专转本专题知识点----------无穷级数
数项级数
定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式
......321+++++n u u u u （11.1）
称为数项级数，简称为级数，简记为
∑∞
=1
n n
u
,即
∑∞
=1
n n
u
=......321+++++n u u u u
其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和
∑==++++=n
k k n n u u u u u S 1
321...
称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取1，2，3，...时，部分和
...,..,,,321n S S S S
构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列
定义2 若级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n S 有极限S
S S n n =∞
→lim ，
则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，称S 是级数
∑∞
=1
n n
u
的和，即
(3211)
+++++==
∑∞
=n n n
u u u u u
S
如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞
=1
n n
u
发散
数项级数的性质 （1）若级数
∑∞
=1
n n
u
和级数
∑∞
=1
n n
v
都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数
∑∞
=±1
)(n n n
v u
也
收敛，且其和为±S σ
（2）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的
级数
∑∞
=1
n n
ku
也收敛，且其和为kS
（3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 （4）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数
...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和
（5）（级数收敛的必要条件）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则0lim =∞
→n n u
数项级数的敛散性
研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数 一．正项级数
正项级数：若级数∑∞
=1
n n
u
=......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此
级数为正项级数
定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界
定理2 （比较判别法）若级数∑∞
=1
n n
u
和级数
∑∞
=1
n n
v
为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ，
那么： （1）若级数
∑∞
=1n n
v
收敛时，级数
∑∞
=1
n n
u
也收敛
（2）若级数
∑∞=1
n n
u
发散时，级数
∑∞=1
n n
v
也发散
定理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数
∑∞
=1
n n
u
（,...3,2,1,0=>n u n ）满足条件
l u u n
n n =+∞→1
lim
则
（1）当1
（3）当1=l 时，无法判断此级数的敛散性
二．交错级数
级数
∑∞
=-1)1(n n n u （,...3,2,1,0=>n u n ）称为交错级数
定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数∑∞
=-1
)
1(n n
n
u （,...3,2,1,0=>n u n ）满足下列条件
（1）1+≥n n u u （2）0lim =∞
→n n u
则交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n
n
u 收敛，其和,1u S ≤其余项的绝对值1+≤n n u r
三．绝对收敛和条件收敛
若级数
∑∞
=-1
)
1(n n
n
u 的各项为任意实数，则称级数
∑∞
=1
n n
u
为任意项级数
定义 如果任意项级数
∑∞
=1
n n
u
的各项绝对值组成的级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则称级数
∑∞
=1
n n
u
绝对收
敛；如果
∑∞
=1
n n
u
发散，而
∑∞
=1
n n
u
收敛，则称级数
∑∞
=1
n n
u
条件收敛
定理5 如果级数
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛，则级数
∑∞
=1
n n
u
必收敛
定理6 如果任意项级数
∑=1
n n
u
满足条件
l u u n
n n =+∞→1
lim
（1）当1
定义1 如果,...)3,2,1)((=n x u 是定义在某个区间I 上的函数，则称函数
