频域分析法讲义

·145·

图5-1

第5

章 线性系统的频域分析法

例题解析

例5-1 已知单位反馈控制系统的开环传递函数)

5)(3()(++=s s s K s G k

（1）用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件；

（2）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s 左半部，且实部的绝对值都大于1的条件；

（3）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s 左半部且全部复极点的阻尼系数都大于

2

2的条件。

解：（1）此题是Ⅰ型系统，取奈奎斯特路径如图5-1所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：

① 正虚轴：s ＝j ω，频率ω从0＋变化到∞； ② 半径为无穷大的右半圆：;2

2

,,Re

π

π

θθ

变化到－

由

∞→=R s j

③ 负虚轴：s ＝j ω，频率ω从－∞变化到0－；

④ 半径为无穷小的右半圆：；变化到由－2

2

,0,e R ππθθ'→''='R s j

先求与路径①对应的奈奎斯特图，将ωj s =代入)

(s G k

)

25)(9()15()()

25)(9(8)(270

)(;90)0(5

arctan

3

arctan

90)(259)()

5)(3()(2

2

22

2

2

2

ωωωω

ωωωω??ω

ω

ω?ω

ω

ωωωωωω++-=++-=

-=∞-=---=++=

++=K

Q K

P K

A j j j K

j G k

·146·

求与实轴的交点，令,0)(=ωQ 解得87.315,152

±≈±==ωω

120)

1525)(159(8)15(K K P -

=++-=

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小。角度从－270o 逆时针转到270o 的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特曲稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从90o

顺时针转到－90o

的圆弧。 画出奈奎斯特图如5-2所示。要使闭环系统稳定，要求1120

0->->K ，即当

1200<

图5-2 图5-3

（2）此时，取奈奎斯特路径如图5-3所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：

① 平行于正虚轴直线：1-=ωj s ，频率ω由0变化到∞；

② 半径为无穷大的右半圆：2

2

,,Re π

πθθ变化到－由∞→=R s j ；

③ 平行于正虚轴直线：1-=ωj s ，频率ω由-∞变化到0； 先求与路径①对应的奈奎斯特图 将1-=ωj s 代入)

5)(3()(++=

s s s K s G k 得

·147·

图5-4

)4)(2)(1()(*)1(++-=

=-ωωωωωj j j K

j G j G k k

注意此时的)(*ωj G k 已不是Ⅰ型系统形式，而是非最小相位传递函数

4

arctan

2

arctan

arctan 180

)arctan 180

(4

arctan

2

arctan

)(1641)(2

2

2

ω

ω

ωωω

ω

ω?ω

ω

ω

ω--+-=----=+++=

K

A

)

16)(4)(1()2()()

16)(4)(1()58()(270

)(;180)0(2

2

2

3

2

2

2

2

ωωωωωωωωωωω??+++--=

++++-=

-=∞-=K Q K P

求与实轴的交点，令0)(=ωQ , 解得0=ω，

18

)2(,8

)0(,2K P K P -

=-

==

ω

画出奈奎斯特图如图5-4所示。

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从－270o 逆时针转到270o 的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。要使此图满足稳定的要求18

18

K K -<-<-,即

当188<

解二：本题的结果也可以利用劳斯判据来获得，方法是平移坐标轴后再用劳斯判据判断相对稳定的条件。令1-=x s 代入特征方程

01582

3

=+++=?K s s s

·148·

整理得 08252

3=+-++=?K x x x 列劳斯阵列如下

8

5188

5210

123---K x

K x K x x

要使劳斯阵列第一列都大于零，可解得188<

(3) 此时取奈奎斯特路径如图5-5所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：

① 与负虚轴成45o 角的直线：jx x s +-=，频率x 由0变化到∞； ② 半径为无穷大的右半圆：θθ

,,∞→=R R

s j 由

4

3π变化到－

4

3π；

③ 与负虚轴成45o

角的直线：jx x s +=，频率x 由－∞变化到0； ④ 半径为无穷小的右半圆：θθ'→''='

,0,e

R R s j 由－

4

3π到

4

3π；

先求与路径①对应的奈奎斯特图，将jx x s +-=代入)

5)(3()(++=s s s K

s G k

得

)

5)(3)(()(*)(jx x jx x jx x K

jx G jx x G k k +-+-+-=

=+-

2

22

2

)5()3(2)(x

x x

x x K

A +-+-=

ω

405

)(;8.336)5(;31.281)3(;135)0(5arctan

3arctan

135

)(-=∞-=-=-=-----=????ω?x

x x

x

]

)5][()3[(2)15162()(]

)5][()3[(2)152()(2

2

2

2

22

2

2

2

2

x x x x x K x x x Q x x x x x K

x x P +++--+-=

+++--=

求与实轴的交点，令0)(=x Q ，解得??

?=±

=)

(085.1)(915.62

344与负实轴的交点频率

与正实轴的交点频率

x ，与负

·149·

图5-7

实轴的交点272

3449]

)5][()3[(2)152()2

344(3442

2

2

2

2

--=

+++--=

-

-

=K x x x x x K

x P X )2

15(

,215Q ±

=为与虚轴的交点值。

图5-5 图5-6

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-405o

逆时针转到405o

的弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以，图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从135o 顺时针转到-135o 的圆弧。 画出奈奎斯特图如图5-6所示，由图可知，满足全部闭环极点均位于s 左半部且实部的绝对值都大于1的条件是

1272

34490-<--<

K

即当7.1327234490≈-<

解二：此题可用根轨迹法来求，画出根轨迹如图5-7所示，满足题示要求即是要求出根轨迹与阻尼角为45o 的射线所夹部分根轨迹增益的范围。

令)1(j x s +=，则

)(,j x s j x s

+-==123

322

代入特征方程

K s s s +++=?1582

3

·150·

可得实部方程

01523

=++-K x x

和虚部方程

0151622

3

=++x x x

可解得x ＝0和??

