（注：红字部分需修改后再加入）
P1 根号(一)
现在，我们都习以为常地使用根号（如√ 等），并感到它使用起来既简洁又方便。
那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？
古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根。印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka。1840年前后，德国人用一个点“.”来表示平方根，两点“..”表示4次方根，三个点“...”表示立方根，比如，.3、..3、...3 就分别表示3的平方根、4次方根、立方根。
P2 根号(二)
1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写√4是2，√9是3，并用√8，√8表示，但是这种写法未得到普遍的认可与采纳.直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596—1650年）第一个使用了现今用的根号“√”。在一本书中，笛卡尔写道：“如果想求n 的平方根，就写作±√n，如果想求n的立方根，则写作3√n（3上标）。”
P3 根号（三）
这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现在的根号形式。现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号3√（3上标）的使用，比如25的立方根用3√25（3上标）表示。以后，诸如√等等形式的根号渐渐使用开来。
P4 根号（四）
由此可见，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数学家们集体智慧的结晶，而不是某一个人凭空臆造出来的，也绝不是从天上掉下来的。
P13 一元二次方程的历史（一）
在大约西元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。西元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
P14 一元二次方程的历史（二）
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
P15 一元二次方程的历史（三）
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方。
P17 用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一，
常数要往右边移，
一次系数一半方，
两边加上最相当.
P19 数学家丢番图
丢番图（生卒年约公元200～214至公元284～298），有“代数之父”之称。丢番图是古希腊亚历山大港的数学家，他作著的丛书《算术》（Arithmetica）处理求解代数方程组的问题，但其中有不少已经遗失。
P21 如何选择最简单的解法（一）
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
3．使用公式法求解
P22 如何选择最简单的解法（二）
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解
2.韦达定理
3.判别式
4.公式法
5.配方法
6.开平方
7.求根公式
8.表示法
P26 拓展:均值代换法(一)
ax2+bx+c=0
同时除以a，得到x2+bx/a+c/a=0
设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)
根据x1·x2=c/a
求得m。
再求得x1, x2。
所以x1=55，x2=15。
P27 拓展:均值代换法(二)
如：x2-70x+825=0
均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0)
x1·x2=825
所以m=20
使用时要注意此种方法只能解一部分方程.
P29 数学趣闻（一）
一般公认，历史上可考的、年代最久远的数学家是古希腊几何学家泰勒斯。
史上著作与论文总量第二多的是十七世纪的著名瑞士数学家欧拉，他的纪录一直到二十世纪才被匈牙利数学家保罗·埃尔德什打破。
P30 数学趣闻（二）
数学家也是满怀感情的，如欧拉，他是历史上最多产的数学家。他有13个孩子，他喜欢把最年幼的孩子放在膝上，而其他的孩子则围着他到处玩耍，正是这样的情况下，他创造并记载了许多伟大的想法，撰写了大量的书籍和论文，泽被后世。
P31 数学趣闻（三）
约翰·冯·诺伊曼，现代计算机和博弈论之父。他凭借自己照相存储器般的记忆力，身临其境地向未婚妻历数巴黎的风景名胜，最终赢得了芳心。维纳，著名的维纳随机过程，一个少年天才和数学巨匠。正是他父亲造就了维纳的天才，同时也完全摧毁了他儿子的自信。P32 数学趣闻（四）
数学中也充满了悲剧。纳什—《美丽心灵》中主人公的原型，常年生活在幻想的孤独和烦躁中，老年时因为读博士期间的几篇论文而获得了诺贝尔奖，最终得到人们的认可。其
实他在纯数学上许多工作要更加深刻和具有开创性。
P36 中国数学史中的勾股定理(一)
勾股定理是在中国数学史中，源远流长，是中算的重中之重。《周髀算经》记载了勾股定理的特例（勾三股四弦五），相传是在公元前11世纪商代由商高发现，故又有称之为商高定理；高商答周公问曰：“句广三，股备四，径隅五”.
P37 中国数学史中的勾股定理（二）
《九章算术》卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用，魏国数学家刘徽反复运用勾股定理求圆周率，他的的《海岛算经》更进一步将勾股理论发展成为领先世界一千余年的四次勾股重差测量术。金代数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，系统的建立了天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，从而将勾股问题代数化。
P40 勾股数组
勾股数组是满足勾股定理的正整数组，其中的称为勾股数。
例如就是一组勾股数组。
任意一组勾股数可以表示为如下形式：
，其中
。
P41 勾股定理的别名
中国古代数学家称之为勾股弦定理，又称“商高定理”。希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，称之为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此又有人叫做“百牛定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
P45 凸多边形
凸多边形又可称为平面多边形，是多边形中的一种，与凹多边形相对，一般在中学阶段对多边形的学习只涉及凸多边形。所谓凸多边形，就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其他各边均在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。也可以理解为通过凸多边形的任意一条边作平面，并与此多边形所在的平面相异，那么凸多边形的其他所有部分都在所作平面的同一侧。
P46 费马多边形数定理
费马多边形数定理说明，每一个正整数最多可以表示为n个n-边形数的和。也就是说，每一个数最多可以表示为三个三角形数之和、四个平方数之和、五个五边形数之和，依此类推。一个三角形数的例子，是17 = 10 + 6 + 1。一个众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为四个平方数之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1。拉格朗日在1770年证明了平方数的情况，高斯在1796年证明了三角形数的情况，但直到1813年，柯西才证明了一般的情况。
P47 玩真的
小汤姆的数学一直学不好，父母没有办法就把他转到了一所教会办的学校。半个学期下来小汤姆的数学成绩突飞猛进，每次考试都是A 。汤姆的父母很高兴问小汤姆“是不是教会的老师很负责？”“不是。”“是不是每天的祷告起了作用？”“不是，我刚入学的那一天看到有一个人被钉到加号上，我就知道他们这回是玩真的。”
P48 生活中的多边形
多边形土（patterned ground）又称泥质构造土。地表松散沉积物经过长期冻融作用而形成的具有特殊图案的微型地貌。是多年冻土地区最常见的冰缘地貌。它的发生是和冰缘环境密切相联系的。在青藏公路沿线不同地貌部位与不同的第四纪沉积物上，发现两种不同规模的多边形土,它们是不同地质时期和不同气候条件下的产物，具有一定的环境意义。第一种为大型的多边形土，第二种为小型的多边形土。
P50 数学家谈恋爱
数学家同女朋友在公园里散步.女朋友问他：我满脸雀斑，你真的不介意？数学家温柔地回答：绝对不！我生来最爱跟小数点打交道.
