数学建模试卷及参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）
答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)
答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)
答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达
山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.
证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:
记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s.
设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是
一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。
作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的，
则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........，
k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全
渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分）
记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ，
k v ）定义为决策。允许决策集合记作
D ，由小船的容量可知
(){2
,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u }
（3分）
状态
k
s 随
k
d 的变化规律是：
1
+k s =
k
s +()k k d *-1
（3分）
模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）
三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
1、⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=14/13/1411311
A 试用和法求出
A 的最大特征值，并做一致性检验
（3时， 0.58）。
答：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/13/1411311A 中各列归一化 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛8/19/17/18/49/47/38/39/47/3
各行求和 ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛569.0373.1248.1=w 2
分 而⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=328.1897.4328.4Aw ，（1
分） 所
以最大特征根为
123.3)569
.0328
.1373.1897.4248.1328.4(31)(3131=++==∑
=i i i w Aw λ
2分
其一致性指标为：
061.02
3
123.31
33
=-=
--λ
2分
1.0106.058
.0061.0>==RI CI 所以A 不通过一致性检验。 2分
2、
一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙
用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用值方法分配各人的所得。(9分)
答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略) 3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C 1,每天每件产品贮存费用为C 2, 缺货损失费为C 3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C 3 ，当1时产品已用完
4. 生
产
周
期
为
T
，
产
量
为
Q
(2分) 模型建立
一周期总费用如下: 2
)(2213121T T r C Q
T C C C -+
+=
(2分)
一周期平均费用为 rT
Q rT C rT Q C T C Q T f 2)(2),(2
3221-+
+=
(2分)
模型求解: 用微分法解得周期 3
2321)
(2C rC C C C T +=
(1分)
产
量
)
(23223
1C C C C rC Q +=
(1分)
4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。
设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。
解：状态()()()死亡患病健康32,1===，i i i
依歇易得转移概率阵为 ⎝
⎛=065
.08.0P
25.018.0
⎪⎪⎪
⎭
⎫
11.002.0 2分
记()()())(),(,
321n a n a n a n =α， 则
()P n n ⋅=+)(1αα ),2,1(⋯⋯=n ………… （1分）
易是：()。，
i 马氏链是吸收链是吸收状态死亡∴=3 （2分） ⎝
⎛=O Q P ⎪⎪⎭⎫I R ⎝⎛=65.08.0Q ⎪⎪⎭⎫25.018.0 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=1.002.0R () ⎝⎛-=-=-65.02.01
Q I M ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫--65.075.0043.0125.018.01
⎪⎪⎭
⎫
2.018.0 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
=85.093.0043.01Me y （3分）
∴ 由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为
43
850
43930和 。 （1分）
5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）
h N
x rx t x --=))(
1()(2
& (1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况 (2)如何获得最大持续产量 解:
令h N
x rx x F --=))(1()(2，)31()(22N x
r x F -='
h N
x rx x f --=))(
1()(2
的最大值点为
)32,3
(
rN N （2分） 当
3
/2rN h >时,无平衡点
（1分）
当3/2rN h <时,有两个平衡点)3/
(1N x <和)3/(2N x >,
经
过判断x 1不稳定
2
稳定
（2分）
当3/2rN h =时,平衡点3
/0N x =,由0)(0='x F 不能判断它稳定性
（2分）
(2)为了获得最大持续产量,应使3/N x >且尽量3/N x =接近,但操
作困难 （2分）
四、
建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型
即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解）
解：假设)(t c i 、)(t x i 和i V 分别表示第i 室)2.1(=i 的血药浓度，药量
和容积，2112k k 和是两室之间药物转移速率系数，13k 是从中心室（第
1
室）向体外排除的速率系
数 ……………3分 则⎩⎨
⎧⋅-=+⋅+⋅--=221112************)()()(x k x k t x
t f x k x k x k t x &&……（1） ……………6分
（其中)(0t f 是给药速率） 及)2()()(ΛΛΛt c V t x i i i ⋅=
