等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d
＝p .
3．等差中项
如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和
y 的等差中项，则A ＝x ＋y
2
.
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *
)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，
则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *
)．
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *
)是公差为md 的等差数列．
(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .
(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd
2
；
若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式
若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n
2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，
则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －1
2
d .
6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝d 2n 2＋?
????a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．
7．最值问题
在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最
小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②
①＋②得：S n ＝n a 1＋a n
2
.
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *
)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ；
(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2
＋Bn .
注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
回顾：
1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ） A ．
B ． 1
C ．
D ． ﹣1
2．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（ ） A ． 以7为首项，公差为2的等差数列 B ． 以7为首项，公差为5的等差数列 C ． 以5为首项，公差为2的等差数列 D ． 不是等差数列 3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ） A ． 23 B ． 24 C ． 25 D ． 26 4．两个数1与5的等差中项是（ ） A ． 1 B ． 3 C ． 2 D ． 5．（2005?黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（ ） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5 B ． a 1+a 8=a 4+a 5 C ． a 1+a 8＜a 4+a 5 D ． a 1a 8=a 4a 5
考点1:等差数列的通项与前n 项和
题型1：已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知
{}n a 为等差数列，，则
解：方法1： 方法2：，
方法3：令，则
方法4：{}n a 为等差数列，
也成等差数列，设其公差为，则为首项，20,86015==a a =75a Θ
154
,156420
598141
160115==????=+==+=d a d a a d a a ∴2415
4
74156474175=?+=
+=d a a Θ15
4
4582015601560=-=--=a a d ∴2415
4
1520)6075(6075=?+=-+=d a a b an a n +=38
,451620
60815==???
?=+=+b a b a b a ∴243
8
4516757575=+?
=+=b a a Θ∴7560453015,,,,a a a a a 1d 15a 60
a
为第4项.
方法5：{}n a 为等差数列，三点共线
对应练习：1、已知
{}n a 为等差数列，（互不相等），求.
2、已知
个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.
题型2：已知前项和及其某项，求项数.
【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式
求出
及，代入
可
求项数
；
⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出
，代入可求项数.
【例2】已知
为等差数列{}n a 的前项和，，求
解：设等差数列的首项为
，公差为，则
对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求
这个数列的项数
.
4.已知
为等差数列{}n a 的前项和，
，则
.
题型3：求等差数列的前n 项和
【解题思路】（1）利用
求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
∴438203111560=?+=?+=d d d a a ∴2442016075=+=+=d a a Θ∴),75(),,60(),,15(756015a a a 24
1520
4582060751560757560751560=?-=-?--=--a a a a a a q a p a n m ==,k n m ,,k a 551655n n S d
n a a n )1(1-+=1a d
n S n n a a +1n S n n S n 63,6,994=-==n S a a n 1a d
3,186
89
3111-==???
?-=+=+d a d a d a ∴7,663)1(2
3
1821==?=--
=n n n n n S n n n S n
100
,7,141===n S a a =n n S n a
（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.
【例3】已知
为等差数列{}n a 的前项和，.
（1）
；
⑵求； ⑶求.
解：，
当时，，
当
时，
，
当时，， .
由
，得，当时，；当时，
.
（1）；
⑵
；
（
3
）
时，
，
当
时，
对应练习：5、已知为等差数列{}n a 的前项和，，求.
