第4章频域分析
前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。
信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。
4.1概述
一、频域分析法
1.定义
所谓信号的频域分析
．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。
2.频域分析的目的
（1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围；
（2）分析各信号之间的相互关系；
（3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断；
二、频谱
1.定义
所谓频谱，也就是信号的频域描述。
2.分类
对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。
（1）周期信号：离散的
．．．幅值谱、相位谱或功率谱
（2）非周期信号：连续的
．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度
（3）随机信号：具有统计特征
．．．．的功率谱密度
3.功率谱
（1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布；
（2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况；
注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱
所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。
5.相干分析
所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。
三、谱估计
1.定义
由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。这种频谱实际上只是真实频谱的一种估计值，故称为谱估计。
2.分类
目前，谱估计方法大致可以分为：
（1） 经典法（线性估计法）——用传统的傅里叶变换分析方法求谱。它又包括：
○
1间接法（相关估计法）——由数据的自相关序列求功率谱； ○
2直接法（周期图法）——由数据直接用离散傅里叶变换求功率谱； （2） 现代法（非线性估计法）——用参量信号模型来估计谱。它又包括：
○
1自回归信号（AR ）模型 ○
2滑动平均（MA ）模型 ○
3自回归滑动平均（ARMA ）模型 注意：这里我们重点介绍经典法。
4.2 功率谱分析及应用
一、 功率谱分析的目的
进行功率谱分析的目的在于：研究信号的能量（或功率）的频率分布，并突出信号频谱中的主频率。
注意：这里我们着重介绍自功率谱的分析，以下都简称为功率谱。 二、 功率的概念
一般来说，信号的功率与其幅度的平方成正比，相应的谱称为功率谱。 在时域内，任何实信号x (t )的平均功率定义为
?
-∞→=2
/2
/2
)(1lim
T T T dt t x T
P
式中，|x (t )|2为信号x (t )的瞬时功率。若积分
?
∞
∞
-dt t x 2
)(收敛，则表示信号x (t )的总能量。
三、 帕塞瓦（Parseval ）定理
下面我们将推导信号x (t )的功率与其频谱之间的关系，即帕塞瓦定理。 1. 数学推导
设实信号x 1(t )、x 2(t )的频谱分别为X 1(j Ω)、X 2(j Ω)，即
)()()()(2211Ω?Ω?j X t x j X t x ，
则由傅里叶变换（FT ）的反、正变换定义式，可得
???????∞∞
-∞∞-∞∞-Ω∞∞-∞
∞-∞∞-Ω∞
∞-ΩΩΩ=ΩΩ-Ω=ΩΩ=??
????ΩΩ=d j X j X d j X j X dt e t x d j X dt d e j X t x dt t x t x t
j t
j )()(21)()(21)()(21)(21)()()(*1212122121ππππ
?
??
? ??Ω=Ω-*)()()(111j X j X t x 则为实信号，由于
上式表示功率定理．．．．。若实信号x 1(t )=x 2(t )= x (t )，即X 1(j Ω)=X 2(j Ω)= X (j Ω)，则由上式结论，得
?
??
∞
∞
-∞
∞-*∞
∞
-Ω
Ω=Ω
ΩΩ=
d j X d j X j X dt t x 2
2
)(21)()(21
)(π
π
???????
? ??ΩΩ也为偶函数为偶函数，即的对称性，可知由为实信号，则由于2)()()(j X j X FT t x
?
∞
ΩΩ=
2
)(1
d j X π
（4.2.1）
上述关系式表明了信号x (t )的功率与其频谱之间的关系，我们通常将称为帕塞瓦定理．．．．．。 2. 说明
（1） （4.2.1）式中的实函数|X (j Ω)|2离散时，称为功率谱（或能量谱）；若为连续时，则称为功率谱密度（或能量谱密度）；
（2） （4.2.1）式中含有幅度谱绝对值的平方|X (j Ω)|2，但未给出其相位信息，这表明：○
1若仅给定信号的功率，则无法恢复信号；○
2对于幅度谱相同，相位谱不同的信号而言，其功率谱相同；
（3） 由FT 的时移定理和尺度变换定理，我们不难导出信号的时移和时域展缩对其功率
谱的影响：○
1当信号发生时移时，即t →t ±t 0，则功率谱不变；○2当信号作时域展缩时，即t →kt ，则功率谱将降低为原来的1/k 倍。 （4） 注意：上述讨论中假定：信号．．．．．．．．．．x ．(．t ．)．的总能量和平均功率都是有限的。这是（．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.2.1．．．．．）．式所示的帕塞瓦定理成立的前提。．．．．．．．．．．．．．．．
若信号x (t )的总能量无限，但其平均功率有限（如海浪波动）时，则我们只考虑其在T 内的有限部分，于是我们可用下式来代替（4.2.1）式所示的帕塞瓦定理，即
?
?
