第五章 频域分析法
时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
5.1 频率特性
对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号
t U t u ωsin )(= (5—1)
则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即
) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2)
u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。
不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式
)
()
()
()
()
())(()
()()()(1
21s A s B p
s s B p s p s p s s B s U s Y s G n
j j
n =
+=+++==
∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；
n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。
由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)
)
)(()(22ωωω
ωωj s j s U s U s U -+=+=
（5—4）
输出信号y(t)的拉氏变换为
Y(s)＝U(s)G(s)
将式(5—3)、式（5—4)代人上式得
∏=+?
-+=
n
j j
p
s s B j s j s U s Y 1
)
()
()
)(()(ωωω
上式可改写成(利用部分分式法)
n
n p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++=
Λ22
1121)(ωω (5-5)
上式中 n b b b a a ,,,,,2121Λ—待定系数，它们均可用留数定理求出。其中a 1和a 2 是共扼复数。
将式 (5—5)两边取拉氏反变换，可得
0)(t e b e b e b e a e a t y t p n t p t p t j t j n ≥+++++=----Λ212121)(ωω (5—6)
对于稳定的系统，由于极点n p p p ---,,,21Λ都具有负实部，所以当t→∞时，
t p t p t p n e e e ---,,,21Λ都将衰减到零。这时输出信号y(t)只由式(5—6)中的第一项和第二项
决定，即稳态输出y (∞)为
t j t j e a e a y ωω21)(+=∞- (5—7)
式(5—7)中的待定系数a 1和a 2可分别由留数定理求得
????
?
??
=--+=--=+-+==-=)
(2)())(()()(2)())(()
(21ωωωωωωωωωωωωj G j U j s j s j s U s G a j G j U j s j s j s U s G a j s j s （5—8）
上式中 G(j ω)和G(-j ω)都是复数，可以用极坐标形式表示为
??
?
??=-=-=∠--∠)()
()()()()()()(ωωωωωωωωj G j j G j j G j e j G e j G j G e j G j G （5—9） 将式(5—8)、式(5—9)代入式(5—7)得
[]
[])
t Ysin( )G(j t )j G U e e j )j G U e e j G j
U
e e j G j U y ))G(j t j ) G(J t j t j j G j t j j G j ?ωωωωωωωωωωωωωωω+=∠+=-=+-
=∞∠+-∠+∠--∠-sin (21()(2)(2)(()
()()( (5-10)
式中 )G(j )j G U Y ω?ω∠==,(
式(5-10)表明，线性定常系统在正弦输人信号t U t u ωsin )(=的作用下，稳态输出信号y (∞)仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号y (∞)的振幅Y 是输入信号振幅U 的)(ωj G 倍，相位移为)G(j ω?∠=，且都是角频率ω的函数。相位移?为正时，表示输出信号y (∞)的相位超前输人信号)(t u 的相位；相位移?为负时，表示输出信号y (∞)的相位迟后输入信号)(t u 的相位。
如果改变输入信号)(t u 的频率ω，则)(ωj G 和)G(j ω∠也随之改变。线性定常系统在正弦输入时，稳态输出y (∞)与输入)(t u 的振幅比
)j G U
Y
ω(=和相位移)G(j ω?∠=随频率ω而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性。并分别用M(ω)和? (ω)表示，即
)
()(()(ωω?ωωj G )
j G M ∠==
)(ωM 和)(ω?合起来称为系统的频率特性。
由式(5-9)可知，)(ωj G 和)G(j ω∠可以由G(j ω)来统一表示，即
)()()((ω?ωωωωj j G j e M e )G(j )j G ==∠ (5-11)
)j G ω(还可以用直角坐标形式来表示
)jI()R()j G ωωω+=(
式中 )(ωR —)j G ω(的实部，它也是ω的函数，称为实频特性；
)(ωI —)j G ω(的虚部，同样也是ω的函数，称为虚频特性。
从上分析可知，若将传递函数中的s 以j ω代替，就得到频率特性。即：
ωωj s s G j G ==)()(，可以证明，这个结论对于结构稳定的线性定常系统(或环节)都是成立
的。所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用j ω置换其中的s ，就可以得到该系统(或环节)的频率特性。
反过来看，如果能用实验方法获得系统(或元部件)的频率特性，又给确定系统(或元部件)的传递函数提供了依据。
系统频率特性的表示方法很多，其本质上都是一样的，只是表示形式不同而已。工程上用频率法研究控制系统时，主要采用的是图解法。因为图解法可方便、迅速地获得问题的近似解。每一种图解法都是基于某一形式的坐标图表示法。频率特性图示方法是描述频率ω从∞→0变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线，由于采用的坐标系不同可分为两类图示法或常用的三种曲线：即极坐标图示法和对数坐标图示法或幅相频率特性曲
线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线。 一、幅相频率特性(奈氏图)
由以上的介绍可知，若已知系统的传递函数G(s)，那么令s j ω=，立即可得频率特性为)j G ω(。显然，)j G ω(是以频率ω为自变量的一个复变量，该复变量可用复平面[s]上的一个矢量来表示。矢量的长度为)j G ω(的幅值)(ωj G ；矢量与正实轴间夹角为)j G ω(的相角)G(j ω∠。