n S n 212n n S n -=3
21a a a ++10321a a a a ++++Λn
a a a a ++++Λ321Θ
212n n S n -=∴1=n 1111211=-==S a 2
≥n n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-1=n 1111213a ==?-∴n a n 213-=0213≥-=n a n 2
13
≤
n ∴61≤≤n 0>n a 7≥n 0 1≤≤n 232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ΛΛ7 ≥n )(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ΛΛΛ.7212)12()6612(222226+-=---?=-=n n n n S S n n S n 10,10010010==S S 110S 考点2 ：证明数列是等差数列 【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有： 1、定义法： （， 是常数）{}n a 是等差数 列； 2、中项法： (){}n a 是等差数列； 3、通项公式法： （是常数）{}n a 是等差数列； 4、项和公式法： （是常数，）{} n a 是等差数列. 【例4】已知 为等差数列{}n a 的前项和，. 求证：数列 是等差数列. 解：方法1：设等差数列 {}n a 的公差为，， （常数） 数列是等差数列. 方法2：， ， ， 数列是等差数列. 对应练习：6、设 为数列{}n a 的前项和，， （1） 常数 的值； （2） 证：数列 是等差数列. d a a n n =-+1+∈N n d ? 212+++=n n n a a a +∈N n ?b kn a n +=b k ,?Bn An S n +=2B A ,0≠A ?n S n )(+∈= N n n S b n n {}n b d d n n na S n )1(2 11-+=∴d n a n S b n n )1(2 1 1-+== ∴2)1(2121111d d n a nd a b b n n = ---+=-+∴{}n b Θ d n a n S b n n )1(2 1 1-+== ∴nd a b n 21 11+=+d n a b n )1(2 112++=+∴ 1111222)1(2 1 )1(21++=+=-++++ =+n n n b nd a d n a d n a b b ∴{}n b n S n )(+∈=N n pna S n n .21a a =p {}n a 考点3 :等差数列的性质 【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【例5】1、已知 为等差数列{}n a 的前项和，，则 ； 2、知 为等差数列 {}n a 的前 项和， ，则 . 解：1、 ； 2、方法1：令 ，则 . ，， ； 方法2：不妨设 . ， ； 方法3：{}n a 是等差数列，为等差数列 三点共线. n S n 1006=a =11S n S n ) (,m n n S m S m n ≠===+n m S 11001122112)(1166 11111==?=+= a a a a S Bn An S n +=2n m m n B m n A n Bm Am m Bn An -=-+-????=+=+)()(222 2Θm n ≠∴1)(-=++B m n A ∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+n m >m n a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-= +++++=-+-+++2 ) )((11321Λ∴211-=+=+++m n n m a a a a ∴)(2 ) )((1n m a a n m S n m n m +-=++= ++Θ ∴? ?? ???n S n ∴??? ? ? ++??? ????? ??+n m S n m m S m n S n n m m n ,,,,, . 对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 8.设 、分别是等差数列 {}n a 、{}n a 的前项和，，则 . 考点 4： 等差数列与其它知识的综合 【解题思路】1、利用 与的关系式及等差数列的通项公式可求； 2、求出 后，判断的单调性. 【例6】已知 为数列{}n a 的前项和，；数列满足：， ，其前 项和为 ⑴ 数列 {}n a 、的通项公式； ⑵设 为数列 的前 项和， ，求使不等式 对都成立的最大正整数的值. 解：⑴， 当时，； 当 时， 当 时，，； ，是等差数列，设其公差为 . 则， ∴)(n m S n m n n m S n m n m m n n m n m +-=?- +=--++12+n .A n n 12+.B n n 1+.C n n 1-.D n n 21 +n S n T n 3 2 7++= n n T S n n =5 5 b a n a n S n T n T n S n n n S n 2 11 212+= {}n b 113=b n n n b b b -=++1229.153{}n b n T {}n c n ) 12)(112(6 --= n n n b a c 57 k T n > +∈?N n k Θn n S n 2 11 212+=∴1=n 611==S a 2 ≥n 5)1(2 11 )1(2121121221 +=----+=-=-n n n n n S S a n n n 1=n 1651a ==+∴5+=n a n Θ2 22 112+++++= ?-=n n n n n n b b b b b b ∴ {}n b d 3,5153 36911 2111==??? ?=+=+d b d b d b . ⑵ ，是单调递增数列. 当时， 对都成立 所求最大正整数的值为. 对应练习：9.已知 为数列{}n a 的前项和，，. ⑴ 数列{}n a 的通项公式； ⑵数列 {}n a 中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都 成立？若存在，求最小的正整数 ，若不存在，说明理由. 课后练习： 1.(2010广雅中学)设数列 是等差数列， 且，，是数列的前项和，则 A ． B ． C ． D ． 2.在等差数列{}n a 中，，则 . 3.数列 {}n a 中，，当数列 {}n a 的前 项和 取得最小值时， . 4.已知等差数列 {}n a 共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差 是 . 5.设数列 中，，则通项 . 6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第 ∴23)1(35+=-+=n n b n Θ[][] 1)23(211)5(26 )12)(112(6-+-+=--= n n b a c n n n 1 21 121)12)(12(2+--=+-= n n n n ∴121 1)121121()7151()5131()311(+- =+--++-+-+-=n n n T n ΛΘ+∈N n ∴n T ∴1=n ()3 2 3111min =-==T T n ∴57k T n > +∈?N n ()3857 3257min ?>?k k k T n ∴k 37n S n 31=a )2(21≥=-n a S S n n n k 1+>k k a a k k {}n a 28a =-155a =n S {}n a n 1011S S =1011S S >910S S =910S S <1205=a =+++8642a a a a 49 2-=n a n n n S =n 101030{}n a 112,1n n a a a n +==++n a =Λ,5,4,3,2,1 项是 . 