-∞→∞
∞
-ΩΩ=2
/2
/2
2
)(21lim
)(T T T d j X T
dt t x π
式中，|X (j Ω)|2/T 称为功率谱密度。 四、 功率谱的计算 1. 相关估计法
所谓相关估计法．．．．．，就是利用DFT 的快速算法来计算信号的相关函数，进而求得随机序列的功率谱估计值的方法。
因此，要用相关估计法来求解功率谱，我们应首先弄清两个问题： ○
1相关函数与功率谱之间有何关系？ ○
2如何利用DFT 的快速算法来计算信号的相关函数？ （1） 维纳-欣钦定理
维纳-欣钦定理：实．平稳随机序列的功率谱密度．．．．．P ．(．e ．j ．ω．)．与序列的自相关函数．．．．．r ．xx ．．(．m ．)．是一对傅里叶变换，即它们满足序列的傅里叶变换公式
∑∞
-∞
=-=
=m m
j xx
xx j e m r
m r DTFT e P ωω
)()]([)( （4.2.2） 由此可见，维纳-欣钦定理就是我们要找的解决问题○
1的理论依据。这样，利用该定理，我们就能由信号的自相关函数来求得其功率谱密度。
注意：上述定理要求序列的长度为无限长，但在实际中只能通过计算有限长序列谱，来作为无限长序列谱的估计值。 （2） 相关的概念
所谓相关（又称互相关）．．．．．．．．．
是指两个确定信号或两个随机信号之间的关系。 对于随机信号来说，信号一般是不确定的，但是通过对其规律进行统计，其相关函数往往是确定的，因而在随机信号的数字处理中，我们可以用相关函数来描述一个平稳随机信号的统计特性。
在讨论有限长序列的离散傅里叶变换时，与卷积（包括线性卷积和循环卷积）运算相似，相关运算同样存在线性相关和循环相关两种类型。
I. 线性相关 1） 定义
设两个长度分别为N 、M 的有限长实序列x (n )和y (n )，其线性相关就定义为
∑∞
-∞
=-=
n xy m n y n x m r )()()( （4.2.3）
式中，r xy (m )又称为互相关函数。
2） 说明
○
1线性相关与线性卷积的比较
)()()()()()()()()()(n x n y m n x m y k n x k y m n y m x n y n x m k m *=-=-=-=
*∑∑∑∞
-∞
=∞-∞
=∞-∞
=
式[b]：
)()()()()()()()(m r
m n y n x m k y k x m n x n y m r xy
n k n yx -=+==+=-=
∑∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=∞
-∞
=
一般，由于x (n )和y (n +m )的相似程度与x (n )和y (n-m )的相似程度是不同的，则r xy (-m )≠r xy (m )，故r yx (m )≠r xy (m )。
○
2自相关函数 当信号x (n )与其自身相关时，即令（4.2.3）式中x (n )= y (n )，则可得信号．．x ．(．n ．)．的自．．相关函数．．．．
∑∞
-∞
=-=
n xx m n x n x m r )()()(
II. 循环相关
1） 定义
长度均为N 的有限长序列x (n )和y (n )的循环相关定义为
)())(()()(10m R m n y m x m r N N n N xy ??
?
???-=∑-=
可见，循环相关是在主值区间0?n ?N-1内进行的，其结果仍为长度N 。
2） 利用循环相关计算线性相关
上一章中，我们介绍了利用循环卷积实现线性卷积的方法，同理，这里我们同样可
以利用循环相关来计算线性相关，其条件是：
设两个有限长序列x (n )、y (n )的长度分别为N 和M ，则循环相关的长度L 必须不小于线性相关的长度N +M-1，即
L ≥N +M-1
所以，利用循环相关计算线性自相关的条件为：L ≥2N-1。 （3） 相关估计法的具体步骤
正如我们借助于DFT 利用循环卷积实现线性卷积一样，这里我们也可以借助于DFT 利用循环相关计算线性自相关，其具体过程如下：
○
1将原序列按长度L =2N-1补零得序列x (k )； ○
2求x (k )的DFT ，得X (m )和它的共轭X *
(m )； ○
3计算DFT 乘积，并除以N ，得[X (m ) X *
(m )]/N ； 注意：功率谱密度的估值[]
)()(1
)(m X m X N
m P N *=
（其推导参见教材P108式4.2.15）， 且由维纳-欣钦定理，可知P N (e j ω
)=DFT[R N (k )]
○
4求IDFT ，得信号x (n )的自相关函数R N (k )= IDFT{[X (m ) X *
(m )]/N }； 可见，利用FFT 求得信号x (n )的自相关函数R N (k )后，再利用一次FFT 就可计算得到功率谱密度的估值（参见教材P107式4.2.12）
1,,1,0)()]([)(1
)
1()/2(-==
=∑---=-N m e k R
k R DFT m P N N k mk N j N
N N ，π
2. 周期图法
可以证明（具体推导参见教材P108式4.2.15）：
有限长实随机序列的功率谱估计值就等于其傅里叶变换的模平方除以N ，即
[]
2)(1
)()(1)(ωωωωj j j j N e X N
e X e X N e P ==
