第三章参数估计
一、填空题
1、、和是对估计量最基本的要求。
2、总体，是来自X的一个容量为3的样本，三个的无偏估计量
中，最有效的一个是。
3、在一批货物中，随机抽出100件发现有16件次品，这批货物次品率的置信水平为95%的置信区间为。
4、若总体X的一个样本观测值为0,0,1,1,0,1，则总体均值的矩估计值为，总体方差的矩估计值为。
5、小样本，方差未知，总体均值的区间估计为。
二、选择题
1、在其它条件不变的情况下，如果总体均值置信区间半径要缩小成原来的二分之一，则所需的样本容量（）。
A、扩大为原来的4倍
B、扩大为原来的2倍
C、缩小为原来的二分之一
D、缩小为原来的四分之一
2、以下哪个不是用公式构造置信区间所需的条件（）。
A、总体均值已知
B、总体服从正态分布
C、总体标准差未知
D、样本容量小于30
3、某地区职工样本的平均工资450元，样本平均数的标准差是5元，
该地区全部职工平均工资落在440—460元之间的估计置信度为（）
A、2
B、0.9545
C、3
D、0.9973
4、假设正态总体方差已知，欲对其均值进行区间估计。从其中抽取
较小样本后使用的统计量是（）
A、正态统计量
B、统计量
C、t统计量
D、F统计量
5、根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（）
A、以95%的概率包含总体均值
B、有5%的可能性包含总体均值
C、一定包含总体均值
D、要么包含总体均值，要么不包含总体
均值
三、判断题
1、两个正态总体已知，两个总体均值之差的区间估计为：
。（）
2、E（X2）是样本二阶原点矩。（）
3、在其他条件相同的情况下，95%的置信区间比90%的置信区间宽。
（）
4、比较参数的两个矩估计量的有效性时，必须保证它们是无偏估计。
（
）
5、F分布百分位点具有性质。（）
四、计算题
1、已知某苗圃中树苗高度服从正态分布，今工作人员从苗圃中随机
抽取64株，测得苗高并求得其均值62厘米，标准差为8.2厘米。请
确定该苗圃中树苗平均高度的置信区间，置信水平95％。
2、从水平锻造机的一大批产品中随机抽取20件，测得其尺寸平均值
=32.58，样本方差=0.0966。假定该产品的尺寸，
均未知。试求的置信度为95%的置信区间。
3、从两个正态总体X，Y中分别抽取容量为16和10的两个样本，算
得样本方差分别为，试求总体方差比的95%置信区
间。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法 在本章中，我们进一步研究多元回归模型中的内生解释变量（endogenous explanatory variable ）问题。在第3章中，我们推导出，遗漏一个重要变量时OLS 估计量的偏误；在第5章中，我们说明了在遗漏变量（omitted variable ）的情况下，OLS 通常是非一致性的。第9章则证明了，对未观测到的解释变量给出适宜的代理变量，能消除（或至少减轻）遗漏变量偏误。不幸的是，我们不是总能得到适宜的代理变量。 在前两章中，我们解释了存在不随时间变化的遗漏变量的情况下，对综列数据如何用固定效应估计或一阶差分来估计随时间变化的自变量的影响。尽管这些方法非常有用，可我们不是总能获得综列数据的。即使能获得，如果我们的兴趣在于变量的影响，而该变量不随时间变化，它对于我们也几无用处：一阶差分或固定效应估计排除了不随时间变化的变量。此外，迄今为止我们已研究出的综列数据法还不能解决与解释变量相关的随时间而变化的遗漏变量的问题。 在本章中，我们对内生性问题采用了一个不同的方法。你将看到如何用工具变量法（IV ）来解决一个或多个解释变量的内生性问题。就应用计量经济学中线性方程的估计而言，两阶段最小二乘法（2SLS 或TSLS ）是第二受人欢迎的，仅次于普通最小二乘。 我们一开始先说明，在存在遗漏变量的情况下，如何用IV 法来获得一致性估计量。此外，IV 能用于解决含误差变量（errors-in-variable ）的问题，至少是在某些假定下。下一章将证明运用IV 法如何估计联立方程模型。 我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在第1篇中对普通最小二乘的推导，其中假定我们有一个来自基本总体的随机样本。