答案与解析： 对应 练 习 ： 1 、 【 解 析 】 2、【解析】设这个数分别为则 解得 当时，这个数分别为：； 当时，这个数分别为： 3、【解析】 4、【解析】设等差数列的公差为，则 . 5、【解析】方法1：设等差数列的公差为，则 ； 方法2： 6、【解析】⑴，， ⑵由⑴知：， 当 时， ， ，数列是等差数列. 7 、【 解 析 】（ 本 两 小 题 有 多 种 解 法 ） 1964n m k m q n k p a n k q a n m q p n k a a n m a a k k n k n m --+-=?--=--?--=--) ()(5.2,,,,2d a d a a d a d a ++--???=+=????=+++++-+-=+++++-+-1651051 165)2()()()2(5)2()()()2(2 222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a 4,1±==d a 4,1==d a 59,5,1,3,7--4,1-==d a 5.7,3,1,5,9--Θ 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a 3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+?=+n n a a a a ∴39780207802 ) (1=?=?=+= n n a a n S n n d 23 1 71414=-=--=a a d 101002)1(2 1 =?=?-+=n n n n S n d ?? ???=-=??? ?=+=+1001099 50111049501001004510111d a d a d a ∴1101091102 1 1101110-=??+=d a S Θ2902 ) (90100111001110100-=+?-=+=-a a a a S S 1102 )(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S Θ n n pna S =21a a =∴111=?=p pa a n n na S =2 ≥n 0))(1()1(111=--?--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ∴)2(01≥=--n a a n n ∴{}n a Θ ，.选B. 8、【解析】 填. 9、【解析】⑴当 时， ，且 ，{}n a 是以为公差的等差数列，其首项为 . 当时， 当时， ，； ⑵ ，得或， 当时，恒成立，所求最小的正整数 课后练习：1、【解析】C ． 另法：由 ，，得，， 计算知 2、【解析】 3、【解析】 由知{}n a 是等差数列， 2 ) )(1(12112531++++= ++++=n n a a n a a a a S Λ奇2 ) (222642n n a a n a a a a S += ++++=Λ偶n n a a a a 22121+=++∴ n n S S 1 += 偶奇∴12 65 2525514225143)12(2)12(7551212=+?-?=?+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n n n ∴12 65 2≥n )(22111----=?=n n n n n n n S S S S a S S ∴ 2 1 111-=--n n S S 3111=S ∴2 1 -3 1 ∴ n S n n S S n n 356635)1(21111-=?-=--=∴2≥n ) 53)(83(18 211--== -n n S S a n n n 1=n 11018)53)(83(18a ≠=--∴?????≥--=)2() 53)(83(18)1(3n n n n 0)23)(53)(83(181>---= -+k k k a a k k 3532< 8 >k ∴3≥k 1+>k k a a .3=k 10915 21015216292 )(,22S S a d a S d a a a a S =?++=++=+= 28a =-155a =713815)8(5=---=d 7 69 21=-=d a a 910S S =480.480458642==+++a a a a a 24492-=n a n .250>?>n a n ∴ 4、【解析】 已知两式相减，得 5、【解析】 利用迭加法（或迭代法） ，也可以用归纳—猜想—证明的方法. 6、【解析】 .24=n 4.4205=?=d d 1)1(2 1 ++n n 2008 等差数列 例1.计算1+2+3+4+5+…+78+79+80=？ 例2.有一个数列4，10，16，22，…，58，这个数列共有多少项？ 例3.写出数列1，3，5，7，9，…中的第40个数. 例4.一个影院的放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每一排都比前一排多2个座位.问这个放映厅一共有多少个座位？ 例5.建筑工地有一批砖，码在一起，最上层2块，第二层6块，第三层10块…… 依次每一层都比上一层多4块砖，已知最下层198块砖，问这堆砖共有多少块？ 例6.有45位同学举行一次联欢会，同学们在一起一一握手，且每两人只能握一次，问同学们共握了多少次手？ 例7.有一个六边形点阵，他的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问这个点阵共有多少个点？ 1. 3+6+9+…+2001=？ 2.求（1+3+5+7+...+2003）—（2+4+6+8+ (2002) 3. 8?2+8?5+8?8+…+8?2003=？ 4. 数列3，12，21，30，39，48，57，66，75，…求： （1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？ 5.1+2+3+4+5+6+7+…+2001+2002+2001+…+4+3+2+1=？ 6.前25个自然数的和是325，即：1+2+3+4+…+25=325.求紧接下来的25个自然数的和， 即26+27+28+29+…+50=？ 7.数列3，6，9，12，15，18，…，300，303是一个等差数列.这个等差数列中所有数的和是多少？ 8.在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数第几个数是1994？ 9. 2+3+7+9+12+15+17+21+22+27+27+33+32+39+37+45=？ 10.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依此类推，从1点至12点这12小时共敲多少下？ 11.黑白两种颜色的珠子，一层黑一层白排成正三角形的形状.当白珠子比黑珠子多10颗时，共用了多少颗白珠子？ 12.1至100各数,所有不能被9整除的自然数的和是多少． 等差数列专题 一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p . 3．等差中项 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和 y 的等差中项，则A ＝x ＋y 2 . 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N * )． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n . (6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2 ； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n 2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ， 则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －1 2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ????a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最 小值． 