* 由此可知，除了上面介绍的相关估计法，我们还可以利用FFT 直接计算功率谱的估计值，
这种方法称为“周期图法”。 （1） 周期图法的具体步骤
○
1假设对序列{x n }进行N （其中N =2m
）点采样； ○2使用适当的窗函数．．．．．．
，截取原始序列中的一段{x k }（k =0,1, …, N-1）进行分析； 注意：随着分析研究的目的不同，所选用的窗函数也就不同，例如，若需要求取频域
中的主频率，则选用矩形窗；若需要修正某频率分量的幅值，减小泄漏，则选用哈明窗。 ○
3用FFT 计算序列{x k }（k =0,1, …, N-1）的离散傅立叶变换； ○4计算功率谱P (f k )（其中主频率f k = k ·f s ）； ○
5对功率谱P (f k )进行修正。 修正的原因：由于对原始数据进行了加窗处理，因此需要再用比例因子（又称为归一化系数）修正功率谱值。 （2） 说明
与相关估计法相比，周期图法是一种运算量少、简便、快速的方法，但是这种方法会带来一定的估计误差。因此，在实际信号处理时，往往采取某些措施对周期图法进行改进，以尽量减少估计误差，其具体措施如下：
○
1采取窗处理减少功率泄漏； 由于在对随机序列进行截取而获得有限长序列时，必然会出现吉布斯效应．．．．．，使原来集中于小范围的信号功率扩散到较大的频带内，从而造成功率泄漏。为了减少功率泄漏，我们可以通过在时域加窗，使功率谱在频域内收敛得更快，这相当于对功率谱进行平滑滤波。
○
2采取平均化处理减小统计变异性； 一般，在分段处理时，结合2:1覆盖分段和平均的方法，这样既可以保持一定的分辨率，又有利于减小估计偏差。
○
3去均值； 即：将所有频率分量相加后，再除以其点数，以消除其中的直流分量。 ○
4修正比例因子； 实际应用中，应对仪器的绝对比例因子进行标定。不同仪器的比例因子可能不同，但这并不妨碍分析。 五、 功率谱的应用
1. 从含有噪声的信号中确定主频率
2. 不解体的故障判断
过去对于许多大型设备，为了防止其出现故障，我们常常需要将其拆开进行定期检修，这样既麻烦，又不能完全避免事故的发生。现在，我们可以利用信号处理技术，将测得的设备振动信号经过数字信号处理系统处理后，得到相应的频谱图，并根据频谱图来分析设备有无故障。例如，由汽车发动机振动的频谱图（参见P111图4.2.1）可见，当排气阀门间隙过大时，其高频成分明显增加，我们由此即可确定排气阀门不正常。
3. 利用实测的荷载谱控制振动台来模拟随机环境 六、 互谱分析
前面我们已研究了信号的自功率谱。那么，对于两个信号之间的功率谱关系，我们可以用互功率谱密度（简称互谱）来描述。与自功率谱相似，互谱和互相关函数也是一对傅里．．．．．．．．．．．．．．叶变换对．．．．。 1. 定义
对于连续信号x (t )和y (t )，其互相关为R xy (t )，则其互谱定义为
?
∞
∞
-=
dt e t R P t j xy ωπ
ω)(21
)(
对于长度为N 且采样间隔为T 的有限长离散序列x (n )和y (m )，其频谱可写成
)()(1
)()(1)(101
)(T j T j N n N m T
n m j e Y e X N
e m y n x N P ωωωω*-=-=--==∑∑
2. 互谱的应用
○
1确定系统的频率响应函数； ○
2识别动力学系统的特性； ○
3确定响应对激励的滞后时间； 4.3 倒频谱的分析及应用
一、 目的
倒频谱可以分析复杂频谱图上的周期成分，分离和提取在密集泛频信号中的成分。
二、 概念
倒频谱实际上是频域信号取对数．．．的傅立叶变换再处理，或称为“频域信号的傅立叶再变换”。
注意：这里对功率谱密度函数取对数的目的是：信号再变换后，使信号的能量更加集中。 三、 应用
1. 语音信号的分析
2. 对齿轮和轴承等动态分析和故障诊断
4.4 谱分析中的几个重要问题
在对信号进行谱分析时，我们需要考虑以下几方面的实际问题。 一、 预处理
由于各种客观因素的影响，在所测得的信号中通常混有噪声，再加上A/D 转换时所引入的量化噪声，从而影响了对原信号的性能分析。因此，在对信号做数字处理（包括对其估值、识别、提取特征量等）之前，我们有必要对所测得的信号进行某些预处理（如信号的放大、滤波、去除均值、去除趋势项等），以便尽可能地消除噪声，提高信号的信噪比。 1. 滤波
当需要平滑或抑制信号中的某些频率分量时，可采用滤波的方法来实现，例如，利用低通滤波器来抑制高频噪声。这种滤波的方法不仅可以抑制噪声，而且还能抵消漂移，并减少加窗截取信号所造成的功率泄漏。 2. 去除均值
○
1原因 信号的均值相当于一个直流分量，而直流信号的傅里叶变换是在ω=0处的冲激函数，若不设法去除此均值，则在估计该信号的功率谱时，将在ω=0处出现一个很大的峰值，并会影响ω=0左右两侧的频谱曲线，使之产生较大的误差，因此，我们必须去除信号的均值。
○
2实现 对于序列x (n )，我们首先应估计出其平均值
∑-==
1
)(1
)(N n n x N
n x
然后再从原序列x (n )中去掉此均值，即
)()()(?n x n x n x
-= 这样就可以获得去均值后的信号序列x ^
(n )。
3. 去除趋势项
○