那么当频率ω从0变化到∞时，系统或元件的频率特性的值也在不断变化，即)j G ω(这个矢量亦在[s]平面上变化，于是)j G ω(这个矢量的矢端在[s]平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，或称作奈奎斯特图(Nyquist)。 二、对数频率特性(伯德图)
由上面的介绍可知，幅相频率特性是一个以ω为参变量的图形，在定量分析时有一定的不便之处。因此，在工程上，常常将)(ωM 和)(ω?分别表示在两个图上，且由于这两个图在刻度上的特点，被称作对数幅频特性图和对数相频特性图。
1．对数幅频特性
为研究问题方便起见，常常将幅频特性)(ωM 用增益()L ω来表示，其关系为：
)(lg 20)(ωωM L = (5—12)
在图形中，纵轴按线性刻度，标以增益值；横轴按对数刻度，标以频率ω值，称作对数幅频特性。
2．对数相频特性
该图纵轴按均匀刻度，标以)(ω?值，单位为度；横轴刻度与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，称作对数相频特性。
对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图（Bode ） 三、对数幅相频率特性(尼柯尔斯图)
将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以)(ω?（度）为线性分度的横轴，以)(lg 20)(ωωM L =（db ）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的)(ωj G 曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols ）。本章只介绍奈奎斯特图和伯德图。
5.2 幅相频率特性（Nyquist 图）
5.2.1 基本概念
由于频率特性G(j ω)是复数，所以可以把它看成是复平面中的矢量。当频率ω为某一定值ωl 时，频率特性G(j ωl )可以用极坐标的形式表示为相角为)(1ωj G ∠(相角)G(j ω∠的符号定义为从正实轴开始，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)，幅值为)(1ωj G 的矢量
OA ，如图5—1(a)所示。与矢量OA 对应的数学表达式为
)(111(ωωωj G j e )G(j )j G ∠=
当频率ω从零连续变化至∞(或从-∞→0→∞)时，矢量端点A 的位置也随之连续变化并形成轨迹曲线。如图5—1(a)中G(j ω)曲线所示。由这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图，又称为G(j ω)的幅相频率特性。 如果G(j ωl )以直角坐标形式表示，即
)jI()R()j G 111(ωωω+=
如图5—1(b)所示的矢量OA 。同样，在直角坐标图5—1(b)上也可以作出ω从0变化到∞的G(j ω)轨迹曲线。
图5—1 频率特性G(jω)的图示法
（a ）G(jω)的极坐标图示法；（b ）G(jω)的直角坐标图示法
5.2.2 典型环节的幅相特性曲线
由第二章已知，一个控制系统可由若干个典型环节所组成。要用频率特性的极坐标图示
法分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节的幅相特性曲线。 1．比例环节
比例环节的传递函数为
G(s)＝K
所以比例环节的频率特性为
G(j ω)＝K 十j0＝0
j Ke (5—13)
其幅相频率特性曲线如图5-2所示。其中幅值M(ω) ＝K 。相位移φ(ω)＝00
。并且都与ω无关，它表示输出为输入的K 倍，且相位相同。
图5—2 比例环节幅相频率特性曲线
2．积分环节
积分环节的传递函数为
G(s)＝
s
1 所以积分环节的频率特性为
2
1101)(π
ω
ωωωj e j j j G -=-== (5—14)
其幅相频率特性曲线如图5—3所示，它是整个负虚轴，且当ω→∞时，趋向原点0，
显然积分环节是一个相位滞后环节[因为φ(ω)＝-900
]，每当信号通过一个积分环节，相位
将滞后900
。
图5—3 积分环节幅相频率特性曲线
3．微分环节
微分环节的传递函数为
G(s)＝s
所以微分环节的频率特性为
2
0)(πωωωωj
e
j j j G =+== (5—15)
其幅相频率特性曲线如图5—4所示。是整个正虚轴，恰好与积分环节的特性相反。其幅值变化与ω成正比：M(ω)＝ω，当ω＝0时， M(ω)也为零，当ω→∞时，M(ω)也→
∞。微分环节是一个相位超前环节[φ(ω)＝+900
]。系统中每增加一个微分环节将使相位超
前900
。
图5-4 微分环节幅相频率特性曲线
4．一阶惯性环节
一阶惯性环节的传递函数为
1
1
)(+=
Ts s G 所以一阶惯性环节的频率特性为
2
22211111)(ω
ω
ωωωT T j T jT j G +-+=+=
（5—16） 幅频特性和相频特性为
ω
ωφωωT tg T M 122)(11
)(--=+=
由式(5—16)直接可得实频特性和虚频特性为
222
21)(11)(ωω
ωωωT T I T R +-
=+=
并满足下面的圆的方程
2
2
221)(21)(??
? ??=+??????-ωωI R 圆心为??
? ??0,21
，半径为
2
1。 当ω从0→∞时，M(ω)从l →0；φ(ω)从00
→-900
，因此，一阶惯性环节的频率特性位于直角坐标图的第四象限，且为一半圆，如图5—5所示。
一阶惯性环节是一个相位滞后环节，其最大滞后相角为900
。一阶惯性环节可视为一个低通滤波器，因为频率ω越高，则M(ω)越小，当ω＞
T
5
时，幅值M(ω)已趋近于零。
图5—5 惯性环节幅相频率特性曲线
5．二阶振荡环节
二阶振荡环节的传递函数为
1
21
)(2
2++=
Ts s T s G ξ (o ＜ξ＜1) 二阶振荡环节的频率特性为
2
22222222222)2()1(2)2()1(11
)(2)(1
)(ωξωω
ξωξωωωξωωT T T j T T T j T j T j G +--+--=++=
(5—17)
相应的幅频特性和相频特性为
2
21
22212)(2()1(1
)(ωω
ξωφωξωωT T tg )T T M 2
--=+-=
- （5—18）
据上述表达式可以绘得二阶振荡环节频率特性的幅相频率特性曲线如图5-6所示。由
式(5—18)及图5-6可知，当ω＝0时，M(ω)＝1，φ(ω)＝00
；在0＜ξ＜1的欠阻尼情况下，当ω＝
T
1
时，090)(,21)(-==ωφξωM ，频率特性曲线与负虚轴相交，相交处的频率为无阻尼自然振荡频率ω＝T
1＝n ω。当ω→∞时，M(ω)→0，φ(ω) →1800
。频率特性曲线与实轴相切。
图5—6 二阶振荡环节幅相频率特性曲线
图5—6的曲线族表明，二阶振荡环节的频率特性和阻尼比ξ有关，ξ大时，幅值M(ω)变化小；ξ小时，M(ω)变化大。此外，对于不同的ξ值的特性曲线都有一个最大幅值r M 存在，这个r M 被称为谐振峰值，对应的频率ωr 称为谐振频率。
当ξ＞1时，幅相频率特性将近似为一个半圆。这是因为在过阻尼系统中，特征根全部为负实数，且其中一个根比另一个根小得多。所以当ξ值足够大时，数值大的特征根对动态响应的影响很小，因此这时的二阶振荡环节可以近似为一阶惯性环节。 6．延迟环节
延迟环节的传递函数为
