘轮船从A 水流速度为4千米/小时，求该轮船在静水中的速度。 8、A地到B1h，最 （2） 91500千克和2100千克．已 x千克，则根据题意列出的方程是 1060个物件所用的时间与小李分拣45个物件所 x个物件，根据题意列出的方程是 11120m后，为了尽量减少施工对城市交通所 30天完成这一任务、求原计划每天铺设管道的长度，如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程 12、某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 13、为顺利通过国家文明城市的验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程。现在有甲乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成。（1）甲、乙两个工程对单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少。 一元一次不等式应用题 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式； ⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。 一．分配问题： 1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？ 2 .把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？ 3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 4．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？ 5. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。 （1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组： （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？ 二速度、时间问题 1爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？ 第一章 1.设P （A ）=3 1，P （A ∪B ）=2 1，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=3 1，P （A ∪B ）=2 1，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ?）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独立 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18 第二章 1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413） 设随机变量X~N （2，22），则P{X ≤0}=（P{(X-2)/2≤-1} =Φ（-1）=1-Φ（1）=0.1587 2.设连续型随机变量X 的分布函数为???≤>-=-,0, 0;0,1)(3x x e x F x 方 程 与 不 等 式 的 综 合 应 用 若关于X 的方程2x - m=x- 2的解为x=3，则m 的值为（ ） C. - 7 D . 7 10. _____________________________________________________ 如果不等式3x - mC 0的正整数解是1, 2, 3,那么m 的范围是 ____________________ . 11. 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是X 1和X 2,如果X 汁X 2 - X 1X 2V -1,且k 为整数，则k 的值为 解答题 1. A. 2. 已知关于x 的二元一次方程组 3x+y=3ni-5 ,若x+y >3,则m 的取值范围是 A. mv 2 C. m> 3 D. m> 5 3. 方程2x 2 - 6x - 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ A. 6、2、5 B . 2、- 6、5 C. 2、- 6、- 5 D. - 2、6、5 4. 关于X 的分式方程旦二I 的解为正数，贝U m 的取值范围是（ A. 5. m> 2 B . m> 2 且 m^ 3 C. nv 2 D. m> 3 且 m^ 2 有解，则实数a 的取值范围是（ 若不等式组 A. a>- 2 B. av — 2 C. a<- 2 D. a>- 2 二.填空题 K = y ? 7.已知（X - y+1） 2 也旳=0，则x+y 的值为 ______ . 8若关于X 的一元二次方程kx 2- 2x - 1=0有两个不相等的实数根，则 6.已知3x=4y ,则 范围是 9.若关于x 的分式方程 已=2的解为非负数，贝U m 的取值范围是 H-1 k 的取值 12. 解分式方程: 13. 解不等式组: 2亠 s+L K-1 ^3K +3>2K +7,-① "空竺-<3-K …②，并把解集在数轴上表示出来. 3 学生姓名陈 年级初一 授课时间2012.6 .2 教师姓名刘 课时 2 不等式易错题、难题集合 （注意：运用不等式的性质是解题的关键！ ！ ！ ！ ！ ！不等式的性质切记！ !!!!!!!） -，选择题 1.下列不等式一定成立的是（） A.5a >4a B.X +2 v X +3 C. — a >— 2a D.- a 2. 右一a >a ,贝U a 必为（） A.正整数B .负整数C .正数D .负数 3. 若a > b ,则下列不等式一定成立的是（ ） b a A . <1 B. >1 C.-a>-b D.a-b>0 a b 4. 若a — b v 0,则下列各式中一定正确的是（ ） a <0 D . b A. a >b B . ab>0 C —a >— b 5.如果b A.- a 那么 1 1 b 6. 若果 x-y>x,x+y>y A.0 2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含 答案] 一、选择题 1．设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则，发生事件且 ()0.6P A =，10021X X X ，，， 相互独立。令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布 函数)(y F 近似于（B ）。 A. )(y Φ B. Φ C.(60)y Φ- D.60()24y -Φ 2．设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。 