P55 报灾（一）
从前有个县遭了灾，村民们推选了一个老头去报告灾情，要求减点税，老头来到县衙，县官问他：小麦收了几成？老头答：五成.棉花呢？三成.玉米呢？两成.
县官听了大怒道：有了十成收获，年景不坏，你还来报灾，真是大胆刁民！
P56 报灾（二）
老人忙说：我活了一百八十岁，还没有遇到过这样大的灾年哩！县官听了说：胡说！你怎么活了一百八十岁呢？老头点着指头说：大儿子五十岁，二儿子三十岁，小儿子二十岁，老汉我今年八十岁，合起来正好一百八十岁，一点不胡说.县官拍着桌子说：哪有如此算法？老头说：大老爷息怒！刚才您计算收成，不也是这么算法的吗？
P60 猫狗赛跑
狗和猫赛跑。狗每次跳三尺远，猫每次跳两尺远。但狗跳两次的时间内猫可以跳三次。它们选了两棵相距100尺的树比赛，看谁跳一个来回的时间短,那么比赛结果会怎样呢？
答：猫赢。注：猫与狗跳过六尺的时间虽然相同，但狗由于每次必跳出三尺，所以不可能跳到整一百尺，会超过两尺，相当于共跳204尺，比猫多跳四尺，所以狗比猫慢。
P61 五百只鸭子
一位男教师对两个吵闹不休的女学生说：“两个女人的声音，犹如一千只鸭子的叫声。”一会儿，教师的妻子来看望他。其中一个女学生赶来报告。“老师，门外有五百只鸭子来看您。”
P62 蜂窝猜想(一)
四世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表。他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为“蜂窝猜想”，但这一猜想一直没有人能证明。加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过1600年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。
P63 蜂窝猜想(二)
蜂窝是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体。每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小。6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好120度，形成一个完美的几何图形。
P64 蜂窝猜想(三)
人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关。由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形。P65 蜂窝猜想(四)
1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢？陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小。
P66 关多少天
有一位国王在庆祝太子诞生日时，颁布了大赦令。“对所有的犯人都减刑一半。”大家听到这一消息后，都很高兴。只是国王的大臣，对终身监禁犯人的处理有所顾虑。因为，不能知道他们还能活多少年。皇上降下圣旨，“不许有一个例外，所有犯人的刑期都要减刑一半”正在思索中，一个大臣喊道“有了！”那么，这个大臣到底想到了什么呢？
答：终身监禁的犯人隔一天关进牢房一次。
P67 差别在此
方老师在数学课上问阿细“一半和十六分之八有何分别？”阿细没有回答。方老师说“想一想如果要你选择半个橙和八块十六分之一的橙子你要哪一样？”阿细：“我一定要一半。”“为什么？”“橙子在分成十六分之一时已流去很多橙汁了，老师你说是不是？”
P68 烙饼
某店来了三位顾客，急于要买饼赶火车，限定时间不能超过16分钟。几个厨师都说无能为力，因为要烙熟一个饼的两面各需要五分钟，一口锅一次可放两个饼，那么烙熟三个饼就得2O分钟。这时来了厨师老李，他说动足脑筋只要15分钟就行了。你知道该怎么来烙吗？
答案：三个饼设为1、2、3,每个饼都有正面和反面：第一个5分钟，烙1饼的正面和2饼的正面；第二个5分钟，烙1饼的反面和3饼的正面；第三个5分钟，烙2饼的反面和3饼的反面。
P69 凹多边形
把一个各边不自交的多边形任意一边向两方无限延长成为一直线，如果多边形的所有边中只要有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形。凹多边形有一个或多个内角大于180度。
P70 完美正方形
完美正方形是把正方形分割为若干个边长不等的小正方形。如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个矩形或正方形，则称为简单完美正方形，否则称为复合完美正方形。1930年sprague造出第一个完美正方形.它是由55个小正方形组成.边长4205单位.目前已知最小的简单完美正方形由21个小正方形组成，最小的复合完美正方形则由24个小正方形组成。P71 验算
考试中某学生拿出骰子摇出十道选择题答案。快结束时他突然又拿出来摇。监考老师终于忍无可忍“你在干什么？”学生答“我在验算。”
P74 家父酒量
数学教员“桌上有三杯酒 我请你父亲喝一杯，还有几杯？”小学生：“一杯也没有了。”数学教员：“怎么，你没有听懂我的话吗？我再说一遍，桌上有三杯酒，我请你父亲喝一杯
还有几杯？”小学生：“真的一杯也没有了。先生，不懂我父亲的脾气，看见桌上有酒一杯也不肯放过的。”
P75 正方形国旗（一）
瑞士和教廷的国旗是唯二的正方形国旗，另外一个正方形国旗的国家是梵蒂冈。
十三世纪（1273年）神圣罗马帝国时代，哈布斯堡家族的鲁道夫一世被选举成为神圣罗马帝国皇帝，继位后的鲁道夫一世致力于扩大王权和家族势力，瑞士各个自由领的自主性受到严重的威胁，在哈布斯堡王朝的强大压力下，
P76 正方形国旗（二）
1291年8月，瑞士的三个谷地共同体：乌里、施维茨和翁特瓦尔登签订了三州同盟协定。这时候就已经决定使用红底白十字的国旗。但是在成立联邦时决定在红底上画上四个大小相同的十字架，后来在1889年又修改成今日的形式。。
P77 巧插数字
125 × 4 × 3 = 2000
这个式子显然不等,可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7”,这个等式便可以成立 你知道这两个7应该插在哪吗?