()s G s e τ-=
其频率特性为
τωωj e j G -=)( (5-19)
相应的幅频特性和相频特性为
ω
τωφω M -==)(1
)(
图5—7 延迟环节频率特性极坐标图
当频率ω从0→∞变化时，延迟环节频率特性极坐标图如图5-7所示，它是一个半径为1，以原点为圆心的一个圆。也即ω从0→∞变化时，幅值M(ω)总是等于l ，相角φ(ω)与ω成比例变化，当ω→∞时，φ(ω) →-∞。 5.2.3 开环系统的幅相特性曲线
在采用频域分析法分析自动控制系统时，一般有两种方法，一种是直接用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能。另一种是根据开环频率特性和已有的标准线图求得闭环频率特性，再用闭环频率特性来分析闭环系统的性能。不论是前一种还是后一种方法，都必须首先绘制开环频率特性曲线。
已知反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)，将G(s)H(s)中的s 用j ω来代替，便可求得开环频率特性G(j ω)H(j ω)，在绘制开环幅相频率特性曲线时，可将G(j ω)H(j ω)写成直角坐标形式
)jI()R(j )H j G ωωωω+=)((
或写成极坐标形式
)()()()()()((ω?ωωωωωωωj j H j G j e M e j )H G(j j )H j G ==
给出不同的ω，计算出相应的)R(ω、)I(ω或者)(ωM 和)(ωφ，当ω从0→∞变化时，即可求得系统的开环幅相频率特性图(奈奎斯持图，简称奈氏图)，图中的特性曲线简称为奈氏曲线。
例5-1 试绘制下列开环传递函数的极坐标图示的奈氏曲线
)
1.01)(1(10
)()(s s s H s G ++=
解 由题给出的开环传递函数G(s)H(s)可以看成是由一个比例环节G l (s)＝K ＝10 ；两个一阶惯性环节s s G +=11)(2和s
s G 1.011)(3+=串联而成。这三个环节的幅相频率特性分别为
ω
ω
ωω
ω1.02
3221)1.0(11
1.011)(11
11)(10
)(11tg j tg j e s s G e j s G K s G ----+=+=+=+=
== 所以系统的开环幅频特性为
2
2)
1.0(1110
)(ωωω+?+=
M
开环相频特性为 ωωωφ1.0)(1
1
----=tg tg
当取ω为若干具体数值时，就可由上两式计算出)(ωM 和)(ωφ的值，见表5-1。
表5-1 ω为不同数值时，)(ωM 和)(ωφ的值
ω 0 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)(ωM
10 8.9 7.03 4.4 3.04 2.26 1.76 1.4 1.15 0.97 0.83 0.71 )(ωφ
00
29.40
50.70
74.70
88.20
97.70
105.20
111.50
116.80
121.50
125.50
129.30
根据上表的数据就可绘出例5-1的奈氏图，如图5-8所示。
图5-8 例5-1的奈氏图
如第三章所述，根据开环系统传递函数中积分环节的数目v 的不同(v ＝0，l ，2…)，控制系统可以分为0型系统、Ⅰ型系统、Ⅱ型系统、Ⅲ型系统……等等。下面将分别给出0型系统、Ⅰ型系统和Ⅱ型系统的开环频率特性极坐标图。这些典型系统的奈氏图的特性将有助于以后用奈氏图方法分析和设计控制系统。 1．0型系统的开环奈氏曲线
0型系统的开环传递函数为
))
1()
1()()(1
1n (m s T s K s H s G n
k k
m
i i <++=
∏∏==τ
其频率特性为
e M T
j j K j H j G j n
k k
m
i i )(1
1
)()
1()
1()()(ωφωωωτωω=++=
∏∏== (5-20)
式中
???
?
???
?
?
-=++=∑∑∏∏==--==m i n k k i n k k m
i i T tg tg T K M 111
112
12
)()(1)(1)(ω
ωτωφωωτω (5—21) 由式(5-21)，当ω＝0时，M(0)＝K ，φ(0)＝00
。当ω→∞时，由于m ＜n ，所以M(∞)
＝0，为坐标原点，为了确定奈氏曲线以什么角度进入坐标原点，就要确定ω→∞时的相角φ(∞)，由式(5—20)、式(5-21)可知，当ω→∞时，分子、分母中每一个因子的相角都是900
，故φ(∞)为
)90)((90)(9090)(0000--=-=?-?=∞m n n m n m φ
例如，设0型系统的开环频率特性为
)
1
)(1()()(21++=
T j T j K
j H j G ωωωω
式中：n ＝2，m ＝0，所以
00180)90)(02()(-=--=∞φ
即奈氏曲线将从-1800
进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与负实轴相切。如图5—9所示的曲线a 。又如，设0型系统的开环频率特性为
)
1)(1)(1()()(321+++=
T j T j T j K
j H j G ωωωωω
式中： n ＝3，m ＝0，所以
00270)90)(03()(-=--=∞φ
即奈氏曲线将从-2700
进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与正虚轴相切。如图5—9所示的曲线b 。
图5-9 0型系统的奈氏图
2．Ⅰ型系统的开环奈氏曲线 l 型系统的开环传递函数为
n)(m s T s s K s H s G n k k m
i i <++=
∏∏-==1
11)
1()1()()(τ
其频率特性为
e M T j j j K j H j G j n k k m
i i )(1
11
)()
1()1()()(ωφωωωωτωω=++=
∏∏-== (5—22)
式中
????
?
??
?
?-+-=
++=∑∑∏=-=--m i n k k
i k i T tg tg T K M 11
111022
90)()(1)(1)(ω
ωτωφωωωτω (5—23) 由式(5—23)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝—900
，故Ⅰ型系统的奈氏曲线的
起点是在相角为—900
的无限远处。当ω→∞时，因m ＜n ，所以M(∞)＝0，也为坐标原点。
由式(5—23)还可知，φ(∞)＝(n-m)(-900)，与0型系统类似。当n-m ＝2时，φ(∞)＝-1800
，
奈氏曲线从-1800
进入坐标原点，在原点处与负实轴相切，如图5—10所示曲线a 。当n-m
＝3时，φ(∞)＝—2700，奈氏曲线从-2700
进入坐标原点，在原点处与正虚轴相切，如图5-10所示曲线b 。
图5-10 Ⅰ型系统的奈氏图
3．Ⅱ型系统的开环奈氏曲线 Ⅱ型系统的开环传递函数为
n)m s T s s K s H s G n k k m
i i <++=
∏∏-==()
1()1()()(2
121τ
其频率特性为
)(21
21
)()
1()
()1()()(ωφωωωωτωωj n k k
m
i i e M T
j j j K j H j G =++=
∏∏-== (5—24)
式中
???