?--=±

-=)

(085.1)(915.62

344与负反馈根轨迹的交点

与正反馈根轨迹的交点x

7.132723449)

152(2

3443

≈-=-=+

-=x x x K

结合根轨迹图可知，当7.13<

2

2的要求。

例5-2 已知开环传递函数1

3)2(3)()(3

+++=s s s s H s G ，画出与完整的奈奎斯特路径相

对应的奈奎斯特图。

（1）确定相对于G (s )H (s )平面的原点的N ，P 和Z 的值。从而判断开环系统是否稳定。

（2）求取相对于－1点的N ,P 和Z 的值。从而判断闭环系统是否稳定。

解一：（1）首先要确定开环零，极点的位置，由于本题开环零点以确定，而分母是以多项式形式给出，所以只要确定开环极点的位置。方法由三种：

a ）劳斯判据法对开环特征方程0133=++s s ，列劳斯阵列如下

1

1

0310

123s

s s

s ∞-

由劳斯判据可判断开环特征方程有一个左根和两个右根，没有虚轴上的根。 b ）根轨迹法 对开环特征方程0133=++s s ，可改写为

0)3(13111

2

3

=++

=++

=K s

s

K s

s 于是0133

=++s s 的根可看作在等效开环传递函数为

S

S

K G k )3(*2

+=

的根轨迹上，取K =1时的点，此时根轨迹如图5-9所示。由根轨迹可知，

当K ＝1时开环特征方程0133

=++s s 有一个负实根和一对实部为正的共轭复根。

c ）奈奎斯特判据法 此法是题中要求的方法。即画出完整的奈奎斯特曲线，求出该

曲线对)(s G k 平面对原点包围的次数N 0，若此时开环右零点数Z 0已知，则开环右极点数

·151·

P 0=Z 0-N 0，此法可与闭环系统稳定性判别同时进行。

（2）下面画出与完整的奈奎斯特路径相对应的奈奎斯特图。

为了确定奈奎斯特路径，必须先确定开环传递函数是否有虚轴上的极点。 设

0)()())((132

3

2

3

=+++++=+++=

+=ac s c ab s b a s c bs s a s s s 因为01≠=ac ，所以0,0≠≠c a ，

因为0=+b a ，所以0≠-=a b

因为0≠a ，0≠b 和0≠c ，所以开环传递函数没有虚轴上的极点。

此题是０型系统，取奈奎斯特路径如图5-8所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：

① 正虚轴:ωj s =,频率ω由0变化到∞； ②半径为无穷大的右半圆：

θθ

,,Re ∞→=R s j 由2

π变化到-2

π；

③ 负虚轴：ωj s =，频率ω由-∞变化到0； 先求与路径①对应的奈奎斯特图，将ωj s =代入)(s G k 得

2

2

2

2

222

)3(1)52(3])3(2[3)3(1)2(3)(ω

ωωω

ωωωωωω-+-+-+=

-++=

j

j

j j G

2 2 2 2 2 2 2 2 2 )

3 ( 1 ) 5 2 ( 3 )

( )

3 ( 1 ]

) 3 ( 2 [ 3 )

( ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω - + - = - + - + = Q P

0)(,0)(,0)0(,6)0(=∞=∞==Q P Q P

求与

0)(=ωQ ，解得0=ω和5.2±=ω；

解得6)0(=P ,6)5.2(=P 再求与虚轴的交点，

令

0)(=ωP ，可得方程0232

4=--ωω 解得

图5-8

·152·

66

.5217

33)2

17

3(

887

.12

17356.056.3217

32

≈+

=+

=±≈+

±

=??

?-≈±

=

Q ωω

（略） 图 5-9

其次求与路径②对应的奈奎斯特图，将ωj s =代入)(s G k ，其中θ,∞→R 由2

π

变化到

-2

π

；

得 θ

θ

2Re

203lim

)(lim j s R k s e

s

s G j -=∞

→∞

→?==

这表明与路径②对应的奈奎斯特图是连接)(+∞k G 和)(-∞k G 的半径为无穷小，角度从-180o

逆时针转到180o

的圆弧，如图5-10中原点附近的虚线小圆弧所示。此段奈奎斯特图与用奈奎斯特稳定判据对闭环系统稳定性判断无关，但与用奈奎斯特稳定判据对开环系统稳定性判断有关。

与③对应的奈奎斯特图是路径

①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。 画出

5-10所示。此时，

奈奎斯特曲线对)(s G k 平面原点的包围次数N 0=-2,已知开环右零点数Z 0=0,于是开环右极点数P =Z 0-N 0=0-(-2)=2.又由奈奎斯特图可知奈奎斯特曲线对（-1，j0）的包围次数N ＝0，于是Z =N +P ＝2，闭环系统不稳。

上面

图，对终点的相角无法确定。为画图准确起见，需求出幅频特性和相频特性。这里假设

)

)()((133

jc b s jc b s a s s s --+-+=++

其中 0,0,0>>>c b a

于是 )

)()(()

2(31

3)2(3)()(3

jc b s jc b s a s s s s s s H s G --+-++=

+++=

2

3

2)

3(143)(ωωω

ω-++=

A

图5－10

·153·

图5-11

b

c

b

c

a

b

c

b

c

a

-+++-+-=---+---=ωωω

ω

ωωω

ω

ω?arctan

arctan

arctan

2

arctan

360

)

arctan

180

()arctan

180

(arctan

2

arctan

)(

180)(;360)0(-=∞-=??