P78 口试
课堂上，老师出了一道判断题要求同学们当场判断正误。老师：“小林，请你判断一下。”小林：“我认为答案应该是‘错误’。”老师：“为什么呢？”小林：“因为前面小燕回答说‘正确’，但你没有让她坐下。”
P79 你所不知道的平均数
算术平均数（Arithmetic mean）：n个数据相加后除以n。
几何平均数（Geometric mean）：n 个数据相乘后开n 次方。
调和平均数（Harmonic mean）：n 个数据的倒数取算数平均，再取倒数。
平方平均数（Quadratic mean）：n 个数据的平方取算数平均，再开根号。
移动平均数（Moving average）：在股票交易中广泛运用。数学上，移动平均可视为一种卷积。
P80 统计学（一）
统计学是在统计实践的基础上，自17世纪中叶产生并逐步发展起来的一门社会学科。它是研究如何测定、收集、整理、归纳和分析反映客观现象总体数量的数据，以便给出正确认识的方法论科学。
P81 统计学（二）
统计学被广泛的应用在各门学科之上，从自然科学和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。统计对于商业以及工业很关键。被用来了解与测量系统变异性，程序控制，对资料作出结论，并且完成资料取向的决策。在这些领域统计扮演了一个重要的角色。
P82 减少时间
曾经有一个学统计的学生，他开车的时候，总是在十字路口加速，呼啸而过，然后再减速。一天，他带着一个旅客，那个旅客被他的驾驶方式弄得心惊胆战，问为什么要这么开车。那个学生回答，“是这样的，从统计学角度讲，十字路口是事故高发段，所以我要尽可能的少花时间。”
P84 现代统计科学的创立者(一)
卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)是19和20世纪之交罕见的百科全书式的学者，是英国著名的统计学家、生物统计学家、应用数学家,又是名副其实的历史学家、科学哲学家、伦理学家、民俗学家、人类学家、宗教学家、优生学家、弹性和工程问题专家、头骨测量学家，也是精力充沛的社会活动家、律师、自由思想者、教育改革家、社会主义者、妇女解放的鼓吹者、婚姻和性问题的研究者,亦是受欢迎的教师、编辑、文学作品和人物传记的作者.
P85 现代统计科学的创立者(二)
在19世纪90年代以前，统计理论和方法的发展是很不完善的，统计资料的搜集、整理和分析都受到很多限制。皮尔逊在生物学家高尔登(Francis Galton,1822-1911)和韦尔顿(Weldon,1860-1906)的影响下，从九十年代初开始进军生物统计学。他认为生物现象缺乏定量研究是不行的，决心要使进化论在一般定性叙述的基础之上，进一步进行数量描述和定量分析。他不断运用统计方法对生物学、遗传学、优生学做出新的贡献。
P86 现代统计科学的创立者(三)
他在先辈们善于赌博机遇的概率论研究的基础上，导入了许多新的概念，把生物统计方法提炼成为一般处理统计资料的通用方法，发展了统计方法论，把概率论与统计学两者溶为一炉。他被公认是“旧派理学派和描述统计学派的代表人物”，并被誉为“现代统计科学的创立者”。
P89 标准差在股市分析中的应用
标准差是一种表示分散程度的统计观念。标准差已广泛运用在股票以及共同基金投资风险的衡量上，主要是根据基金净值于一段时间内波动的情况计算而来的。一般而言，标准差愈大，表示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。股票价格的波动是股票市场风险的表现，因此股票市场风险分析就是对股票市场价格波动进行分析。波动性代表了未来价格取值的不确定性，这种不确定性一般用方差或标准差来刻画。
P90 数学之美
数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所赏识，却很少有人把它与美学联系起来，数学起源于建筑，正是对美的追求，才产生了数学。似乎数学与美学毫不相干。其实，这是对数学本质的一种误解，是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识，数学以一种独特的方式来诠释美学。
P 91 抽样检验
三个教授（一个物理学家，一个化学家和一个统计学家）被召到院长办公室，他们刚刚坐定就发现一个废纸篓着火了。物理学家说：“我知道怎么办，把材料温度降至可燃温度以下，火自然就灭了。”化学家不同意，“不对，必须先切断氧气的供应，缺少了反应物，火才会灭。”正当物理学家和化学家争论不休的时候，他们惊讶得发现统计学家跑来跑去得点燃一个又一个废纸篓。“你在干什么？”统计学家答道：“我正在做抽样检验！”
P92 苹果的数学
木良：妈妈，5-1等于多少？
妈妈：你拿5个手指,减去1个是多少呢？
木良：……这……5个少1个……不知道！
妈妈：家里有5个苹果，妈妈吃掉1个，还有几个？
木良呜哇一声哭起来了：妈妈你有苹果不给我吃，我要吃苹果，我要吃苹果……
P95 爱因斯坦的问题
在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
答案：119阶
P96 钱去哪儿了
向爸爸借了500，向妈妈借了500，买了双皮鞋用了970。剩下30元，还爸爸10块，还妈妈10块，自己剩下了10块。欠爸爸490，欠妈妈490，490+490=980。加上自己的10块=990。还有10块去哪里了呢？
答案：买鞋子花了970元，各还10元后欠爸爸妈妈490+490＝980元，也就相当于借了980元，买鞋花了970，剩下的10元在自己这。
P97 数学上最有名的奖——菲尔兹奖
菲尔兹奖（Fields Medal，全名The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics）是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。每四年颁奖一次，颁给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。它是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹的要求设立的。菲尔兹奖被视为数学界的诺贝尔奖。
P98 阿贝尔奖
阿贝尔奖是一项挪威设立的数学界大奖。每年颁发一次。2001年，为了纪念2002年挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。自2003年起，一个由挪威自然科学与文学院的五名数学家院士组成的委员会负责宣布获奖人。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近。2001年挪威政府拨款2亿挪威克朗作为启动资金。扩大数学的影响，吸引年轻人从事数学研究是设立阿贝尔奖的主要目的。
P102 数学之美
