2021年新高考数学导数在不等式中的应用知识梳理考情分析
教师版
第15讲-导数在不等式中的应用
一、经典例题
考点一构造函数证明不等式
【例1】已知函数f(x)＝1－x－1
e x，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1；
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－1 e2.
证明(1)由题意得g′(x)＝x－1
x(x>0)，
当0
即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.所以g(x)≥g(1)＝1，得证.
(2)由f(x)＝1－x－1
e x，得f′(x)＝
x－2
e x，
所以当0
即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)≥f(2)＝1－1
e2(当且仅当x＝2时取等号).①
又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，
所以(x－ln x)f(x)>1－1 e2.
规律方法 1.证明不等式的基本方法：
(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①?x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②?x1，x2∈[a，b]，且x1 (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则?x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m). 2.证明f (x ) 考点二 利用“若f (x )min >g (x )max ，则f (x )>g (x )”证明不等式 【例2】 已知函数f (x )＝x ln x －ax . (1)当a ＝－1时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1> 1 e x ＋1－2e 2x 成立. (1)解 函数 f (x )＝x ln x －ax 的定义域为(0，＋∞). 当a ＝－1时，f (x )＝x ln x ＋x ，f ′(x )＝ln x ＋2. 由f ′(x )＝0，得x ＝1 e 2. 当x ∈? ? ? ??0，1e 2时，f ′(x )<0；当x >1e 2时，f ′(x )>0. 所以f (x )在? ????0，1e 2上单调递减，在? ????1e 2，＋∞上单调递增. 因此f (x )在x ＝1e 2处取得最小值，即f (x )min ＝f ? ?? ?? 1e 2＝－1e 2，但f (x )在(0，＋∞)上无最大值. (2)证明 当x >0时，ln x ＋1>1e x ＋1－2e 2x 等价于x (ln x ＋1)>x e x ＋1－2 e 2. 由(1)知a ＝－1时，f (x )＝x ln x ＋x 的最小值是－1e 2，当且仅当x ＝1 e 2时取等号. 设G (x )＝x e x ＋1－2 e 2，x ∈(0，＋∞)， 则G ′(x )＝1－x e x ＋1，易知G (x )max ＝G (1)＝－1 e 2， 当且仅当x ＝1时取到，从而可知对一切x ∈(0，＋∞)，都有f (x )>G (x )，即ln x ＋1> 1e x ＋1 －2 e 2x . 规律方法 1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题. 2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f (x )min >g (x )max 恒成立.从而f (x )>g (x )，但此处f (x )与g (x )取到最值的条件不是同一个“x 的值”. 考点三 不等式恒成立或有解问题 角度1 不等式恒成立求参数 【例3－1】 已知函数f (x )＝sin x x (x ≠0). (1)判断函数f (x )在区间? ?? ??0，π2上的单调性； (2)若f (x ) ???0，π2上恒成立，求实数a 的最小值. 解 (1)f ′(x )＝x cos x －sin x x 2 ， 令g (x )＝x cos x －sin x ，x ∈? ? ? ??0，π2，则g ′(x )＝－x sin x ， 显然，当x ∈? ????0，π2时，g ′(x )＝－x sin x <0，即函数g (x )在区间? ? ???0，π2上单调递减，且g (0)＝ 0. 从而g (x )在区间? ? ???0，π2上恒小于零， 所以f ′(x )在区间? ? ? ??0，π2上恒小于零， 所以函数f (x )在区间? ? ? ??0，π2上单调递减. (2)不等式f (x ) ? ??0，π2恒成立，即sin x －ax <0恒成立. 令φ(x )＝sin x －ax ，x ∈? ? ???0，π2， 则φ′(x )＝cos x －a ，且φ(0)＝0. 当a ≥1时，在区间? ? ???0，π2上φ′(x )<0，即函数φ(x )单调递减， 所以φ(x )<φ(0)＝0，故sin x －ax <0恒成立. 当0 ???0，π2上存在唯一解x 0， 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )>0，故φ(x )在区间(0，x 0)上单调递增，且φ(0)＝0， 从而φ(x )在区间(0，x 0)上大于零，这与sin x －ax <0恒成立相矛盾. 当a ≤0时，在区间? ? ???0，π2上φ′(x )>0，即函数φ(x )单调递增，且φ(0)＝0，得sin x －ax >0恒成立，这与sin x －ax <0恒成立相矛盾. 故实数a 的最小值为1. 规律方法 1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围. 2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a ≥f (x )(或a ≤f (x ))的形式，通过求函数y ＝f (x )的最值求得参数范围. 角度2 不等式能成立求参数的取值范围 【例3－2】 已知函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a ln x (a ∈R ). (1)若f (x )在区间[1，2]上是单调函数，求实数a 的取值范围； (2)函数g (x )＝(1－a )x ，若?x 0∈[1，e]使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝（2x －1）（x －a ） x ，当导函数f ′(x )的零点x ＝a 落在区间(1，2)内时，函数f (x ) 在区间[1，2]上就不是单调函数，即a ?(1，2)， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞). (2)由题意知，不等式f (x )≥g (x )在区间[1，e]上有解， 即x 2－2x ＋a (ln x －x )≥0在区间[1，e]上有解. 因为当x ∈[1，e]时，ln x ≤1≤x (不同时取等号)，x －ln x >0，所以a ≤x 2－2x x －ln x 在区间[1，e] 上有解. 令h (x )＝x 2－2x x －ln x ，则h ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ） （x －ln x ）2. 因为x ∈[1，e]，所以x ＋2>2≥2ln x ， 所以h ′(x )≥0，h (x )在[1，e]上单调递增， 所以x ∈[1，e]时，h (x )max ＝h (e)＝e(e －2) e －1， 所以a ≤ e(e －2) e －1 ， 所以实数a 的取值范围是? ? ???