?
???
?
?-+-=++=
∑∑∏∏=-=---==m i n k k i n k k m
i i T tg tg T K M 1211
102122
1
2
180)()(1)(1)(ω
ωτωφωωωτω （5-25） 由式(5—25)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝-1800
，故Ⅱ型系统的奈氏曲线的起
点在相角为-1800
的无限远处，如图5—11所示。当ω→∞时，因m ＜n ，所以M(∞)＝0，也
为坐标原点。由式(5—25)可知，φ(∞)也等于(n-m) (-900
)，与0型、Ⅰ型系统相类似。例如，设Ⅱ型系统的开环频率特性为
)
1()()
1()()(121++=
T j j j K j H j G ωωωτωω
上式中，m ＝1，n ＝3，所以φ(∞)＝(3—1)(-900
)＝-1800
，即奈氏曲线在原点处与负实轴相切，如图5—11所示的曲线a 。图5—11的曲线b 是Ⅱ型系统开环频率特性为
)
1()()()(12+=
T j j K
j H j G ωωωω的奈氏曲线。这时n-m ＝3-0＝3，所以φ(∞)＝（3-0）
(-900
)＝-2700
，所以奈氏曲线b 在原点处与正虚轴相切。
图5-11 Ⅱ型系统的奈氏图
5.3 对数频率特性（Bode 图）
5.3.1 基本概念
频率特性极坐标图示的奈氏曲线，计算与绘制都比较麻烦。频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式。与极坐标图相比，对数坐标图更为优越，用对数坐标图不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现时间常数等参数变化对系统性能的影响。
频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性)j (H )j (G ωω写成
)()()()(ω?ωωωj e M j H j G = (5—26)
式中)(M ω——幅频特性；)(ω?——相频特性。
将幅频特性)(M ω取以10为底的对数，并乘以20得)(L ω，单位为分贝(dB)，即
)(M lg )(L ωω20= (dB) (5—27)
在对数相频特性图中，以)(ω?为纵坐标，以ω为横坐标，横坐标也是以对数分度，纵坐标用等刻度分度。这样，与对数幅频特性一样，也形成一个半对数坐标系。将对数幅频特性)(L ω一ω和对数相频特性)(ω?一ω合称为对数频率特性图，又称为伯德图(Bode 图)。
5.3.2 典型环节频率特性的伯德图
1. 比例环节 比例环节频率特性为
K j G =)(ω
显然，它与频率无关，ο
)(lg 20)(==ω?ωK
L
其Bode 图如图5-12所示。
2. 微分环节
ωj
微分环节ωj 的对数幅频与对数相频特性为
ο
90
)(lg 20)(==ω?ω
ωL
对数幅频曲线在1=ω处通过dB 0线，斜率为dec dB /20；对数相频特性为ο
90+直线。特性曲线如图5-13①所示。
3. 积分环节ωj 1
积分环节ω
j 1
的对数幅频特性与对数相频特性为
ο
90)(lg 20)(-=-=ω?ω
ωL
积分环节对数幅频曲线在1=ω处通过dB 0线，斜率为dec dB /20-；对数相频特性为
ο90-直线。特性曲线如图5-13②所示。
积分环节与微分环节成倒数关系，所以其Bode 图关于频率轴对称。 4. 惯性环节1)1(-+
ωj
图5-12 比例环节Bode 图
图5-13 微分①、积分②
环节Bode 图
惯性环节1
)1(-+T j ω的对数幅频与对数相频特性表达式为
2
11lg 20)(???
?
??+-=ωωωL （5-28a ）
1
arctan
)(ωω
ω?-= （5-28b ） 式中：1
1
;1ωω
ωω=
=
T T 。 当1ωω<<时，略去式（5-28a ）根号中的2
1)(ωω项，则有dB L 01lg 20)(=-≈ω，表明)(ωL 的低频渐
近线是dB 0水平线。
当1ωω>>时，略去式（5-28a ）根号中的1项，则有)lg(20)(1ωωω-=L ，表明)(ωL 高频部分的渐近线是斜率为dec dB /20-的直线，两条渐近线的交点频率T 11=ω称为转折频率。图5-14中曲线①绘出惯
性环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线，以及对数相频曲线。由图可见，最大幅值误差发生在T 11=ω处，其值近似等于dB 3-，可用图5-15所示的误差曲线来进行修正。惯性环
节的对数相频特性从ο
0变化到-ο90，并且关于点)45(1ο
-，
ω对称。
图5-15 惯性环节对数相频特性误差修正曲线
5. 一阶复合微分环节 ωj 1+
一阶复合微分环节的对数幅频与对数相频特性表达式为
2
11lg 20)(???
?
??+=ωωωL
1
arctan
)(ωωω?= 一阶复合微分环节的Bode 图如图5-14②所示，它与惯性环节的Bode 图关于频率轴对称。
图5-14 1)1(μT j ω+
的Bode 图
6. 二阶振荡环节
[]
1
2)(21-++T j Tj ωωξ
振荡环节的频率特性
)(2)(
11
)(2n
n j j G ωωξωωω+-=
T
n 1
=
ω其中， 10<<ξ。 对数幅频特性
2
2
2)2()(1lg 20)(n n L ωωξωωω+?????
