高三11月教学质量检测数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合{|20}A x x =-<,2{|20}B x x x =--<,则A
B =( )
A .()2-∞,
B .()1-∞,
C .(21)-,
D .(1
2)-, 【答案】D
【解析】先求出集合={|12}B x x -<<,再与集合A 求交, 【详解】
本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法. 因为{|20}={|2}A x x x x =-<<,
2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<,
所以{|12}B x x A -<=. 故选:D 【点睛】
本题考查解二次不等式,考查集合的交集。属于基础题. 2.复平面内表示复数1212i
z i
-+=的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【答案】C
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,再求出z 的坐标得答案. 【详解】
因为212i (12i)34
i 12i (12i)(12i)55
z --=
==--++-, 所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ??
-- ???
,位于第三象限. 故选:C . 【点睛】
本题主要考查复数的几何意义,复数的运算,属于基础题. 3.设两个单位向量a b ,的夹角为23
π
,则34a b +=( )
A .1
B C
D .7
【答案】B
【解析】由2
2
2
349+24+16a b a a b b +=?,然后用数量积的定义,将a b ,的模长和夹角代入即可求解. 【详解】
222
2349+24+16=9+24cos
16133
a b a a b b π
+=?+=, 即3413a b +=. 故选:B 【点睛】
本题考查向量的模长,向量的数量积的运算,属于基础题.
4.设有不同的直线a ,b 和不同的平面α,β,给出下列四个命题: ①若//a α,//b α,则//a b ; ②若//a α,//a β,则//αβ; ③若a α⊥,b α⊥,则//a b ; ④若a α⊥,a β⊥,则//αβ. 其中正确的个数是( ) A .1 B .2
C .3
D .4
【答案】B
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可. 【详解】
对于①,若a ∥α,b ∥α,则直线a 和直线b 可以相交也可以异面,故①错误; 对于②,若a ∥α,a ∥β,则平面a 和平面β可以相交,故②错误; 对于③,若a ⊥α,b ⊥α,则根据线面垂直性质定理,a ∥b ,故③正确; 对于④,若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β成立; 故选:B . 【点睛】
本题考查命题真假的判断,考查推理判断能力,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
5.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数越小表示空气质量越好,空气质量指数小于100表示空气质量优良,下列叙述中不正确的是( )
A.这14天中有7天空气质量优良
B.这14天中空气质量指数的中位数是103
C.从10月11日到10月14日,空气质量越来越好
D.连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
【答案】B
【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
这14天中空气质量指数小于100的有7天,所以这14天中有7天空气质量优良,故选项A正确;
这14天中空气质量指数的中位数是86121
103.5
2
+
=,故选项B不正确;
从10月11日到10月14日,空气质量指数越来越小,所以空气质量越来越好,故选项C正确;
连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日,所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日,故选项D正确.
故选:B
【点睛】
本题主要考查统计中对折线图的认识,属于基础题.
6.已知甲、乙、丙三人中,一位是河南人,一位是湖南人,一位是海南人,丙比海南人年龄大,甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小.由此可以推知:甲、乙、丙三人中()
A.甲不是海南人B.湖南人比甲年龄小 C.湖南人比河南人年龄大D.海南人年龄最小
【答案】D
【解析】通过分析,排除即可.
【详解】
由于甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小,可知湖南人不是甲乙,故丙是湖南人;
由于丙比海南人年龄大,湖南人比乙年龄小,可知甲是海南人; 故:乙(河南人)的年龄>丙(湖南人)的年龄>甲(海南人)的年龄; 所以ABC 错,D 对. 故选:D . 【点睛】
本题考查简单的逻辑推理,属于基础题.
7.已知数列{}n a 对于任意正整数m ,n ,有m n m n a a a +=+,若201a =,则2020a =( ) A .101 B .1
C .20
D .2020
【答案】A
【解析】由m n m n a a a +=+,得11n n a a a +-=,所以数列{}n a 是以1a 为首项,1a 为公差的等差数列,从而得到答案. 【详解】
由m n m n a a a +=+,令1m = 得11n n a a a +-=, 所以数列{}n a 是以1a 为首项,1a 为公差的等差数列, 从而1n a na =.因为201a =,所以11
20
a =,2020101a =. 故选:A 【点睛】
本题主要考查等差数列的概念,数列的递推关系,属于基础题.
8.函数()3
sin 3
x f x x =+的图像大致是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】本题首先可根据()3
sin 3
x f x x =+得出3
sin 3
x f
x
x ,然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项,然后利用导数判断函数的单调性,问题得解。 【详解】
因为()3
sin 3
x f x x =+,3
3
sin sin 33
x x f
x
x x , 所以函数()f x 是奇函数,排除B ,
因为函数的解析式为()3
sin 3
x f x x =+,
所以2cos f
x
x x ,
∴2sin f x
x x ∴2cos 0f x
x ,
∴2sin f
x x x 在[)0,+∞递增 又0sin00f ,
所以2sin 0f x
x x
在[)0,+∞恒成立
所以2cos f
x
x x 在[)0,+∞递增,又20
0cos010f
所以()0f x '>在[)0,+∞恒成立
所以()f x 在[)0,+∞为增函数,排除A 、C , 综上所述,故选D 。 【点睛】
本题考查如何判断函数的大致图像,可通过函数性质来判断,比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小,考查推理能力,是中档题。
9.已知1F ,2F 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点,P 是C 上一点,
满足212PF F F ⊥,Q 是线段1PF 上一点,且12FQ QP =,120F P F Q ?=,则C 的离心率为( )
A .