这个起点很合人意，因为除了简化符号之外，它还强调了应根据基本总体来表述对IV 估计所做的重要的假定（正如用OLS 时一样）。如我们在第2篇中所示，OLS 可以应用于时间序列数据，而工具变量法也一样可以。第15.7节讨论IV 法应用于时间序列数据时出现的一些特殊问题。在第15.8节中，我们将论述在混合横截面和综列数据上的应用。 15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量 面对可能发生的遗漏变量偏误（或未观测到的异质性），迄今为止我们已讨论了三种选择：（1）我们可以忽略此问题，承受有偏、非一致性估计量的后果；（2）我们可以试图为未观测到的变量寻找并使用一个适宜的代理变量；（3）我们可以假定遗漏变量不随时间变化，运用第`13与14章中的固定效应或一阶差分方法。若能把估计值与关键参数的偏误方向一同给出，则第一个回答是令人满意的。例如，如果我们能说一个正参数（譬如职业培训对往后工资的影响）的估计量有朝零偏误 ，并且我们找到了一个统计上显著的正的估计值，那么我们还是学到了一些东西：职业培训对工资有正的影响，而我们很可能低估了该影响。不幸的是，相反的情况经常发生，我们的估计值可能在数值上太大了，以致我们要得出任何有用的结论都非常困难。 第9.2节中讨论的代理变量解也能获得令人满意的结果，但并不是总可以找到一个好的代理。该方法试图通过用代理变量取代不可观测的变量，来解决遗漏变量的问题。 另一种方法是将未观测到的变量留在误差项中，但不是用OLS 估计模型，而是运用一种承认存在遗漏变量的估计方法。这便是工具变量法所要做的。 举例来说，考虑成年劳动者的工资方程中存在未观测到的能力的问题。一个简单的模型为： ,)log(210e abil educ wage +++=βββ 其中e 是误差项。在第9章中，我们说明了在某些假定下，如何用诸如IQ 的代理变量代替能力，从而通过以下回归可得到一致性估计量 )log(wage 对IQ educ , 回归
工具变量法的Stata命令及实例 ●本实例使用数据集“”。 ●先看一下数据集的统计特征： . sum Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max rns 758 .2691293 .4438001 0 1 rns80 758 .292876 .4553825 0 1 mrt 758 .5145119 .5001194 0 1 mrt80 758 .8984169 .3022988 0 1 smsa 758 .7044855 .456575 0 1 smsa80 758 .7124011 .452942 0 1 med 758 10.91029 2.74112 0 18 iq 758 103.8562 13.61867 54 145 kww 758 36.57388 7.302247 12 56 year 758 69.03166 2.631794 66 73 age 758 21.83509 2.981756 16 30 age80 758 33.01187 3.085504 28 38 s 758 13.40501 2.231828 9 18 s80 758 13.70712 2.214693 9 18 expr 758 1.735429 2.105542 0 11.444 expr80 758 11.39426 4.210745 .692 22.045 tenure 758 1.831135 1.67363 0 10 tenure80 758 7.362797 5.05024 0 22 lw 758 5.686739 .4289494 4.605 7.051 lw80 758 6.826555 .4099268 4.749 8.032 ●考察智商与受教育年限的相关关系： . corr iq s (obs=758) iq s iq 1.0000 s 0.5131 1.0000 上表显示，智商（在一定程度上可以视为能力的代理变量）与受教育年限具有强烈的正相关关系（相关系数为）。 ●作为一个参考系，先进行OLS回归，并使用稳健标准差：