...)(...)()()(2
1
1++++=∑∞
=x u x u x u x u n
n n
（11.4）
为区间I 上的函数项级数
定义2 形如...)(...)()()(02020101
0+-++-+-+=-∑∞
=n n n n n x x a x x a x x a a x x a （11.5）
的级数称为)(0x x -的幂级数，其中,...,...,,,210n a a a a 均为常数，称为幂级数的系数。当
00=x 时，级数∑∞
=+++++=1
2210......n n n n n x a x a x a a x a （11.6）称为x 的幂级数
定义 3 对于形如式（11.6）的幂级数
若设l a a n
n n =+∞→1
lim
，则
x l x a a x a x a u u n
n n n n n n n n n n ?=?==+∞→++∞→+∞→1
111lim lim lim
根据任意项级数判别法可知：
（1）当0≠l 时，
若1
1
，式（11.6）绝对收敛 若1>?x l ，即R l x =>1
，式（11.6）发散
若1=?x l ，即R l
x ==1
，则比值判别法失效，式（11.6）可能收敛也可能发散
（2）当0=l ，由于10<=?x l ，式（11.6）对任何x 都收敛
称l
R 1
=
为幂级数式（11.6）的收敛半径 定理1 如果幂级数
∑=+++++=1
2210......n n n n
n x a x a x a a x
a
的系数满足条件l a a n
n n =+∞→1
lim
，则
（1）当+∞< R 1 = （2）当0=l 时，+∞=R （3）当+∞=l 时，0=R 幂级数的性质 设幂级数∑∞ =0 n n n x a 与∑∞ =0 n n n x b 的收敛半径分别是1R 与2R （1R 与2R 均不为0），它们的和函 数分别为)(1x S 与)(2x S 1.（加法与减法运算） )()()(210 x S x S x b a x b x a n n n n n n n n n n ±=±=±∑∑∑∞ =∞=∞= 所得的幂级数∑∞ =±0)(n n n n x b a 仍收敛，且收敛半径是1R 与2R 中较小的一个 2.（乘法运算） ) ()(... )...(...)()()()(21011020211200110000 x S x S x b a b a b a x b a b a b a x b a b a b a x b x a n n n n n n n n n n ?=+++++++++++=?-∞ =∞=∑∑两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是1R 与2R 中较小的一个 3.（微分运算） 若幂级数∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径R ，则在（-R,R ）内和函数S(x)可导，且有 ∑∑∑∞ =-∞=∞ =='='='0 10 )()( )(n n n n n n n n n x na x a x a x S 且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R 4.（积分运算） 若幂级数∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径R ，则和函数S(x)在该区间内可积，且有 ∑?∑ ? ?∑∞ =∞ =+∞=+===0 01 1 )()(n x n n n n n x x n n n x n a dx x a dx x a dx x S 且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为R 函数展成幂级数 1.泰勒级数 设)(x f 在0x x =处任意阶可导，则幂级数n n n x x n x f )(! ) (01 0)(-∑ ∞ =称为)(x f 在0x x =处的泰勒级数 2.麦克劳林公式 当00=x 时，级数 n n n x n f ∑ ∞ =0 )(! )0(称为)(x f 的麦克劳林级数 3.几个常见的麦克劳林展开式 ① )1,1(,11 0-∈=-∑∞ =x x x n n ② )1,1(,)1(11 -∈-=+∑∞ =x x x n n n ③),(,! 0+∞-∞∈=∑∞ =x n x e n n x ④),(,)!12()1(sin 0 1 2+∞-∞∈+-=∑∞ =+x n x x n n n ⑤),(,)!2()1(cos 0 2+∞-∞∈-=∑ ∞ =x n x x n n n ⑥)1,1(,)1()1ln(1 1-∈-=+∑∞ =-x n x x n n n ⑦∑ ∞ =-∈?+--=+0 )1,1(,! ) 1)...(1()1(n n x x n n x αααα 第十二章：简单机械知识点： 一、杠杆： （一）、定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。 说明：①杠杆可直可曲，形状任意。 （二）、五要素──组成杠杆示意图。 ①支点：杠杆绕着转动的点。用字母O表示。 ②动力：使杠杆转动的力。用字母F 1 表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力。用字母F 2 表示。 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离。用字母L 1 表示。⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距 离。