?--= （5-29a ）
对数相频特性
2
)(12arctan
)(n n
ωωωξωω?--= （5-29b ）
当
1< ωωξ2项，则有 dB L 01lg 20)(=-≈ω 表明)(ωL 的低频段渐近线是一条dB 0的水平线。 当 1>>n ωω 时，略去式(5-29a)中的1和n ωω ξ 2项，则有 n n L ωωωωωlg 40)lg( 20)(2-=-= 表明)(ωL 的高频段渐近线是一条斜率为dB 40-的直线。 显然，当1=n ω ，即n ωω=是两条渐近线的相交点，所以，振荡环节的自然频率n ω就是其转折频率。 振荡环节的对数幅频特性不仅与n ωω 有关，而且与阻尼比ξ有关，因此在转折频率附 近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差，图5-16给出当ξ取不同值时对数幅频特性的准确曲线和渐近线，由图可见，在707.0<ξ时，曲线出现谐振峰值， ξ值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。必要时，可以用图5-17所示的误 差修正曲线进行修正。 图5-16 振荡环节的Bode 图 图5-17 振荡环节的误差修正曲线 7. 二阶复合微分环节 2 )j (j 21T T ωωξ++ 二阶复合微分环节的频率特性 T j j G n n n 1 )(2)( 1)(2= +-=ωωωξωωω其中， 10<<ξ 对数幅频特性： 22 2) 2()(1lg 20)(n n L ωωξωωω+????? ?-= 对数相频特性： 2 ) (12arctan )(n n ωωωξωω?-= 二阶复合微分环节与振荡环节成倒数关系，其Bode 图与振荡环节Bode 图关于频率轴对称。 8. 延迟环节 延迟环节的频率特性 )()()(ω?τωωωj j e A e j G ==- 式中 τωω?ω-==)(,1)(A 因此 0)(lg 20)(==ωωj G L （5-30a ） τωω?-=)( （5-30b ） 上式表明，延迟环节的对数幅频特性与dB 0线重合，对数相频特性值与ω成正比，当∞→ω时，相角迟后量也 ∞→。延迟环节的Bode 图如图5-18所示。 5.3.3 开环系统Bode 图的绘制 设开环系统由n 个环节串联组成，系统频率特性为 12()()()() 1212()()()()()()()()n j j j j n n G j G j G j G j A e A e A e A e ?ω?ω?ω?ωωωωωωωωω==?=L L 式中 )()()()(21ωωωωn A A A A Λ?= 取对数后，有 ) ()()() (lg 20)(lg 20)(lg 20)(32121ωωωωωωωL L L A A A L n +++=+++=ΛΛ （5-30a ） )()()()(21ω?ω?ω?ω?n Λ++= （5-30b ） ),,2,1()(n i A i Λ=ω表示各典型环节的幅频特性，)(ωi L 和)(ω?i 分别表示各典型环节 的对数幅频特性和相频特性。式（5-30）表明，只要能作出)(ωj G 所包含的各典型环节的对数幅频和相频曲线，将它们分别进行代数相加，就可以求得开环系统的Bode 图。实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，可以采用更为简捷的办法直接画出开环系统的Bode 图，具体步骤如下： ① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。即各典型环节传递函数的常数项为1。 ② 根据比例环节的K 值，计算K lg 20。 ③ 在半对数坐标纸上，找到横坐标为ω＝1、纵坐标为K L lg 20)(1==ωω的点，过该点作斜率为—20VdB ／dec 的斜线，其中V 为积分环节的数目。 ④ 计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列 图5-18 延迟环节的Bode 图 原则依次改变)(ωL 的斜率： 若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dB ／dec ； 若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dB ／dec ； 若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dB ／dec 。 ⑤ 如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。 例5—2 绘出开环传递函数为 ) 105.0)(1() 2(5)(+++= s s s s s G 的系统开环对数频率特性。 解：将)(s G 中的各因式换成典型环节的标准形式，即 ) 105.0)(1() 15.0(10)(+++= s s s s s G 如果直接绘制系统开环对数幅频特性渐近线，其步骤如下： (1)转折频率1ω＝1，2ω＝2，3ω＝20。 (2)在ω＝l 处，dB K L 2010lg 20lg 20)(1====ωω。 (3)因第一个转折频率1ω＝1，所以过(1ω＝1，dB L 20)(=ω)点向左作一20dB ／dec 斜率的直线，再向右作一40dB ／dec 斜率的直线交至频率2ω＝2时转为一20dB ／dec ，当交至3ω＝20时再转为一40dB ／dec 斜率的直线，即得开环对数幅频特性渐近线，如图5—19所示。 图5—19 例5—2系统开环对数频率特性 第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。 《机电系统控制基础》大作业一 基于MATLAB的机电控制系统响应分析 哈尔滨工业大学 2013年11月4日 1 作业题目 1. 用MATLAB 绘制系统2 ()25()() 425 C s s R s s s Φ== ++的单位阶跃响应曲线、单位斜坡响应曲线。 2. 用MATLAB 求系统2 ()25 ()()425 C s s R s s s Φ==++的单位阶跃响应性能指标：上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。 3. 数控直线运动工作平台位置控制示意图如下： X i 伺服电机原理图如下： L R (1)假定电动机转子轴上的转动惯量为J 1，减速器输出轴上的转动惯量为J 2，减速器减速比为i ，滚珠丝杠的螺距为P ，试计算折算到电机主轴上的总的转动惯量J ； (2)假定工作台质量m ，给定环节的传递函数为K a ，放大环节的传递函数为K b ，包括检测装置在内的反馈环节传递函数为K c ，电动机的反电势常数为K d ，电动机的电磁力矩常数为K m ，试建立该数控直线工作平台的数学模型，画出其控制系统框图； (3)忽略电感L 时，令参数K a =K c =K d =R=J=1，K m =10，P/i =4π，利用MATLAB 分析kb 的取值对于系统的性能的影响。 2 题目1 单位脉冲响应曲线 单位阶跃响应曲线 源代码 t=[0:0.01:1.6]; %仿真时间区段和输入 nC=[25]; dR=[1,4,25]; fi=tf(nC,dR); %求系统模型 [y1,T]=impulse(fi,t); [y2,T]=step(fi,t); %系统响应 plot(T,y1); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; plot(T,y2); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; %生成图形 3 题目2 借助Matlab，可得： ans = 0.4330 0.6860 25.3826 1.0000 即 第五章 频域分析法 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 5.1 频率特性 对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 t U t u ωsin )(= (5—1) 则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即 ) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2) u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。 不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式 ) () () () () ())(() ()()()(1 21s A s B p s s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n = +=+++== ∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)； n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。 由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) ) )(()(22ωωω ωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4） 实验三 连续时间LTI 系统的频域分析 一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。 基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。 二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应 所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) () ()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 ? ∞ ∞ --= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说 是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数， 实验报告 实验项目名称：运用Matlab进行连续时间信号卷积运算 （所属课程：信号与系统） 学院：电子信息与电气工程学院 专业： 10电气工程及其自动化 姓名： xx 学号： 201002040077 指导老师： xxx 一、实验目的 1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性。 