第1章 两阶段最小二乘法 在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方法。本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。 1.1 变量的内生性 如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即(')E =X u 0，称解释变量是内生的。导致 解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。 模型中出现内生解释变量时，OLS 估计量是不一致的。根据OLS 估计量： 11111?(')(')(')(')(')(')N N -----==+=+βX X X y βX X X u βX X X u (1.1) 由假定Rank(X)=K 和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得： 1Plim(')E(')N -=≡X X X X A ， 1Plim(')E(')N -=≠X u X u 0。 (1.2) 又由Slustky 定理， 111Plim(')N ---=X X A 1?Plim E(')-=+≠β βA X u β (1.3) 1.2 工具变量估计 1.2.1 工具变量 在如下模型中， y = X β+ u 第i 个解释变量x i 为内生解释变量。如果存在变量z ，z 满足如下两个条件： 正交条件：与u 不相关，即cor(z, u) = 0 相关条件：与x 相关，即cor(z, x i ) ≠ 0，也称为识别约束条件。 那么，z 被称作x i 的工具变量。
工具变量法 一、工具变量法的主要思想 在无限分布滞后模型中，为了估计回归系数，通常的做法是对回归系数作一些限制，从而对受限的无限分布滞后模型进行估计。在这里，考伊克模型、适应性期望模型与部分调整模型给出了很好的解决此类问题的思路。经过变换，新的模型中，随机扰动项的表达式为： 考伊克模型：1t t t v u u λ-=- （01λ<< ，λ为衰减率） （1.1）； 适应性期望模型：1（1）t t t v u u λ-=--（01λ<< ，λ为期望系数）（1.2）； 部分调整模型：（1）t t v u γ=-（01γ≤< ， 1γ-为调整系数） （1.3）。 t u 为原无限分布滞后模型中的扰动项，t v 为变换后的扰动项。 在原模型中的随机扰动项满足经典假设的前提下，部分调整模型也满足经典假设，但是考伊克模型与适应性期望模型的随机扰动项由于存在原随机扰动项的滞后项，也就是说考伊克模型与适应性期望模型的解释变量1t Y - 势必与误差项t v 相关，因此，可能会出现上述两个模型的最小二乘估计甚至是有偏的这样严重的问题。那么，我们是否可以找到一个与1t Y -高度相关但与t v 不相关的变量来替代 1t Y -？在这里，一个可行的估计方法就是工具变量法。 在讨论工具变量法之前，我们先来了解一下外生变量和内生变量。 一般来说：一个回归模型中的解释变量有的与随机扰动项无关，我们称这样的解释变量为外生变量；而模型中有的解释变量与随机扰动项相关，我们可称这样的解释变量为内生解释变量。内生解释变量的典型情况之一就是滞后应变量为解释变量的情形，如上述考伊克模型与适应性期望模型中的1t Y -。 外生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关； 内生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关； 了解了内生变量和外生变量的概念，我们接着讨论工具变量法的主要思想：工具变量法和普通最小二乘法是模型参数估计的两类重要方法，在多元线性回归模型中，如果出现解释变量与随机误差项相关（即出现内生变量）时，其回归系数的普通最小二乘估计是非一致的，这时就需要引入工具变量。 工具变量，顾名思义是在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差性相关的随机解释变量（即内生变量）。 满足条件：1）总体无关：工具变量与随机扰动项无关； 2）样本相关：工具变量必须与被它所代替的内生变量高度相关； 3）与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。 做了替代后，用普通最小二乘法即可得到原回归系数的一致估计量。 二、工具变量法的基本原理