这也表明与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图是连接)(+∞k G 和)(-∞k G 的半径为无穷小，

角度从-180o 逆时针转到180o

的圆弧。若仅从奈奎斯特图上看，可能会认为 180)(,0)0(=+∞=??，因而可能得出与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图是连接)(+∞k G 和)(-∞k G 的半径为无穷小，角度从180o 顺时针转到-180o 的圆弧的错误结果，如果是这样的话，就不能正确的应用奈奎斯特稳定判据判断开环系统和闭环系统的稳定性。由此可见非最小相位系统的相频特性的计算很重要。

解二：此题开环极点位置未知，应用逆奈奎斯特判据则比较容易。此时

)

2(313)

()(1)(3

+++=

=

s s s s H s G s G k

没有虚轴上的开环极点，所以奈奎斯特路径可以选最简形式。

)

4(3)25()3(2)

2(3)3(1)(*2

2

2

22

ωωωω

ωωωωω+-+-+=

+-+=

j

j j j G k

)

4(3)25()(*)4(3)3(2)(*22

2

22

ω?ωωωωωω+-=

+-+=

Q P

求与实轴的交点，令0)(*=ωQ , 解得0=ω和5.2±=ω，于是6

1)0(*=

P ；

6

1)5.2(*=

P .再求与虚轴的交点，令0)(*=ωP ，可得方程02324=--ωω

解得

177

.0)2

17

3(

*887

.12

173)(56.056.3217

32

-≈+

±≈+

±

=??

?-=±

=

Q ωω

略

对应奈奎斯特路径中无穷大右半圆的映射为

·154·

图5-12

?

θ

θ

j j s s k s e

e

s

s G j ∞=∞===∞

→∞

→2Re

2

3

lim

)(*lim

当θ由

2

π

变化到-

2

π

时，?由π顺时针变化到-π，根据以上数据可以画出逆奈奎斯

特图如图5-11所示。

由图可见逆奈奎斯特图顺时针包围原点两圈N 0=2,等效开环传递函数右极点数P =0，于是等效开环传递函数右零点数Z 0=P +N 0=2,即原传递函数有两个右极点，P =0,N =2,Z =N +P =2,即闭环传递函数有两个右极点，闭环系统不稳。

例 5-3 已知开环传递函数)

1)(1(100

)()(2

+++=s s s s s H s G ，作出其奈奎斯特图。并

从图中判断闭环系统的稳定性。

解：此题是Ⅰ型系统，取奈奎斯特路径如图5-1所示，先求与路径①对应的奈奎斯特图。

)

2

321)(2

321)(1(100)

1)(1(100

)()(2

j s j s s s s s s

s s H s G -

+

+

+

+=

+++=

2

222

)1(1100

)(ω

ωω

ωω+-+=

A

)32arctan()32arctan(arctan 90)(--+

---=ωωωω?

360)(;90)0(-=∞-=??

]

)1)[(1()

12(100)(]

)1)[(1()2(100)(2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ωωωωω

ωωωωωω+-+--

=+-+--

=Q P

-∞=-==)0(,200)0(,0Q p ω

求与实轴的交点，令0)(=ωQ ,解得5.0±=ω，则3

400)5.0(-

=P ，

再求与虚轴的交点，令0)(=ωP ,解得

2±=ω，2

3100)2(=

Q .

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-360o 逆时针转到360o 的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳

·155·

图5-13

无关，所以图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①关于实轴的镜像。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从90o 顺时针转到－90o 的圆弧。 画出奈奎斯特图如图5-12所示。 由图可见P =0,N =2,Z =N +P =2,闭环系统不稳 例5-4 已知开环传递函数)

2)(1(100)()(2

++=s s s s H s G 作出其奈奎斯特图判断闭环

系统的稳定性。

解一：这是一个在虚轴上有三个开环极点的例子，它们分别为0=s 和j s 2±= 取奈奎斯特路径必须绕过这三个虚轴上的开环极点，如图5-13所示。先求路径①③（奈奎斯特路径取为除2=ω点外的正虚轴部分），对应的奈奎斯特图，将ωj s =代

入)(s G k ，可得

)

2(1100

)(2

2ωωωω-+=

A

ω

ω

ωω?--+---=20arctan

20arctan

arctan 90)(

在正频率部分

)

2)(1(100

)()

2)(1(100

)(360

)(,74.324)2(,74.144)2(,90)0()2(arctan 270)

2(arctan 90)(2

22

2

ωωωωωωω????ωωωωω?-+-

=-+-=-=∞--=-=-=??

???≥--≤--=+

-

+

-

Q p o

o o

o

o

o

对)(ωP 和)(ωQ 而言，其分子多项式为常数，所以奈奎斯特图在有限频率范围内与实轴和虚轴无交点。为了准确画出奈奎斯特图，需求出曲线的极值点，这可以通过对)(ωP 和

(ωQ 的分母多项式求导来获得)(ωP 和

)(ωQ 的极值点，为求)(ωP 的极值点，可令

)21(2)]

2)(1[(2

2

2

=-=-+ωωω

ωωd d ，

可求得2

2=

ω时，)(ωP 有最大值，

·156·

图5-14

4.449

400)2

2(

-=-

=P 。

为求)(ωQ 的极值点， 可令

532)2()]

2)(1([4

2532

2

=-+=-+=

-+ω

ωωωωω

ω

ωωωd d d d

可求得??

?

