合肥市2019届高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 为虚数单位，4
1i
z =
+，则复数z 的虚部为( ).
A.2i -
B.2i
C.2
D.2-
2.集合}{
220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B = ( ).
A.}{1x x <
B.}{11x x -≤<
C.{}2x x ≤
D.{}21x x -≤<
3.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.7
4.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，
25760a a a +-=，则11S 的值为( ).
A.11
B.12
C.20
D.22
5.已知偶函数()f x 在[)0+∞，
上单调递增，则对实数a b ，，“a b >”是“()()f a f b >”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
7.平面α外有两条直线a ，b ，它们在平面α内的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是( ).
A.若a b ⊥，则m n ⊥
B.若m n ⊥，则a b ⊥
C.若//m n ，则//a b
D.若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面
8.若6
ax x ?
?展开式的常数项为60，则a 的值为( ).
A.4
B.4±
C.2
D.2±
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).
A.254210
B.43
C.83
D.16
3
10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).
A.45
B.1925
C.2350
D.41100
11.设双曲线22
22:1x y C a b
-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲
线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).
235 D.6
12.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12x x ，，若不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是( ).
A.[)3-+∞，
B.()3+∞，
C.[)e -+∞，
D.()e +∞，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.设x y ，满足约束条件001030x y x y x y >??>??
-+>??+-
，则2z x y =-的取值范围为 .
14.若非零向量 a b ，满足()
2a a b ⊥+，则
a b b
+= .
15.在锐角ABC ?中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是 .
16.在平面直角坐标系xOy 中，点n A (()12
2n
n
n n +-?，)(*n N ∈)，记21221n n n A A A -+?的面积为n S ，则1n
i i S ==∑ .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知函数()cos 2sin 26f x x x π?
?=+- ??
?.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)若0 2πα??
∈ ???
，，()13f α=，求cos2α.
18.(本小题满分12分)
在四棱锥P ABCD -中，23BC BD DC ===， 2AD AB PD PB ====.
D
P
C
E
A
(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；
(Ⅱ)当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值.
19.(本小题满分12分)
每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于
样本平均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.
附：33.6 5.8≈.若随机变量Z 服从正态分布()2
N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
()220.9544P Z μσμσ-<<+=.
20.(本小题满分12分)
设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0a b >>)2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O
在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，试判断PM PN ?是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数()()ln 1x f x e x =-+(e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y α
α=??=?
(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.
(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；
(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π??
???
4，，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ?面积的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数()1f x x =+.
(Ⅰ)若()22f x x +>，求实数x 的取值范围；
(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12
，求a 的值.
合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.()1 6-， 14.1
15.133???， 16.222433n n ?
?-?+ ??? 三、解答题：
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵()3131cos 22cos 22cos 2sin 222
6f x x x x x x x π?
?=-=+=+ ??
?
，
∴函数()f x 的最小正周期为T π=. …………………………5分
(Ⅱ)由()13f α=可得，1sin 263πα?
?+= ??
?.
∵0,2πα??
∈ ???
，∴72 666πππα??+∈ ???，. 又∵110sin 2632x π?
?<+=< ??
?，∴2 62ππαπ??+∈ ???，，
∴22cos 26πα?
?+= ??
?
，
∴126cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα??
-?????
?=+
-=+++=
? ? ????
????
???. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ?为等边三角形，BM CD ⊥.
∵2AD AB ==，23BD =
∴30ADB ABD ∠=∠=，
∴90ADC ∠=，∴//BM AD . 又∵BM ?平面PAD ，AD ?平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD . ∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD .
又∵EM ?平面PAD ，PD ?平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .
∵EM BM M =，∴平面BEM ∥平面PAD .
∵BE ?平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥. ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，
∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.
以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.
B
D P C
E M A
则D (0，3-0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).
易知平面PBD 的一个法向量为()11 0 0n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，，
则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴22
0n DC n DP ??=???=??，
∵()33DC =，，，()
0 3DP =，，，∴330
30x z ?=??
+=??
. 令3y =13x z =-=-，，∴()
2133n =--，，， ∴121212
13
cos 13n n n n n n ?=
==?，设二面角C PD B --的大小为θ，则13
cos θ=………………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =?+?+?+?+?+?+?=≈； …………………………5分 (Ⅱ)由题意得，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，
的人数约为100000.68266826?=(人)； …………………………12分
20.(本小题满分12分)
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 2
知， 2b c a b =，
， ∴椭圆C 的方程可设为22
2212x y b b +=.
易求得)2A
，，∴点
(
22，在椭圆上，∴
22
22
12b b +=， 解得2263a b ?=?=?
，∴椭圆C 的方程为22
163x y +=. …………………………5分
(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x =(Ⅰ)知，
(
2222M
N
，，，，
(
)(
)
2 2 2 2 0OM ON OM ON =
=
-?=，，，，，∴OM ON ⊥.
当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，
()()1122M x y N x y ，，，，
221
m k =+，即()2221m k =+.
联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=，
∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()2
22122212244122604212621km k m km x x k m x x k ??=-+->??
?
+=-?+?
?-=
?+?.
∵()()1122 OM x y ON x y ==，，
，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ?=+=+++，
()()()22
2
2
2121222264112121
m km
k x x km x x m k km m k k --=++++=+?+?+++
()()()()2
2
222222
22222126421322663660212121
k m k m m k k k m k k k k +--+++----=
===+++，
∴OM ON ⊥.