工具变量法 一、工具变量法得主要思想 在无限分布滞后模型中,为了估计回归系数,通常得做法就是对回归系数作一些限制,从而对受限得无限分布滞后模型进行估计。在这里,考伊克模型、适应性期望模型与部分调整模型给出了很好得解决此类问题得思路。经过变换,新得模型中,随机扰动项得表达式为: 考伊克模型: ( ，为衰减率) （1、1); 适应性期望模型:（,为期望系数)(1、2）; 部分调整模型:( ，为调整系数） (1、3)。 为原无限分布滞后模型中得扰动项,为变换后得扰动项。 在原模型中得随机扰动项满足经典假设得前提下,部分调整模型也满足经典假设,但就是考伊克模型与适应性期望模型得随机扰动项由于存在原随机扰动项得滞后项,也就就是说考伊克模型与适应性期望模型得解释变量势必与误差项相关,因此,可能会出现上述两个模型得最小二乘估计甚至就是有偏得这样严重得问题。那么，我们就是否可以找到一个与高度相关但与不相关得变量来替代？在这里，一个可行得估计方法就就是工具变量法。 在讨论工具变量法之前，我们先来了解一下外生变量与内生变量。 一般来说:一个回归模型中得解释变量有得与随机扰动项无关,我们称这样得解释变量为外生变量;而模型中有得解释变量与随机扰动项相关,我们可称这样得解释变量为内生解释变量。内生解释变量得典型情况之一就就是滞后应变量为解释变量得情形，如上述考伊克模型与适应性期望模型中得。 外生解释变量:回归模型中得解释变量与随机扰动项无关； 内生解释变量:回归模型中得解释变量与随机扰动项无关; 了解了内生变量与外生变量得概念,我们接着讨论工具变量法得主要思想：工具变量法与普通最小二乘法就是模型参数估计得两类重要方法,在多元线性回归模型中,如果出现解释变量与随机误差项相关（即出现内生变量）时,其回归系数得普通最小二乘估计就是非一致得,这时就需要引入工具变量。 工具变量，顾名思义就是在模型估计过程中被作为工具使用,以替代模型中与随机误差性相关得随机解释变量（即内生变量）。 满足条件:１)总体无关：工具变量与随机扰动项无关; 2)样本相关:工具变量必须与被它所代替得内生变量高度相关; 3)与模型中其她解释变量不相关,以避免出现多重共线性。 做了替代后，用普通最小二乘法即可得到原回归系数得一致估计量。 二、工具变量法得基本原理 我们分别从简单线性回归模型与多元线性回归模型两方面来具体分析工具变量法得基本原理： 简单线性回归模型 考虑简单线性回归模型(2、1)其中为内生变量。 则其正规方程为：(2、2) 设回归模型中得解释变量与随机扰动项相关,则如前所述，普通最小二乘估计量就是非一致得。现用一个工具变量来代替正规方程中得解释变量,其残差表达式不变。
工具变量法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
工具变量法 一、工具变量法的主要思想 在无限分布滞后模型中，为了估计回归系数，通常的做法是对回归系数作一些限制，从而对受限的无限分布滞后模型进行估计。在这里，考伊克模型、适应性期望模型与部分调整模型给出了很好的解决此类问题的思路。经过变换，新的模型中，随机扰动项的表达式为： 考伊克模型：1t t t v u u λ-=- （01λ<< ，λ为衰减率） （）； 适应性期望模型：1（1）t t t v u u λ-=--（01λ<< ，λ为期望系数）（）； 部分调整模型：（1）t t v u γ=-（01γ≤< ，1γ-为调整系数） （）。 t u 为原无限分布滞后模型中的扰动项，t v 为变换后的扰动项。 在原模型中的随机扰动项满足经典假设的前提下，部分调整模型也满足经典假设，但是考伊克模型与适应性期望模型的随机扰动项由于存在原随机扰动项的滞后项，也就是说考伊克模型与适应性期望模型的解释变量1t Y - 势必与误差项t v 相关，因此，可能会出现上述两个模型的最小二乘估计甚至是有偏的这样严重的问题。那么，我们是否可以找到一个与 1t Y -高度相关但与t v 不相关的变量来替代1t Y -在这里，一个可行的估计方法 就是工具变量法。 在讨论工具变量法之前，我们先来了解一下外生变量和内生变量。 一般来说：一个回归模型中的解释变量有的与随机扰动项无关，我们称这样的解释变量为外生变量；而模型中有的解释变量与随机扰动项相