－∞， e(e －2)e －1. 规律方法 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 a ≥f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≥f (x )min ； a ≤f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≤f (x )max . 2.含全称、存在量词不等式能成立问题 (1)存在x 1∈A ，任意x 2∈B 使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )max ≥g (x )max ；(2)任意x 1∈A ，存在x 2∈B ，使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )min ≥g (x )min . [方法技巧] 1.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题. 2.恒(能)成立问题的转化策略.若f (x )在区间D 上有最值，则 (1)恒成立：?x ∈D ，f (x )>0?f (x )min >0； ?x ∈D ，f (x )<0?f (x )max <0. (2)能成立：?x ∈D ，f (x )>0?f (x )max >0； ?x ∈D ，f (x )<0?f (x )min <0. 3.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数. 4.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同. 二、 课时作业 1．函数f （x ）的定义域为R ，()13f -=，对任意x ∈R ，()3f x '<，则()36f x x >+的解集为（ ） A ．{} 11x x -<< B ．{} 1x x >- C ．{} 1x x <- D ．R 【答案】C 【解析】设()()()36g x f x x =-+，则()()30g x f x ''=-<，所以()g x 为减函数， 又()()3110g f --=-=， 所以根据单调性可知()0g x >，即()36f x x >+的解集是{} 1x x <-. 2．下列三个数：33 ln ,ln ,ln 3322 a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >> 【答案】A 【解析】构造函数 ，因为 对一切 恒成立， 所以函数 在上是减函数，从而有， 即a c b >>，故选A ． 3．设函数()f x 在R 上存在导数 '()f x ，对任意的x ∈R 有()()2f x f x x --=，且在[0,)+∞上 '()1f x >. 若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞ C ．[1,2] D ．[1,3]- 【答案】A 【解析】令()()g x f x x =-， 则()()()[()()]()()20g x g x f x x f x x f x f x x --=-----=---=， 故()g x 为偶函数， 在[0，)+∞上，()1f x '>，且()()10g x f x ''=->， 故()g x 在[0，)+∞上单调递增，根据偶函数的对称性可知，()g x 在(,0)-∞上单调递减， 由(2)()22f a f a a ---，可得(2)(2)()f a a f a a ----， 即(2)()g a g a -， 则|2|||a a -≥， 可转化为2 2 (2)a a -≥， 解可得，1a ≤， 4．若关于x 的不等式1ln x axe x x -≥+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[),e +∞ B ．,2e ??+∞???? C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】D 【解析】因为关于x 的不等式1ln x axe x x -≥+恒成立， 所以ln 1 1,0≥ ++>x x ae x x x 恒成立， 令()ln 1 1=++x g x x x ， ()2ln x g x x -'= ， 当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<， 所以当1x =时，()g x 取得最大值2. 又因为e 1x > ， 所以2a ≥ 故实数a 的取值范围为[)2,+∞. 5．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式 ()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ） A ．()0,1 B ．[)1,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．()0,∞+ 【答案】D 【解析】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>， ()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增， 当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >， ∴当1x =时，显然不等式()() ()2111x f x f x x +->-+成立. 当1x >时，则10x -<，所以( )()()()2 2 2 1111x f x x f x x x --<--+-， 整理得( )()()()()()2 2 2 111111x f x x x f x x ----<----，即()()2 11g x g x -<-， 所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以( )()()()2 2 2 1111x f x x f x x x -->--+-， 整理得( )()()()()()2 2 2 111111x f x x x f x x ---->----，即()()2 11g x g x ->-， 所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<. 综上所述，原不等式的解集为()0,∞+. 6．定义在上的函数()x x g x e e x -=++，则满足()()213g x g -＜的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,2- C ．()2,+∞ D ．()1,2- 【答案】D 【解析】因为()g x 为偶函数，且()e e 1(0)1x x g x f -+≥'=-=在[0,)+∞上恒成立，所以()g x 在 [0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，且图象关y 轴对称，则由()21(3g x g -<)得 |21|3x -<，解得12x -<<；故选D. 7．已知函数()() ()2 lnx x b f x b R x +-=∈，若存在122x ??∈???? ， ，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（ ） A ．32??-∞ ?? ?， B ．94? ?-∞ ?? ?， C ．（﹣∞，3） D ．(∞- 【答案】B 【解析】∵()()2 lnx x b f x x +-=，0x >， ∴()()() 2 2 12x x b lnx x b f x x +----'= ， ∴()()() ()() () 2 2 1212lnx x b x x b lnx x b x x b x x f x x x f x +-+----++-= + = '， ∵存在122x ??