1原因 在所测得的信号中，有时会存在一个随时间变化的总趋势，这种趋势可能是随时间作线性增长，也可能是按平方关系增长的，例如，在做心电图时，由于身体的移动常会引起基线漂移现象，使记录到的信号跑出纸外，由图可见，该信号是由真正的心电图信号和一个慢变趋势项叠加而成的，因此，为了正确解释和处理该信号，我们就必须设法去除趋势项。
○
2实现 去除趋势项的方法有多种，一般对于线性或近似线性增长的趋势项（如上图），可用多．
项式拟合．．．．的方法来去除；对于其它类型的趋势项可用滤波．．的方法来去除。 二、 频谱泄漏与窗函数
在进行谱分析时，通常需要用矩形窗将长序列信号截取成若干段有限长序列信号，这种过程相当于原序列与矩形窗函数相乘，而时域相乘则对应于频域中的原序列频谱与矩形窗函数频谱的卷积过程，从而造成卷积后的频谱拓宽，即：在频谱图中的主瓣以外，又出现了多个旁瓣，这种失真现象就称为“频谱泄漏．．．．
”现象。 为了减少泄漏带来的影响，截取信号时应根据具体情况，选择合适的窗函数．．．．．．．．，如哈明窗或汉宁窗等。那么，窗函数的选择依据如下： 1. 窗函数的评价指标（参见P117图4.4.2）
（1） 最大旁瓣用最大旁瓣值与主瓣峰值之比的对数来表示，即20lg(A 旁max /A 峰)； （2） 旁瓣衰减率以10个相邻旁瓣峰值的衰减比的对数来表示，即20lg(A 旁10/A 旁1)；
（3） 主瓣峰值可能最大误差%1001???
?
???-=峰读G G ε； （4） 主瓣宽
主瓣的宽窄对频率分辨率有影响，若主瓣宽越窄，则分辨率越高。 2. 窗函数的长度
窗的长度越长，其分辨率越高。 3. 窗函数的位置
对于周期信号尽量保证整周期采样。 三、 频谱分析步骤
为了保证信号处理的精度和可靠性，在实际谱分析中应采用下列步骤： 1. 将待分析的信号进行预处理（包括滤波、去除均值、去除趋势项等）； 2. 估计信号的频率范围和频率上限f m ；
3. 根据分析精度的要求，设定谱分析中的频率分辨率
N
f NT T F s s ===
1
100 4. 选定采样间隔T s ，使采样频率f s ?2f m ；
5. 确定采样点数N ，使谱分析的频带宽F max = NF 0/2 等于f m ，则
0/2F f N m =
注意：N 应为2的整数次幂，否则可通过补零．．
的方法来实现，以便利用FFT 算法。 4.5 频率响应函数分析及应用
前面介绍的谱分析法的应用前提是：进行对比试验的条件和工况必须完全相同．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，否则无法对比。这对于分析试验工况复杂的情况造成了一定的困难，比如，由于必须考虑各种工况的影响而使处理数据的工作量很大、可能不能全面反映问题等。而频率响应函数的分析一般只需要选择一种工况进行对比试验，这样就较好地解决了上述问题，且试验的可比性较好。正是由于这一优点，从而使频响函数分析法在实际工程应用中得到了迅速发展。 一、 频率响应函数 1. 定义
对于一个物理可实现的常系数线性稳定．．．．．．．．．．．．．系统，则我们可以用频率响应函数H (f )来描述。而频率响应函数实际上是传递函数的一个特例。
注意：与传递函数不同的是，这里是取信号的傅氏变换，而不是拉氏变换。
仿照传递函数的定义，若系统的输入、输出信号x (t )、y (t )的傅里叶变换分别为X (f )、Y (f )，则其频率响应函．．．．．数．H (f )的定义为
)
()
()()()()()()()(f P f P f X f X f X f Y f X f Y f H x xy ===*
* 式中，P xy (f )为互功率谱，P x (f )为输入信号的（自）功率谱；
H (f )是一个复数，可以用模（幅频特性）和相角（相频特性）来表示，即
)()()(f j e f H f H φ-=
2. 基本特性 （1） 脉冲响应函数与频响函数互为傅立叶变换对，即
?∞
-=0
2)()(τττπd e h f H f j
（2） |H (f )|?0，即幅频特性为正值函数； （3） 频响函数的相频特性与互谱的相位特性完全相同，即
2
)
()()()()
()()()()(f X f P f X f X f X f Y f X f Y f H xy ===** 式中，|X (f )|2为实数； （4） 若系统为不含明显的噪声输入的单输入系统，且频响函数是确定的，那么只有知道系统的输入功率谱，就可以计算出系统的输出功率谱或互谱，即
)
()()()()()()()(2
f H f P f P f H f P f P f H f P y x xy x y =
== 二、 相干函数
由于在实际应用时输入、输出信号中往往混有噪声干扰，因而，为了表明输出信号y (t )中有多少来自于输入信号x (t )，这里我们引入相干函数．．．．
的概念。
1. 定义
)10()
()()
()(2
2
2≤≤=
xy y x xy xy f P f P f P f γγ
相干函数是用来判断频率响应函数的可信性的一种手段。一般来说，当γ
xy
2
?0.8时，频响
函数才是可信的。 2. 说明 （1） 相干函数必须在多段平均．．．．时使用； 如果所研究的输入、输出信号只有一段信号，则相干函数γxy 2
(f )≡1。
证：由于处理一段信号时
)()()()()()()(2
2
2
2
f P f P f Y f X f Y f X f P y x xy ===*
则
1)
()()
()(2