于是：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-⋅=+⋅+⋅+-=2211122121
022*********
)()3()()()(c k c k v v t c v t f c k v v c k k t c &ΛΛΛ& …………4分
2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A 产品2公斤，A 产品可获利30元/公斤 ，或加工8小时可生产B 产品3公斤，B 产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C 产品4公斤，C 产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A 产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。
答：设每天安排x 1桶原料生产A 产品，x 2桶原料生产B 产品，x 3桶原料生产C 产品，则有：
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤≤++≤++++=0,,582460681060432..485460max
3211321
3213
21x x x x x x x x x x t s x x x z
参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分
小学数学建模试题及答案 一、问题描述 某小学举行了一场数学建模比赛，共有100个参赛小组。每个小组有3名成员，他们需要在规定的时间内解决一系列数学问题。本文将给出其中的两道试题，并提供详细的解答。 二、试题一 题目：某超市打折促销，其中甲品牌的商品原价为10元/件，乙品牌的商品原价为15元/件。超市制定了以下几个商品组合的促销折扣方式: - 甲品牌购买3件，总价格打8折 - 乙品牌购买2件，总价格打9折 - 同时购买甲品牌和乙品牌的商品，总价格打7.5折 现在小明带着100元去购买这两个品牌的商品，请问他能够购买到几件商品？ 解答： 设小明购买的甲品牌商品件数为x，乙品牌商品件数为y。根据题目所给的折扣方式，可以列出以下方程组： 1. 10x + 15y = 100 （总价格不超过100元） 2. 0.8 * 10x + 15y >= 100 （甲品牌打折）
3. 10x + 0.9 * 15y >= 100 （乙品牌打折） 4. 0.75 * (10x + 15y) >= 100 （甲品牌和乙品牌同时打折） 通过解这个方程组，可以求得x和y的值。计算结果为x = 4，y = 4。因此，小明能够购买到4件甲品牌商品和4件乙品牌商品。 三、试题二 题目：小明和小红在校外进行了一次跑步比赛。比赛开始后，小红 以每分钟200米的速度匀速前进，小明则分段加速前进。具体规则如下： - 第1分钟小明跑出50米 - 从第2分钟开始，小明每分钟的速度都比前一分钟提高10米/分钟问：在多少分钟之后，小明能够超过小红？ 解答： 设小明在第n分钟时超过小红，则可以列出以下方程： 50 + 10 + 20 + ... + 10(n-1) > 200n 通过对1到n的整数求和，可以化简为： 50 + 10 * (1 + 2 + ... + (n-1)) > 200n 50 + 10 * ((n-1) * n / 2) > 200n 25n^2 - 225n + 100 > 0
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达 山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是
一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。 作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的， 则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........， k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全 渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 (){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分） 状态 k s 随 k d 的变化规律是： 1 +k s = k s +()k k d *-1
《数学建模》试卷 第 1 页 共 4 页 《数学建模》试题 一、填空题（每题5分，满分20分）： 1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 . 2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 . 4. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ， 其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 . 二、分析判断题（每题10分，满分20分）： 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。 2. 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前 提下获利最多？ 表1 单位：元/件 上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。 三、计算题（每题20分，满分40分）： 1. 有一批货物要从厂家A 运往三个销售地B 、C 、D ，中间可经过9个转运站 .,,,,,,,,321321321G G G F F F E E E 从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到21,F F 的 运价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到32,F F 的运价为7、6；从1F 到21,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到32,G G 的运价为6、8；从 密 线 封 层次 报读学校 专业 姓名 317
2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元． 3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 。 二、简答题：（25分） 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分） 2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 三、（每小题15分，共60分） 1、设某产品的供给函数)(p ?与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ? 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后， 美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量 数学建模 参考答案 2．约40．1876 3．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法： 机理分析法，统计分析法，系统分析法 2、优化模型的一般形式 将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ， 在约束条件 下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数 为可行域 三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-? 9431+-=+-n n kp p 即： k p k p n n 531+- =- . ,...,,,)(m i h i 210==x ) (x f u =. ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x ) (x f Ω ∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or . ,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x . ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x