用字母L 2 表示。 （三）、画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签。 ⑴找支点O；⑵画力的作用线（虚线）；⑶画力臂（过支点垂直力的作用线作垂线）；⑷标力臂（四）、研究杠杆的平衡条件： （1）、杠杆平衡是指：杠杆静止。 （2）、实验前：应调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂。 结论：杠杆的平衡条件是：动力×动力臂＝阻力×阻力臂。写成公式F 1L 1 =F 2 L 2 也可写成：F 1 /F 2 =L 2 /L 1 。 注意：解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小，必须使动力臂最大， 五、应用： 名称结构特征特点应用举例 省力杠杆动力臂大于阻力省力、费距离 撬棒、铡刀、动滑轮、轮轴、羊角锤、 钢丝钳、手推车、花枝剪刀 费力杠杆动力臂小于阻力费力、省距离 缝纫机踏板、起重臂、人的前臂、理发剪刀、 钓鱼杆 等臂 杠杆 动力臂等于阻力不省力不费力天平，定滑轮 说明：应根据实际来选择杠杆，当需要较大的力才能解决问题时，应选择省力杠杆，当为了使 用方便，省距离时，应选费力杠杆。 六、滑轮：1．定滑轮： ①定义：中间的轴固定不动的滑轮。 ②实质：定滑轮的实质是：等臂杠杆。 ③特点：使用定滑轮不能省力但是能改变动力的方向。 ④对理想的定滑轮（不计轮轴间摩擦）F=G 。 绳子自由端移动距离S F （或速度v F ）=重物移动的距离S G （或速度v G ） 2．动滑轮： ①定义：和重物一起移动的滑轮。（可上下移动，也可左右移动） ②实质：动滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆。 ③特点：使用动滑轮能省一半的力，但不能改变动力的方向。 ④理想的动滑轮（不计轴间摩擦和动滑轮重力）则：F=21G 只忽略轮轴间的摩擦则，拉力F=2 1 （G 物 +G 动）绳子自由端移动距离S F （或v F ）=2倍的重物移动的距离S G （或v G ） 3．滑轮组 ①定义：定滑轮、动滑轮组合成滑轮组。 ②特点：使用滑轮组既能省力又能改变动力的方向。 ③理想的滑轮组（不计轮轴间的摩擦和动滑轮的重力）拉力F= n 1 G 。只忽略轮轴间的摩擦，则拉力F=n 1 （G 物+G 动）。绳子自由端移动距离S F （或v F ）=n 倍的重物移动的距离S G （或v G ）。 ④组装滑轮组方法：首先根据公式n=（G 物+G 动）/F 求出绳子的股数。然后根据“奇动偶定”的 原则。结合题目的具体要求组装滑轮。 七、机械效率： １、有用功： （1）定义：对人们有用的功。 公式：W 有用＝Gh （提升重物）=W 总－W 额=ηW 总 斜面：W 有用= Gh 2、额外功： （1）定义：并非我们需要但又不得不做的功 第一章： 1. 什么是操作系统？OS的基本特性是？主要功能是什么 OS是控制和管理计算机硬件和软件资源，合理组织计算机工作原理以及方程用户的功能的集合。特性是：具有并发，共享，虚拟，异步的功能，其中最基本的是并发和共享。主要功能：处理机管理，存储器管理，设备管理，文件管理，提供用户接口。 2. 操作系统的目标是什么？作用是什么？ 目标是：有效性、方便性、可扩充性、开放性 作用是：提供用户和计算机硬件之间的接口，提供对计算机系统资源的管理，提供扩充机器 3. 什么是单道批处理系统？什么是多道批处理系统？ 系统对作业的处理是成批的进行的，且在内存中始终保持一道作业称此系统为单道批处理系统。 用户所提交的作业都先存放在外存上并排成一个队列，然后，由作业调度程序按一定的算法从后备队列中选择若干个调入作业内存，使他们共享CPU和系统中的各种资源。 4 ?多道批处理系统的优缺点各是什么？ 优点：资源利用率高，系统吞吐量大。缺点：平均周转时间长，无交互能力。 引入多道程序技术的前提条件之一是系统具有终端功能，只有有中断功能才能并发。 5. 什么是分时系统？特征是什么？ 分时系统是指，在一台主机上连接了多个带有显示器和键盘的终端，同时允许多个用户通过自己的终端，以交互的方式使用计算机，共享主机中的资源。 特征：多路性、独立性、及时性、交互性 *有交互性的一般是分时操作系用，成批处理无交互性是批处理操作系统，用于实时控制或实时信息服务的是实时操作系统，对于分布式操作系统与网络操作系统，如计算机之间无主次之分就是分布式操作系统，因为网络一般有客户-服务器之分。 6. 什么是实时操作系统？ 实时系统：系统能及时响应外部事件的请求，在规定的时间内处理完。按照截止时间可以分为1硬实时任务（必须在截止时间内完成）2软实时任务（不太严格要求截止时间） 7用户与操作系统的接口有哪三种？ 分为两大类：分别是用户接口、程序接口。 用户接口又分为：联机用户接口、脱机用户接口、图形用户接口。 8. 理解并发和并行？并行（同一时刻）并发（同一时间间隔） 9. 操作系统的结构设计 1 ?无结构操作系统，又称为整体系统结构，结构混乱难以一节，调试困难，难以维护 2?模块化os结构，将os按功能划分为一定独立性和大小的模块。是os容易设计，维护, 增强os的可适应性，加速开发工程 3?分层式os结构，分层次实现，每层都仅使用它的底层所提供的功能 4. 微内核os结构，所有非基本部分从内核中移走，将它们当做系统程序或用户程序来实现，剩下的部分是实现os核心功能的小内核，便于扩张操作系统，拥有很好的可移植性。 第二章： 1 ?什么叫程序？程序顺序执行时的特点是什么？ 程序：为实现特殊目标或解决问题而用计算机语言编写的命令序列的集合特点：顺序性、封闭性、可再现性 2. 