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，② ①＋②得：S n ＝n a 1＋a n 2 . 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； 等差数列专项练习 公式1：等差数列的和= （首项+末项）×项数÷2 公式2：公差=后一项-前一项 公式3：项数=(末项-首项)÷公差+1 公式4：末项=首项+（项数-1）×公差 公式5：首项=末项-（项数-1）×公差 1.填一填，只列式不计算。 a求和练习 1+2+3+4+5+6+7+8+9...+15 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 5+6+7+8+9+...+55+56+57 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 2+4+6+8+10+..+1990 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 5+10+15+20+...+550 首项是（） 末项是（） 公差是（） 项数的求法列式为（） 求和列式为（） b求末项 填一填，只列式不计算。 数列1、2、3、4、......x共有50个数。末项x是多少？再求和。首项是（） 公差是（） 项数是（） 末项求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 数列3、6、9、12、......x共有30个数。末项x是多少？再求和。首项是（） 公差是（） 项数是（） 末项求法列式为（） 求和列式为（） c求首项 填一填，只列式不计算。 数列y、...222、226、230共有30个数。末项x是多少？再求和。末项是（） 公差是（） 项数是（） 首项求法列式为（） 求和列式为（） 填一填，只列式不计算。 数列y、...555、557、559共有30个数。末项x是多少？再求和。末项是（） 公差是（） 项数是（） 首项求法列式为（） 求和列式为（） 等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。 例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思： 等差数列问题 1. 1+2+3+4+……+98+99+100= 2.2+4+6+8+……+96+98+100= 3.1+3+5+7+……+95+97+99= 4.5+10+15+20+………+90+95+100= 5.3+10+17+24+ (101) 6. 8+15+22+……+92+99= 7.1+2+3+4+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1= 8.(1+3+5+…+1991)-(2+4+6+……+1990)= 9.100+99-98-97+96+95-94-93+92….+4+3-2-1= 10.1992-1989+1986-1983+1980-1977+……+12-9+6-3= 11.1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104+103 -102-101= 12、1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+………+95-96+97+98+99-100= 13.1992+1991+1990-1989-1988-1987+1986+1985+1984-1983-1982- 1981+……+6+5+4-3-2-1= 14.5-3+10-8+15-13+……+1995-1993+2000-1998= 15.2000-3-6-9-……-51-54= 16.2000-2-4-6-8- (50) 17.1-2+3-4+…2+1997-1998+1999= 18.在1949、1950、1951…1997、1998这50个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少? 19.已知一列数2,5,8,11,14…问这列数的第20项是哪个数? 20.已知一列数4,6,8,10…..问64是这个数列的第几项？ 一、等差数列选择题 1．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12 B ．20 C ．40 D ．100 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ． 825 两 B ． 845 两 C ． 865 两 D ． 885 两 4．设数列{}n a 的前n 项和2 1n S n =+. 则8a 的值为（ ）． A ．65 B ．16 C ．15 D ．14 5．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 6．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21 2 ，则该数列的项数是（ ） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 10．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 {}n a ，已知11a =，2 2a =，且满足()211+-=+-n n n a a （n *∈N ），则该医院30天入 院治疗流感的共有（ ）人 A ．225 B ．255 C ．365 D ．465 11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） 等差数列专题训练三 班次 ________ 姓名________________ 计分______________ 三、选择题: 1、等差数列共3n项，前n项和为10,后n项和为30, 前2n项和为() (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D)其他值 2、等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100, 则它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 3、已知数列{a n}满a1=2, a n+1 —a n+ 1=0, (n € N)，则此数列的通项a n等于( ) (A)n 2+ 1 (B) n + 1 (C)1 —n (D)3 —n 4、数列a n的通项公式a n=- 1 9 中前n项和为，则项数n为 ( ) (2n 1)(2 n 1) 19 (A)7 (B)8 (C) 9 (D)10 5、记两个等差数列｛a n｝和｛b n｝的前n项和分别为S n和T n ，且 $ 7n 1 (n N)， 则 T n 4n 27 等于( ) 7 3 4 78 (A)- (B)- (C)- (D) 4 2 3 71 6、数列a n的通项公式an=——1,S n = 10,则项数门为( ) J n 1 、n (A)11 (B) 99 (C)120 (D)121 7、a i, a2, a3, a4成等差数列，且a i, a4为方程2x2 -5x -2= 0的两根，则a2 + a3等于( ) 5 5 …宀 (A)-1 (B)—(C)-—(D)不确定 2 2 8、已知Ig x , lg( 2x —3 ) , Ig ( 3x —2 )成等差数列，则以1为首项，x为公差的等差数列的 第8项a8 = ( ) (A) 8 (B) 64 (C) 8 或64 (D) 128 9、等差数列a n 中，首项a1= -,a8> 6,a7< 6,则此数列的公差 2 d的取值范围是( ) 11 11 11 11 11 —11 (A) d > —(B) d v (C) v d v (D) v d w — 14 12 14 12 14 12 10、已知数列 3 ,7 , 1 1 ,15，…侧3 11是它的( ) (A )第23项(B ： )第24项(C)第19项(D )第25项 七年级新题型等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法: 通过日常生活中实际问题分析，引导学生观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念； 由学生建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中。 