2==
f P f P f P f y x xy xy γ
注意：在处理一段信号时，即使输入、输出信号毫无关系，其相干函数也恒等于1，此时相
干函数已完全失去意义，因此，不能将相干函数用于处理同一段信号．．．．．．．．．．．．．．．．
。 （2） 在多段平均时，若相干函数等于1，则表明输出y (t )完全来源于输入x (t )，并无噪声混入，那么，得到的频响函数完全正确地表达了系统的动态特性，是完全可信的； （3） 相干函数小于1的情况包括：
○
1测量中存在外部噪声； ○
2谱分析中含有估计误差； ○
3系统是非线性的； ○
4除了x (t )外，另有输入信号源； 3. 分析含有噪声的实测系统
对于一个混有测量噪声的单输入单输出系统，如图所示（参见P126图4.5.1）
（1） 情况一：若n (t )≠0，m (t )=0，即只有输出噪声，则
)()()()()(t n t v t y t u t x +==，
故输入功率谱)()(f P f P u x = 输出功率谱)()()(f P f P f P n v y +=
由于输入谱P x (f )= |X (f )|2为实数，且由频响函数和相干函数的定义，可知理想的输出谱
)
()
()()()()()()(2
2
2f P f P f P f P f H f P f H f P x x xy x u v =
==
)()()()
()()
()
()(2
2
2
f P f f P f P f P f P f P f P y xy y y x xy x xy γ==
=
而噪声谱
)()](1[)()()()()()(2
2f P f f P f f P f P f P f P y xy y xy y v y n γγ-=-=-=
则由上式，得
1)
()
(1)(2
≤-
=f P f P f y n xy γ
可见，○
1若无噪声，即P n (f )=0，则相干函数γxy 2
(f )=1； ○
2当输出噪声谱P n (f )增加时，则相干函数γxy 2
(f )减小； ○
3若输出信号y (t )全是噪声，即P y (f )= P n (f )时，则相干函数γxy
2
(f )=0。
（2） 情况二：若m (t )≠0，n (t )=0，即只有输入噪声，则
)()()()()(t v t y t m t u t x =+=，
故输入功率谱)()()(f P f P f P m u x +=
由频响函数的定义、性质和相干函数的定义，可知理想的输入谱
)
()()
()()()
()()
()
()()
()()()
()()(2
2
2
2
2
f P f P f P f f P f P f P f P f P f P f P f P f P f H f P f P m x x xy x x y xy y xy xy y y y u -===
=
=
=
γ
则由上式，得
1)
()
(1)(2
≤-
=f P f P f x m xy γ
可见，当输入噪声谱P m (f )增加时，则相干函数γxy 2 (f )减小。
（3） 情况三：若m (t )≠0，n (t )≠0，即输入、输出均有噪声，且噪声和信号以及噪声之间互不相关，则
)()()()()()()()()(===+=+=f P f P f P t n t v t y t m t u t x mn yn xm ，
故输入功率谱)()()(f P f P f P m u x += 输出功率谱)()()(f P f P f P n v y += 由于理想的相干函数
)
()()
()(2
2f P f P f P f v u uv uv =
γ
由于噪声和信号之间互不相关，则
)()()()(2
2
f P f P f P f P v u uv xy ==
则由上述公式，得实测相干函数
[][]
1)()()()()
()()
()()
()(2
2≤++=
=
f P f P f P f P f P f P f P f P f P f n v m u v u y x xy xy γ
可见，当输入、输出混有噪声时，则实测相干函数γxy 2 (f )由于分母增大而变小。 三、 频响函数的估计
（1） 情况一：当m (t )=0，n (t )≠0，即只考虑输出噪声时，则
)()
()
()
()()
()()(?1
f H f P f P f P f P f P f P f H u uv u xy x xy ==
=
=
但实际上m (t )≠0，则
[])()
()(1)
()
(/)()()
(/)()()()()
()()(?1
f H f P f P f H f P f P f P f P f P f P f P f P f P f P f H u m u m u u uv m u uv x xy <+
=
+=+=
=
可见，此时为频响函数的欠估计。
（2） 情况二：若n (t )=0，m (t )≠0，即只考虑输入噪声时，则
)()
()()(?2
f H f P f P f H xy y ==
但实际上n (t )≠0，则
[])()()(1)()(/)()(/)()()()()()(?1f H f P f P f H f P f P f P f P f P f P f P f P f H v n v uv v n v uv n v >?