62
B 1
C .2-
D .6
【答案】A
【解析】根据条件在12PF F ?,可得1F P =,则2F P =,由椭圆的定义有
122F P F P a +=+=,可建立关于离心率的方程,从而解出离心率.
【详解】
因为在12PF F ?中,212PF F F ⊥,12PF QF ⊥,
所以2
2
1112
4FQ F P F F c ==,又112
3
FQ F P =,
所以
2
21243
F P c =,从而1F P =,进而2F P =.
所以122F P F P a +==,
椭圆C 的离心率为2
c e a -==
. 故选:A 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率,属于中档题. 10.函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是偶函数,则( ) A .()f x 是偶函数 B .()f x 是奇函数 C .(3)f x +是偶函数
D .()(2)f x f x =+
【答案】C
【解析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f (x )的周期,然后利用所求结论直接判断即可. 【详解】
f (x +1)与f (x ﹣1)都是偶函数,根据函数图象的平移可知,f (x )的图象关于x =1,x =﹣1对称,
可得f (x )=f (2﹣x )=f (﹣4+x ),即有f (x +4)=f (x ), ∴函数的周期T =4,
∴f (﹣x +3)=f (﹣x ﹣1)=f (x +3),则f (x +3)为偶函数, 故选:C . 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明,准确把握定义是解题的关键,属于中档题.
11.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫,每个贫困村至少分配1名党员干部,则不同的分配方案共有( ) A .2640种 B .4800种 C .1560种 D .7200种
【答案】C
【解析】分两类考虑:第一类,其中1个贫困村分配3名党员干部,另外3个贫困村各分配1名党员干部, 第二类,其中2个贫困村各分配2名党员干部,另外2个贫困村各分配1名党员干部. 【详解】
将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫,每个贫困村至少分配1名党员干部. 分两类考虑:
第一类,其中1个贫困村分配3名党员干部,另外3个贫困村各分配1名党员干部,
此类分配方案种数为34
64480C A =;
第二类,其中2个贫困村各分配2名党员干部,另外2个贫困村各分配1名党员干部,
此类分配方案种数为2211
4
6421422
22
1080C C C C A A A =. 故不同的分配方案共有1560种. 故选:C 【点睛】
本题主要考查排列组合,考查分组分配问题,考查部分平均分组问题,属于中档题. 12.已知函数()sin sin2f x x x =?,下列结论中错误的是( ) A .()y f x =的图像关于点(,0)2
π
对称
B .()y f x =的图像关于直线x π=对称
C .()f x
D .()f x 是周期函数
【答案】C
【解析】根据对称性,周期性最值的概念结合三角函数的运算,逐项判断即可. 【详解】
对于A ,因为f (π﹣x )+f (x )=sin (π﹣x )sin (2π﹣2x )+sinxsin 2x =0,所以A 正确; 对于B ,f (2π﹣x )=sin (2π﹣x )sin (4π﹣2x )=sinxsin 2x =f (x ),所以()y f x =的图像关于直线x π=对称,所以B 正确;
对于C ,f (x )=sinx ?sin 2x =2sin 2xcosx =2(1﹣cos 2x )cosx =2cosx ﹣2cos 3x ,令t =cosx ,
则t ∈[﹣1,1],f (x )=g (t )=2t ﹣2t 3,令g ′(t )=2﹣6t 2=0,得,t =,
g ?= ??,g =
??
(1)0g -=,(1)0g =,所以()g t 的最大值是
,从而()f x ,故C 错误; 对于D ,因为(2)sin(2)sin(24)sin sin2()f x x x x x f x πππ+=+?+=?=,即f (2π+x )=f (x ),故2π为函数f (x )的一个周期,故D 正确; 故选:C . 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性,考查命题的真假的判断与应用,考查分析和解决问题的能力,属于中档题.
二、填空题
13.若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上,则该球的体积为__________.