-（略）

＝4.01

2ω，即当1±＝ω时，)(ωQ 有最大值，50)1(-＝Q

与路径②（奈奎斯特路径在2=ω点处为无穷小右半圆）对应的奈奎斯特图是-

2

k

G 和+2k G 的半径为无穷大，角度从-144.74o 顺时针转到-324.74o 的圆弧。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-360o

逆时针转到360

o

的圆弧（逆时针转两圈），由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。

与路径⑤，⑥，⑦对应的奈奎斯特图，分别是路径①，②，③对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与路径⑧对应的奈奎斯特图，是连接

)0(-k G 和)0(+

k G 的半径为无穷大，角

度从90o 顺时针转到－90o

的圆弧

根据以上数据可画出奈奎斯特图 如图5-14所示。

由图可见，P =0,N =2,Z =N +P =2,闭环系统不稳。

解二：此题是一个在虚轴上由三个开环极点的例子，所取奈奎斯特路径必须绕过这三个虚轴上的开环极点，若应用逆奈奎斯特判据，则比较容易。

·157·

100

)

2)(1()

()(12

++=

s s s s H s G

对100

)

2)(1()(*2

++=

s s s s G k 而言，没有开环极点，所以奈奎斯特路径可选最简形

式，如图5-8所示。先求与路径①对应的奈奎斯特图，将ωj s =代入)(*s G k ，得

100

)

2()(*100

)

2()(*360

)(*,74.324)2(*,74.144)2(*,90)0(*)

2(arctan 270)

2(arctan 90)(*100

)

2(1)(*2

2

22

2ωωωω

ωω????ωωωωω?ωωωω-=

-==∞===???

?

?≥+≤+=-+=

+

-

+

-Q P A

在0=ω和2=

ω时，奈奎斯特图将与实轴和虚轴相交，不过交点都在原点。

为了准确画出逆奈奎斯特图，需求出曲线的极值点，这可通过对)(*ωP 和)(*ωQ 分别求导来获得其极值点。

由0100

44*3

=-=ωωωd dP ，可求得)(*ωP 的极大值，解得01.0)1(*,1-=±=P ω

由0100

32*2=-=ωωd dQ ，可求得)(*ωQ 的极大值，解得3752

)32(*,32=±=Q ω

·158·

其次，求与奈奎斯特路径中无穷大右半圆（路径②）对应的奈奎斯特图，将

θ

j s Re =代入)(s G k ，其中θ,∞→R 由

2

π

变化到-2

π

；得

?

θ

θ

j j s R k s e

e

s

s G j ∞=∞===∞←∞

→4Re

4

100

lim

)(*lim 当θ由

2

π

变化到-

2

π

时，

?由π2变化到-π2。

根据以上数据，可画出逆奈奎斯特图如图5-15所示。

由图可见P =0,N =2,Z =N +P =2,闭环系统不稳。

例5-5 )

)(s G k

其中，K >0，若选用奈奎斯特路径如图5（1曲线（即该奈奎斯特路径在)(ωj G k 平面中的映射）； （2算闭环系统在右半s 平面的极点数。

解：（1）先求与路径①对应的奈奎斯特图。

将ωj s =代入)(s G k

)

()()(,)()

()

()()()(2

2

2

2

2

2251512516251512516511ω+ωω--

=ωω

+-=

ωω+ωω--ω+-=ω+ωω-=ωK Q K p K j K j j j K j G k

270

)(,90)0(arctan 5arctan 90)(2511)(2

2-=∞-=---=++=

??ωωω?ω

ωω

ωK A

图5-15

图5－16

·159·

图15-17

图5-18

求与实轴的交点，令0)(=ωQ ,解得K P -=±

=)5

1(

,5

1ω。

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-270o 逆时针转到270o 的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与奈奎斯特路径中原点附近的无穷小半径左半圆（路径④）对应的奈奎斯特图是连接

)0(-

k G 到)0(+

k G 逆时针转过180o

的无穷大

半圆弧。

画出奈奎斯特图如图5-17所示。 （2）此时，由于奈奎斯特路径的选择，使原 点处的开环极点被看作是右半开环极点，即P =1,要使Z =0，则要求奈奎斯特图逆时针包围（-1，j0）点一圈，即N=-1。于是要求奈奎斯特图与负实轴的交点坐标大于（-1，j0）

点。即01<-<-K 。

所以01<-<-K 时闭环系统稳定，当K =1时系统临界稳定。 当K >1时系统不稳定，此时闭环右极点数Z =N +P =1+1=2。

例 5-6 图5-18是开环传递函数为)(s G 的单位反馈控制系统的奈奎斯特图，确定在下列各种条件下系统的开环传递函数和闭环传递函数在右半平面的极点数，并确定系统的开环稳定性和闭环稳定性。

（1）)(s G 在右半s 平面有一个零点；（-1，j0）点位于点A 。 （2）)(s G 在右半s 平面有一个零点；（-1，j0）点位于点B 。 （3）)(s G 在右半s 平面没有零点；（-1，j0）点位于点A 。 （4）)(s G 在右半s 平面没有零点；（-1，j0）点位于点B 。

解：本题的解题步骤是①已知开环传递函数在右半平面的零点数Z 0,及完整的奈奎

斯特图对原点的包围圈数N 0的情况下，根据奈奎斯特判据确定开环传递函数在右半平面的极点数P 0。②在已知开环传递函数在右半平面的极点数P ，及完整的奈奎斯特图对（-1，j0）点的包围圈数N 的情况下，根据奈奎斯特判据 确定闭环传递函数在右半平

·160·

图5-21

面的极点数Z 。

（1）已知Z 0=1,N 0=-2,(奈奎斯特图逆时针包围原点两圈)，所以P 0=Z 0-N 0=3，开环

系统有三个右极点，开环系统不稳定。又知P =P 0=3,N =0(奈奎斯特图顺时针和逆时针各包围（-1，j0）点一圈，净包围（-1，j0）点零圈)，Z =N +P =3,闭环不稳定。闭环系统有三个右极点。