“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章二次根式 第一节二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1．二次根式的概念: 式子a(a 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2．二次根式的性质 2 a(a 0) ① a a ；a(a 0) ②( a)2 a(a 0) ③ab a b(a 0,b 0) ； ④ a a (a 0,b 0) bb 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1. 二次根式的加减: 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2. 二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即a b ab(a 0,b 0). 3. 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4. 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去( 或分子、分母约分) ．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： a c + b c =(a+b) c (c 0) a b ab(a 0,b 0). aa ) b b(a 0,b>0 ( a)n a n( a 0) 第十七章一元二次方程
△=b 2 4ac ≥0 17.3 一元二次方程的判别式 2 1．一元二次方程 ax bx c 0(a 0) ： △> 0时，方程有两个不相等的实数根 △＝ 0 时，方程有两个相等的实数根 △< 0 时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 17.4 2．把二次三项式分解因式时； 如果 b 2 4ac ≥ 0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 2 如果 b 2 4ac < 0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫 做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 的允许取之范围内，变量 y 随变量 x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数， x 叫做自变量 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式 y f (x) 4．函数的自变量允许取之的范围， 叫做这个函数的定义域； 如果变量 y 是自变量 x 的函数， 那么对于 x 在定义域内去顶的一个值 a ，变量 y 的对应值叫做当 x=a 时的函数值 18.2 正比例函数 1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数， 那么就说这两个变量成正比例 2．正比例函数 :解析式形如 y=kx ( k 是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数，气质常数 k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数 17.1 一元二次方程的概念 1．只含有一个未 知数，且未知数的最高次数是 般形式 y=ax2+bx+c (a ≠ 0)，称为 次项系数； 2． 系数； bx 叫做一次项， b 是一 17.2 一元二次方程的解 法 1．特殊的一元二次方程的 解法： 2．一般的一元二次方程的解法： 2 的整式方程叫 做 元二次方程的一般式， c 叫做常数项 元二次方程 ax 叫做二次项 ,a 是二次 项 开平方法， 配方法、求根公式法 分解因式法 2 b b 2 4ac 3．求根公式 x ： x 1 b b 2 4ac 2a x 2 b b 2 4ac 2a 元二次方程的应用 1． 般来说，如果二次三项式 ax 2 bx c 0) 过因 式分解 2 ax bx c = a(x x 1)(x x 2) ； x 1、 x 2 是一元二 次方程 2 ax bx 0(a 0) 的根
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ )0,0(>≥=b a b a b a ; 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． ~ 二次根式的运算法则： =(a+b) ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0)
第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 … 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a ---= , = ； △=2 4b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 ) 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 ．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 % 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，
第1课时二次根式的概念 1．了解二次根式的概念；(重点) 2．理解二次根式有意义的条件；(重点) 3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点) 一、情境导入 1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？ 2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？ 大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究 探究点一：二次根式的概念 【类型一】二次根式的识别 (2015·安顺期末)下列各式：①1 2；②2 x；③x2＋y2；④－5；⑤35， 其中二次根式的个数有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B. 方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】二次根式有意义的条件 代数式 x＋1 x－1有意义，则x的取值范围是( ) A．x≥－1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1 解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A. 方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数； (3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点二：利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a ，b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0，求2a －b 的值； (2)已知实数a ，b 满足a ＝b －2＋2－b ＋3，求a ，b 的值． 