【答案】 【解析】
棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上,
则球的直径等于正方体的对角线长,即2R =,R =
则该球的体积34
3
V R π=
= 14.已知1F ,2F 分别为双曲线:C 22
221x y a b
-=()00a b >>,的左、右焦点,点P 是
以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点,若线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上,则C 的两条渐近线方程为__________. 【答案】y =±
2x 【解析】求得双曲线的渐近线方程,由圆的性质可得PF 1⊥PF 2,由三角形的中位线定理可得PF 1⊥OQ ,OQ 的方程设为bx +ay =0,运用点到直线的距离公式可得F 1(﹣c ,0)到OQ 的距离,结合双曲线的定义可得b =2a ,进而双曲线的渐近线方程. 【详解】
双曲线()22
22100x y C a b a b
-=:>,>的渐近线方程为y =±b a x ,
点P 是以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限内的交点,可得PF 1⊥PF 2, 线段PF 1的中点Q 在C 的渐近线,可得OQ ∥PF 2, 且PF 1⊥OQ ,OQ 的方程设为bx +ay =0, 可得F 1(﹣c ,0)到OQ
=b ,
即有|PF 1|=2b ,|PF 2|=2|OQ |=2a ,
由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2b ﹣2a =2a , 即b =2a ,
所以双曲线的渐近线方程为y =±2x . 故答案为:y =±2x . 【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查直径所对的圆周角为直角,三角形的中位线定理和化简整理能力,属于中档题.
15.若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线,也是曲线1x y e =-的切线,则
b =__________.
【答案】
11
ln 222
- 【解析】分别设出直线y kx b =+与曲线2
x y e -=和曲线1x
y e =-的切点,然后求导利
用切线的几何意义利用斜率相等可得答案. 【详解】
设直线y kx b =+与曲线2
x y e
-=切于点12
11(,)x P x e
-,
与曲线e 1x
y =-切于点222(,1)x
P x e -,
则有2112
2
2
21
(e 1)x x x x e k e
e x x ----===-,
从而122x x -=,12k =,212x
e =,2ln 2x =-. 所以切线方程21111(ln 2)1ln 22222
x
y x e x =++-=+-,
所以11
ln 222b =-.
故答案为:11
ln 222
-.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题,属于中档题.
16.设等比数列{}n a 满足32a =,10256a =,则数列2
{4}n n a 的前n 项和为__________.
【答案】21
(23)2
6n n n +-+-
【解析】先求出等比数列{}n a 的通项公式为1
21222
n n n a --=?=,然后分析求和. 【详解】
依题意,有2319
1012256a a q a a q ?==?==?,,解得11,
22.
a q ?=???=?所以数列{}n a 的通项公式为121
222
n n n a --=?=.
设数列2
{4}n n a 的前n 项和为n T 则2122
212222n n T n =?+?+
+,(1) 222321212222n n T n +=?+?+
+.(2)
用(1)-(2),得12
211232(21)22n n n T n n --=?+?+
+--,(3)
2312221232(21)22n n n T n n ++-=?+?+
+--.(4)
用(3)-(4),得
122121*********(221)2(23)26n n n n n T n n n n n +++=?+?+
+?-+-+=-+-.
故答案为:2
1
(23)26n n n +-+-
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法.考查错位相减法求数列的和.属于中档题.
三、解答题
17.已知ABC ?的三个内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,且cos 4a B =,sin 3b A =. (1)求a ;
(2)若ABC ?的面积为9,求ABC ?的周长. 【答案】(1)5;(2
)11.
【解析】(1)由cos 4a B =,sin 3b A =,两式相除,再用正弦定理得答案. (2)由(1)可求出3
sin 5
B =
,进一步可求出边c ,然后用余弦定理可计算出边b ,得出
答案. 【详解】
(1)在ABC ?中,cos 4a B =,sin 3b A =. 由正弦定理得
sin sin sin 3
tan cos sin cos 4
b A B A B a B A B ===.
又cos 4a B =,所以cos 0B >,所以cos 4
5
B =. 所以5a =. (2)由(1)知,cos 4
5B =
,所以3sin 5
B =. 因为AB
C ?的面积1
sin 92
ABC S ac B ?=
=,所以6c =. 由余弦定理得2222cos 13b a c ac B =+-=,所以13b =. 所以ABC ?的周长为1113a b c ++=+. 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题.
18.《九章算术》中,将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.如图,在直三棱柱
111ABC A B C -中,1AB =,13AC AA ==,60ABC ∠=?.
(1)证明:三棱柱111ABC A B C -是堑堵; (2)求二面角1A A C B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)
15
5
. 【解析】(1)根据条件由正弦定理可求30ACB ?∠=,从而可证明90BAC ?∠=,可得证.(2)建立空间坐标系,用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】
(1)在ABC ?中,1AB =,3AC =60ABC ?∠=,
由正弦定理得sin sin
AC AB
ABC ACB
=∠∠ ,即3
12sin 2
3ACB ∠== , 因为在ABC 中,AB AC <则ABC ACB ∠>∠,
30ACB ?∠=,所以90BAC ?∠=,
即BA AC ⊥.又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱. 所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵.
(2)以点A 为坐标原点,以AB ,AC ,1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,3,0)C ,1(0,0,3)A .
于是(1,0,0)AB =,1(0,3,3)AC =-,(1,3,0)BC =-. 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =,
则由1
0,0,n AC n BC ??=??=?得330,30.
y z x y ?-=??
-+=?? 所以可取(3,1,1)n =.
又可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的一个法向量, 所以15
cos ,||||5
n m n m n m ???=
=
. 所以二面角1A A C B --的余弦值为
15
5
.