A. p1 一元一次不等式应用题专项练习 1．某校两名教师带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司，经洽谈后，甲公司优惠条件是1名教师全额收费，其余折收费；乙公司的优惠条件是全部师生8折收费．试问：当学生人数超过多少人时，甲旅游公司比乙旅游 公司更优惠 2．有人问一位老师：“您所教的班级有多少名学生”老师说一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一 的学生在学外语，还剩不足6位学生在玩足球．”求这个班有多少位学生 3．某工程队要招聘甲、乙两种工人150人，甲、乙两种工种的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人 数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付工资最少 4．某商店以每辆300元的进价购入200辆自行车，并以每辆400元的价格销售．两个月后自行车的销售款已超过这批 自行车的进货款，问这时至少已售出多少辆自行车 5．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：（1）用含x的代数式表示m； （2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数． 6．某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60t水果从A地运到B地．已知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是Skm，两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费用外，其他收取的费用和有关运输资料由表列出： 运输工具行驶速度（km/h）运输单价（元/t．km）装卸费用 汽车5023000 火车804620 （1）分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1元和y2元（用含S的式子表示）； （2）为减少费用，当s=100km时，你认为果品公司应该选择哪一家运输单位更为合算 《概率论》期末考试试题（B卷答案） 考试时间：120分钟（2005年07月） 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下： 求甲、乙两人生产废品的数学期望，比较甲、乙两人谁的技术高？（） A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75％。从产品中任取一件为一级品的概率是多少？（） A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在（） A （0，1） B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（） A. A为必然事件，B为不可能事件 B. A为必然事件，B不是不可能事件 C. A不必为必然事件，B为不可能事件 D. A不一定是必然事件，B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件，则= A P （） (B ) A. P（A）+ P（B） B. P（A）－P（B）+ P（AB） C. P（A）+ P（B）－P（AB） D. P（AB）－P（A）－P（B） 6.若已知φ A ，且已知P（A）＝0，则（） B = A.A与B独立 B. A与B不独立 C.不一定 D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独立 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（ ） A.np B.p （1－p ） C.n （1－p ） D.np （1－p ） 8.设),(~2σμN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（ ） A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（ ） A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题（3*8=24分） 1. 设A 、B 是两个独立随机事件，则（ ） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（ ） 方程与不等式应用题（讲义） 知识点睛 1.理解题意：分层次，找结构 借助表格等梳理信息 2.建立数学模型：方程模型、不等式（组）模型、函数模型等 ①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程； ②显性、隐性不等关系等，考虑不等式（组）； ③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑 函数． 3.求解验证，回归实际 ①数据是否异常； ②结果是否符合题目要求及取值范围； ③结果是否符合实际意义． 精讲精练 1.为支持某地区抗震救灾，A，B，C 三地现在分别有赈灾物资 100 吨，100 吨，80吨，需要全部运往重灾地区的 D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨．要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60 吨， A地运往D县的赈灾物资为x 吨（x 为整数），B 地运往D县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的 2 倍．其余的赈灾物资全部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 23 吨．已知 A，B，C 三地的赈灾物资运往 D，E 两县的费用如下表： （1）这批赈灾物资运往 D，E 两县的数量各是多少？ （2）A，B 两地的赈灾物资运往 D，E 两县的方案有几种？请 你写出具体的运送方案． （3）为及时将这批赈灾物资运往 D，E 两县，某公司主动承担 运送这批赈灾物资的总费用，在（2）的条件下，该公司承担 运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？ 2.为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了 3 台甲型和 2 台乙型污水处理设备，共花费资金 46 万元，且每台乙型设备 的价格是每台甲型设备价格的 80%．