∈???? ， ，使得()()0f x xf x '+>，即()120x x b +-> ∴12b x x <+ ， 设()12g x x x =+ ， ∴()max b g x < ∴()222 121 122x g x x x -'=-=， 当()0g x '=时，解得：2 x = ， 当()0g x '>时，即 22 x <<时，函数单调递增， 当()0g x '<时，即 122 x << 时，函数单调递减， 因为()13 9,2224g g ??== ??? ，所以()max 94g x = ∴94 b < ， 8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（ ） A ．()()2015 20150f e f >，()()10f ef > B ．()()201620160f e f >，()()10f ef < C ．()()2017 20170f e f <，()()10f ef > D ． ()()201820180f e f <，()()10f ef < 【答案】D 【解析】构造函数()()x f x g x e =，则()()() 0x f x f x g x e '-'=<，所以，函数()y g x =为R 上的减函数. 对于A 选项，()()20150g g <，()()10g g <，则()()2015 20150f f e <，()()10f f e <， 所以，()()2015 20150f e f <，()()10f ef <，A 选项错误； 对于B 选项，()()20160g g <，则 ()()2016 20160f f e <，所以，()()2016 20160f e f <，B 选项错误； 对于C 选项，()()20170g g <，则 ()() 201720170f f e <，所以，()()2017 20170f e f <，C 选项错误； 对于D 选项，()()20180g g <，则 ()()2018 20180f f e <，所以，()()2018 20180f e f <，D 选项正确. 9．已知函数()f x 是定义在,22ππ?? - ???上的奇函数.当0,2x π??∈???? 时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式 ()cos sin 02x f x x f x π? ??++?-> ?? ?的解集为（ ） A ．,42ππ?? ?? ? B ．,42ππ?? - ?? ? C ．,04π?? - ??? D ．,24ππ?? - - ?? ? 【答案】C 【解析】令()()sin g x f x x =，()()cos ()sin [()()tan ]cos g x f x x f x x f x f x x x '=+'=+'， 当[0x ∈，)2 π 时，()()tan 0f x f x x +'>，()0g x ∴'>，即函数()g x 单调递增． 又(0)0g =，∴[0, )2 x π ∈时，()()sin 0g x f x x =>， ()f x 是定义在(2π - ，)2π 上的奇函数，()g x ∴是定义在(2π-，)2 π上的偶函数． 不等式cos ()sin ()02 x f x x f x π ++->， 即sin()()sin ()22x f x xf x ππ++>，即()()2g x g x π +>， ||||2 x x π ∴+ >，4 x π ∴>- ①， 又2 2 2 x π π π - <+ < ，故0x π-<<②， 由①②得不等式的解集是,04π?? - ??? ． 10．关于函数()332,0 2cos , 0x x x f x x x ?-+=?≤?＞，有下述四个结论： ①()f x 是周期函数． ②()f x 在[],1π-上单调递增． ③()f x 的值域为(],2-∞． ④若函数()y f x m =-有且仅有两个不同的零点，则()2,4m ∈． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 【答案】C 【解析】当0x >时，()3 32f x x x =-++， 所以()()' 223331f x x x =-+=--， 令' 0f x 得：1x =或1x =-， 所以当()0,1x ∈时，()' 0f x >，()f x 递增， 当()1,x ∈+∞时，()' 0f x <，()f x 递减， 且()()max 14f x f ==， 则()f x 的图象如图所示： 由图可知： ()f x 不是周期函数，故①错误； ()f x 在[],1π-上单调递增，故②正确； ()f x 的值域为(],4-∞，故③错误； 若函数()y f x m =-有且仅有两个不同的零点，即函数y m =与函数()y f x =有两个交点，所以由图可知：()2,4m ∈，故④正确. 综上，②④正确. 11．已知函数()()2ln 3,2121,1 x x g x x x x ?-+-<≤-=?--+>-?，且()()()()22 11122221422g m m g m m -++>+-， 则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,4 B ．()2,14 C ．()4,14 D ．()4,+∞ 【答案】C 【解析】构造函数()()()2 122 f x g x x =- +，则函数()y f x =的定义域为()2,-+∞. 当21x -<≤-时，()()()2 1ln 322f x x x =-+- +，()12f x x x '=--， 函数()y f x '=在区间(]2,1--上单调递增，则()()120f x f ''≤-=-<， 所以，函数()y f x =在区间(]2,1--上单调递减； 当1x >-时，()()2 2 12122 f x x x x =--+- +，则()()34110f x x f '=--<-=-<， 所以，函数()y f x =在区间()1,-+∞上单调递减. ()()()()2 2 2 212153ln1312112 222 --+- =>---?-+-=， 所以，函数()y f x =在定义域()2,-+∞上单调递减. 由()()()()2211122221422 g m m g m m -+ +>+-，得()()()()22 11121422222 g m m g m m -- ->-+，即()()122f m f m ->， 所以，122122 m m m --?，解得414m <<. 因此，实数m 的取值范围是()4,14. 12．如果关于x 的不等式3210x ax -+≥在[]1,2-上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2 a ≤ B ．2a ≤ C ．1a ≤ D ．0a ≤ 【答案】D 【解析】当0x =时,不等式成立. 当0x ≠时,不等式3210x ax -+≥在[1,0)(0,2]-?上恒成立等价于2 1 ,[1,0)(0,2]a x x x ≤+∈-恒成立. 令21 ,([1,0)(0,)2]g x x x x + ∈=-则min ()a g x ≤. 又333 ()22 1x x x g x '-==-,令()0g x '≤，解得x ∈ 所以g()x 在[1,0)-上单调递增,在上单调递减, 单调递增. 又因为1 g(1)2 -==. 所以min g()0x =. 所以0a ≤. 13．函数()(2)1(1)x f x a x e x a =+--<，若存在唯一整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）． A ．