【点睛】
本题主要考查二面角的求法,同时考查数学文化.本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.
19.已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点(1
0)F ,的距离减去它到y 轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程;
(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =,求直线l 的方程.
【答案】(1)2
4(0)y x x =>;(2)1y x =-+或1y x =-.
【解析】(1)1(0)x x -=>化简得答案.
(2)有抛物线过交点的弦长公式有12||+2=8x x AB =+,然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12x x +代入12||+2=8x x AB =+,可计算出k ,得到直线方程. 【详解】
(1)设点(,)P x y 是曲线C 上任意一点,
那么点(,)P x y 1(0)x x =>. 化简得曲线C 的方程为2
4(0)y x x =>. (2)由题意得,直线l 的方程为(1)y k x =-, 设11(,)A x y ,22(,)B x y .
由2(1),4y k x y x
=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=. 因为2
16160k ?=+>,故2122
24
k x x k
++=, 所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22
44
8k k +=,解得1k =-或1k =.
因此直线l 的方程为1y x =-+或1y x =-. 【点睛】
本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系,属于中档题.
20.已知函数sin2()(n )l 1f x x x =-+,sin )2(g x x x =-. (1)求证:()g x 在区间(0,
]4
π上无零点;
(2)求证:()f x 有且仅有2个零点. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】(1)求出()2cos21g x x '=-,再求出函数()g x 的单调区间,从而分析其图像与x 轴无交点即可.
(2)显然0x =是函数()f x 的零点,再分析()f x 在0,4π?? ???上和在3,4π
??
+∞
???上无零点,在3,44ππ??
???
上有一个零点,从而得证. 【详解】
(1)sin )2(g x x x =-,()2cos21g x x '=-.
当0,6x π??∈ ???
时,
()0g x '>;当,64x ππ??∈ ???时,()0g x '<, 所以()g x 在0,
6π?? ???上单调递增,在,64ππ??
???上单调递减. 而(0)0g =,04g π??
>
???
, 所以当0,
4x π??
∈ ??
?
时,()0>g x ,
所以()g x 在区间0,4
π?? ??
?
上无零点.
(2)()f x 的定义域为(1,)-+∞.
①当(1,0)x ∈-时,sin 20x <,ln(1)0x +<,
所以()sin 2ln(1)0f x x x =++<,从而()f x 在(1,0)-上无零点. ②当0x =时,()0f x =,从而0x =是()f x 的一个零点. ③当0,
4x π??
∈ ??
?
时,由(1)知()0>g x ,所以sin2x x >,又ln(1)x x +,
所以()sin 2ln(1)0f x x x =-+>,从而()f x 在0,4π?? ???
上无零点.
④当3,44x ππ??
∈
???时,()sin 2ln(1)f x x x =-+,1()2cos201f x x x '=-<+, 所以()f x 在3,44ππ??
???
上单调递减. 而04f π??
>
???,304f π??
<
???,从而()f x 在3,44ππ?? ???
上有唯一零点.
⑤当3,4x π??∈+∞ ???时,ln(1)1x +>,所以()0f x <,从而()f x 在3,4π??
+∞ ???
上无零点.
综上,()f x 有且仅有2个零点. 【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题.
21.一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,设棋子跳到第n 站的概率为n P ,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次.若掷出奇数点,棋子向前跳一站;若掷出偶数点,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具,它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6). (1)求0P ,1P ,2P ,并根据棋子跳到第n 站的情况,试用2n P -和1n P -表示n P ;
(2)求证:1{}12100()n n P P n --=?,
,,为等比数列; (3)求玩该游戏获胜的概率. 【答案】(1)01P =,112P =
,23
4P =,211122
n n n P P P --=+;(2)证明见解析;(3)10021132??
- ???
. 【解析】(1) 在第0站是必然事件,所以01P =.棋子跳到第1站,只有一种情形,第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ,棋子跳到第2站,包括两种情形,①第一次掷骰子岀现偶数点,②前两次掷骰子出现奇数点,可求出2P .棋子跳到第(299)n n 站,包括两种情形,①棋子先跳到第2n -站,又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第1n -站,
又掷骰子出现奇数点,进行求解. (2) 由(1)知,211122
n n n P P P --=
+,所以112(1
)2n n n n P P P P ----=--可证.
(3) 该游戏获胜的概率,即求99P ,由(2)用累加法可求解. 【详解】
(1)棋子开始在第0站是必然事件,所以01P =.
棋子跳到第1站,只有一种情形,第一次掷骰子出现奇数点,其概率为
12,所以1
1
2P =. 棋子跳到第2站,包括两种情形,①第一次掷骰子岀现偶数点,其概率为1
2
;②前两次
掷骰子出现奇数点,其概率为14
,所以2113
244P =+=.
棋子跳到第(299)n n 站,包括两种情形,①棋子先跳到第2n -站,又掷骰子出现
偶数点,其概率为
21
2
n P -;②棋子先跳到第1n -站,又掷骰子出现奇数点,其概率为11
2
n P -. 故2111
22
n n n P P P --=
+. (2)由(1)知,211122n n n P P P --=
+,所以112(1
)2n n n n P P P P ----=--.