实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水 180 吨，每台乙型设备每月能处理污水 150 吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为 1 万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5 万 元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共 8 台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过 74 万元，预计二期工程完成 后每月将产生 1 250 吨的污水． （1）每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．（3）若两种设备的使用年限都为10 年，则在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+ 各种维护费和电费） 不等式在公务员考试行测数学计算中的应用 公务员考试《行政职业能力测验》题量之大，时间之紧是众所周知的，提高做题速度与准确率是考生锲而不舍追求的终极目标。其中，《行政职业能力测验》的一些复杂的数学计算，如果能巧妙运用不等式相关性质则可以大大简化运算，提高判断、运算效率和准确率。本文中将通过实例来说明分数不等式、齐次不等式、非齐次不等式在数学计算中的应用。 1.分数不等式 设a>b>c>0，则，，这两条不等式性质可以总结为：真分数越加越大，越减越小。 设b>a>c>0，则，，这两条不等式性质可以总结为：假分数越加越越小，越减越大。 例1：比较与的大小 解析：应用真分数越加越大，越减越小性质可以快速得到： <=<，或者 例2：比较与的大小 解析：应用假分数越加越越小，越减越大性质可以快速得到： ，或者 当然，例1和例2亦可采用差分法来求解。 2.齐次不等式 设a> 0，b>0，有，，当a=b时等号成立。 例3：数列中数值最小的项是（）。[2010年福建省春季公务员考试行政职业能力测验真题-103] A. 第4项 B. 第6项 C. 第9项 D. 不存在 解析：首先观察数列，容易看出数列的通项为（N为自然数），此时可以应用齐次不等式性质，即，可知此数列最小一项一定大于或等于3，再结合选项判断，易知A选项即第4项大于3，第6项为，故答案为B（因为一道题目不可能有两个答案，所以第9项一定大于3）。 3.非齐次不等式 设a> 0，则，当时不等式的等号成立；其实根据高等数学相关知识我们知道，当时，（等 价），当取值越小，不等式两边的值越接近。此不等式在行测之资料分析中求解、估算平均增长率时十分有效，因为当a> 2时，对于方程我们无法用手工求解，但我们可以近似替代（增长率基本上都是一个很小的数，此替代几乎不影响结果。）即，用此式求解就极其简单了，还应知道原解一定小于用此式求解出的。 例4：近年来，我国卫生事业快速发展，卫生人力总量增加。2007年卫生技术人员达到4680万人，与2003年相比，增加了374万人。那么从2003年至2007年，卫生技术人员年平均增长( )。[2009年上海市公务员考试行政职业能力测验真题] A. 2.1% B. 2.2% C. 2.5% D. 8.7% 解析：设卫生技术人员年平均增长率为，则根据题意容易得到，显然此式根本无法用手工求解，但应用不等式性质有，，，显然答案为A。 《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54). (5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩 07级《概率论》期末考试试题 A 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概 1 o 10 — 解答: 单项选择题（满分15分）： ，B 、C 为三个事件,用A 、B C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为 B C . ② ABC ABC ABC ABC . ④ ABC ABC ABC ABC 率为 解答：P 1 2 3! 5! 1 10 2.设 P(A) P,P(B) q, P(A B) r,则 P(AB) 解答：P （AB ） P(A B) P[(A B) B)] P(A B) P(B) r q 3.设随机变量 的分布列为 P(X k) 3^,k 0,1,2,... 解答: 3 -a 2 4.设随机变量为 已知D =25,D =36, 0.4,则 D( - )=_37 D( )D cov(, 2cov( D( 25 36 5 6 0.4 37 5.设随机变量服从几何分布 P( k) p,k 12... o 贝u 的特征函数 (t) 解:f t E(e it ) itk k 1 e q p k 1 it pe it qe k 1 P e" 1 qe . 1.设.A 、 2.下列函数中, ( ） 可以作为连续型随机变量的分布函数 x 3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为 土, k S. 0,k 0,1,2... （③）。 ①二项分布 ③均匀分布. 三、（满分20分） （1）把长度为a 的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概 率。 解：设X 、y 分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为 (x, y)0 x a,0 y a,0 x y a ， 又设 A = “三条线段能构成一个三角形” a x, y x y 2,x ①P( n k) k p k (1 P)n k ,0 p 1,k 0,1,...,n . ④.P( k) (1 p)k 1 p, 0 p 1, k 1,2, … 4.设 （， 2 ）服从二维正态分布 N （a 1,a 2； 1 2 、 2 ;r)，r 0是，独立的（③）。 ①充分但不必要条件 ③充分且必要条件 ②必要但不充分条件. ④.既不充分也不必要条件 5.设随机变量 1 、 2为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为 （② ②P( ③P( ②.泊松分布 ④正态分布 a (x y)，则 =(x, y) x y a (x y),x a (x y) y, y a (x y) x 三角形不等式的应用举例 根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用. 类型一：证明形如a b c +>型的不等式 例1、已知x y z 、、 > 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理： == 又OA OB OC,+>所以原不等式成立. 例2、已知x y z 、、 > 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,， 则BC C A == 又AB BC C,A +>所以原不等式成立. 