?
????+=+=+= 可见，此时为频响函数的过估计。
四、 频响函数的测定
由于实际系统中存在分布参数，且其阻尼、刚度特性是变化的，则从理论上分析频响函数的难度较大，因此，我们采取实测方法来确定频响函数。通常，对于不同的激励，则相应的测试方法也就不同。 1. 正弦和随机扫频激振法
特点：○
1采用正弦信号或随机白噪声作为测试输入信号； ○
2需要利用振动台或激振器等专用测试设备； ○
3精度高，但测试时间长，价格高； 2. 冲击法（又称脉冲输入法）
特点：○
1采用脉冲信号作为测试输入信号； ○
2方法简单，但精度差； 3. 随机输入法
问题的提出：○
1不易振动或冲击的场合，如高层建筑； ○
2被测物处于随机的干扰中，如飞机； 特点：○
1利用工作情况中直接测得的信号作为测试信号[注意：必须有传感器]； ○
2不需要专门的试验设备； 要求：在感兴趣的频段中，具有连续的频谱和足够的能量。
五、频响函数的应用
（一）机械工程方面
1.旋转机械基础的振动特性分析
2.运输机械的减振性能和操作特性分析
○1汽车行驶时，振动传递和衰减状况的分析
○2汽车的操纵和稳定性能的检测
（二）生物工程方面
1.研究噪声对人后脑的脑电波的影响
2.研究和分析正常人与心肌梗塞病人的心电波
如果我们分别对正常人和心肌梗塞病人的心电波进行相频分析，由图（参见P132图4.5.8）可见，正常人的相频特性较有规律，而心肌梗塞病人的相频特性有较大波动，由此，我们即可判断人体心脏是否正常。
习题：P132 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7
机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 1 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 2 张家港校区 机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 3 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 4 张家港校区 机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 5 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 6 张家港校区
机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五7张家港校区2040机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五8 张家港校区 机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五9张家港校区机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五10 张家港校区 Bode Diagram 10机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 11 张家港校区Bode Diagram 机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 12 张家港校区
机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 13 张家港校区)100 111???+机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五 14 张家港校区 机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五15张家港校区为什么？ 机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五16 张家港校区 机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五17张家港校区机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五18 张家港校区
机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 19 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 20 张家港校区 1 2/rad s τω=1 ,0.2/T rad s ω=机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 21 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 22 张家港校区 机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 23张家港校区机电与汽车工程学院2011年11月18日星期五24 张家港校区
1 / 20 第四章 连续信号的频域分析 将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。 本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。 4.1 基本要求 1．基本要求 ? 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ? 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ? 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ? 掌握傅里叶变换的常用性质； ? 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。 2．重点和难点 ? 傅里叶变换的性质及其应用 4.2 知识要点 1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式 三角形式：∑∑∞ =∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ?（4-1） 指数形式： ∑∑∞ -∞ =+Ω∞ -∞ =Ω= =n t n n n t n n n F F t f )j(j e e )(? （4-2） 其中 ? +Ω= T t t n t t n t f T a 00 d cos )(2 ，n =0，1，2，? （4-3）
? +Ω= T t t n t t n t f T b 00 d sin )(2，n =1，2，? （4-4） 且 n n n n n n a b b a A a A arctg , ,2 200-=+==? （4-5） ?+Ω-= T t t t n n t t f T F 00 d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系 0)( e 2 1 j ≥=n A F n n n ? （4-7） 并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即 ||||n n F F -=，||||n n -=?? （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义 通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ≥0），即n Ω，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率Ω（即n =1）的分量称为基波分量。 2．周期信号的频谱 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n Ω）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。 A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n Ω）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。 但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。 所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。 3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度 非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为 ?∞ ∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9） ?∞ ∞ -= ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ω)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。