什么是前趋图？（要求会画前趋图）P35图2-2 前趋图是一个有向无循环图，记为DAG ,用于描述进程之间执行的前后关系。 3?程序并发执行时的特征是什么？ 特征：间断性、失去封闭性、不可再现性 级数知识点总结 Prepared on 22 November 2020 第十二章无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数 去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有 界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1 12简单机械 杠杆 知识点一、杠杆 1、什么是杠杆？ 一根硬棒，在力的作用下能绕着固定点转动，这根硬棒就是杠杆。 说明：①“硬棒”不一定是直棒，只要在外力作用下不变形的物体都可以看成杠杆，杠杆可以是直的也可以是任意形状的。 ①一根硬棒能成为杠杆，应具备两个条件：一是要有力的作用；二是能绕固定点转动。两个条件缺一不可。例如：撬棒在没有使用时就不能成为杠杆。杠杆的形状可以是直的，也可以是弯的，但必须是硬的，固定点可以在杠杆的一端，也可以在杠杆的其他位置。 2、杠杆的五要素： 五要素物理含义 支点杠杆可以绕其转动的点，用“O”表示 动力是杠杆转动的力，用“F1”表示 阻力阻碍杠杆转动的力，用“F2”表示 动力臂从支点O到动力F1作用线的距离，用“l1”表示 阻力臂从支点O到阻力F2作用线的距离，用“l2”表示 ①杠杆的支点一定在杠杆上，可以在杠杆的一端，也可以在杠杆的其它位置。同一杠杆，使用方法不同，支点的位置也不可能不同。在杠杆转动时，支点是相对固定的。 ①动力和阻力是相对而言的，不论是动力还是阻力，杠杆都是受力物体，跟杠杆发生相互作用的物体都是施力物体。动力和阻力的作用效果正好相反。 ①动力作用点：动力在杠杆上的作用点。 ①阻力作用点：阻力在杠杆上的作用点。 ①力臂是支点到力的作用线的距离，不是支点到力 的作用点的距离。某个力作用在杠杆上，若作用点不变， l l l 力的方向改变，力臂一般要改变。 ①力臂有时在杠杆上，有时不在杠杆上，如果力的作用线恰好通过支点，则力臂为零。 ①力臂的表示与画法：过支点做力的作用线的垂线 ①力臂的三种表 示方式：选择哪种 方式，根 据个人习惯而定。 4、力臂的画法： 第一步：先确定支点，即杠杆绕着转动的固定点，用字母“O”表示。 第二步：确定动力和阻力。人的目的是将石头撬起，则人应向下用力，此力即为动力，用“F 1” 表示。这个力F 1的作用效果是使杠杆逆时针转动，阻力的作用效果恰好与动力的作用效果相反，在阻力的作用下杠杆应沿着顺时针方向转动，则阻力的作用效果杠杆应沿着顺时针方向转动，则阻力是石头施加给杠杆的方向向下的压力，用“F 2”表示。 第三步：画出动力臂和阻力臂。将力的作用线正向或反向延长，由支点向力的作用线作垂线，从支点到垂足的距离就是力臂，并标明动力臂与阻力臂的符号“l 1”“l 2”。 知识点二、杠杆的平衡条件 1、杠杆平衡：在力的作用下，如果杠杆处于静止状态或绕支点匀速转动时，我们就可以认为杠杆是平衡了。 2、实验探究：杠杆的平衡条件 实验器材：杠杆和支架、钩码、刻度尺、线。 实验步骤：①调节杠杆两端的螺母，使杠杆在不挂钩码时，保持水平并静止，达到平衡状态。在调节时，如果杠杆的左边下沉，则应将杠杆两端的平衡螺母向右调，如果杠杆的右边下沉，则应将杠杆两端的平衡螺母向左调，简称“左沉右调，右沉左调”。 ②如图所示，在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节钩码的位置，使杠杆重新在水平位置平衡。这时杠杆两边收到钩码的作用力的大小都等于钩码重力的大小。 《操作系统》重点知识总结 请注意：考试范围是前6章所有讲授过内容，下面所谓重点只想起到复习引领作用。 第一章引论 1、操作系统定义操作系统是一组控制和管理计算机软件和硬件合理进行作业调度方便 用户管理的程序的集合 2、操作系统的目标有效性、方便性、可扩充性、开放性、 3、推动操作系统发展的主要动力不断提高计算机资源的利用率、方便用户、器件的不 断更新和换代、计算机体系结构的不断发展 4、多道批处理系统的特征及优缺点用户所提交的作业都先存放在外存上并排成一个队 列，称为后备队列。然后作业调度程序按一定的算法从后备队列中选择若干个作业调入内存，使他们共享cpu和系统内存。优点：资源利用率高、系统吞吐量打缺点：平均周转时间长、无交互能力 5、操作系统的基本特征并发性（最重要的特征）、共享性、虚拟性、异步性 6、操作系统的主要功能设别管理功能、文件管理功能、存储器管理功能、处理机管理 功能 7、O S的用户接口包括什么？用户接口、程序接口（由一组系统调用组成） 第二章进程管理 1、程序顺序执行时的特征顺序性、封闭性、可再现性 2、程序并发执行的特征间断性、失去封闭性、不可再现性 3、进程及其特征进程是资源调度和分配的基本单位，是能够独立运行的活动实体。 由一组机器指令、数据、堆栈等组成。特征：结构特征、动态性、并发性、独 立性、异步性 4、进程的基本状态及其转换p38 5、引入挂起状态的原因终端用户请求、父进程请求、负荷调节需要、操作系统 的需要 6、具有挂起状态的进程状态及其转换p39 7、进程控制块及其作用进程数据块是一种数据结构，是进程实体的一部分，是操 作系统中最重要的记录型数据结构。