（2）已知Z 0=1，N 0=-2,所以P 0=Z 0-N 0=3，开环系统不稳定。P =P 0=3，N =-2(奈奎斯特图逆时针包围（-1，j0）点两圈)，Z =N +P =1，闭环不稳定。闭环系统有一个右极点。

（3）已知Z 0=0，N 0=-2，所以P 0=Z 0-N 0=2，开环系统不稳定。P =P 0=2，N =0，Z =N +P =2，

闭环不稳定。闭环系统有2个右极点。

（4）已知Z 0=0，N 0=-2，所以P 0=Z 0-N 0=2，开环系统不稳定。P =P 0=2，N =-2，

Z =N +P =0，闭环系统稳定。

例 5－7 图5-19是某单位正反馈系统的奈奎斯特图，该图与第一段（∞==ωω到0）对应已知函数)(s G 在右半s 平面没有任何零点或极点。试判断闭环系统的稳定性。

解：为了画出完整的奈奎斯特图，必须确定)(s G 的型，已知图5-20是－)(s G 的奈奎斯特图，)(s G 的奈奎斯特图是-)(s G 的奈奎斯特图绕原点逆时针转180o 。如图5-21所示。由于)(s G 是最小相位系统，由图5-20可见 270)0(-=+?，表明该开环系统是Ⅲ型系统（有三个积分环节），而 450)(-=∞+?，可知开环传递函数分母比分子高5阶。画出完整的奈奎斯特图如图5-21所示。

图

5

－

19

图5－20

特别注意从-)0(-G 连接到-)0(+

G 是半径为无穷大，角度顺时针转过540o

·161·

的圆弧。现已知P =0,由图5-21可知N =3,Z =N +P =3,即闭环系统有三个右极点，闭环系统不稳定。

例5-8 假设某单位反馈的控制系统，只能用试验法测定其传递函数1/)(s G 。图5-22是∞=＝到ωω0的1/)(s G 奈奎斯特图，如果函数1/)(s G 在右半s 平面没有任何零点或极点。试判断闭环系统的稳定条件。

解：由1/)(s G 曲线可见：当000）＝（时?ω=；当 180）＝（＋时＝＋∞∞?ω，表明开环传递函数)(s G 是0型系统，开环传递函数分母比分子高2阶。画出完整的奈奎斯特图如图5-23所示，用顺时针无穷大圆弧连接正负频率曲线（对应奈奎斯特路径中无穷大右半圆的映射）。

图5－22 图5-23

对逆奈奎斯特曲线而言，可用逆奈奎斯特稳定判据来判稳。已知开环右半平面无零点，P =0,逆奈奎斯特曲线顺时针包围（-1，j0）点2圈，即N =2，所以闭环在右半平面极点数Z =N +P =2，闭环系统不稳定。

若画出1/)(s KG 的曲线，调整K 值，使得（-1，j0）点位于图中A 区，则N =0，闭环系统稳定。

例5-9 已知多回路系统如图5-24所示。

·162·

图 5-24

（1）当K 2=1时确定闭环系统稳定时K 1的取值范围。 （2）当K 1=1时确定闭环系统稳定时K 2的取值范围。 解：对外环而言，开环传递函数为：

]

5)2)(1()[10()

2()

()(1)()()(1221+++++=

+=

s s s s s K s H s G s G s G s G k

要应用奈奎斯特稳定判据首先要确定开环极点的分布，这里主要是要确定特征方程

05)2)(1(=+++=?s s s

的根的位置。可以采用以下四种方法之一来解决：

① 劳斯判据； ② 画等效开环传递函数

)

2)(1(++s s s K 的根轨迹，确定K ＝5时根轨迹上的点； ③ 画出内环开环传递函数)

2)(1(5

*++=

s s s G k 的奈奎斯特图来判断；

④ 可以通过画出完整的奈奎斯特图，根据其对原点的包围情况来确定开环极点的分布。 用前三种方法确定开环极点的分布后，还需画出外环开环传递函数的奈奎斯特图才能判别闭环系统的稳定性，不过此时可以不考虑奈奎斯特路径为无穷大部分的映射对原点的包围情况。而用第四种方法直接画出完整的奈奎斯特图，此法可同时确定开环系统的稳定性和闭环系统稳定时K 1的取值范围。这里采用第四种方法来作，将)(s G j s k 代入ω=，可得：

2

2

2

2

2

4

2

212

2

2

22

4

2

4

1)1325()5032()6()()1325()5032()

1003911()(ω

ωω

ω

ω

ω

ωωωω

ω

ω

ωω-++--=

-++-+--=

K Q K P

求与实轴的交点，令60,0)(＝，＝解得ωωω=Q

53

)6(,25

)0(11K P K P -

==

其次求与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图，将)(Re s G s k j 代入θ

=，其

中2

2

,π

π

θ-

∞→变化到由

R ；得

θ

θ

3

Re

3

10

lim

)

(

lim j

s

R

k

s

e

s

K

s

G

j

-

=

∞

→

∞

→

=

=

这表明与该路径对应的奈奎斯特图是连接)

(

)

(-∞

+∞

k

k

G

G和的半径为无穷小、角度为－270o逆时针转到270o的圆弧，如图5-25中原点附近的小圆弧所示。

画出完整的奈奎斯特图如图5-25所示。已知)

(s

G

k

在右半平面零点数是0，由图5-25可知，完整的奈奎斯特图对原点的包围圈数为0，根据奈奎斯特判据知)