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可． 解：(1)由题意知???2a ＋8＝0，b －1＝0， 得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9； (2)由题意知? ??b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3. 方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________． 解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23 时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23 ，3. 方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计 本节课的内容是在我们已学过的平 方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件
(沪科版)八年级数学下册（全册）章节练习汇总 第16章达标检测卷 (150分, 90分钟) 题号一二 三[来源:Z. xx. https://www.doczj.com/doc/0215631478.html,] 总分 得分 一、选择题(每题4分, 共40分) 1．下列二次根式中, 属于最简二次根式的是() A.m 3B.18m C.3m 2D.（2m）2＋1 2．若要使代数式 －x x＋1 有意义, 则x的取值范围是() A．x≤0 B．x≠－1 C．x≤0且x≠－1 D．x>－1 3．二次根式－a3化简的结果是() A．－a－a B．a－a C．－a a D．a a 4．下列计算正确的是() A.4－2＝2 B.20 2＝10 C.2×3＝ 6 D. () －32＝－3 5．设a＝6－2, b＝3－1, c＝ 2 3＋1 , 则a, b, c之间的大小关系是() A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 6．小明的作业本上有以下四题： ①16a4＝4a2；②3a－2a＝a；③a 1 a＝a 2· 1 a＝a；④5a×10a＝5 2a, 其 中做错的题是()
A ．① B ．② C ．③ D ．④ 7．表示实数a 的点在数轴上的位置如图所示, 则化简（a －4）2＋（a －11）2的结果为( ) (第8题) A ．7 B ．－7 C ．2a －15 D ．无法确定 8．若3的整数部分为x , 小数部分为y , 则3x －y 的值是( ) A ．3 3－3 B. 3 C ．1 D ．3 9．若三角形的面积为12, 一条边的长为2＋1, 则这条边上的高为( ) A ．12 2＋12 B ．24 2－24 C ．12 2－12 D ．24 2＋24 10．观察下列等式：①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112 ；②1＋122＋132＝1＋12－1 2＋1 ＝11 6 ；③ 1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝11 12 .根据上面三个等式提供的信息, 请猜想1＋142＋1 52的结果为( ) A ．114 B ．115 C ．119 D ．1120 二、填空题(每题5分, 共20分) 11．不等式(1－3)x ＞1＋3的最大整数解是________． 12．计算：(2＋3)2－24＝________． 13．一个底面为30 cm ×30 cm 的长方体玻璃容器中装满水, 现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm 的长方体铁槽中, 当铁槽装满水时, 玻璃容器中的水面下降了20 cm, 则铁槽的底面边长是________cm . 14．若x >0, y >0, 且x －xy －2y ＝0, 则 2x －xy y ＋2 xy 的值是________．
沪科版八年级数学下知识点总结 二次根式知识点： 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但 必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式 也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，
沪科版八年级数学下册全册综合检测卷 一、选择题(每题4分,共40分) 1.下列运算正确的是( ) =2 A.√3+√3=√6 B.√3-√2=1 C.2+√3=2√3 D.√2÷√1 2 2.把方程x2-4x-1=0化成(x+m)2=n的形式,则( ) A.m=2,n=-5 B.m=-2,n=5 C.m=2,n=5 D.m=-2,n=-5 3.下列二次根式中,能与√3合并的是( ) A.√18 B.√8 C.-√12 D.√24 4. 已知一个多边形的内角和是1 080°,则这个多边形的边数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 5.八(1)班45名同学一天的生活费统计如下表: 生活费/元1015202530 学生人数3915126 则这45名同学一天的生活费的平均数是( ) A.15元 B.20元 C.21元 D.25元 6.若x=2 是关于x的方程x2-(m-1)x+m+2=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长,则△ABC的周长是( ) A.7或10 B.9或12 C.12 D.7 7.如图,已知菱形ABCD的周长为24,对角线AC,BD交于点O,且AC+BD=16,则该菱形的面积等于( ) A.6 B.8 C.14 D.28
8.如图,一个由传感器控制的灯,装在门上方离地面高4.5 m的墙上(门的厚度忽略不计),任何东西只要移 至该灯5 m及5 m以内,灯就会自动发光.请问一名身高1.5 m的学生要走到离门多远的地方灯刚好发光? ( ) A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m 9. 已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,能证得四边形BFDE是平行四边形的条件的个数是( ) ①如图1,DE⊥AC,BF⊥AC;②如图2,DE平分∠ADC,BF平分∠ABC;③如图3,E是AB的中点,F是CD的中 点;④如图4,E是AB上一点,EF⊥AB. A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图,AD为△ABC的高,∠B=2∠C,M为BC的中点,若AB=8,则DM的长为( ) A.8 B.4 C.2 D.1 二、填空题(每题5分,共20分) 11.若1 在实数范围内有意义,则x的取值范围是. √2x-1 12.有一组数据如下:3,a,4,6,7.如果它们的平均数是5,那么这组数据的方差是.