2,13e ?? ??? B ．21,32e ?? ?? ?? C ．2,13e ?? - ??? D ．21,32e ?? - ??? ? 【答案】B 【解析】1 ()(2)10(2)x x x f x a x e x a x e +=+-- ， 令1()x x g x e +=，则2 ' (1))()(x x x x e x e x g x e e -+-==， 当' ()00g x x >?<；当' ()00g x x ∴()g x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减，且(0)1g =， 如图所示： (2)y a x =+恒过定点(2,0)A -，且(0,1)C ，2 (1,)B e ， ∴1 2AC k =，23AB k e =， 存在唯一整数0x 使得()00f x <， ∴当 21 32 a e ≤<时，存在唯一的整数01x =使得命题成立， 14．若对于任意的120x x a <<<，都有 2112 12 ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2e B ．e C ．1 D ． 12 【答案】C 【解析】由已知有211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ，化简有 1212 ln 1ln 1 x x x x ++< ，而 120x x <<，构造函数2ln 1ln (),'()x x f x f x x x +-= =，令'()0,01;f x x ><< 令'()0,1f x x ，所以函数()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，由1212 ln 1ln 1 x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立，即()f x 在(0,)a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1，选C. 15．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x （12x x <），则（ ） A ．1()0>f x ，21 ()2f x >- B ．1()0f x <，2()12f x <- C ．1()0f x <，21()2 f x >- D ．1()0>f x ，2()12 f x <- 【答案】C 【解析】 因为()ln 12,(0)f x x a x =+->' ， 令0f x ，由题意可得ln 21x ax =-有两个解12,x x ， 即函数()ln 12g x x a =+-有且只有两个零点，即()g x '在(0,)+∞上的唯一极值不等于0， 又由()1122ax g x a x x ='-= -， ①当0a ≤时，()()0,g x f x >''单调递增，因此()()g x f x ='至多有一个零点，不符合题意； ②当0a >时，令0g x ，解得1 2x a = ， 因为1 (0,)2x a ∈，0g x ，函数()g x 单调递增；1 ( ,)2x a ∈+∞，0g x ，函数()g x 单调递 减， 所以12x a = 是函数()g x 的极大值点，则1()02g a >，即1 ln 11ln(2)02a a +-=->， 所以ln(2)0a <，所以021a <<，即1 02 a <<， 故当1 02a << 时，()0g x =的两个根12,x x ，且1212x x a < <， 又()1120g a =->，所以121 12x x a << <， 从而可知函数()f x 在区间1(0,)x 上递减，在区间12(,)x x 上递增，在区间2(,)x +∞上递减， 所以121 ()(1)0,()(1)2 f x f a f x f a =-=-- ，故选C ． 16．对于任意正实数,x y ，都有()2ln ln y x x y x e a ??- -≤ ???，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1 B ．(] 1,e C ．1,e e ?? ??? D ．2 1,e e ?? ?? ? 【答案】A 【解析】()2ln ln y x x y x e a ??--≤ ???，则12ln y y xe x a ????-≤ ???????，设y t x =，0t >，()2ln t f t t e ? ?=- ??? ， 则()ln 21't f t e t e =- +-，()ln 21'0e f e e e e =-+-=， ()212 ''0f t te t =--<恒成立，导函数单调递减， 故()0,t e ∈时，()'0f t >，函数单调递增；当(),t e ∈+∞时，()'0f t <，函数单调递减. 故()()max 1f t f e ==，故 1 1a ≥，故(]0,1a ∈. 17．（多选题）已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef <，2000(2020)(0)f e f < B ．()()10f ef >，2(1)(1)f e f >- C ．()()10f ef <，2(1)(1)f e f <- D ．()()10f ef >，2000(2020)(0)f e f > 【答案】AC 【解析】设()() x f x g x e = ， 所以()()() x f x f x g x e '-'= ， 因为()()f x f x '<， 所以()0g x '<， 所以()g x 在R 上是减函数， 所以()()10g g <，()()20200 即()()10f ef <，2000 (2020)(0)f e f <，2(1)(1)f e f <-， 18．（多选题）若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是（ ） A ．()()2f a f a < B ．()()2a f a e f a >- C ．()() 0>f a f D ．()()0a f f a e > 【答案】BD 【解析】设()()x h x e f x =，()()()()x h x e f x f x ''=+， 因为()()'0f x f x +>， 所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22a a e f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不 确定，故A 错误, 因为a a -<，所以()()a a e f a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确. 因为0a >，所以()()()0 00a e f a e f f >=，因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定.故C 错误. ()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()() 0a f f a e > ，故D 正确. 19．（多选题）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2 f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存 在()()()220111122x x f x x f x x ? ? ∈- ≥---???? ，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ． 1 2 B C ． 