2、掌握相关函数的调用。 二、实验原理 1、一个连续LTI 系统的数学模型通常用常系数线性微分方程描述，即 )()()()()()(01 )(01)(t e b t e b t e b t r a t r a t r a m m n n +'++=+'++ (1) 对上式两边取傅里叶变换，并根据FT 的时域微分性质可得： )(])([)(])([0101ωωωωωωE b j b j b R a j a j a m m n n +++=+++ 101)()()()()(a j a j a b j b j b j E j R j H n n m m ++++++==ωωωωωωω H ( j ω )称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。一般H ( j ω )是复函数，可表示为： )()()(ω?ωωj e j H j H = 其中， )(ωj H 称为系统的幅频响应特性，简称为幅频响应或幅频特性；)(ω?称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性。H ( j ω )描述了系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换间的关系。H ( j ω )只与系统本身的特性有关，与激励无关，因此它是表征系统特性的一个重要参数。 MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解，其语句格式为：H=freqs(b,a,w)其中，b 和a 表示H ( j ω )的分子和分母多项式的系数向量；w 为系统频率响应的频率范围，其一般形式为w1:p:w2，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值，p 为频率取值间隔。 H 返回w 所定义的频率点上系统频率响应的样值。注意，H 返回的样值可能为包含实部和虚部的复数。因此，如果想得到系统的幅频特性和相频特性，还需要利用abs 和angle 函数来分别求得。 实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1211121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1211121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MATLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50)(-++=s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++=s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。 （三）实验要求 501 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为 )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ， 根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 5-2 若系统的单位阶跃响应 t t e e t c 948.08.11)(--+-=， 试确定系统的频率特性。 解：s s s s C 1 361336)(2++= ，36 1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=； 2 /122/12) 81()16(36 |)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。 或：)(2.7)()(94t t e e t c t g ---== ；36 1336 )]([)(2 ++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号 )452cos()30sin()( --+=t t t r 作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。 解：2 1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()( +-+=t t t r 6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ； 7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。 5-4 典型二阶系统的开环传递函数 ) 2()(2 n n s s s G ωζω+= ， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为 )45sin(2)( -=t t c ss ， 试确定系统参数n ω和ζ。 解：2 222)(n n n s s s ωζωω++=Φ； 1] 4)1[(2 2222=+-n n n ωζωω， 451 2arctan 2 -=--n n ωζω； 122 -=n n ωζω， 答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。 第5章频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。 理工大学信号与系统实验报告连续时间系统的 复频域分析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为(s)(t)e st X x dt +∞ --∞ =? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ - ∞ = ? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F)L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 ()F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量 为t 的结果表达式。 (,)F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。 拉氏变换还可采用部分分式法，当(s)X 为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比： 110 1 10 ...(s)(s)(s)...M M M M N N N N b s b s b N X D a s a s a ----+++==+++ （3） 上式可以采用部分分式法展成以下形式 1212(s)...N N r r r X s p s p s p = +++--- （4） 再通过查找常用拉氏变换对易得反变换。 利用residue 函数可将X(s)展成（4）式形式，调用格式为： [r,p,k]residue(b,a)=其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量，r 、p 、k 分 别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。 2.连续时间系统的系统函数 连续时间系统的系统函数是指系统单位冲激响应的拉氏变换 (s)(t)e st H h dt +∞ --∞ = ? （5） 连续时间系统的系统函数还可以由系统输入与输出信号的拉氏变换之比得到。 (s)(s)/X(s)H Y = （6） 单位冲激响应(t)h 反映了系统的固有性质，而(s)H 从复频域反映了系统的固有性质。由（6）描述的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 1 10 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++=+++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： 学生实验报告实验课程:信号与 系统E D A 实验地点:东1教 414 学院: 专业: 学号 : 姓名 : 2．信号卷积,根据PPT 中的实验2、2与2、3内容完成课堂练习,写出程序及运行结果。 用Matlab 实现卷积运算)(*)(t h t f ,其中 )()()],2()([2)(t e t h t t t f t εεε-=--=,)2 ()(2t h t h =;对比说明信号)( t f 分别输入系统)(和)(2t h t h 时的输出有什么区别并分析原因。 >> p=0、01; nf=0:p:4; f=2*(heaviside(nf)-heaviside(nf-2)); nh=0:p:6; h=exp(-nh)、*(nh>0); y=conv(f,h); t=0:length(y)-1; subplot(3,1,1),stairs(nf,f);title('f(t)');axis([0 6 0 2、1]); subplot(3,1,2),plot(nh,h);title('h(t)');axis([0 6 0 1、1]); subplot(3,1,3),plot(0、01*t,y); title('y(t)=f(t)*h(t)'); >> p=0、01; nf=0:p:4; f=2*(heaviside(nf)-heaviside(nf-2)); nh=0:p:6; h=exp(-2*nh)、*(2*nh>0); y=conv(f,h); t=0:length(y)-1; subplot(3,1,1),stairs(nf,f);title('f(t)');axis([0 6 0 2、1]); 第5章 用MATLAB 进行控制系统频域分析 一、基于MATLAB 的线性系统的频域分析基本知识 （１）频率特性函数)(ωj G 。 