沪科版八年级数学下册知识总结 一元二次方程知识点： 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的 有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是 适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以 下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122 ,1= -=+-±-=， ； 5. 一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)x a a =≥ 解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠?+= 此类方程适合用提公因式，而且其中一根为0 290(3)(3)0x x x -=?+-= 230(3)0x x x x -=?-= 22694(3)4x x x -+=?-=
沪教版八年级物理下册知识点 【篇一：力的平衡】 力的涵义 定义：力是物体对物体的作用。 1）定义中的“作用”是推、拉、提、吊、压等具体动作的抽象概括。 2）间力的作用是相互的。（一个物体对别的物体施力时，也同时受到后者对它的力）。 即：（1）发生力时，一定有两个（或两个以上）的物体存有，也就是说，没有物体就不会有力的作用（力的物质性）；（2）当一个物体受到力的作用时，一定有另一个物体对它施加了力，受力的物体叫受力物体，施力的物体叫施力物体。所以没有施力物体或没有受力物体的力是不存有的；（3）相互接触的物体间不一定发生力的作用，没有接触的物体之间也不一定没有力“接触与否”不能成为判断是否发生力的依据；（4）施力物体和受力物体的作用是相互的，这个对力总是同时产生，同时消失；（5）施力物体、受力物体是相对的，当研究对象改变时，施力物体和受力物体也就改变了。 二力平衡 定义：物体在两个力的作用下能保持静止或匀速直线运动状态，则称这两个力是一对平衡力，或叫作二力平衡。 1）两力平衡的条件：①作用在一个物体上；②大小相等；③方向相反；④作用在同一直线上。 2）两个平衡的力的合力为零。 3）二力平衡的结果：物体保持静止状态或做匀速直线运动状态。 4)注意：物体在不受力或受到平衡力作用下都会保持静止状态或匀速
直线运动状态。 【篇二：力的合成】 求几个共点力的合力，叫做力的合成。 (1)力是矢量，其合成与分解都遵循平行四边形定则。 (2)一条直线上两力合成，在规定正方向后，可利用代数运算。 (3)互成角度共点力互成的分析 ①两个力合力的取值范围是|F1-F2| < FV F1+F2 ②共点的三个力，如果任意两个力的合力最小值小于或等于第三个力，那么这三个共点力的合力可能等于零。 ③同时作用在同一物体上的共点力才能合成(同时性和同体性) ④合力可能比分力大，也可能比分力小，也可能等于某一个分力。 【篇三：牛顿第一定律】 亚里士多德观点：物体运动需要力来维持。 伽利略观点：物体的运动不须要力来维持，运动之所以停下来，是因为受到了阻力作用。 牛顿第一定律：一切物体在没有收到力的作用时，总保持静止状态或 匀速直线运动状态。(牛顿第一定律是在经验事实的基础上，通过进一步的推 理而概括出来的，因而不能用实验来证明这个定律)。 惯性：物体保持运动状态不变的性质叫惯性。 一切物体在任何情况下都有惯性；惯性的大小只与质量相关。 牛顿第一定律也叫做惯性定律。 【篇四：重力】
沪科版八年级数学下册全套试卷 特别说明：本试卷为最新沪科版中学生八年级达标测试卷。 全套试卷共6份。 试卷内容如下： 1. 第十六单元使用 2. 第十七单元使用 3. 第十八单元使用 4. 第十九单元使用 5. 第二十单元使用 6. 期末检测卷 第16章达标检测卷 (150分，90分钟) 一、选择题(每题4分，共40分) 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是()
A . m 3 B .18m C .3m 2 D .（2m ）2＋1 2．若要使代数式 －x x ＋1 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≤0 B ．x ≠－1 C ．x ≤0且x ≠－1 D ．x >－1 3．二次根式－a 3化简的结果是( ) A ．－a －a B ．a －a C ．－a a D ．a a 4．下列计算正确的是( ) A .4－2＝ 2 B. 20 2 ＝10 C.2×3＝ 6 D.()－32＝－3 5．设a ＝6－2，b ＝3－1，c ＝ 2 3＋1 ，则a ，b ，c 之间的大小关系是( ) A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．a ＞b ＞c 6．小明的作业本上有以下四题： ①16a 4＝4a 2；②3a －2a ＝a ；③a 1a ＝a 2·1 a ＝a ；④5a ×10a ＝5 2a ，其中做错的题是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 7．表示实数a 的点在数轴上的位置如图所示，则化简（a －4）2＋（a －11）2的结果为( ) (第8题) A ．7 B ．－7 C ．2a －15 D ．无法确定 8．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x －y 的值是( ) A ．3 3－3 B. 3 C ．1 D ．3 9．若三角形的面积为12，一条边的长为2＋1，则这条边上的高为( ) A ．12 2＋12 B ．24 2－24 C ．12 2－12 D ．24 2＋24 10．观察下列等式：①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112 ；②1＋122＋132＝1＋12－1 2＋1 ＝116 ；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112 .根据上面三个等式提供的信息，请猜想1＋142＋1 5 2 的结果为( ) A ．114 B ．115 C ．119 D ．11 20 二、填空题(每题5分，共20分) 11．不等式(1－3)x ＞1＋3的最大整数解是________． 12．计算：(2＋3)2－24＝________． 13．一个底面为30 cm ×30 cm 的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底
八年级数学 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数 只能是正数或O ． 2． 二次根式的性质 ①? ??≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a
3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： c c c≥0) ?b a b a ab = ≥ ).0 ,0 (≥ a a =a≥0,b>0） b b =( a≥0) ()n n a a
第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式24b b ac x -±-=：221244b b ac b b ac x x -+----= , = ； △=24b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的