数学建模期末试题及答案 1. 题目描述 这是一份数学建模期末试题，包含多个问题，旨在考察学生对数学建模的理解和应用能力。以下是试题的具体描述及答案解析。 2. 问题一 某城市的交通流量与时间呈周期性变化，根据历史数据，可以得到一个交通流量函数，如下所示： \[f(t) = 100 + 50\sin(\frac{2\pi}{24}t)\] 其中，t表示时间（小时），f(t)表示交通流量。请回答以下问题： a) 请解释一下该函数的含义。 b) 根据该函数，该城市的最大交通流量是多少？ c) 在哪个时间段，该城市的交通流量较低？ 【解析】 a) 该函数表示交通流量f(t)随时间t的变化规律。通过观察函数，可以发现交通流量与时间的关系是周期性变化，每24小时一个周期。函数中的sin函数表示交通流量在周期内的变化，振幅为50，即交通流量的最大值与最小值之差为50。基准流量为100，表示在交通最不繁忙的时刻，流量为100辆。 b) 最大交通流量为基准流量100辆与振幅50辆之和，即150辆。
c) 交通流量较低的时间段为振幅为负值的时刻，即最小值出现的时 间段。 3. 问题二 某学校的图书馆借书规则如下： - 学生每次最多可以借5本书，每本书的借阅期限为30天。 - 学生可以在借阅期限结束后进行续借，每次续借可以延长借阅期 限30天。 请回答以下问题： a) 一个学生在10天内连续借了3次书，分别是2本、3本和4本， 请写出该学生在每次借书后的总借书数。 b) 如果一个学生借了5本书，每本都是在借阅期限后进行续借，借 了10年，最后一次续借后，该学生一共续借了几次书？ 【解析】 a) 总的借书数为每次借书的累加和。学生第一次借2本，总共借书 数为2本；第二次借3本，总共借书数为2 + 3 = 5本；第三次借4本，总共借书数为5 + 4 = 9本。 b) 学生每本书借阅期限为30天，10年为3650天，每次借书续借可 以延长借阅期限30天。因此，学生续借次数为10年÷30天= 121次。 4. 问题三
数学建模题目及答案-数学建模100题 假设每个宿舍的委员数与该宿舍的学生数成比例，即每个宿舍的委员数为该宿舍学生数除以总学生数的比例乘以10. 则A宿舍应分配的委员数为235/1000×10=2.35，但委员 数必须为整数，所以可以向上取整，即A宿舍分配3个委员。 同理，B宿舍应分配的委员数为333/1000×10=3.33，向上 取整为4个委员；C宿舍应分配的委员数为432/1000×10=4.32，向下取整为4个委员。 因此，A宿舍分配3个委员，B宿舍分配4个委员，C宿 舍分配3个委员，剩下的委员数（10-3-4-3=0）为0. 按照各宿舍人数占总人数的比例分配各宿舍的委员数。设 A宿舍、B宿舍、C宿舍的委员数分别为x、y、z人。根据题意，我们可以列出以下方程组： x + y + z = 10 x/10 = 235/1000 y/10 = 333/1000 z/10 = 432/1000
其中，小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。解方 程组得到x=3，y=3，z=4.因此，A宿舍、B宿舍、C宿舍的委 员数分别为3、3、4人。 一家饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，预计每天可使一头80公斤重的生猪增加2公斤。假设生猪出售 的市场价格为每公斤8元，每天会降低0.1元。我们设在第t 天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为 z元。根据题意，我们可以列出以下方程： 每头猪投入：5t元 产出：（8-0.1t）（80+2t）元 利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640 我们可以求得二次函数的顶点，即t=32.5时，Z取得最大 值851.25元。因此，该饲养场应该在第33天出售这样的生猪，以获得最大利润。 一家奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶 牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备 乙上用8小时加工成4公斤A2.市场需求量与生产量相等，每 公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。加工厂每天能得
数学建模题目及答案 【篇一：2013全国大学生数学建模比赛b题答案】lass=txt>承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、 讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考 文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。 如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学参赛队员 (打印并 签名) ：1. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013年 9 月 13 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 碎纸片的拼接复原 摘要 本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。由于人工做残片复原虽然准 确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各类 条件的限制造成误差与错误，所以为了解决题目中给定的碎纸片复 原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解 决残片复原问题，并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评 价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最佳结果。 面对题目中给出的bmp格式的黑白文字图片，我们使用matlab软 件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中 该位置像素的灰度值，再对元素进行二值化处理得到新的矩阵。题
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处.雨速是常数.方向不变。你 是否走得越快.淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中.一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10.若在充分长的时间内.一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山.晚18：00到山顶B；第二天.早6： 00从B下山.晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家.家中 的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时. 妹妹的速度为2公里/小时.狗的速度为5公里/小时。分析半小时后.狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面.并事先约 定先到者在那等待10分钟.若另一个人十分钟内没有到达.先到者将离去。用图解法计算.甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会.已知没有人认识所有的人.证明：至少 存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5平方厘米. 9.假设在一个刹车交叉口.所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡.