又因为101
2
P P -=-
, 所以1{}(1,2,
,100)n n P P n --=是首项为12-
,公比为1
2
-的等比数列. (3)由(2)知,1
1111222n n
n n P P --??
??
-=--=- ?
?????
. 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-+
+-+
9998
1111222????
??
=-+-++-+ ? ? ?????
??
99
111221112??????---?? ? ?????????=
+??-- ???
10021132??=
- ???
. 所以玩该游戏获胜的概率为10021132??- ???
. 【点睛】
本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式.考查累加法求和,属于难题.
22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22
2
1121t x t t y t ???????-=,+=+(t 为参数),以坐标原点O
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l
的极坐标方程为
cos sin 40ρθθ+=.
(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最大值.
【答案】(1)C 的普通方程为2
2
1(1)x y x +=≠-.l
的直角坐标方程为40x ++=(2)3
【解析】(1)把曲线C 的参数方程平方相加可得普通方程,把x =ρcosθ,y =ρsinθ代入
ρcosθ+4=0,可得直线l 的直角坐标方程;
(2)设出椭圆上动点的坐标(参数形式),再由点到直线的距离公式写出距离,利用三角函数求最值. 【详解】
(1)由2
221121t x t
t
y t ?-=??+??=?+?
(t 为参数),因为22
1111t t --<+,且2
2222
222
()14111t t x y t t ??-+=+= ?++??
, 所以C 的普通方程为2
2
1(1)x y x +=≠-. 由
ρcosθ+4=0,得
x +4=0. 即直线l 的直角坐标方程为得
x +4=0;
(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,
sin x y αα
=??
=?(α为参数,παπ-<<).
则P 到直线得
x +4=0的距离为:
C 上的点到l
2cos 4
32
πα?
?-+ ???=
. 当3
π
α=
时,2cos 43πα?
?
-
+ ??
?
取得最大值6,故C 上的点到l 距离的最大值为3. 【点睛】
本题考查间单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,是中档题.
23.已知a ,b 为正数,且满足1a b +=. (1)求证:11
(1)(1)9a b +
+; (2)求证:1125()()4
a b a b +
+. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)把a +b =1代入,用柯西不等式证明;(2)根据基本不等式求出ab 的范围,再化简所求结论,根据对勾函数的最值,求出即可. 【详解】
已知a ,b 为正数,且满足a +b =1, (1)(11
a
+)(11b +)=111a b a b ab ++++
=122a b ++, (
22
a b +
)(a +b
)≥2=8, 故11119a b ????
+
+≥ ????
???
; (2)∵a +b =1,a >0,b >0,
∴根据基本不等式1=a +b 0<ab 14
≤
, (a 1a +)(b 1b +)222222111
a b a b a b a b ab
+++++=?=≥ab 12ab +
+, 令t =ab ∈(0,
14],y =t 1
t
+递减,
所以
117
4
44
min
y=+=,
故(a
1
a
+)(b
1
b
+)≥2
1725
44
+=.
【点睛】
考查基本不等式、柯西不等式的应用,构造函数法证明不等式,属于中档题.
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题) 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图
HR Planning System Integration and Upgrading Research of A Suzhou Institution 近三年高考数学试卷分析 陈夏明 近三年的数学试卷强调了对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力.整套试卷遵照高考考试大纲的要求,从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定,体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.好多题都能在课本上找到影子,是课本题的变形和创新.这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则,同时,也注重了知识之间内在的联系与综合,在知识的交汇点设计试题的原则。 2009年高考数学考试大纲与往年对比,总体保持平稳,个别做了修改,修改后更加适合中学实际和现代中学生的实际水平,从大纲来看,高考主干知识八大块:1.函数;2.数列;3.平面向量;4.不等式(解与证);5.解析几何;6.立体几何;7.概率与统计。仍为考查的重点,其中函数是最核心的主干知识. 考试要求有变化: 今年数学大纲总体保持平稳,并在平稳过渡中求试题创新,试题难度更加适合中学教学实际和现代中学生的实际水平;适当加大文理卷的差异,力求文理学生成绩平衡,文科试题“适当拉大试题难度的分布区间,试题难度的起点应降低,而试题难度终点应与理科相同”。 试题难度没有太大变化,但思维量进一步加大,更加注重基础知识、基本技能的考查.注重通性通法,淡化特殊技巧,重视数学思想方法的考查.不回避重点知识的考查。函数、数列、概率(包括排列、组合)、立体几何、解析几何等知
识仍是考查的重点内容.保持高考改革的连续性、稳定性,严格遵循《考试大纲》命题. 针对高考变化教师应引导学生: 1.注重专题训练,找准薄弱环节 2.关注热点问题进行有针对性的训练 3.重视高考模拟试题的训练 4.回归课本,查缺补漏。 5.重视易错问题和常用结论的归纳总结 6.心理状态的调整与优化 (1)审题与解题的关系: 我建以审题与解题的关系要一慢一快:审题要慢,做题要快。 (2)“会做”与“得分”的关系: 解题要规范,俗话说:“不怕难题不得分,就怕每题都扣分”所以务必将解题过程写得层次分明,结构完整.这非常重要,在平时训练时要严格训练. (3)快与准的关系: 在目前题量大、时间紧的情况下,“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分,只有“准”才可不必考虑再花时间检查,而“快”是平时训练的结果. (4)难题与容易题的关系: 拿到试卷后,应将全卷通览一遍,一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序,因此不要在某个卡住的题上打“持久战”,特别不要“小题大做”那样既耗费时间又未心能拿分,会做的题又被耽误了。这几年,数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”,而且解答题都设置了层次分明的“台阶”,入口宽,入手易,但是深入难,解到底难。 因此,我建议答题应遵循: 三先三后: 1.先易后难 2.先高(分)后低(分) 3.先同后异。