设线性系统传递函数为： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s G ++???++++???++=---1101110)( 则频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++=---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 其中（num ，den ）为系统的传递函数模型。而w 为频率点构成的向量，点右除（./）运算符表示操作元素点对点的运算。从数值运算的角度来看，上述算法在系统的极点附近精度不会很理想，甚至出现无穷大值，运算结果是一系列复数返回到变量GW 中。 （２）用MATLAB 作奈魁斯特图。 控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) nyquist(num,den,w) 或者 nyquist(G) nyquist(G,w) 该命令将画出下列开环系统传递函数的奈氏曲线： ) () ()(s den s num s G = 如果用户给出频率向量w,则w 包含了要分析的以弧度/秒表示的诸频率点。在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算，若没有指定的w 向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。 w 包含了用户要分析的以弧度/秒表示的诸频率点,MATLAB 会自动计算这些点的频率响应。 当命令中包含了左端的返回变量时，即: [re,im,w]=nyquist(G) 或 第三章傅立叶变换 时域分析：f(t) y f(t)=h(t)*f(t) ↓分解↑ 基本信号δ(t)→LTI →h(t) 频域分析： f(t) ye jωt =h(t)* H(jω)Fe jωt ↓分解↑ 基本信号 sinωt →LTI →H(jω)e jωt e jωt H(jω)：系统的频域响应函数，是信号角频率ω的函数，与t无关. 主要内容： 一、信号的分解为正交函数。 二、周期信号的频域分析?付里叶级数（求和），频谱的特点。信号 三、非周期信号的频域分析?付里叶变换（积分），性质。分析 四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jω)；y(jω)= H(jω)?F(jω). (系统分析) 五、抽样定理：连续信号→离散信号. §3.1 信号分解为正交函数 一、正交： 两个函数满足φ1(t)φ2(t)dt=0,称φi(t),φj(t)在区间(t1 ,t2)正交。 二、正交函数集：几个函数φi(t)φi(t)dt= 0 当i≠j; K i 当i=j. 三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外， 不存在ψ(t)满足ψ (t)φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n). 例、三角函数集:{1,cosΩt,cos2Ωt,… ,cosmΩt,…,sinΩt, sin2Ωt,…sin(nΩt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/Ω为周期. 满足： cosmΩtcosnΩtdt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 T m=n=0 sin（mΩt）sin(nΩt)dt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 sin(mΩt)cos(nΩt)dt= 0. 所有的m和n. 结论:三角函数集是完备正交集。 推导： cosmΩtcosnΩtdt =(1/2) [cos(m+n) Ωt+cos(m-n) Ωt]dt =(1/2)sin(m+n)Ωt +(1/2)sin(m-n)Ωt =(1/2)[sin(m+n) Ω(t0+T)-sin(m+n)Ωt0] +(1/2)[sin(m-n) Ω(t0+T)-sin(m-n)Ωt0] =0 当m≠n时. 实验4：连续系统的频域分析 一、实验目的 （1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。 （2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。 二、实验原理 1.周期信号的分解 根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为 ()f t 的傅里叶级数。在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。 例如一个方波信号可以分解为： 11114111 ()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ?? = ++++ ??? 合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布 斯现象（Gibbs ）。 2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式： ()()lim ()j t j n n F j f t e dt f n e ωωττωττ∞ ∞ ---∞ →=-∞ ==∑ ? 当 ()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N ，则有： ()(),0k N j n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N π ωτ = 3.系统的频率特性 连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为 () ()() Y H X ωωω= 三、实验内容与方法 1.周期信号的分解 【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。 MATLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9 plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; end title(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9; 控制系统时域与频域性能指标的联系 经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。 如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。 在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。 系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。 一、系统的时域性能指标 延迟时间t d 阶跃响应第一次达到终值h (∞)的50%所需的时间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系 统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间 峰值时间t p 阶跃响应越过终值h (∞)达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值h (∞)的±5%误差带内所需的最短时间 超调量%σ 峰值h( t p )超出终值h (∞)的百分比，即 %σ= () ()() ∞∞-h h h t p ?100% 二、系统频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。 信号与系统 实验报告 实验五连续系统的复频域分析 实验五连续系统的复频域分析 一、实验目的 1. 深刻理解拉普拉斯变换、逆变换的定义，掌握用MATLAB实现拉普拉斯变换、逆变换的方法。 2会求几种基本信号的拉氏变换。 3 掌握用MATLAB绘制连续系统零、极点的方法。 4 求解系统函数H(s)。 二 1已知连续时间信号f（t）=sin（t）u（t）、求出该信号的拉普拉斯变换，并用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。 syms t; ft=sin(t)*heaviside(t); Fs=Laplace(ft); a=-0.5:0.08:0.5; b=-2:0.08:2; [a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b; d=ones(size(a)); c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c); mesh(a,b,c); surf(a,b,c) axis([-0.5,0.5,-2,2,0,10]) colormap(hsv ) 2求[(1-e^(-at))]/t的拉氏变换。 syms t s a f1=(1-exp(-a*t))/t; F=laplace(f1,t,s) F = log(s+a)-log(s) 3求F（s）=-log（s）+ log（s+a）的拉氏逆变换syms t s a F =log(s+a)-log(s); f1=ilaplace(F,s,t) f1 = (1-exp(-a*t))/t 4已知某连续系统的系统函数为： H（s）=(s^2+3s+2)/(8s^4+2s^3+3s^2+5)试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点分布图。 b=[1 3 2]; a=[8 2 3 0 5]; zs=roots(b); ps=roots(a); hold on plot(real(zs),imag(zs),'o'); plot(real(ps),imag(ps),'x'); grid axis([-2.5,1,-1,1]) 5已知H(s)=（s+1）/（s^2+s+1）,绘制阶跃响应图形，冲激响应图形，频率激响应图形。 