2 e D 【答案】BCD 【解析】 令函数21()()2 T x f x x =-，因为2 ()()f x f x x -+=， 22211 ()()()()()()()022 T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=， ()T x ∴为奇函数， 当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减． 存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-， ∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即0 12 x ， ()x g x e a =--；1 ()2 x ， 0x 为函数()y g x =的一个零点； 当1 2 x 时，()0x g x e '=， ∴函数()g x 在1 2 x 时单调递减， 由选项知0a >，取1 2 x =< ， 又0g e e ?-=> ? ， ∴要使()g x 在1 2 x 时有一个零点， 只需使102g a ?? = ??? ， 解得e a ， a ∴的取值范围为,2??+∞?? ??? ， 20．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()2 10x f x '+>，()15f =，则不等式()1 4f x x ≤+的解集为______. 【答案】(]0,1 【解析】由()2 10x f x '+>， 设()()14g x f x x =--，则()()()2 22 1 10x f x g x f x x x '+''=+=>. 故函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()10g =，故()0g x ≤的解集为(]0,1， 即()1 4f x x ≤ +的解集为(]0,1. 21．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____． 【答案】（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【解析】令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝ 当x ＞0时，()()0f x xf x '+> ∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增． ()30f ＝，∴()30g ＝． ∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数． 由()()03g x g >＝，即() ()3g x g ＞， ∴|x |＞3， 解得x ＞3，或x ＜﹣3． ∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞?+∞． 故答案为：()(),33-， -∞?+∞． 22．函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，对任意x∈R，()2f x '>，则f(x)＞2x ＋4的解集为____． 【答案】(－1，＋∞) 【解析】构造函数F(x)=f(x)-2x,()()20,(1)4F x f x F =->-'=',所以即求F(x)>4=F(-1)的解集，而F （x ）在R 上是单调递增函数，所以x>-1,填()1,-+∞． 23．设函数()1ln x f x x ae a -=+-，a R ∈. （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）当()0,x ∈+∞时，()10f x +>恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时，()1ln 1x f x x e -=+- 所以()()11110x x x e x f x e x x xe ----'=-=>. 令()1 x g x e x -=-，()11x g x e -'=-，由()0g x '=，可得1x =. 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当1x =时，()()min 10g x g ==，即()0g x ≥， ()0f x '∴≥，则()f x 在()0,∞+是增函数； （2）解：设()()()()1ln 10x h x f x x ae a x -=+=++->， 所以()()() 11 11x x x e a x h x ae x x e --+'=-=++. 令()()1x p x e a x =-+，则()x p x e a '=-. ①当1a ≤时，()0 10p x e a a '>-=-≥， ()p x ∴在()0,∞+上单调递增，()()010p x p a ∴>=-≥. ()0h x '∴>，()h x ∴在()0,∞+上单调递增， 则()()00h x h >=，结论成立； ②当1a >时，由()0p x '=，可得ln x a =， 当()0,ln x a ∈时，()0p x ' <，()p x 单调递减，又()010p a =-<， ()0,ln x a ∴∈时，()0p x <恒成立，即()0h x '<. ()0,ln x a ∴∈时，()h x 单调递减， 此时()()00h x h <=，结论不成立. 综上，{} 1a a ≤即为所求. 24．已知函数()ln f x x x =-. （1）若函数2 ()2y f x m x x =+-+在1,22 ?????? 上恰有两个零点，求实数m 的取值范围. （2）记函数()()2 12g x f x x bx =+ -，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32 b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值. 【解析】（1）因为()ln f x x x =-，∴函数()()2 2 23ln 0y f x m x x x x x m x =+-+=-++>， 令()()2 3ln 0h x x x x m x =-++>，则()()()211123x x h x x x x --'=-+ = ， 令()0h x '=得11 x = ，21x =，列表得： ∴当1x =时，()h x 的极小值为()12h m =-，又15ln 224h m ??=-- ??? ，()22ln 2h m =-+. ∵函数()2 2y f x m x x =+-+在1,22?? ???? 上恰有两个零点， ∴102(1)0(2)0 h h h ???≥ ?????? ?? 即5ln 204202ln 20m m m ? --≥??- 解得 5 ln 224 m +≤<. （2） ()()21 ln 12 g x x x b x =+-+， ∴()()()2111 1x b x g x x b x x -++'=+-+=， 令()0g x '=得()2 110x b x -++=， ∵1x ，2x 是()g x 的极值点，∴121x x b +=+，121=x x ，∴21 1 x x = ， 第九章不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 要点感知1 用__________表示大小关系的式子,叫做不等式,用__________表示不等关系的式子也是不等式. 预习练习1-1 下列式子中是不等式的有__________. ①3<4；②2x2-3>0；③5y2-8；④2x+3=7；⑤3x+1<7. 1-2 “b的1 2 与c的和是负数”用不等式表示为__________. 要点感知2使不等式__________的未知数的__________叫做不等式的解. 预习练习2-1以下所给的数值中，是不等式-2x+3＜0的解的是( ) A.