综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥.
在Rt OMN ?中，由OMP ?与NOP ?相似得，2
2OP PM PN =?=为定值.
…………………………12分
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)易知1x >-，且()1
1
x f x e x '=-+.
令()1
1x h x e x =-+，则()()2
101x h x e x '=+>+， ∴函数()1
1
x h x e x =-
+在()1x ∈-+∞，
上单调递增，且()()000h f '==. 可知，当()1 0x ∈-，
时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，
时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，
，单调递增区间是()0+∞，.…………………………5分 (Ⅱ)∵()()()ln 1x
g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.
由(Ⅰ)知，()g x '在()1x ∈-+∞，
上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x .
可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减；
当()0x x ∈+∞，
时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0
000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0
01
1
x e a x -
=+. ∴()()()0
00001
1ln 111
x g x x e x x =--++-
+. 令()()()1
1ln 111x x x e x x ?=--++-
+，则()()2
11x x x e x ???'=-+??+????
. 可知，当()1 0x ∈-，
时，()0x ?'>，()x ?单调递增； 当()0x ∈+∞，
时，()0x ?'<，()x ?单调递减， ∴()()max 01x ??==.
∴函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分
22.(本小题满分10分)
(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.
联立方程组得2
2
22
12x y x y x ?+=??+=??，解得111 23x y ?=????=??，221 23
x y ?=??
??=?? ∴所求交点的坐标为132? ??，，13 2? ??
，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ.
∴AOB ?的面积11sin 4sin 4cos sin 22
33S OA OB AOB ππρθθθ????=???∠=?-=-
? ?????
2cos 236πθ?
?=+ ???
∴当2312
π
θ=时，max 23S =. ………………………10分
23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-?10 1>22x x x +>??
+-?或10 122
x x x +-?1
3x ?>，
∴实数x 的取值范围是1 3??
+∞ ???
，. ………………………5分
(Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ?
?-+-∈-∞-???
?=-∈--??????
???
++∈-+∞? ????
，，
， ，，，，
易知函数()g x 在1x a ??∈-∞- ???，时单调递减，在1x a ??
∈-+∞ ???，时单调递增，
∴()min 111g x g a a ??
=-=- ???
.
∴11
12
a -=，解得2a =. ………………………10分
山东师大附中2011届高三第七次质量检测 数学试题（文科） 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后,将答题纸和答题卡一并交回. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．已知集合U={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则() U C A B =（ ） A. {1} B. {2，4} C. {2，3，4} D. {1，2，3，4} 2．复数1i z i = +在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努” 在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 4．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举 办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1 班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分 和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时， 发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计 算无误，则数字x 应该是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 函数()sin()f x A x ω?=+（其中π 0,||2 A ?>< ）的图 象如图所示为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图像（ ） A. 向右平移 π 12 个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π 12 个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度 6. 已知函数2 ()2f x x bx =+的图象在点(0,(0))A f 处的切线L 与直线30x y -+=平行，若数列1()f n ? ?? ??? 的前n 项和为n S ，则2011S 的值为（ ）
x 年高三第一次高考诊断 数 学 试 题 考生注意： 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟。 所有试题均在答题卡上作答，其中，选择题用2B 铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水、签字笔作答。 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发 生k 次的概率P n （k ）=k n k k n P P C --)1(（k=0，1，2，…，n ）。 球的体积公式：3 3 4R V π= （其中R 表示球的半径） 球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（理科）如果复数2()1bi b R i -∈+的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （文科）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{6,7,8}U A B ===集合，则 ()() U U C A C B = （ ） A ．φ B ．{4，5} C ．{1，2，3，6，7，8} D ．U 2．已知4(,),cos ,tan()254 π π απαα∈=--则等于 （ ） A ． 17 B ．7 C ．17 - D ．-7
3．在等差数列{}n a 中，若249212,a a a ++=则此数列前11项的和11S 等于 （ ） A ．11 B ．33 C ．66 D ．99 4．（理科）将函数3sin(2)y x θ=+的图象F 1按向量( ,1)6 π-平移得到图像F 2，若图象F 2 关于直线4 x π=对称，则θ的一个可能取值是 （ ） A ．23 π - B ． 23 π C ．56 π- D ． 56 π （文科）将函数cos 2y x =的图像按向量(,2)4 a π =-平移后的函数的解析式为 （ ） A ．cos(2)24 y x π =+ + B ．cos(2)24 y x π =- + C ．sin 22y x =-+ D ．sin 22y x =+ 5．（理科）有一道数学题含有两个小题，全做对者得4分，只做对一小题者得2分，不做或 全错者得0分。某同学做这道数学题得4分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的 概率为c ，其中,,(0,1)a b c ∈，且该同学得分ξ的数学期望12 2,E a b ξ=+则 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （文科）某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示。已知 在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.16，现用分 层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高一年级抽取的学生人数 为 （ ） A ．19 B ．21 C ．24 D ．26 6．在ABC ?中，若(2),(2)A B A B A C A C A C A B ⊥-⊥-，则ABC ?的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 7．上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务，每个场馆至少1名，至多 2名，则不同的分配方案有 （ ） A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种 8．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，且满足,l l αβ??，现有：①//l β；②l α⊥；
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是