作用：使在一个多道程序环境下不能独立运 行的程序成为一个能够独立运行的基本单位，能够与其他进程并发执行 8、进程之间的两种制约关系直接相互制约关系、间接相互制约关系 9、临界资源是指每次只能被一个进程访问的资源 10、临界区是指每次进程中访问临界资源的那段代码 11、同步机构应遵循的规则空闲让进、忙则等待、有限等待、让权等待 12、利用信号量实现前驱关系p55/ppt 13、经典同步算法p58/ppt 14、进程通信的类型共享存储器系统、消息传递系统、管道通信系统 15、线程的定义是一种比进程更小，能够独立运行的基本单位用来提高系统内 第十二章 无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。 条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。 其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、 和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项 积分.(R 不变,收敛域可能变化). 专转本专题知识点----------无穷级数 数项级数 定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式 ......321+++++n u u u u （11.1） 称为数项级数，简称为级数，简记为 ∑∞ =1 n n u ,即 ∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和 ∑==++++=n k k n n u u u u u S 1 321... 称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取1，2，3，...时，部分和 ...,..,,,321n S S S S 构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列 定义2 若级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 有极限S S S n n =∞ →lim ， 则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称S 是级数 ∑∞ =1 n n u 的和，即 (3211) +++++== ∑∞ =n n n u u u u u S 如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞ =1 n n u 发散 数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 也 收敛，且其和为±S σ （2）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的 级数 ∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为kS （3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 （4）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数 ...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和 （5）（级数收敛的必要条件）若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u 数项级数的敛散性 研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数 一．正项级数 正项级数：若级数∑∞ =1 n n u =......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此 级数为正项级数 定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界 定理2 （比较判别法）若级数∑∞ =1 n n u 和级数 ∑∞ =1 n n v 为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ， 那么： （1）若级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 也收敛 （2）若级数 ∑∞=1 n n u 发散时，级数 ∑∞=1 n n v 也发散 《论语十二章》知识点整理 一、文学常识 1．《论语》是儒家的经典著作之一，由孔子的弟子及再传弟子编写而成。它以语录体和对话体为主，记录了孔子及其弟子言行，共20篇。 四书：《论语》《大学》、《中庸》、《孟子》五经：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》 2．孔子，名丘，字仲尼，春秋时期鲁国人，春秋末期的思想家、教育家，儒家思想的创始人。政治上主张“仁政”，“以德服人”，教育上主张“有教无类”“因材施教”，孔子被后世统治者尊为“圣人”，战国时期儒家代表人物，孟子与孔子并称“孔孟”，被联合国称为“世界十大文化名人”之一。 二、生字注音 论（lún）语不亦说（yuè）乎愠（yùn）三省（xǐng）传（chuán）不习乎 逾（yú）矩（jǔ）罔（w?ng ）殆（dài）哉（zāi）箪（dān）陋巷（xiàng） 堪（kān）肱（gōng）笃（dǔ）志 三、重点字词解释及翻译 第一章 原文：子曰：“学∕而时习之，不亦∕说乎？有朋∕自远方来，不亦∕乐乎？人不知∕而不愠，不亦∕君子乎？” 1．