-2 B.-1 C.3 2 D.2 2-2 不等式3x<9的解的个数有( ) A.1个 B.3个 C.5个 D.无数多个 要点感知3一个含有未知数的不等式的__________,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做__________. 预习练习3-1(20**·宿迁)如图，数轴所表示的不等式的解集是__________. 知识点1 不等式 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 3.用不等式表示： (1)x的2倍与5的差不大于1； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5； (4)a的20%与a的和大于a的3倍. 知识点2 不等式的解集 4.下列说法中，错误的是( ) A.x=1是不等式x＜2的解 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 C.不等式-3x＞9的解集是x=-3 D.不等式x＜10的整数解有无数个 5.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是( ) A.x>-2 B.x<-2 C.x≥-2 D.x ≤-2 6.如图所示，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的-3.6和x，则( ) A.9＜x＜10 B.10＜x＜11 C.11＜x＜12 D.12＜x＜13 7.在下列各数：-2，-2.5，0，1，6中，不等式2 3 x>1的解有__________；不等式- 2 3 x>1的 解有__________. 8.由于小于6的每一个数都是不等式1 2 x-1<6的解,所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法 对不对？ 9.x与3的和的一半是负数，用不等式表示为( ) A.1 2 x+3>0 B. 1 2 x+3<0 C. 1 2 (x+3)<0 D.1 2 (x+3)>0 10.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.下列说法正确的是( ) A.2是不等式x-3<5的解集 B.x>1是不等式x+1>0的解集 C.x>3是不等式x+3≥6的解集 D.x<5是不等式2x<10的解集 12.下列不等式中，4,5,6都是它的解的不等式是( ) A.2x+1>10 B.2x+1≥9 C.x+5≤10 D.3-x>-2 13.(20**·长春改编)不等式x＜-2的解集在数轴上表示为( ) 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 （易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点 一、选择题 1．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ） A ．1x >- B ．3x ≤ C ．13x -≤≤ D ．13x -<≤ 【答案】D 【解析】 【分析】 数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】 由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3， 故选D ． 【点睛】 考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解 集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 2．不等式组30240x x -≥??+>? 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：30240x x -≥??+>? ①②， 解不等式①得，x ≤3 解不等式②得，x ＞﹣2 在数轴上表示为： . 故选D ． 【点睛】 本题考查在数轴上表示不等式组的解集． 3．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+?? +=?的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2 B ．m ＞－3 C ．－3＜m ＜2 D ．m ＜3或m ＞2 【答案】A 【解析】 【分析】 先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可. 【详解】 解325x y m x y m -=+??+=?，得 212 x m y m =+??=-?. ∵x ＞y ＞0， ∴21220m m m +>-??->? ， 解之得 m ＞2. 故选A. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键. 4．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．21090(18)2100x x +-≥ B ．90210(18)2100x x +-≤ C ．21090(18) 2.1x x +-≤ D ．21090(18) 2.1x x +-> 【答案】A 【解析】 设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ． 初中数学不等式专题复 习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、不等式的基本性质 1．若x＞y，则下列等式不一定成立的是（） A．x+4＞y+4 B．﹣3x＜﹣3y C．D．x2＞y2 2．下列命题中，正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c=d则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜d则 3．下列不等式变形正确的是（） A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 4．若a＜﹣1，那么不等式（a+1）x＞a+1的解集为（）二、不等式（组）的解集和整数解 1．如图，数轴所表示的不等式的解集是． 2．不等式2（1﹣x）＜4的解集表示正确的是（） A． B．C．D． 3．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D． 4．不等式组的解集是（） 5．不等式11﹣3x＞1的所有非负整数解的和为． 6．不等式组的最小整数解为（） 7．不等式组的所有整数解的积是（） 8．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为． 三、解不等式（组） 1．解不等式，并把解集表示在数轴上． ①2x+9≥3（x+2）②③≤ ﹣1 2 2．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来（注意原点和单位长度的比例）． （1）（2） （3）（4） 四、可转化为不等式（组） 1．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） 2．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围是 . 3．若代数式的值不小于1，则t的取值范围是．4．已知（x﹣2）2+|2x﹣3y﹣m|=0中，y为正数，则m的取值范围为 . 5．不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值． 6．