山东省 高三高考模拟卷(一) 数学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间 120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位,若i z +=1,则(2)z z +?= A .42i - B .42i + C .24i + D .4 2.已知集合}6|{2--==x x y x A , 集合12{|log ,1}B x x a a ==>,则 A .}03|{<≤-x x B .}02|{<≤-x x C .}03|{<<-x x D .}02|{<<-x x 3.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示: 若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为 A .10 B .20 C .8 D .16 4.下列说法正确的是 A .函数x x f 1)(=在其定义域上是减函数 B .两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C .命题“R x ∈?,220130x x ++>”的否定是“R x ∈?,220130x x ++<” D .给定命题q p 、,若q p ∧是真命题,则p ?是假命题 5.将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移 8 π个单位后得到函数)(x F 的图象,则下列说法中正确的是 A .函数)(x F 是奇函数,最小值是2- B .函数)(x F 是偶函数,最小值是2-
2019年高考数学试卷分析及2019年命题走 向 一、2019年高考试卷分析 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷i)继承2019年的改革方向。既保持了一定的稳定性,又有创新和发展;既重视考查中学数学知识掌握程度,又注重考查进入高校继续学习的潜能。 1考试内容体现了《考试大纲》的要求。 2试题结构与2019年大体相同。全卷共22小题,选择题12道,每题5分;填空题4道,每题4 分;解答题6道,前5道每题12分,最后1道14分。 3考试要求与考点分布。第1小题,(理)掌握复数代数形式的运算法则;(文)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念、符号,能够正确表示简单的集合。第2小题,掌握对数的运算性质。第3小题,掌握实数与向量的积,平面向量的几何意义及平移公式。第4小题,会求一些简单函数的反函数。第5小题,掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。第6小题,(理)了解空集和全集,属于、包含和相等关系的意义,掌握充要条件的意义;(文)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。第7小题,掌握椭圆的标准方程和简单几何性质,理解椭圆的参数方程。第8小题,掌握直线方程的点斜式,了解线性规划的意义,并会简单的应用。第9小题,掌握同角三角函数的基本关系式,了解正弦函数、余弦函数的图像和性质。第10小题,能够画出空间两条直线、直线和平面各
种位置关系的图形,根据图形想像它们的位置关系,了解三垂线定理及其逆定理。第11小题,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。第12小题,掌握简单方程的解法。第13 小题,掌握简单不等式的解法。第14小题,(理)掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程;(文)掌握等比数列的通项公式。第15小题,(理)了解递推公式是给出数列的一种方法;(文)直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。第16小题,掌握斜线在平面上的射影。第17小题,(理)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解周期函数与最小正周期的意义;(文)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式。第18小题,(理)了解离散型随机变量的意义,会求出某些简单的离散型随机变量的分布列,并能根据其分布列求出期望值。(文)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解周期函数与最小正周期的意义。第19小题,( 理)掌握指数函数的概念、图像和性质;(文)会求多项式函数的导数,并会用导数求多项式函数的单调区间。第20小题,(理)掌握直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念,掌握二面角、二面角的平面角的概念;(文)会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率,用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。第21小题,(理)掌握双曲线的定义、标准方程和简单几何性质,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算;(文)掌握直线和平面的距离的概念,掌握二面角、二面角的平面角的概念。第22小题,(理)了解数列通项公式
理科数学解析 一、选择题: 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法:列举法,图像法,解析式法.集合有三大特性:确定性,互异性,无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算,Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为,所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量的取值对应着哪一段区间,就使用
哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为,所以.. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点,综合考查了充要条件,复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. (验证法)对于B项,令,显然,但不互为共轭复数,故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念,理解全称命题,存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断,逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,…, 发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(三) 本试卷共6页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I 卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合( ){}2ln 330A x x x =-->,集合{}231,B x x U R =->=,则()U C A B ?= A. ()2,+∞ B. []2,4 C. (]1,3 D. (]2,4 2.设i 为虚数单位,给出下面四个命题: 1:342p i i +>+; ()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =; ()()2 3:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点; 41:2i p z i +=+的虚部为15 i . 其中真命题的个数为 A .1 B .2 C .3 D .4 3.某同学从家到学校途经两个红绿灯,从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概