类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式 例3、已知x y z 、、 y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形， ).BC CD AB x y z =++≥++ D A x y z x y z 类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式 例4、设01,01x y <<<<求证： ≥ 证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部. 由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立. 应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等. 例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥ 分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝ 这个条件进行化简. 证明：2, 只要证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++x 即证22[()2]x y xy x y +-+++ 注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++ 即证14,xy ≥+ 即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++ 即证287,xy -≥-1,4 xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14 xy ≤成立. 所以原不等式成立. 如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式： 证明：左边== 07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 5 2 。 5 2 !5!422=?= p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()( 3.设随机变量ξ的密度函数为() 0 3，其它 ?? ?>=-x ce x x ?则c= 3 . 33 )(130 =?= ==-+∞ +∞ ∞ -? ? c c dx e c dx x x ? 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1， 则Cov(ξ,η)= 1 . 1 21 472)(),cov() ,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布) 1 ,1(B ，其分布律为 则ξ的特征函数为= )(t f ξit e 3 132+。 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.设随机变量ξ的分布函数为 00)(2 2 <≥?? ???+=-x x B Ae x F x 则其中常数为（① ）。 ①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1 B A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→- +∞ →+∞ →++2 2 22lim )(lim 0lim )(lim 1 解得1,1=-=B A 3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,2 1 )2)1(( ==-=k k P k k k ξ则ξE （ ④ ） ①等于1. ② 等于2ln ③等于2ln - ④ 不存在 445111 =?==∑ ∞ =C C C i i ∑∑+∞=+∞ =+=?-11 1 1 4545) 1(i i i i i i i ，由调和级数是发散的知，EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η，下面（④ ）说法与0),cov(=ηξ不等价。 ①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+ ③ ηξξηE E E ?=)( ④ ξ 与η相互独立 5.设随机变量ξ服从二项分布)2 1 ,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.31 )32(≤ ≥-ξP ②.91 )32(≤≥-ξP ③ 3 1 )32(≥<-ξP . ④ 9 1)32(≥ <-ξP 因为9 1 )32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、（满分20分） （1）两人相约7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 解： 七年级数学下册-一元一次不等式应用题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 一元一次不等式应用题 【典型例题】 1. 有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，这个两位数在30～50之间，求这个两位数。 解：设这个两位数的个位数字为x ，依题得： ∵x 为正整数或0，符合条件的为x=1，2，相对应的十位数字为3，4。 所以这个两位数可为31，42。 2. （实际问题）某市出租车的起价为 7元，达到5km 时，每增加1km 加价 1.20元。（不足1km 部分按1km 计算），现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付 17.8元的车费，从甲地到乙地的路程大约为多少？ 分析：根据已知甲到乙地的路程一定大于5km ，因为17.8元>7元， 设甲地到乙地的路程为xkm ，则有 解：设甲地到乙地的路程为xkm ，依题得 3、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。这些书有多少本？学生有多少人？ 设学生有x 人，则书有（3x+8）本，所以0〈3x+8-5（x-1）〈3，5〈x 〈6。5。又x 为正整数，所以x=6，所以3x+8=26。 4. 每期《初中生》发下来后，小刚都认真阅读，他如果每天读5页，9 天读不完，第10 天剩不足 5页，如果他每天读23页，那么2天读不完，第3天剩不足23页，试问《初中生》每期有多少页？（页数为偶数） 分析：“读不完”指的是有一部分未读，“不足”指的是“少于”的意思。 解：设《初中生》每期有x 页，依题意得高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用
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