(s

G

k

在右半平面极点数是0。同时由图5-25可知，完整的奈奎斯特图对（-1，j0）点的关系，知当－25

图5－25 图 5－26

（2）对外环而言，此时开环传递含函数为

]

5

)2

)(

1

(

)[

10

(

2

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

K

s

s

s

s

s

s

H

s

G

s

G

s

G

s

G

k+

+

+

+

+

=

+

=

在这种情况下，因为未知参数K2不是)

(s

G

k

的增益系数，所以画出

2

)

(

K

s

G

k的奈奎斯特图是无益的，所以不能直接使用奈奎斯特判据。不过仍然可以用奈奎斯特判据来解问题。

可以写出整个系统的特征方程，即

)

10

(

5

2

)2

)(

1

)(

10

(

2

=

+

+

+

+

+

+

+S

K

s

s

s

s

s

为了得到一个以K2作为相乘因子的等价的开环传递函数，可用不含K2的项除以上式的两边，得到：

·163·

·164·

2

)2)(1)(10()

10(512=+++++++

s s s s s s K

因为上述方程是0)(*1=+s G k 的形式，所以通过)(*s G k 的奈奎斯特图可以分析特征方程的根。但是，)(*s G k 的极点是未知的，因为)(*s G k 的分母不是因式分解的形式。为了研究多项式2)2)(1)(10(+++++s s s s s 的零点，同样可以采用前述的四种方法。这里还是采用画)(*s G k 的完整的奈奎斯特图的方法来解决。)(*s G j s k 代入ω=，可得

2

2

2

2

2

4

2

4

22

2

2

2

2

4

2

4

2)1321()232()20898(5)(*)1321()232()

202993(5)(*ω

ωω

ω

ω

ω

ωωω

ωω

ω

ω

ωω-++--+=

-++-+--=

K Q K P

求与

492609,0,0)(*-===ωωω解得Q

2283.0)492609(

*,25)0(*K P K P -≈-=

其次求与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图，将)

(*Re

s G s k j 代入θ

=，

其中

，得变化到－

由

2

2

,π

π

θ∞→R

3

2*

5lim

)(lim s

K s G R k R ∞

→∞

→=θ

θ

3Re

0j s e

j -==

这表明与该路径对应的奈奎斯特图是连接)(+∞k G 和)(-∞k G 的半径为无穷小，角度从-270o 逆时针转到270o 的圆弧，如图5-26所示。

画出

5-26所示，已知)(*s G k 在右半平面零点数是0，由图

5-26可知，完整的奈奎斯特图对原点的包围圈数为0，根据奈奎斯特判据知)(*s G k 在右半平面极点数是0。同时，由图5-26可知完整的奈奎斯特对（-1，j0）点的关系，可判断当-0.04

例 5-10 单位正反馈系统的开环传递函数为

4

5)64()(22

++++=

s s s s K s G

（1）用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件；

（2）确定当K 分别为2/3，0.9，1，1.1，1.25时闭环系统的极点。 解：（1） )

4)(1()

22)(22(4

5)64()(22

++-+++=

++++=

s s j s j s K s s s s K s G

可见)(s G 是最小相位系统，且无虚轴上的开环极点，所以奈奎斯特路径取最简形式。由于是正反馈系统，所以实际画出的是-)(s G 的奈奎斯特图。将)(s G j s -=代入ω，

第5章频域分析法习题解答

第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。

实验二连续时间信的频域分析

实验二连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS分析 任何一个周期为T 1 的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞=+ + = 1 0 0 )] sin( ) cos( [ )( k k k t k b t k a a t xω ω 2.1

或： ∑∞ =++=100)cos()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中1 02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞-∞== k t jk k e a t x 0)(ω 2.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算： ? --=2/2/1110)(1T T t jk k dt e t x T a ω 2.4 指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度

第五章 频域分析法

第五章 频域分析法 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 5.1 频率特性 对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 t U t u ωsin )(= (5—1) 则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即 ) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2) u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。 不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式 ) () () () () ())(() ()()()(1 21s A s B p s s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n = +=+++== ∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)； n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。 由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) ) )(()(22ωωω ωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4）

第5章频域分析法习题解答

第5章频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。

实验二：连续时间信号的频域分析

一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、学习利用MATLAB 语言编写计算CTFS 和CTFT 的仿真程序。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MATLAB 编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、实验原理及方法 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析 任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 其中三角傅里叶级数为： ∑∞ =++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 9.1 或： ∑∞ =++ =1 00)cos()(k k k t k c a t x ?ω 9.2 其中1 02T π ω= ，称为信号的基本频率，k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”）， k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞ -∞ == k t jk k e a t x 0)(ω 9.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：

? --= 2 /2 /1 110)(1 T T t jk k dt e t x T a ω 9.4 假设谐波项数为N ，则上面的和成式为： ∑-== N N k t jk k e a t x 0)(ω 9.5 显然，N 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。 2、连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞ --= dt e t x j X t j ωω)()( 9.6 ? ∞ ∞ -= ωωπ ωd e j X t x t j )(21 )( 9.7 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 3、连续周期信号的傅里叶级数CTFS 的MATLAB 实现 3.1 傅里叶级数的MATLAB 计算 设周期信号x(t)的基本周期为T 1，且满足狄里克利条件，则其傅里叶级数的系数可由式9.4计算得到。式9.4重写如下： ?--= 2 /2 /1 110)(1T T t jk k dt e t x T a ω 基本频率为： 1 02T πω= 对周期信号进行分析时，我们往往只需对其在一个周期内进行分析即可，通常选择主周期。假定x 1(t)是x(t)中的主周期，则