syms t s H=(s+1)/(s^2+s+1); f1=ilaplace(H,s,t); f2=heaviside(t); 实验四 专业 自动化 班号 03班 指导教师 陈艳飞 姓名 胡波 实验名称 线性系统的频域分析 实验日期 第 次实验 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w) -100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解: 程序如下 奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w) 习题三 31证明题图囂所示矩形函数/址）与冷“尬帆为整数｝在区间（0.2^ ）上正応 J 1 /W P -7T r 卷也J 3.2设了①的正交展开式为 /0 =養恥 是iiE 明f ⑴和护o ”6呵￡ ｝是11对应关系E [1 (「1)＜于＜2 0其他 II 试问函数组 苗⑦務②焉②爲②｝在（山4）区间上是否为正交函数值，是否为归一 牝正交函數组，是否为完备正交画数爼「并用它们的线t 删合精确的表示题團玄2所示函数 “） 9 /(i) 題要1 3 2 M4证明下列函数集在匕心*— 匡间上是正交函数集右肯任意一个正实数? \ 叫丿 （1）｛ cos^ivof, sinMw e f | M - 0,±1,±2^.,,）； ⑵｛*叫1沪蚣…｝h 3.5试求题因3.3所示信号的三角形傅立叶级数展开式，并画出频谙因。 1/w A A n 1,n[ 1 , ：J72?T t KS 3.3 3.6试求题图34所示周期信号的指数形傅立叶级数系鹽，并画出它的幅度谙。 3?己知剛函数前四分之一的周期的波形女廳图？.5所示.根据下列各恬况的要求，画出/(/)在一个周期(0*T)的波形? (1)/(f)是偶函数'只含有偶次谐波： (2)/(f)是偶函数，只含有奇次谐波； (3)/(f)是偶函数，含有偶次和奇次谐波； (4)/(f)是奇函数，只含有偶次谐波； (5)/(f)是奇函数，只含有奇次谐波； (6)/(f)是奇函数，含有偶次和奇次谐波. 3.8设是满足以下两个条件的周期函数：条件1 ： /(0 = -/(~0 ; 条件2：/a± j)= -/(o ? 试证明/(◎中只含有奇次谐波的正弦分星。 3.9设周期信号/(f)的指城傅立叶级数系数为尺，试证明缪的指数形傅立叶级数系 at 数为感(式中叫=亨). 3.10设有一周期信号/O) ＞其奇波频率为w。= X ,且/(f)的指数形傅立叶级数为 这里，丘“；阿|"/4 ；|^|=1/2 ; |^|= 1/3 o 试写出的三角形傅立叶级数表达式? 3.L1求题图3.6所示信号的傅立叶变换? 题图3.6 第四章 连续系统的频域分析例题详解 1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。理想低通滤波器的频率函数为 )15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。 解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f )30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B = )]] 30([)]30([[2 1 )()]]30([)]30([[21 )(++-=++-= w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A 1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特 性()0?ω=，若输入 sin(2) (),()cos(1000)2t f t s t t t π==，求输出信号()y t 。 f () H j ω()0 ?ω=1/(.) rad s ω--1001 -999 0 999 10011 -1000 1000 图（b ） 图2 解 4sin(2)1 ()[ ]()22 t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++- 441 [()cos(1000)][()][cos(1000)]21 [(1000)(1000)] 4 F f t t F f t F t g g πωω= ?*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为 ()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得 22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得 2221 ()[(1000)(1000)] 4 1 ()[(1000)(1000)]4 Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++- 由此可得输出信号为 1 ()()cos(1000)2y t Sa t t π = 3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。若输入信号 t t t f ππ) sin()(= ，求输出信号的频谱函数，并画出其频谱图。 图 3 解：信号t t t f ππ) sin()(= 的频域表达式为 )(2)(2ωπωg j F = 课程名称： 控制理论乙 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1 211 121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1 211 121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MA TLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50 )(-++= s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++= s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。 第四章 连续时间系统的频域分析 本章主要内容：本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、调制。系统函数H (j ω)及傅里叶变换分析法；理想低通滤波器模型；系统的物理可实现条件；调制／解调的原理与实现；频分复用与时分复用;无失真传输条件。 4.1引言 实质上，在时域分析方法是把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；傅里叶分析法是 把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和，即单元信号是 j t e ω，先求取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。 一般信号f (t )作用于LTI 系统的响应 ()j t j t e H j e ωωω→；11 ()()()22j t j t E j d e E j H j d e ωωωωωωωππ →； 11()()()22j t j t E j e d H j E j e d ωωωωωωωππ∞∞?∞?∞→∫∫；1()()[()()]e t r t H j E j ωω?→=F ；()()()R j H j E j ωωω= 频域分析法： (需要先介绍卷积定理，因为上次课忘记讲了： 卷积定理 1)时域卷积定理 若1122()()()()f t F j f t F j ωω??， ，则1212()()()()f t f t F j F j ωω??? 证明： 1212() 1212()()()()()()()() j t j t j j t f t f t e dt f f t d e dt f e d f t e dt F j F j ωωωτ ωτττττττωω∞ ∞ ∞ ???∞ ?∞?∞ ∞ ∞ ????∞ ?∞ ?=? =?=?∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2)频域卷积定理 若1122()()()()f t F j f t F j ωω??， ，则12121 ()()()()2f t f t F j F j ωωπ ??? 时域：r (t )=e (t )*h (t )，则依卷积定理有()()()R j E j H j ωωω=?。 频率响应：() (j )() R j H E j ωωω=。 ()()()e j H j H j ?ωωω=。()~H j ωω：系统的幅频特性；()~ ?ωω：系统的相频特性。 4.2 系统函数 利用系统函数H (j ω)求响应 主要内容：非周期信号激励下系统的响应 ；余弦信号激励下的响应 一．非周期信号激励下系统的响应 以RC 低通网络为例，讨论用系统函数求解的过程，此题求v 2(t )。 + + ? ? )(1t v )(2t v R C E 0 t τ ) (1t v 分析： 无储能------零状态，v 2(t )的结果用时域分析法可以得到下面用频域分析——系统函数法再讨论求解过程 解:1.列方程 低通网络为一阶电路，其时域方程为第5章频域分析法习题解答
大作业1(机电控制系统时域频域分析)
第五章 频域分析法
(实验三)连续时间LTI系统的频域分析汇总
连续时间LTI系统的频率特性及频域分析
控制系统的频域分析实验报告
第五章 线性系统的频域分析法习题
第5章频域分析法习题解答
理工大学信号与系统实验报告连续时间系统的复频域分析
连续系统的时域、频域分析
第5章_用MATLAB进行控制系统频域分析
连续系统的频域分析
实验4：连续系统的频域分析
控制系统时域与频域性能指标的联系
信号与系统报告 实验5 连续系统的复频域分析实验
自动控制原理线性系统的频域分析实验报告
第三章连续系统的频域分析
第四章 连续系统的频域分析例题详解
控制系统的频域分析实验报告
第四章 连续时间系统的频域分析
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