教育部考试中心权威评析:2020年高考数学全国卷试题评析 2020年高考数学全国卷试题评析(考试中心权威解析) 2020年高考数学试题落实立德树人根本任务,贯彻德智体美劳全面发展教育方针,坚持素养导向、能力为重的命题原则,体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查。试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果,紧密联系社会实际,设计真实的问题情境,具有鲜明的时代特色。试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求,难度设计科学合理,很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系,对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。 1 发挥学科特色,“战疫”科学入题 一是揭示病毒传播规律,体现科学防控。用数学模型揭示病毒传播规律,如新高考Ⅰ卷(供山东省使用)第6题,基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果,考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力,突出数学和数学模型的应用;全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景,选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础,考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握,以及使用数学模型解决实际问题的能力。 二是展现中国抗疫成果。全国疫情防控进入常态化后,各地有序推进复工复产复学。新高考Ⅱ卷(供海南省使用)第9题以各地有序推动复工复产为背景,取材于某地的复工复产指数数据,考查学生解读统计图以及提取信息的能力。 三是体现志愿精神。如全国Ⅱ卷理科第3题(文科第4题)是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题,考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1.【2018年浙江卷】已知成等比数列,且 .若 , 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断. 详解:令则 ,令 得,所以当时, ,当 时, ,因此 , 若公比 ,则 ,不合题意;若公比 ,则
但,即 ,不合题意;因此, ,选B. 点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如 2.【2018年浙江卷】已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________. 【答案】27 【解析】分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围,再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如),符号型(如),周期型(如). 3.【2018年理数天津卷】设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.
(I)求和的通项公式; (II)设数列的前n项和为, (i)求; (ii)证明. 【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析. 【解析】分析:(I)由题意得到关于q的方程,解方程可得,则.结合等差数列通项公式可得(II)(i)由(I),有,则. (ii)因为,裂项求和可得. 详解:(I)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由,可得 从而故所以数列的通项公式为,数列的通项公式为 (II)(i)由(I),有,故 . (ii)因为, 所以. 点睛:本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科) 第1卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(5分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.?B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1] 2.(5分)(2018?衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=() A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.(5分)(2018?衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1 B.﹣1 C.D. 4.(5分)(2018?衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为() A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 5.(5分)(2018?衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为() A.B.2 C.D.1 6.(5分)(2018?衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是() A.2 B.3 C.4 D.5 7.(5分)(2018?衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n} 的前8项和为() A.B.C.D. 8.(5分)(2018?衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=() A.45 B.180 C.﹣180 D.720