计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来.刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料.如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b.选坐.v>0,而设语雨 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书.即一周借七本书.而图书馆平均每周收
《数学建模》期末考试试卷 班级 姓名 学号 一、（15分）以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示，适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表2所示。 表1 农田面积和灌溉配水量 表2 农作物期望净收益、用水量 试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？建立线性规划问题的数学模型并写出用LINGO 求解的程序。 二、（15分）用单纯形方法求解线性规划问题。 ⎪ ⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++++=0 0024 21 26042..61314S max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x ；；
三、（15分）上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。其主要产品有４种，分别用代号A 、B 、C 、D 表示，生产A 、B 、C 、D 四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示： 在现有资源的条件下如何安排生产，可获得利润最大？ 现设置上述问题的决策变量如下：1234,,,x x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的日产量，则可建立线性规划模型如下： ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=0 ,,,3000 48462000552424005284480..81169max 43214321 4321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下： Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 4450.000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X3 70.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4450.000 1.000000 2 0.000000 2.500000 3 610.0000 0.000000 4 0.000000 0.5000000 5 0.000000 0.7500000 （1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案； （2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；
数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f
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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=∂∂=∂∂p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=
数学建模试题及答案 1．设某产品的供给函数)(p ?与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ? 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-? 2分 9431+-=+-n n kp p 即： k p k p n n 531+-=- 经递推有： k k p k k k k p k p n n n n n n 5) 3 ()3(5)53(31 1 02? -+ ?- =++ -? - =-=-∑ 6分 0p 表示初始时的市场价格 :∞→时当n 若即市场稳定 收敛则时,,30,13n p k 即k <<<- 。 10分 2．某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？ 依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手) 由遗传学原理有： ??? ? ? ???? ++?=?++=?+?+?=---------1 11 1 11111210021000n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a 4分 设向量T n n n n c b a x )..(= 1-?=n n X M x
式中 ??????? ???????? ?=12 100211 00 0M 递推可得：0X M X n n ?= 对M 矩阵进行相似对角化后可得： ???? ???? ??=Λ10 0210 000 其相似对角阵 1 111012001-=?? ?? ??????--=p p 从而 ?? ?? ? ?????-?? ??????????????--=?Λ=-111012001)21(111012001101 n n n p p M ??????? ???? ???? ?--=----1) 2 1(1)21(10)2 1() 21(0 001 11 1n n n n n M 1 0101 010))2 1(1())21(1(0 )2 1()21(0 b a c c b a b a n n n n n n n ?-+?-+=++==---- 8分 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。 10分 3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为 什么？ 解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。建立模型： ) ())(1()(t N M t N r dt t dN ?- ?= 00|N N t == 4分