关于x，y的方程组的解满足x+y＞2，求m的取值范围． 7．若方程组中，x是正数，y是非正数．求k的正整数解. 3 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 初中数学不等式知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 不等式 性质 ①如果x>y，那么y 不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（×÷负数要变号） 解集 确定： ①比两个值都大，就比大的还大(同大取大）； ②比两个值都小，就比小的还小(同小取小）； ③比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）； ④比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。 三个或三个以上成的不等式组，可以类推。 数轴法 把每个不等式的解集在上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。注意实点与空点的区别。 在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。 证明方法 比较法 1.作差比较法：根据a-b>0a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； 初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组） 5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1π y 与 10 31 y 的大小. 解析 首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π 31 <,所以110π 31 y y > 5.1.2★解关于x 的不等式 233122x x a a +--> . 解析 由题设知0a ≠,去分母并整理得 (23)(23)(1)a x a a +>+-. 当230a +>,即3 (0)2 a a >-≠时,1x a >-； 当230a +=,即32 a =-时,无解； 当230a +<,即32 a <-时,1x a <-. 评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论. 5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49 x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析 已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知 20, 434.29a b b a a b -等价于 721 ()2028 a a x a a -+->, 即5528ax a ->,解得14 x >-. 所求的不等式解为14 x >-. 5.1.4★★如果关于x 的不等式 (2)50a b x a b -+-> 的解集为10 7 x < ,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析 由已知得 (2)5a b x b a ->-,① 710x ->-.② 由已知①和②的解集相同,所以 27, 510, a b b a -=-?? -=-? 解得 5, 3. a b =-?? =-? 从而ax b >的解集是3 5 x <. 5.1.5★求不等式 111 (1)(1)(2)326 x x x +---≥ 的正整数解. 解析 由原不等式可得1736x ≤,所以72 x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90, 80x a x b -?? - 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 方程与不等式组知识点总结 方程与方程组 一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： 初中数学竞赛专项训练（4） （不等式） 一、选择题： 1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ） A. 0＜a ≤4 B. a ≥4 C. 0＜a ≤2 D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d c c b a a +<+ ③d c c b a b +>+ ④d c d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、 c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2 3535 2只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. -6 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 初中数学知识点总结：方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 戴氏教育开县校区年级：初一教师：张苏 初中数学七年级知识点总结09不等式与不等式组（含答案）【编者按】本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 一．知识框架 二、知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 了一个一元一次不等式组。 6.不等式：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x ＜3，5x≠5等。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 7.解不等式可遵循的一些同解原理 戴氏教育开县校区年级：初一教师：张苏 主要的有： ①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。 ②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x） 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 方程与不等式是初中数学学习的巨头，属于基础知识的进阶，难度相对于基础有所提高，并且是今后学习的重中之重，为今后函数等学习奠基。方程是解决问题的必要手段，必须要学好，我们首先来看中考数学方程与不等式复习要求。 1、一元一次方程 了解一元一次方程及其相关概念，掌握等式的性质，了解解方程的基本目标，熟悉解一元 一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法． 掌握列一元一次方程解实际问题中的基本方法，熟悉列一元一次方程解实际问题中的基 本步骤．' 2．二元一次方程组． 了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种 相关的等量关系；了解解二元一次方程组的基本目标，体会"消元"思想，掌握解二兀一次方 程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；进一步认识利 用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能 力． 3．不等式与不等式组． 