关，我们可称这样的解释变量为内生解释变量。内生解释变量的典型情况之一就是滞后应变量为解释变量的情形，如上述考伊克模型与适应性期望模型中的1t Y 。 外生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关； 内生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关； 了解了内生变量和外生变量的概念，我们接着讨论工具变量法的主要思想：工具变量法和普通最小二乘法是模型参数估计的两类重要方法，在多元线性回归模型中，如果出现解释变量与随机误差项相关（即出现内生变量）时，其回归系数的普通最小二乘估计是非一致的，这时就需要引入工具变量。 工具变量，顾名思义是在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差性相关的随机解释变量（即内生变量）。 满足条件：1）总体无关：工具变量与随机扰动项无关； 2）样本相关：工具变量必须与被它所代替的内生变量高度相关； 3）与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。 做了替代后，用普通最小二乘法即可得到原回归系数的一致估计量。 二、工具变量法的基本原理 我们分别从简单线性回归模型和多元线性回归模型两方面来具体分析工具变量法的基本原理： 简单线性回归模型
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法15.1复习笔记 一、动机：简单回归模型中的遗漏变量 1．面对可能发生的遗漏变量偏误（或无法观测异质性）的四种选择 （1）忽略遗漏变量问题，承受有偏而又不一致估计量，若能把估计值与关键参数的偏误方向一同给出，则该方法便令人满意。 （2）试图为无法观测变量寻找并使用一个适宜的代理变量，该方法试图通过用代理变量取代无法观测变量来解决遗漏变量的问题，但并不是总可以找到一个好的代理。 （3）假定遗漏变量不随时间变化，运用固定效应或一阶差分方法。 （4）将无法观测变量留在误差项中，但不是用OLS 估计模型，而是运用一种承认存在遗漏变量的估计方法，工具变量法。 2．工具变量法 简单回归模型 01y x u ββ=++其中x 与u 相关： ()Cov 0 ，x u ≠（1）为了在x 和u 相关时得到0β和1β的一致估计量，需要有一个可观测到的变量z，z 满足两个假定： ①z 与u 不相关，即Cov（z，u）＝0；
②z 与x 相关，即Cov（z，x）≠0。 满足这两个条件，则z 称为x 的工具变量，简称为x 的工具。 z 满足①式称为工具外生性条件，工具外生性意味着，z 应当对y 无偏效应（一旦x 和u 中的遗漏变量被控制），也不应当与其他影响y 的无法观测因素相关。z 满足②式意味着z 必然与内生解释变量x 有着或正或负的关系。这个条件被称为工具相关性。 （2）工具变量的两个要求之间的差别 ①Cov（z，u）是z 与无法观测误差u 的协方差，通常无法对它进行检验：在绝大多数情形中，必须借助于经济行为或反思来维持这一假定。 ②给定一个来自总体的随机样本，z 与x（在总体中）相关的条件则可加以检验。最容易的方法是估计一个x 与z 之间的简单回归。在总体中，有 01x z v ππ=++从而，由于 ()() 1Cov /ar V ，x z z π=所以式Cov（z，x）≠0中的假定当且仅当10π≠时成立。因而就能够在充分小的显著水平上，相对双侧对立假设110H π≠：而拒绝虚拟假设010H π=：。就能相当有把握地肯定工具z 与x 是相关的。 3．工具变量估计量 （1）参数的工具变量（IV）估计量 参数的识别意味着可以根据总体矩写出1β，而总体矩可用样本数据进行估计。为了根据总体协方差写出1β，利用简单回归方程可得z 与y 之间的协方差为：
内生性与工具变量估计方法 一 一元模型的IV 估计 采用MROZ 数据，进行练习。 估计教育对工资收入的回报： 01log()wage educ ββμ =++ 为了便于比较首先得到OLS 估计结果，在命令窗口输入 smpl 1 428 equation eq01.ls log(wage) c educ 教育的系数估计值表明，每多接受一年教育可得到月11%的回报。 接下来，我们用父亲的受教育程度（fatheduc ）作为educ 的工具变量。我们必须认为fatheduc 与u 不相关；第二个要求是educ 与fatheduc 相关。为了验证第二点，作一个educ 对fatheduc 的回归。 equation eq02.ls educ c fatheduc 可以看出，educ 与fatheduc 之间存在统计显著的正相关。