字词解释：时：按时说：通“悦”，愉快朋：志同道合的人 愠：生气，发怒君子：指道德上有修养的人 2．译文：孔子说：“学习了(知识)，然后按一定的时间温习它，不也是很高兴吗?有志同道合的人从远处(到这里)来，不也是很快乐吗?人家不了解我，我却不怨恨，不也是君子吗?” 3. 课文探究：第1句：讲学习方法第2句：讲学习的乐趣第3句：讲个人修养 第二章 原文：曾子曰：“吾日∕三省吾身：为人谋∕而不忠乎？与朋友交∕而不信乎？传∕不习乎？” 1.字词解释：日：每天三省：多次反省。省；自我检查、反省。三：泛指多忠：尽心竭力 信：真诚，诚实传：老师传授的知识 2.译文：曾子说：“我每天多次地反省自己：替别人办事是不是尽心竭力呢?跟朋友往来是不是诚实呢?老 师传授的知识是不是复习过呢?” 3.课文探究：本章强调治学的人重视道德修养 第三章 原文：子曰：“吾十有五∕而志于学，三十∕而立，四十∕而不惑，五十∕而知天命，六十∕而耳顺，七十∕而从心所欲，不逾矩。” 1.字词解释：有：通:“又”,用于零数和整数之间立：独立做事情惑：迷惑、疑惑 逾：越过、超过矩：规范、规范 2．译文：孔子说：“我十五岁的时候立志于做学问；三十岁能够独立做事,自立于世；四十岁能通达事理，不为外物所迷惑；五十岁的时候知道哪些是不能为人力所支配的事情；六十岁时能听得进不同意见；七十岁时能随心所欲，却不会逾越法度规矩。” 3．课文探究：本章是孔子自述他学习和提高修养的过程。 第四章 原文：子曰:“温故∕而知新,可∕以为师矣.” 1．字词解释：故：旧的知识知新：新的理解与体会可以：可以凭借。以：凭借为：做,成为 2.译文：孔子说：“温习学过的知识，从而得到新的体会与理解，可以凭借这成为老师。” 3.课文探究：本章谈学习方法。（强调“温故”，还要能“知新”,新旧知识相融合） 第五章 操作系统书本知识点 第一章操作系统引论 主要内容 操作系统的目标、作用和模型 操作系统的发展过程 操作系统的基本特征 OS（Operating Systems)的主要功能 OS的结构设计 本章要点 计算机系统结构：了解操作系统的地位 什么是操作系统：3种基本观点 现代操作系统的功能、特性、类型 基本概念：批处理、多道程序、作业、进程、任务、虚拟技术、并发性、异步性 操作系统的作用(1) 作为用户与计算机硬件系统之间的接口 作为计算机系统资源的管理者 处理机管理：分配和控制处理机 存储器管理：分配及回收内存 I/O(Input/Output)设备管理：I/O分配与操作 文件管理：文件存取、共享和保护 监视这些资源 实施某种资源分配策略 分配这种资源 回收这种资源 OS实现了对计算机资源的抽象 操作系统的发展过程 1.2.1无操作系统时的计算机系统 人工操作方式 ?如纸带输入机。 ?特点是用户独占全机及CPU等待人工操作。 脱机I/O方式（图1.3） ?引入I/O机的概念，解决前者的缺点。 ?特点是减少了CPU的空闲时间且提高I/O速度。 单道批处理系统 处理过程（图1.4） ?概念：系统对作业的处理都是成批进行的、且内存中始终只保持一道作业，称为单道批处理系统（simple batch system）。 ?批处理系统的引入是为了提高系统资源的利用率和吞吐量 ?概念：运行控制权 特征 ?自动性、顺序性、单道性 多道批处理系统（1） 优点 ?资源利用率高 ?系统吞吐量大 ?平均周转时间长 ?无交互能力 缺点 ?平均周转时间长、无交互能力 分时系统 分时系统的产生 ?概念：指一台主机上连接了多个带有显示器和键盘的终端，同时允许多个用户共享主机中的资源，各个用户都可通过自己的终端以交互方式使用计算 机。 分时系统在实现中的关键问题 ?及时接收：多终端卡、输入缓冲区 ?及时处理：交互作业应在内存、响应时间应短 分时系统的特征 ?多路性 ?独立性 ?及时性 ?交互性 ?可靠性 类型 ?实时控制 ?实时信息处理 实时系统(2) 实时任务类型 ?按任务执行是否呈现周期性来划分 ?周期性的（联系周期）； ?非周期性的（联系开始或完成截止时间） ?根据对截止时间的要求来划分 ?硬实时任务 ?软实时任务 实时、分时的比较 ?多路性：相同 ?独立性：相同 ?及时性：实时系统要求更高 ?交互性：分时系统交互性更强 ?可靠性：实时系统要求更高 思考 试在交互性、及时性和可靠性方面，将分时系统和实时系统进行比较。 操作系统的基本特征(1) 并发性 ?并行是指两或多个事件在同一时刻发生。 ?并发是两或多个事件在同一时间间隔内发生。 无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论 6．常用收敛快慢 正整数 由慢到快 连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→ 第十二章简单机械知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN O 第十二章 简单机械 一、杠杆 （1）定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。 说明：①杠杆可直可曲，形状任意。 ②有些情况下，可将杠杆实际转一下，来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹。 （2）五要素──组成杠杆示意图。 ①支点：杠杆绕着转动的点。用字母O 表示。 ②动力：使杠杆转动的力。用字母F 1表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力。用字母F 2表示。 说明：动力、阻力都是杠杆的受力，所以作用点在杠杆上。 动力、阻力的方向不一定相反，但它们使杠杆的转动的方向相反。 