八年级数学下知识点总结 一、二次根式 1.二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前 提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 2.二次根式的性质 即：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身；若a是负数，则等于a的相反数-a。 3.最简二次根式 分母不含根号。 4.二次根式的乘法和除法 √ab=√a·√b（a≥0，b≥0）√a·√b=√ab（a≥0，b≥0） √a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0） 5.二次根式的加法和减法 （1）同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 6.分母有理化 √a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b 注意：（1）根式中不能含有分母（2）分母中不能含有根式。
二、代数方程 1、整式：单项式和多项式统称整式。 一元整式方程：只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。 一元n次方程：含未知数项的最高次数n 2、二项方程 a x n + b = 0 （a ≠0 ，b ≠0 ， n是正整数） 3、无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式。 4、有理方程 整式方程和分式方程统称有理方程。 5、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0 （2）一元二次方程根的判别式:Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式. Δ＞0 有两个不等的实根；Δ=0 有两个相等的实根； Δ＜0 无实根；Δ≥0 有两个实根（等或不等）. （3）一元二次方程的解法 直接开平方法（也可以使用因式分解法） 2(0) x a a =≥解为：x= 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 配方法 公式法 ①根据一元二次方程的一般式：20 (0) ++=≠，确定出a、b、c ax bx c a ②求出24 ?=-，并判断方程解的情况。 b ac
Unit 1 1. offer sth. 提供某物 offer to do sth. 主动提出做某事 offer sb. Sth. = offer sth. to sb. 给某人提供某物 2. lonely 孤独的表示主观上孤独 alone 单独的侧重独自一人，表示客观的状态 alone = by oneself 单独地 3. enjoy 喜欢后接n. / V-ing / pron. 4. some 某种；某一后接n. 单数 5. in hospital 住院常与be / stay 搭配 hospital 前加冠词表示具体的建筑物——医院 6. unable = not able 不能够 be unable to = be not able to不能够…… 7. attend school = go to school 上学 8. since then 从那时起常放在句末，用现在完成时 9. teach sb. to do sth. 教某人做某事 teach sb. sth. 教某人某事 10. continue to do sth. = continue doing sth. 继续做某事 11. have difficulty / trouble / problems (in) doing sth. 做某事有困难 12. know / wonder / learn / decide + 特殊疑问词+ 动词不定式 13. would like to do sth. = want to do sth. 愿意做某事 14. wish to do sth. = hope to do sth. 希望做某事wish表示愿望，语气比较委婉、客气 wish sb. to do sth. 希望某人做某事 15. use … for sth. / doing sth. 用某物完成某事 16. raise 增加；提高；筹募；养育（及物动词） rise 上升；增强（不及物动词） 17. in + 状态名词表示处于某种状态 18. pay … for … 付款 pay … to do 付费去做某事 19. 数词+ per cent of … 20. (in) the way + 从句以……方式，用……方法 Unit 2 1. What’s the matter / the trouble / wrong (with sb.)? 怎么了？ 2. hold up 抬起；举起 3. remind sb. + that 从句提醒某人…… remind sb. of … 使某人想起…… remind sb. about … 提醒某人（关于）…… remind sb. to do … 提醒某人做…… 4. think over 仔细考虑接名词时，可放在短语后或中间；接代词时，代词放在短语中间 5. Why don’t you / not do …? 为什么（你）不做……？ What / How about doing …? 做……怎么样？That’s a good idea! / Good idea! had better (not) do … 最好（不）做…… 6. feel like 想要后接n. / pron. / V-ing want = feel like 后接n. / pron. / to do 7. the key to … ……的关键后接n. / V-ing
沪科版八年级数学下册期末试卷 一、相信自己（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1、多项式2ab a -分解因式的结果是_____________。 2、人体某种细菌的形状可近似的看成一个球，它的直径约为，这个数用科学记数法表示出来是________m 。 3、如果代数式x-2y 的值为3，那么分式1 y 2x y 4x y 4x 2 2+-+-的值为_______。 4、一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是___。 5、小明随意将一枚1元和一枚5角的硬币同时抛出，着地时两枚硬币都是正面朝上的概率是 。 6、要使式子1 x x 2+-有意义，实数x 的取值范围应是 。 ； 7、一凡测得菱形ABCD 的边长为2cm ，∠A 为45°，那么这个菱形的面积为 cm 2。 n=0 8、如图，取一条长度为1的线段AB ，把线段AB 三等份，以中间一段为边做等边三角形，然后去掉这一段，就得到由四条相等的线段组成的折线（如图n=1时），如此重复进行，那么当n=4时，这条折线的总长度为 。 二、全面分析(本题8个小题,每小题3分,共24分) 9、下列各式中计算正确的是 A 、416±= B 、12223=- C 、565253=? D 、 ()13132 =- 10、将5张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意放入袋中，从中抽取一张，抽得中心对称图形的概率是 | A 、51 B 、52 C 、53 D 、5 4 11、将一张矩形纸片ABCD 按如图方法折叠，定点C 落在C ＇处，已知AB=2∠ DEC=30°，则折痕的长为
最新沪教版八年级地理下册知识点总结 【篇一：台湾省】 1.自然地理概况： (1)范围：包括A台湾岛以及附近的B澎湖列岛、C钓鱼岛等许多小岛。 (2)地理位置： ①纬度：北回归线穿过中南部，地跨亚热带和热带。 ②海陆：北临东海，东临太平洋，南临南海，西隔台湾海峡与福建省相望。 (3)地形：山地占2/3，平原分布在西部沿海地区。地势中部高，东西低。 气候：属于亚热带、热带季风气候，夏秋多台风和暴雨。 河流：短急，水能丰富 2.人口、城市 (1)分布特征：人口主要分布在西部平原地区。 (2)主要城市：①台北②台中③高雄。 3.外向型经济： (1)发展过程： 20世纪50年代:以农业和农产品加工为主