通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳转化为数学问题的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 （四）教学设想 [创设情景] 在以前的学习中我们了解了数列的相关知识。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： 在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 一、等差数列选择题 1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72 B ．90 C ．36 D ．45 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 6．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a = ，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） 一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35 7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 8．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） 一、等差数列选择题 1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 4．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35 7．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且 713n n S n T n -=，则5 5 a b =（ ） A ． 34 15 B ． 2310 C ．317 D ．62 27 8．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()* 1112,22 n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意 *n N ∈，都有 n a n λ ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237 n n S n T n =+，则6 3a b 的值为 （ ） 等差数列 知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1() 2 n n n a a s += 1(1)2 n n na d -=+ 2 11()2 2 d n a d n = +- 2 An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 等差数列 【巩固练习】 1．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－ C. D. 2 2.已知等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则通项公式n a =（ ）. A. 25n - B. 23n - C. 21n - D. 21n + 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 5．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 6.已知等差数列{a n }满足：a 3a 7=-12，a 4+a 6=-4，则通项公式a n =________. 7.已知等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，且m n ≠，则m n a +=__________. 8.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是__________. 9.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++=_________. 10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________. 11．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。 12．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。 13．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。 14．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ {}n a 7a 4a 3a 1212 一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ② 等差数列问题 普林斯顿 等差数列公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 末项＝首项＋（项数－1）×公差 和＝（首项＋末项）×项数÷2 特殊情况： （1）项数是单项数，可以用公式：中间数×项数＝和 （2）从1开始的连续奇数和公式：项数×项数＝和 1，求出数列1,4,7,10，…31有多少项？ 2，有一个等差数列，首项为3，公差为2，项数为10，它的末项是多少？ 3，求1,2,3，…，99,100，这100个数的和是多少？ 4，求所有被2除余数是1的三位数的和。 5，普林斯顿奥数一班共有学生15人，放假时，握手告别，每两人都握一次，问共握多少次手？ 6，懒羊羊读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。问这本小说共有多少页？ 等差数列问题练习题 普林斯顿 1，有一个等差数列：2,5,8,11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 2，已知数列为11,16,21,26，…，1001，求这个数列共有多少项？ 3，100以内的自然数中一共有多少个奇数？ 4，此数列是按一定的规律排列的：3,12，21,30,39,48,57,66，… （1）912是第几个数？（1）第12个数是多少？ 5，数列2,6,10,14，…的第100项是多少？ 6，已知数列5,8,11,14,17，…，求出它的第15项和第20项。 7，已知数列7,11,15，…，问这个数列前30项，前50项和是多少？ 8，从1到200的自然数中，除以9而没有余数的数有多少个？ 