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离。用字母L 1表示。 ⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离。用字母L 2表示。 （3）画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签。 ⑴找支点O ；⑵画力的作用线（虚线）； ⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）； ⑷标力臂（大括号）。 （4）研究杠杆的平衡条件： 杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。 实验前：应调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。 这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂。 结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是： 动力×动力臂＝阻力×阻力臂。写成公式F 1L 1=F 2L 2也可写成：F 1/F 2=L 2/L 1。 解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受 力与方向和力臂大小；然后根据具体的情况具体分析，确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的动力如何变化，沿什么方向施力最小等。） 解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小，必须使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到：①在杠杆上找一点，使这点到支点的距离最远；②动力方向应该是过该点且和该连线垂直的方向。 【习题】1.下列测量工具没有利用杠杆原理的是（ ） A.弹簧测力计 B.杆秤 C. 台秤 D. 托盘天平 2.如图是小龙探究“杠杆平衡条件”的实验装置，用弹簧测力计在C 处竖直向上拉，杠杆保持平衡。若弹簧测力计逐渐向右倾斜，仍然使杠杆保持平衡，拉力F 的变化情况是（ ） A . 变小 B . 变大 C. 不变 D.无法确定 3.（1）人要顺时针翻转木箱，请画出用力最小时力臂的大小。 （2）如图人曲臂将重物端起, 前臂可以看作一个杠杆。在示意图上画出F 1和F 2的力臂。 4. 如图所示，要使杠杆处于平衡状态，在A 点分别作用的四个力中，最小的是（ ） A ．F 1 B ．F 2 C ．F 3 D ．F 4 5. 如图所示是某同学做俯卧撑时的示意图，他的质量为56kg 。身 体可视为杠杆，O 点为支点．A 点为重心。每次俯卧撑他肩膀向上撑起40cm ．（ g 10N/ kg ） (1) 该同学所受重力是多少 (2) 在图中画出该同学所受重力的示意图，并画出重力的力臂L 1 （3）若0B=，BC=，求地面对双手支持力的大小． （4）若他一分钟可完成30个俯卧撑，其功率多大 《计算机操作系统》复习大纲第一章绪论 1.掌握操作系统的基本概念、主要功能、基本特征、主要类型； 2.理解分时、实时系统的原理； 第二章进程管理 1.掌握进程与程序的区别和关系； 2.掌握进程的基本状态及其变化； 3.掌握进程控制块的作用； 4.掌握进程的同步与互斥； 5.掌握多道程序设计概念； 6.掌握临界资源、临界区； 7.掌握信号量，PV操作的动作， 8.掌握进程间简单同步与互斥的实现。 第三章处理机调度 1.掌握作业调度和进程调度的功能； 2.掌握简单的调度算法：先来先服务法、时间片轮转法、优先级法； 3.掌握评价调度算法的指标：吞吐量、周转时间、平均周转时间、带权周转时间和平均带权周转时间； 4.掌握死锁；产生死锁的必要条件；死锁预防的基本思想和可行的解决办法； 5.掌握进程的安全序列，死锁与安全序列的关系； 第四章存储器管理 1.掌握用户程序的主要处理阶段； 2.掌握存储器管理的功能；有关地址、重定位、虚拟存储器、分页、分段等概念； 3.掌握分页存储管理技术的实现思想； 4.掌握分段存储管理技术的实现思想； 5.掌握页面置换算法。 第五章设备管理 1.掌握设备管理功能； 2.掌握常用设备分配技术； 3.掌握使用缓冲技术的目的； 第六章文件管理 1.掌握文件、文件系统的概念、文件的逻辑组织和物理组织的概念； 2.掌握目录和目录结构；路径名和文件链接； 3.掌握文件的存取控制；对文件和目录的主要操作 第七章操作系统接口 1.掌握操作系统接口的种类； 2.掌握系统调用的概念、类型和实施过程。 计算机操作系统复习知识点汇总 第一章 1、操作系统的定义、目标、作用 操作系统是配置在计算机硬件上的第一层软件，是对硬件系统的首次扩充。 设计现代OS的主要目标是：方便性，有效性，可扩充性和开放性. OS的作用可表现为： a. OS作为用户与计算机硬件系统之间的接口；（一般用户的观点） b. OS作为计算机系统资源的管理者；（资源管理的观点） c. OS实现了对计算机资源的抽象. 2、脱机输入输出方式和SPOOLing系统（假脱机或联机输入输出方式）的联系和区别 脱机输入输出技术(Off-Line I/O)是为了解决人机矛盾及CPU的高速性和I/O 设备低速性间的矛盾而提出的.它减少了CPU的空闲等待时间，提高了I/O速度. 