20世纪60～90年代:出口加工工业，形成“外向型”型经济 20世纪90年代以来:以电子工业为主导的高新技术产业 (2)外向型经济发展的有利条件： ①大量受过教育和培训的劳动力;②海岛多港口;③吸收外资; ④大力建设出口加工区。 【篇二：东北位置和环境】 1、东北地区位于中国东北部，地处东北亚的核心位置。东北地区包括黑、吉、辽三省，东、北两面与朝鲜、俄罗斯为邻，南连河北省，西接内蒙古自治区，与山东半岛隔海相望，战略地位十分重要。 2、东北地区地理地位十分重要。东北地区陆上与朝鲜、俄罗斯接壤，有利于开展对外贸易;通过南面渤海、黄海海域可与韩国、日本等众多海外国家进行经济交流，促进当地经济的发展。 3、地形特征：东北地区的地形以平原、丘陵和山地为主，地表结构大致呈半环状的三带：外围是黑龙江、乌苏里江、图们江和鸭绿江等流域低地，中间是山地和丘陵，内部则是广阔的平原。(山环水绕，平原居中)，东北平原由三江平原、松嫩平原、辽河平原组成。 4、气候类型及特点：东北地区属于温带季风气候，特点：夏季温暖短暂，冬季寒冷漫长。(夏季高温多雨，冬季寒冷干燥)。东北地区最突出的气候特征是长东严寒。
沪科版八年级下册数学全教案 好的教案还可以给八年级数学教师带来更多的反思，更好地促进教师的专业成长与发展。下面是小编为大家精心整理的沪科版八年级下册数学的教案，仅供参考。 沪科版八年级下册数学教案设计《17.1 一元二次方程》 一、教学目标 1.掌握一元二次方程的定义，能够判断一个方程是否是一元二次方程. 2.能够将一元二次方程化为一般形式并确定a，b，c的值. 二、(重)难点预见 重点：知道什么叫做一元二次方程，能够判断一个方程是否是一元二次方程. 难点：能够将一元二次方程化为一般形式并确定a，b，c的值. 三、学法指导 结合教材和预习学案，先独立思考，遇到困难小对子之间进行帮扶，完成学习任务. 四、教学过程 开场白设计： 一元二次方程是初中数学中非常重要的内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用.什么形式的方程是一元二次方程?这样的方程怎么解答呢?它又能解决哪些问题呢?带着这些问题，让我们一起学习
《一元二次方程》这一章，今天我们来学习第一节课，同学们肯定有很多新的收获. 1、忆一忆 在前面我们曾经学习了什么叫做一元一次方程?一元指的是什么含义?一次呢?你能猜想什么叫做一元二次方程吗? 学法指导： 本节课学习一元二次方程先让学生回忆一元一次方程.学习四边形可以让学生回忆三角形，学习四边形的边、角、顶点，可以让学生回忆三角形的边、角、顶点，则可达到水到渠成的效果. 2、想一想 请同学们根据题意，只列出方程，不进行解答： (1)一个矩形的长比宽多2cm，矩形的面积是15cm，求这个矩形的长和宽. (2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数. (3)直角三角形三边的长都是整数，它的斜边长为13cm，两条直角边的差为7cm，求两条直角边的长. 预习困难预见： (1)学生在列方程时没有搞清楚平方和与和的平方的区别，以至于把方程列错了. (2)学生在解答第(3)题时，设未知数时忘记带单位. (3)还有的同学没有注意只列方程，以至于学生列出方程后尝试着解方程，导致耽误了一些时间.
佼立教育 精品小班课程辅导讲义讲义编号 一次函数知识点 1．函数的概念：
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量． 在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量． 在某一变化过程中，有两个量，如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时称y 是x 的函数． 注意：（1）“y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数． （2）判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =． （3）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 2．数学上表示函数关系的方法通常有三种： （1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：30S t =，2S R π=． （2）列表法：通过列表表示函数的方法． （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 3．关于函数的关系式(解析式)的理解： （1）函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数． 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13 y x -=就表示x 是y 的函数． （4）求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式． 4．自变量的取值范围： 很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥； 当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （1）整式型：一切实数 （2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （3）分式型：分母不为0． （4）复合型：不等式组 （5）应用型：实际有意义即可 5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的． 6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系： （1）图像1y 在图像2y 的上方?21y y >
第七章力和运动知识归纳 1．牛顿第一定律：一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持静止状态或匀速直线运动状态。(牛顿第一定律是在经验事实的基础上，通过进一步的推理而概括出来的，因而不能用实验来证明这一定律)。2．惯性：物体保持运动状态不变的性质叫惯性。牛顿第一定律也叫做惯性定律。 3．物体平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，我们就说这几个力平衡。当物体在两个力的作用下处于平衡状态时，就叫做二力平衡。 4．二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反、并且在同一直线上，则这两个力二力平衡时合力为零。5．物体在不受力或受到平衡力作用下都会保持静止状态或匀速直线运动状态。 第八章压强知识归纳 1．压力：垂直作用在物体表面上的力叫压力。 2．压强：物体单位面积上受到的压力叫压强。 3．压强公式：P=F/S ，式中p单位是：帕斯卡，简称：帕，1帕=1牛/米2，压力F单位是：牛；受力面积S单位是：米2 4．增大压强方法:(1)S不变，F↑;(2)F不变，S↓(3) 同时把F↑，S↓。而减小压强方法则相反。 5．液体压强产生的原因：是由于液体受到重力。 6．液体压强特点：(1)液体对容器底和壁都有压强，(2)液体内部向各个方向都有压强；(3)液体的压强随深度增加而增大，在同一深度，液体向各个方向的压强相等；(4)不同液体的压强还跟密度有关系。7．* 液体压强计算公式：，（ρ是液体密度，单位是千克/米3；g=9.8牛/千克；h是深度，指液体自由液面到液体内部某点的竖直距离，单位是米。） 8．根据液体压强公式：可得，液体的压强与液体的密度和深度有关，而与液体的体积和质量无关。 9．证明大气压强存在的实验是马德堡半球实验。 10．大气压强产生的原因：空气受到重力作用而产生的，大气压强随高度的增大而减小。 11．测定大气压强值的实验是：托里拆利实验。 12．测定大气压的仪器是：气压计，常见气压计有水银气压计和无液气压计（金属盒气压计）。 13．标准大气压：把等于760毫米水银柱的大气压。1标准大气压=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。