采用fatheduc 作为educ 的工具变量，进行工具变量回归。 equation eq03.tsls log(wage) c educ @ fatheduc IV 估计量的标准误是OLS 标准误的2.5倍，这在我们的意料之中。 二 多元模型的IV 估计 采用card 数据，进行练习。 估计教育对工资收入的回报： 012log()var wage educ Control iables βββμ =+++ 为了便于对照，先做OLS 回归 Smpl 1 3010 Equation eq01.ls log(wage) c educ exper expersq black smsa south smsa66 reg662 reg663 reg664 reg665 reg666 reg667 reg668 reg669
工具变量原理 教学目的及要求： 1、理解引入随机解释变量的目的及产生的影响 2、理解估计量的渐进无偏性和一致性 3、掌握随机解释变量OLS 的估计特性 4、应用工具变量法解决随机解释变量问题 第一节 随机解释变量问题 一、随机解释变量问题产生的原因 多元（k ）线性回归模型： i ki k i i i U X X X Y ++???+++=ββββ22110 （8-1） 其矩阵形式为： U XB Y += （8-2） 在多元（k ）线性回归模型中，我们曾经假定，解释变量j X 是非随机的。如果j X 是随机的，则与随机扰动项i U 不相关。即： C o v () i ij U X ,0= ),,2,1;,,2,1(n i k j ???=???= （8-3） 许多经济现象中，这种假定是不符合实际的，因为许多经济变量是不能用控制的方法进行观测的，所以作为模型中的解释变量其取值就不可能在重复抽样中得到相同和确定的数值，其取值很难精确控制，也不易用实验方法进行精确观测，解释变量成为随机变量。又由于随机项U 包含了模型中略去的解释变量，而略去的解释变量往往是同模型中相关的变量，因而就很有可能在X 是随机变量的情况下与随机项U 相关，这样原有的古典假设就不能满足，产生随机解释变量。 在联立方程模型以及模型中包含有滞后内生变量等情况下，如果扰动项是序列相关的，那么均有扰动项和解释变量之间的相关性的出现，模型就存在随机解释变量问题。
例如，固定资产投资与国民收入的关系满足如下模型： t t t t u I Y I +++=-1210βββ 其中，t I 为t 期的固定资产投资，1-t I 为1-t 期的固定资产投资，t Y 为t 期的国民收入，因为1 -t I 是随机变量，故模型中存在随机解释变量。 再如，消费与收入之间的影响关系模型为 t t t t u C Y C +++=-1210βββ 其中，t C 为t 期的消费支出，1-t C 为1-t 期的消费支出，t Y 是t 期的收入，因为1-t C 是随机变量，故模型中存在随机解释变量。 二、随机解释变量问题的后果 模型中，在解释变量为随机变量并且与扰动项相关的情况下，应用普通最小二乘法估计参数可能会出现估计的不一致性，使得估计值产生很大的偏误，造成拟合优度检验的全面失准，F 检验失效，t 检验失去意义。在这种情况下，各种统计检验得到的是虚假的结果，不能作为判别估计式优劣的依据。 随机解释变量带来何种结果取决于它与随机误差项是否相关： 1）随机解释变量与随机误差项不相关 2）随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，在大样本下渐进无关 3）随机解释变量与随机误差项高度相关 4）滞后被解释变量与随机误差项相关 第二节 随机解释变量模型的估计特性 我们讨论的估计量的性质（包括无偏性、最小方差性）都是在样本容量一定的情况下的统计性质，在数理统计上叫做小样本性质。在某些情况下，小样本时的估计量不具有某种统计性质，但是随着样本容量的增大，一个估计量在小样本时不具有的性质，大样本时就逐渐具有这种统计性质了，这种性质我们叫做大样本性质或叫做估计量的渐近统计性质。常用的渐近统计性质有渐近无偏性和一致性。