噪声中正弦信号的经典法频谱分析

实验报告 一、实验名称 噪声中正弦信号的经典法频谱分析 二、实验目的 通过对噪声中正弦信号的经典法频谱分析，来理解和掌握经典谱估计的知识，以及学会应用经典谱估计的方法。 三、基本原理 1．周期图法：又称直接法。把随机信号)(n x 的N 点观察数据)(n x N 视为一能量有限信号，直接取)(n x N 的傅里叶变换，得)(jw N e X ，然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为对)(n x 真 实的功率谱)(jw e P 的估计，以)(?jw PER e P 表示用周期图法估计出的功率谱，则2)(1)(?w X N w P n PER =。 2．自相关法：又称为间接法功BT 法。先由)(n x N 估计出自相关函数)(?m r ，然后对)(?m r 求傅里叶变换得到)(n x N 的功率谱，记之为)(?w P BT ，并以此作为对)(w P 的估计，即1,)(?)(?-≤=--=∑N M e m r w P jwm M M m BT 。 3．Bartlett 法：对L 个具有相同的均值μ和方差2σ的独立随机变量1X ，2X ，…，L X ，新随机变量L X X X X L /)(21+++= 的均值也是μ，但方差是L /2σ，减小了L 倍。由此得 到改善)(?w P PER 方差特性的一个有效方法。它将采样数据)(n x N 分成L 段，每段的长度都是M ，即N=LM ，第i 段数据加矩形窗后，变为L i e n x M w x M n jwn i N I PER ≤≤=∑-=-1,)(1)(?2 10 。把)(?w P PER 对应相加，再取平均，得到平均周期图2 1110 )(1)(?1)(∑∑∑==-=-==L i L i M n jwn i N i PER PER e n x ML w P L w P 。 4．Welch 法：它是对Bartlett 法的改进。改进之一是，在对)(n x N 分段时，可允许每一段的数据有部分的交叠。改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗口，例如使用汉宁窗或汉明窗，记之为)(2n d 。这样可以改善由于矩形窗边瓣较大所产生的谱失真。然后按Bartlett

实验二连续时间信号的频域分析

实验二连续时间信号的频域分析 令狐采学 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS分析 任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条

件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1 或：∑∞ =++=100)cos()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中102T π ω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ）， k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量 幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相 位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称 为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄 里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量(Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限 多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞-∞== k t jk k e a t x 0)(ω 2.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：

实验：典型信号频谱分析

实验3.2 典型信号频谱分析 一、 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二、 实验原理 1. 典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本次实验利用DRVI 快速可重组虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2. 频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时—频关系转换分析。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 3. 周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()(

实验二连续时间信号的频域分析

实验二 连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab 语言编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab 编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析 任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞ =++=1 000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1 或： ∑∞=++=1 00)c o s ()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中1 02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、 余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为：

连续信号与系统频域分析的MATLAB实现

实验十三 连续信号与系统频域分析的MATLAB 实现 一、实验目的 1. 掌握连续时间信号频谱特性的MATLAB 分析方法； 2.掌握连续系统的频率响应MATLAB 分析方法方法。 二、实验原理 1. 连续时间信号的频谱---傅里叶变换 非周期信号的频谱密度可借助傅里叶变换作分析。傅里叶正变换和逆变换分别为： Matlab 的符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox ）提供了能直接求解傅里叶变换和逆变换的符号运算函数fourier()和ifourier()。两函数的调用格式如下。 （1）傅里叶变换 在Matlab 中，傅里变换变换由函数fourier()实现。fourier()有三种调用格式： ① F=fourier(f ) 求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量默认为w ，即)]([)(t f j F F =ω； ② F=fourier(f ,v ) 求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(t f jv F F =； ③ F=fourier(f ,u ,v ) 对自变量为u 的函数f (u )求傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(u f jv F F =。 （2）傅里叶逆变换 在Matlab 中，傅里变换逆变换由函数ifourier()实现。与函数fourier()相类似，ifourier()也有三种调用格式： ① f=ifourier(F ) 求函数F (j)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量默认为x ，即)]([)(1 ωj F x f -=F ； ② f=ifourier(F ,u ) 求函数F (j)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1ωj F u f -=F 。 ③ f=ifourier(F ,v ,u ) 求函数F (j v )的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1jv F u f -=F 由于fourier()和ifourier()是符号运算函数，因此，在调用fourier()和ifourier()之前，需用syms 命令对所用到的变量（如t ,u ,v ,w ）作说明。举例如下。 例13-1．求单边指数函数)()(2t e t f t ε-=的傅里叶变换，画出其幅频特性和相频特性图。

频域分析法

频域分析法 1、低频段通常指L(w)=20lg|G(jw)| 的渐近线在第一个转频率之前的频段，这一频段的特此哪个完全由积分环节和开环放大倍数决定。低频段的斜率越小，位置越高，对应系统积分环节的数目越多（系统型号越高），开环放大倍数K越大，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差越小，动态响应的跟踪精度越高 2、中频段指开环对数幅频特性曲线在开环截止频率W C附近（0dB附近）的区段（±20dB），这一频段的特性集中反应了开环系统动态响应的平稳性和快速性。 3、反应中频段形状的参数主要有：开环截止频率W C、中频段斜率、中频段宽度。W C的选择决定于系统暂态、响应速度的要求；中频段越长，相位裕量越大。 4、开环对数幅频特性中频段斜率最好为-20dB/dec，而且希望其长度尽可能长些，缓一些，以确保系统有足够的相角裕量。当中频段斜率为-40dB/dec时，中频段占据的频率范围不宜过长，否则相角裕量会很小，若中频段斜率更小（如-60dB/dec），系统就很难稳定。另外，截止频率W c越高，系统浮现信号能力越强，系统快速性也就越好。 5、高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频段，高频段的形状主要影响时域响应的起始阶段。在进行分析时，可以将高频段进行近似处理，即用一个小惯性环节来等效地代替多个小惯性环节，等效的小惯性环节的时间常数等于被代替的多个小惯性环节的时间常数之和。系统开环对数幅频特性在高频段的肤质，直接反应了系统对高频信号的抑制能力，高频部分的幅值越低，系统的抗干扰能力越强。 6、总之，为了系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率，中频段的斜率最好为-20dB/dec，且具有足够的宽度，高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰。 7、 对于自小相位系统，r>0 闭环系统稳定，当r<0 闭环系统不稳定