9，欢乐谷正天电影院有13排座位，第一排有42个座位，后一排总比前一排多4个座位，求最后一排有多少个座位？ 10，喜洋洋学习英语单词，第一天学习了10个，以后每天都比前一天多学习3个，那么第7天他学习了多少个英语单词？ 11，如果一个等差数列的第三项是15，第六项是33，求它的第八项是多少？ 12，灰太狼的城堡大门有10把锁，需10把不同钥匙才能打开，有一次灰太狼不小心把钥匙顺序弄乱了，不知道哪一把对应的是哪一个钥匙，问它最多需实验多少次，就能把大门打开？ 等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 等差数列求和问题 汾阳中学赵国鲜 一.内容与内容解析 等差数列的求和问题包括等差数列的求和公式、与等差数列求和公式有关的一些性质。 数列是函数，由于定义域的特殊性，所以在研究等差数列求和问题时，数列的离散性和函数的性质总是在不断地重复使用。由等差数列的定义、通项公式推出的数列的性质在求和问题中灵活使用，会使解决问题的思路更明确，方法更简单。 二.教学问题诊断 在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对习题课的认识比较片面，对习题课缺乏新鲜感。 在教学中，可以从简单的问题（或者教材中的问题）出发，通过问题的提出、问题的拓展措施，使学生对等差数列的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性；在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。 为了更好地加强策略性知识的学习，教学中可一题多用，减少问题解决的运算量,使学生在关键点加强思考与交流，有更多的时间进行创造性的实践与反思. 三.目标与目标解析： 1.进一步理解等差数列的性质，关注数列的函数特征； 2.进一步体会“函数和方程”思想，会从函数的角度和方程思想解决问题，并会进行合理的选择； 3.在问题的提出、分析、解决的过程，进一步形成等差数列的方法体系和数学思想，形成处理等差数列求和问题的基本策略,养成质疑和创新的意识. 本节专题课的学习，对于巩固数列知识，整体把握等差数列的定义、通项、求和起着很大的作用，解决问题后需要重构认知结构，对知识间的联系有新的认识，并在操作中形成技能;会通过反思与交流，感悟并提炼重要的数学思想。 四.教学支持条件分析 学生对于等差数列公式熟悉，但是数列的性质不是很熟悉，综合使用能力差，所以使用多媒体给同学们总结知识，增大课堂容量。 五.教学过程设计 （一）知识归纳 1.等差数列的定义 2.等差数列通项公式 3.等差数列的性质 4.等差数列的求和公式 5.与等差数列的求和有关性质 设计意图：通过多媒体展示内容要点，让学生很快回忆已学知识，对于本节课的求和的问题的顺利思考分析和解决起到促进作用。 (二)典例分析 数列中的求和问题是一类常见的问题，如何根据所给数列的特点，寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点. 例1.等差数列中，a 1< 0，S 9 = S 11，该数列前多少项的和最小？ }{n a 等差数列及其前n 项和练习题 一．填空题： 1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6= . 2.【2010?全国卷2理数】如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么 127...a a a +++= ． 3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s = . 4．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a = . 5. (2010?安徽文数】设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a = . 6．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = . 7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 . 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735,S =则4a = . 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 36 1,3S S =则 612 S S = 10已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是 . 11.数列{a n }的通项a n =2n +1，则由b n =n a a a n +++ 21(n ∈N * )，所确定的数列{b n }的前n 项和n S = . 12设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 13设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则数列的通项公式n a = . 1４在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ ． 二.解答题： 1５.等差数列{}n a 中，已知33,4,3 1521==+=n a a a a ，试求n 的值 1６【2010?北京文数】已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若等差数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式 1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?， 则 p 是q 的必要条件，该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”，故为充要条件． 2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若 844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)2 2 a a +??=+??，解得1a =1 2 ， ∴101119 9922 a a d =+= += ，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D 【答案】B 【解析】 试题分析：设等差数列{}n a的公差为d，由题设知，12610 a d +=，所以，1 102 1 6 a d - ==所以，716268 a a d =+=+=.故选B. 考点：等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4.【2014天津，文5】设 {} n a是首项为 1 a，公差为1-的等差数列，n S为其前n项和，若， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，则 1 a=（） A.2 B.-2 C. 2 1 D . 1 2 - 【答案】D 考点：等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n项和公式表示出， ， ， 4 2 1 S S S然后依据， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5.【2014辽宁文9】设等差数列{}n a的公差为d，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A．0 d四年级奥数等差数列问题
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