第四章 连续系统的频域分析例题详解 1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。理想低通滤波器的频率函数为 )15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。 解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f )30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B = )]] 30([)]30([[2 1 )()]]30([)]30([[21 )(++-=++-= w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A
1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特 性()0?ω=，若输入 sin(2) (),()cos(1000)2t f t s t t t π==，求输出信号()y t 。 f () H j ω()0 ?ω=1/(.) rad s ω--1001 -999 0 999 10011 -1000 1000 图（b ） 图2
解 4sin(2)1 ()[ ]()22 t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++- 441 [()cos(1000)][()][cos(1000)]21 [(1000)(1000)] 4 F f t t F f t F t g g πωω= ?*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为 ()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得 22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得 2221 ()[(1000)(1000)] 4 1 ()[(1000)(1000)]4 Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++- 由此可得输出信号为 1 ()()cos(1000)2y t Sa t t π = 3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。若输入信号 t t t f ππ) sin()(= ，求输出信号的频谱函数，并画出其频谱图。 图 3 解：信号t t t f ππ) sin()(= 的频域表达式为 )(2)(2ωπωg j F =
第四章 连续时间系统的频域分析 本章主要内容：本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、调制。系统函数H (j ω)及傅里叶变换分析法；理想低通滤波器模型；系统的物理可实现条件；调制／解调的原理与实现；频分复用与时分复用;无失真传输条件。 4.1引言 实质上，在时域分析方法是把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；傅里叶分析法是 把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和，即单元信号是 j t e ω，先求取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。 一般信号f (t )作用于LTI 系统的响应 ()j t j t e H j e ωωω→；11 ()()()22j t j t E j d e E j H j d e ωωωωωωωππ →； 11()()()22j t j t E j e d H j E j e d ωωωωωωωππ∞∞?∞?∞→∫∫；1()()[()()]e t r t H j E j ωω?→=F ；()()()R j H j E j ωωω= 频域分析法： (需要先介绍卷积定理，因为上次课忘记讲了： 卷积定理 1)时域卷积定理 若1122()()()()f t F j f t F j ωω??， ，则1212()()()()f t f t F j F j ωω??? 证明： 1212() 1212()()()()()()()() j t j t j j t f t f t e dt f f t d e dt f e d f t e dt F j F j ωωωτ ωτττττττωω∞ ∞ ∞ ???∞ ?∞?∞ ∞ ∞ ????∞ ?∞ ?=? =?=?∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2)频域卷积定理 若1122()()()()f t F j f t F j ωω??， ，则12121 ()()()()2f t f t F j F j ωωπ ??? 时域：r (t )=e (t )*h (t )，则依卷积定理有()()()R j E j H j ωωω=?。 频率响应：() (j )() R j H E j ωωω=。 ()()()e j H j H j ?ωωω=。()~H j ωω：系统的幅频特性；()~ ?ωω：系统的相频特性。 4.2 系统函数 利用系统函数H (j ω)求响应 主要内容：非周期信号激励下系统的响应 ；余弦信号激励下的响应 一．非周期信号激励下系统的响应 以RC 低通网络为例，讨论用系统函数求解的过程，此题求v 2(t )。 + + ? ? )(1t v )(2t v R C E 0 t τ ) (1t v 分析： 无储能------零状态，v 2(t )的结果用时域分析法可以得到下面用频域分析——系统函数法再讨论求解过程 解:1.列方程 低通网络为一阶电路，其时域方程为
第4章频域分析 前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。 信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。 4.1概述 一、频域分析法 1.定义 所谓信号的频域分析 ．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。 2.频域分析的目的 （1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围； （2）分析各信号之间的相互关系； （3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断； 二、频谱 1.定义 所谓频谱，也就是信号的频域描述。 2.分类 对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。 （1）周期信号：离散的 ．．．幅值谱、相位谱或功率谱 （2）非周期信号：连续的 ．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度 （3）随机信号：具有统计特征 ．．．．的功率谱密度 3.功率谱 （1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布； （2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况； 注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱 所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。 5.相干分析 所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。 三、谱估计 1.定义 由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有