数学建模习题及答案 数学建模是一种将数学方法应用于实际问题求解的技能。通过数学建模，我们可以将现实世界中的问题转化为数学问题，并运用数学工具和计算机技术进行求解。在本文中，我们将讨论几个常见的数学建模习题及对应的答案。 1、人口增长模型 人口增长是现实生活中一个普遍的问题。该问题可以通过指数增长模型进行描述。假设初始人口数量为P0，年增长率为r，则t年后的人口数量可以表示为P0ert。例如，如果初始人口为1000人，年增长率为0.05，则10年后的人口数量为1000e0.0510约等于1628人。 2、投资回报模型 投资回报是金融领域中一个关键问题。该问题可以通过几何布朗运动模型进行描述。假设初始投资为S0，每日回报率为μ，标准差为σ，则t天后的投资回报可以表示为S0e^(μt + σWt)，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始投资为100元，每日回报率为0.01，标准差为0.05，则10天后的投资回报可以表示为100e^(0.01 × 10 + 0.05 × sqrt(10) × N(0,1))，其中N(0,1)表示标准正态分布的随机变量。 3、随机游走模型
随机游走是物理学中一个著名的问题。该问题可以通过随机过程进行描述。假设每次向上走或向下走的概率为p和q，则t步之后的位置可以表示为Xt = (Wt+1-Wt) ∑_{i=0}^{t-1} (-1)^i，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始位置为0，每次向上走和向下走的概率都为0.5，则5步之后的位置可以表示为X5 = (W6-W0) ∑_{i=0}^{4} (-1)^i。 4、传染病模型 传染病模型是公共卫生领域中一个重要的问题。该问题可以通过SIR 模型进行描述。假设总人数为N，其中易感者、感染者和康复者的人数分别为S、I和R，感染者的传染率为β，康复率为γ，则t时刻 的易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(t)、I(t)和R(t)。 例如，如果初始时刻易感者、感染者和康复者的人数分别为999、1 和0，传染率为0.2，康复率为0.1，则经过25天之后易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(25) ≈ 976.64、I(25) ≈ 22.36和R(25) ≈ 478.69。 这些数学建模习题是实际生活中经常遇到的问题。通过求解这些问题，我们可以加深对数学建模的理解和应用。这些问题的求解方法也可以帮助我们更好地解决类似的问题。 数学建模课后习题 数学建模课后习题：探索斐波那契数列的奥秘
09级数模试题 1． 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地,放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地,放稳了.试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（1５分) 解:对于此题，如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2)长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的 (４）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、Ｂ、Ｃ、D 处，Ａ、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ａb ，则ａb 也与A 、B,C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 a ｂ与x 轴的夹角记为θ. 容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、Ｂ离地距离之和， ()g θ为 C 、 D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设 (1), ()f θ,()g θ均为θ的连续函数.又由假设(3）,三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0 必成立 （∀θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转）,于 是问题归结为： 已知 ()f θ，()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使 00()()0f g θθ=。 证明：当θ＝π时，A Ｂ与C Ｄ互换位置,故()0f π>，()0g π=.作()()()h f g θθθ=-,显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 ２．学校共１０00名学生，235人住在A 宿舍,3３3人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为ｘ人,B 宿舍的委员数为y 人，Ｃ宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进１,其余取整数部分。 则 x+y+z=10; ｘ/１0=2３５/１000；
数学建模及应用试题汇总 1. 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器， 你也会出于好奇心想用扔下一 块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山 崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 2. 建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 3. 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为 T1， 另一端温 度恒为 T2， (T1、T2 为常数， T1> T2)。金属杆横截面积为 A ，截面的边界长度为 B ，它 完全暴露在空气中，空气温度为 T3， (T3< ， T3 为常数)， 导热系数为α，试求金属杆 上的温度分布 T(x)， (设金属杆的导热 2为λ) 4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记 2 分，抢答题开始后，如 甲取胜则甲 加 1 分而乙减 1 分，反之则乙加 1 分甲减 1 分,(每题必需决出胜负 )。规 则还规定，当其中一方的得分达 到 4 分时，竞赛结束。现希望知道： (1)甲队获胜的概率有多大？ (2)竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？ (3)甲获得 1 、2、3 分的平均次数是多少？ 5. 