天津市高考十年数学试卷分折 目录 第一部分:选择题与填空题基本知识点分析 知识点:复数的基本概念与运算(历年都考)。重点:复数的乘除 运算。 试题类型:选择题;位置:第一题;难度:容易试题规律:复数的基本运算为必考试题,一般是放在选择的第一题, 作为全卷的第一题非常容易,起到稳定军心的作用,但此题绝对不能出错。 2?知识点:四种命题及充要条件(历年都考)。重点:充要条件判断、命 题的否定与否命题,考真假命题。 试题类型:选择题;难度:容易或中等 试题规律:都是与其它知识点结合,重点考查充要条件的判断。新课 标有转向全称与特称命题的趋势。充要条件的判断根本的一点是“小范围可以推大范围,大范围不可以推小范围”,而范围经常是用图形来表示的,所以要用数形结合的思想来求解。 3?知识点:分式与绝对值不等式及集合。重点:解二次和分式不等 式、解绝对值不等式、集合间的子、交、并、补运算、用重耍不等式求最值。 试题类型:选择题;位置:前7题;难度:容易试题规律:经常与集合结合,含绝对值不等式。 4?知识点:三角函数图象性质,止余弦定理解三角形(考图象性质, 考解三角形)重点:化一公式、图象变换、函数y = Asin(血+ 0)的性质、止余弦定理解题。 试题类型:选择题;难度:容易或中等试题规律:常考查三角函数的单调
性、周期性及对称性;三角函数的图象变换。重点为y = Asin(祇+ 0)型的函数。 5?知识点:函数性质综合题(奇偶、单调、周期、对称等)、特别是 结合分段函数是新课标的考查重点(每年都考)试题类型:选择题;位置:选择后3题;难度:较难试题规律:是必考题。重点考查函数的奇偶、单调、周期、对称等性质的综合。结合分段函数是新课标的考查重点 6?知识点:圆锥曲线定义及几何性质有关问题(椭圆双曲线准线不 考)(抛物线定义、双曲线渐近线与抛物线相交)试题类型:选择题;位置:前五题;难度:容易试题规律:考三种圆锥曲线各自的独特性,椭圆的定义、双曲线的渐近线、抛物线的定义,直线与圆锥曲线 7?知识点:抽样统计小题是趋势 试题类型:填空题;难度:中等或容易 试题规律:抽样方法,概率与统计,重要不等式的应用,分层抽样应用题 &知识点:直线与圆(常与参数方程极坐标等结合,主要是直线与圆相切或相割) 试题类型:选择题或填空题;位置:前六题;难度:容易试题规律:重点考查直线与圆的基本题型,直线和圆相切、直线被圆截得弦长问题、圆与圆内外切及相交问题等。每年必考。 9?知识点:平面向量基本运算(加法、减法、数乘和数量积,以数 量积为主,近年常以三角形和平行四边形为载体)(每年必考)试题类型:选择题或填空题;位置:较靠前;难度:中档试题规律:注重向量的代数与几何特征的结合,基底的思想加强了考査,向量的几何特征进行考査,题目小巧而灵活。 10?知识点:排列与组合 试题类型:选择题或填空;容易或中等试题规律:有两个限制条件的排数问题,球入盒问题,涂色问题,排列卡片问题,排数问题。总的看是以考查排列问题为主,考查的是基本的分类与分步思想。有成为选择或填空压轴题的趋势。
2017年高考数学试题分项版—解析几何(解析版) 一、选择题 1.(2017·全国Ⅰ文,5)已知F 是双曲线C :x 2 -y 2 3 =1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( ) A .13 B .12 C .23 D .32 1.【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C :x 2- y 2 3 =1的右焦点,所以F (2,0). 因为PF ⊥x 轴,所以可设P 的坐标为(2,y P ). 因为P 是C 上一点,所以4-y 2P 3=1,解得y P =±3, 所以P (2,±3),|PF |=3. 又因为A (1,3),所以点A 到直线PF 的距离为1, 所以S △APF =12×|PF |×1=12×3×1=32. 故选D. 2.(2017·全国Ⅰ文,12)设A ,B 是椭圆C :x 23+y 2 m =1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满 足∠AMB =120°,则m 的取值范围是( ) A .(0,1]∪[9,+∞) B .(0,3]∪[9,+∞) C .(0,1]∪[4,+∞) D .(0,3]∪[4,+∞) 2.【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上,点M (x ,y ). 过点M 作x 轴的垂线,交x 轴于点N , 则N (x,0). 故tan ∠AMB =tan(∠AMN +∠BMN ) =3+x |y |+3-x |y |1-3+x |y |· 3-x |y |=23|y |x 2+y 2-3. 又tan ∠AMB =tan 120°=-3, 且由x 23+y 2m =1,可得x 2 =3-3y 2 m , 则23|y |3-3y 2m +y 2-3=23|y |(1-3m )y 2=- 3.
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题)目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.(15年北京文科)若集合{}52x x A =-<<,{} 33x x B =-<<,则A B =I ( ) A .{} 32x x -<< B .{} 52x x -<< C .{} 33x x -<< D .{} 53x x -<< 【答案】A 考点:集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=,{|(4)(1)0}N x x x =--=,则M N =I A .? B .{}1,4-- C .{}0 D .{}1,4
2018年高考数学试题评析 教育部考试中心 考查关键能力 强调数学应用助推素质教育 2018年高考数学命题严格依据考试大纲,聚焦学科主干内容,突出关键能力的考查,强调逻辑推理等理性思维能力,重视数学应用,关注创新意识,渗透数学文化。试题体现考主干、考能力、考素养,重思维、重应用、重创新的指导思想。试卷稳中求新,在保持结构总体稳定的基础上,科学灵活地确定试题的内容和顺序;合理调控整体难度,并根据文理科考生数学素养的综合要求,调整文理科同题比例,为新一轮高考数学不分文理科的改革进行了积极的探索;贯彻高考内容改革的要求,将高考内容和素质教育要求有机结合,把促进学生健康成长成才和综合素质提高作为命题的出发点和落脚点,强化素养导向,助推素质教育发展。 1、聚焦主干内容,突出关键能力 2018年高考数学试题,立足于培育学生支撑终身发展和适应时代要求的能力,重点考查学生独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力;重视学科主干知识,将其作为考查重点,围绕主干内容加强对基本概念、基本思想方法和关键能力的考查,多考一点想的,少考一点算的,杜绝偏题、怪题和繁难试题。以此引导中学教学遵循教育规律、回归课堂,用好教材,避免超纲学、超量学。 2、理论联系实际,强调数学应用 2018年高考数学试题,与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际紧密联系起来,通过设置真实的问题情境,考查考生灵活运用所学知识分析解决实际问题的能力。在应用题中,将数据准备阶段的步骤减少,给考生呈现比较规范的数据格式或数据的回归模型;采取“重心后移”的策略,把考查的重点后移到对数据的分析、理解、找规律,减少繁杂的运算,突出对数学思想方法的理解和运用能力的考查;引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养。如全国II卷第18题,以环境基础设施投资为背景,体现了概率统计知识与社会生活的密切联系;全国III卷第18题减少了繁琐的数据整理步骤,将考查重点放在运用概率统计思想方法分析和解释数据之上,突出了考查重点。