第四章 频域分析法 1．选择题 （1）若系统输入ω为不同频率的正弦t A ωsin ,其稳态输出响应为),sin(Φ+t B ω,则该系统的频率特性可表示为( C ) A. t A t B ωωsin )sin(Φ+ B. Φj e B A C. Φj e A B D. jwt e A B （2）一阶微分环节Ts s G +=1)( ，当频率T 1 = ω时，相频特性为)(ωj G ∠为（ A ） A. 045 B. 045- C. 090 D. 0 90- （3）已知系统的频率特性为 1 5 +ωj ,则该系统可表示为( B ) A.ω 15-jtg e B. ω ω1 1 5 2 --+jtg e C. ω 15--jtg e D. ω ω1 1 5 2 -+jtg e （4）已知系统频率特性为 1 51+ωj ,当输入为2sin2t 时,系统的稳态输出为( A ) A. )52sin(125212ωω--+tg t B. )52sin(125212ωω-++tg t C. )52sin(1 25212ωω--+-tg t D. )52sin(1 25212ωω-++-tg t （5）在瞬态响应与频率响应中,当阻尼比ζ=0----0.707,则无阻尼自然频率n ω,阻尼自然频率 d ω和谐振频率r ω之间的关系为( A ) A. n ω>d ω>r ω B. n ω>r ω>d ω C. d ω>r ω>n ω D. r ω>n ω>d ω
（6）下列开环传递函数所表示的系统,属于最小相位系统的是( C ) A. )12)(15(1++-s s s B. )0(111>+-T s T Ts C. )5)(2(14+++s s s s D. )2)(3(2-++s s s s （7）系统开环对数幅频特性曲线低频段的形状与闭环系统的（ C ）有关。 A. 抗干扰性能 B. 动态性能 C. 稳态性能 D. 动态性能与稳态性能 （8）积分环节的幅频率特性,其幅值与频率成( C ) A. 指数关系 B. 正比关系 C. 反比关系 D. 不定 （9）如图所示几个系统的开环伯德图，属于I 型系统的是 ( B) L( L(ω L( ω A ． B ． C ． （10）下面列出了四个系统的相角裕度和幅值裕度，只有( B )系统是稳定。 A ．γ=150 kg=0 B ．γ=350 kg=26dB C ．γ=-200 kg=30dB D ．γ=450 kg=-5dB 2．应用频率特性来描述系统（或元件）特性的前提条件是什么？ 答：频率特性又称为频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。对线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出响应也将是同频率的正弦量。但是其幅值和相位一般都不同于输入量。 3．频率特性有哪几种分类方法？ 答：以坐标分为直角坐标（实频特性和虚频率特性）和极坐标（幅频特性和相频特性） 以图形分为幅相极坐标图和对数频率特性（对数幅频特性和对数相频特性） 以研究角度分为开环频率特性和闭环频率特性。 4．系统的稳定状况有几类情况？ 答：大致有三类情况：（1）稳定系统：其特点是不论系统的参数怎么改变，系统总是稳定的。（2）不稳定系统：其特点是不论系统的参数怎样调整，系统仍然将是不稳定的。 （3）系统可能是稳定的，也可能是不稳定的。 5．试求图(a)、(b)网络的频率特性。
南昌大学实验报告 学生姓名：罗族学号: 6103413001 专业班级：生医131班 实验类型： 验证□综合□设计□创新实验日期：实验成绩：第四章：线性时不变离散时间系统的频域分析 一、实验目的： 1、学会用MATLAB在时域中产生一些基本的离散时间信号，并对这些信号进行一些基本的运算。 2、学会使用基本的MATLAB命令，并将它们应用到简单的数字信号处理问题中。 二、实验要求： 1、学习并调试本章所给的例子。 2、回答书后给出的问题。 3、实验报告仅回答偶数信号的例子。 三、实验程序及结果 Q4.2使用修改后的程序P3.1，计算并画出当0时传输函数 的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。它表示哪种类型的滤波器？ 程序： w=0:pi/511:pi; num=[0.15 0 -0.15]; den=[1 -0.5 0.7]; h=freqz(num,den,w); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(h)); grid; title('H(e^{j\omega})幅度谱'); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('振幅'); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angle(h)); grid; title('相位谱 H(e^{j\omega})'); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('以弧度为单位的相位');
由上图可知，它表示带通滤波器。 Q4.4使用MATLAB计算画出当0时因果线性是不变离散系统的群延迟。系统的传输函数为 函数impz可引来计算因果线性是不变离散时间系统的冲激响应的开始部分。因此可使用习题Q3.50中你编写的程序。 这是一个窄阻带的带阻滤波器，在大多数的带通滤波器中，群延迟是恒定的。 Q4.6使用zplane分别生成式（4.36）和式（4.37）确定的两个滤波器的机零点图。讨论你的结果。 程序： clf; fc = 0.25; n = [-6.5:1:6.5]; y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+6.5; stem(k,y);title('N = 13');axis([0 13 -0.2 0.6]); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');grid;
— P3-1 — 第四章 连续系统的复频域分析习题解答 4-1. 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。 . )()cos( )4( , )(3)1(2 )3( , )()e e ( )2( , )2( )1(22t t t e t t t at t t εθεδεε+--+---ω 解：s st st s t t t s F 2 2 1e e e 1d d )2()( ---== -= ? ? ∞+ ∞- ε 22 0 4 0 3 0 222sin cos d )sin sin cos (cos d )cos()(3 2d 32d )](3)1(2[)(2 121d )e e ()( )(ω ωωωωεδ+-=-= += +- =- =--=++-= +=? ? ? ? ?∞- ∞- ∞+ ∞- ∞- ----+-----s s t t t t t s F a s t t t t s F s s t s F st st s t a s s st t a st e e e e e e e e t t θθθθθ 4-2. 求下列函数的拉氏变换。 . )(e 2 )4( , )1(e 2 )3( , )1(e 2 )2( , )(e 2 )1() 1(55) 1(55t t t t t t t t εεεε-------- 解：.5 e 2)( )4(,5e 2)( )3(,5e 2)( )2(,52)( )1( 5 ) 5( += +=+=+=+--s s F s s F s s F s s F S S 4-3. 利用拉变的基本性质，求下列函数的拉氏变换。 ) 12 1( )10( )22( )9( )]( 2[sin d d )8()2()1(e e )7( )4 cos(e 5 )6( )]2()([e )5(e )4( e )2(1 )3( )4 sin( )2( 2 )1( )1(2222---+-++---+++-------t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t a t δεδππεεωεεω 解：. e 2)2(2 )10( e )1( )9( 4 2022)( )8(e 1 e 21)( )7( )2()2(25.2)( )6(1e 11)( )5( )(2)( )4( 12)1(11)( )3() (2)( 2)( , )cos (sin 22)( )2( 22)( )1(22) 1(2 222 2 2 3 22 223s s s s s t s t s s s s s F s s s F s s s F s s s F a s s F s s s s F s s s F t t t f s s s F ----+-?-?-+=-+=++++=++-+= +-+=+=+-++=++=+=+= δεω ωωωωω 4-4. 求图示信号的拉氏变换式。 解：