由于指派问题的特殊性， 又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算 法。当系数矩阵为下式，求解指派问题。 「16 15 19 22] C = L17 19 22 16 」 6. 在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。假定三个女儿为 A 、B 、C ， 三位求 婚者为 X 、Y 、Z 。每位求婚者对 A 、B 、C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定： A B C x 「 3 5 26] 问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼(从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。 7. 某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在 30 天内按期完工。但根据天气预 报， 15 天后天气肯定变坏。 有 40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期， 在 50%的可能 会遇到小风暴而使工期推迟 15 天， 另有 10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟 20 天。 对于可能出现的情况，考虑两种方案： 提前紧急加班，在 15 天内完成工程，实施此方案需增加开支 18000 元。 先按正常速度施工， 15 天后根据实际出现的天气状况再作决策。 如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。 如遇到小风暴，有两个备选方案： (i)维持正常速度施工，支付工程延期损失费 20000 元。 (ii) 采取应急措施。 实施此应急措施有三种可能结果： 有 50%可能减少误工期 1 天 ， 支付应急费用和延期损失费共 24000 元； 有 30%可能减少误工期 2 天，支付应急费用和 延期损失费共 18000 元； 有 20%可能减少误工期 3 天，支付应急费用和延期损失费共 12000 元。 如遇大风暴， 也有两个方案可供选择： (i)维持正常速度施工， 支付工程延期损失费 50000 y |27 10 28 | z |L 1 4 7 」|
数学建模模拟试题及答案 一、填空题(每题5分，共20分) 1。 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3。 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1。 要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2。 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断,当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (. (提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分,满分50分） 1。 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位。试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由。 （2） 原材料的利用情况。
09 级数模试题 1． 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地 ,放不稳，然后稍微挪动几 次，就可以使四只脚同时着地 ,放稳了.试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 (15分) 解:对于此题，如果不用任何假设很难证明 ,结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： (1)地面为连续曲面 (2)长方形桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程度而言 ,方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A 、 B 、C 、D 处， A 、B,C 、 D 的初始位置在与 x 轴平行， 再假设有一条在 x 轴上的线a b ，则a b 也与 A 、B,C 、D 平行。当方桌绕中心 0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为9 . 容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定 的。为消除这一不确定性，令 f(9) 为 A 、B 离地距离之和， g(9) 为 C 、D 离地距离之和， 它们的值由9 唯一确定。 由假设 (1), f(9) , g(9) 均为9 的连续函数.又由假设(3) ,三条腿总能同时着地， 故 f(9) g(9)=0 必成立 ( A 9 )。不妨设 f(0) = 0, g(0) > 0g (若 g(0)也为 0，则初始时刻已四条腿着地 ,不必再旋转) ,于 是问题归结为： 已知 f(9) ，g(9)均为9 的连续函数， f(0) = 0, g(0) > 0且对任意9 有 f(90 )g(90 ) = 0 ，求证存 在某一90 ，使 f(90 )g(90 ) = 0。 证明：当θ＝π时， AB 与 CD 互换位置 ,故 f(u) > 0，g(u) = 0.作 h(9) = f(9) g(9) ,显然， h(9) 也是9 的连续函数， h(0) = f(0) g(0) < 0 而 h(u) = f(u) g(u) > 0 ，由连续函数的取零值定 理，存在90 ， 0 < 90 < u ，使得h(90 ) = 0 ，即 f(90 ) = g(90 ) 。又由于 f(90 )g(90 ) = 0 ，故必有 f(90 ) = g(90 ) = 0 ，证毕。 2．学校共1000 名学生， 235 人住在 A 宿舍,333 人住在 B 宿舍， 432 人住在 C 宿舍。学生 们要组织一 个 10 人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。 (15 分) 解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。 设：A 宿舍的委员数为x 人,B 宿舍的委员数为 y 人， C 宿舍的委员数为 z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1 ,其余取整数部分。 则 x+y+z=10; x / 1 0=235/ 1 000；