了解一元一次不等式及其相关概念，能够列出不等式或不等式组表示问题中的不等关 系；掌握不等式的T性，质-，熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并 能在数轴上表示出解集；了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不 等式组，并会用数轴确定解集；会利用不等式解决简单的实际问题· 4．一元二次方程． 认识一元二次方程及其有关概念，抓住"降次''这一基本策略，掌握配方法、公式法和因 式分解法等一元二次方程的基本解法，会列一元二次方程解决实际问题，体会一元二次方程 的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力· (一)方程和不等式的基本概念 1．方程．(1)等式和方程；(2)方程的解；(3)解方程 2．等式性质．性质1：等式两边都加上(或减去)同 等式； 性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是O) 3．不等式．(1)不等式；(2)不等式的解集；(3)解不等式· 4．不等式的基本性质，性质1：不等式的两边都加上(或减去)同 不等号的方向不变； 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 (二)方程和不等式的解法．。 1．方程的解法．' (1)一元一次方程．任何一个一元一次方程，总可以通过变形化为：一=6(o≠o)的形式． 元一次方程有唯一解z=鲁("to)． (2)一元二次方程．任何关于z的一元二次方程，都可以化成：一2+h+c=o(。≠o)的形 一元二次方程的解法有以下几种． ①直接开平方法：这种方法用于解不含 当詈≤o时，则x='√一詈；当詈>o时，则方程无实根· 最新初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点 一、选择题 1．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( ) A ．102a b - < B ．102a b -≤ C ．()102 a b -< D ．102a b -< 【答案】D 【解析】 【分析】 列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0． 【详解】 解：根据题意得 102 a b -< 故选D ． 【点睛】 本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式． 2．如果不等式(2)25a x a ->-的解集是4x <，则不等式251a y ->的解集是（ ）． A ．52 y < B ．25y < C ．52y > D ．25 y > 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质得出20a -<，2542a a -=-，解得32 a =，则2a=3，再解不等式251a y ->即可． 【详解】 解：∵不等式（a-2）x ＞2a-5的解集是x ＜4， ∴20a -<， ∴2542 a a -=-， 解得32 a = ， ∴2a=3， ∴不等式2a-5y ＞1整理为351y ->， 解得：25 y <． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法． 【详解】 解：不等式2x+1＞-3， 移项，得2x ＞-1-3， 合并，得2x ＞-4， 化系数为1，得x ＞-2． 故选C ． 【点睛】 本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用. 4．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( ) A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．8a > D ．8a < 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可． 【详解】 解：由24x <可得：x ＜2； 专题二不等式（组） 知识点汇总： 1.不等式：用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”将两个式子连接以表示大小关系的式子。 2.不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 3.不等式的解集：使不等式成立的x的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。 4.不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 5.解不等式：求不等式解集的过程。其目的实质就是把不等式化为“x＞a或x ≥a”、“x＜a或x≤a”的形式。 6.用数轴表示不等式：（大于向右画，小于向左画，无等号画圆圈，有等号画实心点） 7.一元一次不等式：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 思考：解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同？ 8.一元一次不等式组：把两个或多个一元一次不等式组合起来是一个一元一次不等式组。 9.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。 思考：解一元一次方程组与解一元一次不等式组有什么异同？ 随堂练习： 1.已知a＜0，则关于x的不等式ax＜5的解为________,5x＜a的解为________。 2.已知a，b为常数，若ax+b＞0的解集为x＜3，则bx+a＜0的解集为________。 3.若不等式组有解，则k的取值范围是（） （A）k＜2 （B）k≥2 （C）k＜1 （D）1≤k＜2 4.若（x+1）（x-1）＜0，则x的解集为__________。 5.九年级一个班有几个同学毕业前合影留念，每人交0.7元，一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张，在收上来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有________个。 6. 7.某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾处理厂同时处理。已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，每吨需要费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需要费用11元。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少多少小时？初中数学专题 不等式及其解集试题及答案
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点
初中数学不等式专题复习
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
高中数学不等式知识点总结
初中数学不等式知识点
初中数学竞赛专题：不等式
高考数学不等式专题
方程与不等式组知识点总结
初中数学竞赛专题训练之不等式含答案
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
初中数学知识点总结：方程与不等式
人教版初中数学不等式与不等式组知识点及习题总汇-
高考数学专题练习：不等式与线性规划
初中数学方程与不等式知识点复习汇总
最新初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点
初中不等式专题复习知识点及习题
相关主题
文本预览