第四章 频域分析

第4章频域分析 前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。 信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。 4.1概述 一、频域分析法 1.定义 所谓信号的频域分析 ．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。 2.频域分析的目的 （1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围； （2）分析各信号之间的相互关系； （3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断； 二、频谱 1.定义 所谓频谱，也就是信号的频域描述。 2.分类 对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。 （1）周期信号：离散的 ．．．幅值谱、相位谱或功率谱 （2）非周期信号：连续的 ．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度 （3）随机信号：具有统计特征 ．．．．的功率谱密度 3.功率谱 （1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布； （2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况； 注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱 所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。 5.相干分析 所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。 三、谱估计 1.定义 由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。这种频谱实际上只是真实频谱的一种估计值，故称为谱估计。 2.分类

第五章 频域分析法

第五章 线性系统的频域分析法 5-2： 若系统单位阶跃响应h t e e t t t ()..=-+≥--11808049，试求系统频率特性。 解：先求到系统传递函数，再利用传递函数与频率特性的关系求得系统频率特性。 对阶跃响应取拉氏变换得：s s R s s s s s s s C 1)(,) 9)(4(3698.048.11)(= ++=+++-= 则系统传递函数： )9)(4(36)()()(++= = s s s R s C s Φ，频率特性：) 9)(4(36 )(++=Φωωωj j j 5-3： 某系统结构图如题5-1图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号 )452cos(2)30sin()(?--?+=t t t r 作用下，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s 图5-1 反馈控制系统结构图 解：利用频率特性的定义及叠加原理求解。 系统闭环传递函数为: 2 1 )(+=Φs s 频率特性: 2 244221)(ω ω ωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 2 41)(ω ω+= Φj 相频特性: )2 arctan( )(ω ω?-= 系统误差传递函数: ,2 1 )(11)(++=+= Φs s s G s e 幅频特性和相频特性： )2 arctan( arctan )(, 41)(2 2ω ωω?ω ωω-=++= Φj j e e 当 )452cos()30sin()(?--?+=t t t r 时: ?? ?====1 r r m m 2211,21,1ωω 5.26)2 1arctan()1(45.05 5 )1(-=-===Φj j ? 4.18)3 1arctan()1(63.05 10 )1(==== Φj j e e ? )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ??+-?Φ-++?Φ=

时频域分析

时频域分析有关知识 问题 1 现在咱们做的这个数字舵机需要得到的阶跃响应的参数有：超调量（%），时间常数，上升时间，调节时间，稳态误差（°），你给我详细说说那几个量怎么算， 2 数字舵机还要求有频域特性测试功能，跟用户沟通时，客户的意思是做一个扫频功能，发出频率1HZ~60HZ，每个频率求一个最大值，画出频率/幅值曲线，我不知道这个究竟有什么用。 另外幅值裕度，相位裕度如何进行测量？ 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标。上述两个问题是分析控制系统的动态性能和稳态性能的两类方法，一是时域分析法，二是频域分析法。 1 时域分析法 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法。为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号的解析表达式。在一般情况下，控制系统的外加信号具有随机性而无法预先确定，需要选择典型信号输入。 工程中常见信号有：单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数和正弦函数。在实际应用中一般选取最不利的信号作为系统的典型信号。 1.1 动态性能性能指标 通常在阶跃函数作 用下，测定获计算系统 的动态性能。一般认为 阶跃输入对系统来说是 最严峻的工作状态，如 果系统在阶跃函数作用 下的动态性能满足要求， 那么系统在其他形式的 函数作用下，其动态性 能也是令人满意的。 图1单位阶跃响应曲线

以下是稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的动态性能指标，图1是单位阶跃响应曲线。 其动态性能指标通常为： 峰值时间tp，指响应超过其终值到达第一个峰值所需要的时间； 延迟时间td，指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间； 上升时间tr，指响应从终值10％上升到90％所需要的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从0第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，系统响应速度越快。 调节时间ts，指响应到达并保持在终值±5％内所需要的最短时间。有时也用终值的±2％误差范围定义调节时间。 超调量σ％，指响应的最大偏离量与终值之差的百分比，即 σ%＝h t p?h(∞) h(∞) ×100% 若h(t)＜h(∞)，则响应无超调。超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。在实际应用中，常用的动态性能指标为上升时间、调节时间和超调量。 1.2 稳态误差 稳态误差是描述系统稳态性能的一种指标，在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测量或计算。若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量的确定函数，则系统存在稳态误差，稳态误差是系统控制精度或扰动能力的一种度量。 稳态误差的计算部分参考《自动控制原理》部分。 1.3 时域动态指标的测量 一般是控制系统发出阶跃信号（一般用脉冲信号代替），同时记录被测产品的输出信号，用波形测量中的“Transition measurement .VI”其帮助如图2所示。 上升时间可以由VI直接测量出来，调节时间和超调量要根据定义进行数据出来，在带入公式计算。 2 频域分析法 频域分析法是应用频率特性研究线性控制系统的另外一种方法，频域分析法的