由于程序和数据的输入和输出都是在外围机的控制下完成的，或者说，它们是在脱离主机的情况下进行的，故称为脱机输入输出方式；反之，在主机的直接控制下进行输入输出的方式称为联机（SPOOLing）输入输出方式假脱机输入输出技术也提高了I/O的速度，同时还将独占设备改造为共享设备，实现了虚拟设备功能。 3、多道批处理系统需要解决的问题 处理机管理问题、内存管理问题、I/O设备管理问题、文件管理问题、作业管理问题 4、OS具有哪几个基本特征?它的最基本特征是什么? a. 并发性(Concurrence),共享性(Sharing),虚拟性(Virtual),异步性(Asynchronism). b. 其中最基本特征是并发和共享. c. 并发特征是操作系统最重要的特征，其它三个特征都是以并发特征为前提的。 5、并行和并发 并行性和并发性是既相似又有区别的两个概念，并行性是指两个或多个事件在同一时刻发生；而并发性是指两个或多少个事件在同一时间间隔内发生。 进程控制，进程同步，进程通信和调度. b. 存储管理功能： 内存分配，内存保护，地址映像和内存扩充等 c. 设备管理功能： 缓冲管理，设备分配和设备处理，以及虚拟设备等 d. 文件管理功能： 对文件存储空间的管理，目录管理，文件的读，写管理以及檔的共享和保护 7、操作系统与用户之间的接口 a. 用户接口：它是提供给用户使用的接口，用户可通过该接口取得操作系统 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 第一章： 1.什么是操作系统？os的基本特性是？主要功能是什么 OS是控制和管理计算机硬件和软件资源，合理组织计算机工作原理以及方程用户的功能的集合。 特性是：具有并发，共享，虚拟，异步的功能，其中最基本的是并发和共享。 主要功能：处理机管理，存储器管理，设备管理，文件管理，提供用户接口。 2.操作系统的目标是什么？作用是什么？ 目标是：有效性、方便性、可扩充性、开放性 作用是：提供用户和计算机硬件之间的接口，提供对计算机系统资源的管理，提供扩充机 器 3.什么是单道批处理系统？什么是多道批处理系统？ 系统对作业的处理是成批的进行的，且在内存中始终保持一道作业称此系统为单道批处理 系统。 用户所提交的作业都先存放在外存上并排成一个队列，然后，由作业调度程序按一定的算 法从后备队列中选择若干个调入作业内存，使他们共享ＣＰＵ和系统中的各种资源。 4．多道批处理系统的优缺点各是什么? 优点：资源利用率高，系统吞吐量大。缺点：平均周转时间长，无交互能力。 引入多道程序技术的前提条件之一是系统具有终端功能，只有有中断功能才能并发。 5.什么是分时系统？特征是什么？ 分时系统是指，在一台主机上连接了多个带有显示器和键盘的终端，同时允许多个用户通 过自己的终端，以交互的方式使用计算机，共享主机中的资源。 特征：多路性、独立性、及时性、交互性 *有交互性的一般是分时操作系用，成批处理无交互性是批处理操作系统，用于实时控制或实时信息服务的是实时操作系统，对于分布式操作系统与网络操作系统，如计算机之间无 主次之分就是分布式操作系统，因为网络一般有客户-服务器之分。 6.什么是实时操作系统？ 实时系统：系统能及时响应外部事件的请求，在规定的时间内处理完。按照截止时间可以 分为1硬实时任务（必须在截止时间内完成）2软实时任务（不太严格要求截止时间） 7.用户与操作系统的接口有哪三种？ 分为两大类：分别是用户接口、程序接口。 用户接口又分为：联机用户接口、脱机用户接口、图形用户接口。 8.理解并发和并行？并行（同一时刻）并发（同一时间间隔） 9.操作系统的结构设计 1．无结构操作系统，又称为整体系统结构，结构混乱难以一节，调试困难，难以维护2．模块化os结构，将os按功能划分为一定独立性和大小的模块。是os容易设计，维护，增强os的可适应性，加速开发工程 3．分层式os结构，分层次实现，每层都仅使用它的底层所提供的功能 4.微内核os结构，所有非基本部分从内核中移走，将它们当做系统程序或用户程序来实现，剩下的部分是实现os核心功能的小内核，便于扩张操作系统，拥有很好的可移植性。 第二章： 1．什么叫程序？程序顺序执行时的特点是什么？ 程序：为实现特殊目标或解决问题而用计算机语言编写的命令序列的集合 特点：顺序性、封闭性、可再现性 2.什么是前趋图？（要求会画前趋图）P35图2-2 第 1 页 共 2 页 第十二章 无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数：ΛΛ+++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑=Λ3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ? 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( Λ=≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. ? 2、 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。 条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。 其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、 和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项 积分.( R 不变,收敛域可能变化).初中物理第十二章知识点总结
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